परिमेय संख्या $\frac{14587}{1250}$ का दशमलव प्रसार कितने दशमलव स्थानों के बाद समाप्त होगा?

दर्शाइए कि किसी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक $q$ के लिए $6q + 1$ या $6q + 3$ के रूप का होता है।

बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए,बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत है या अशांत आवर्ती है: $\frac{15}{1600}$.

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $81$ और $237$ का $g.c.d.$ (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात कीजिए।

लिखिए कि क्या किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $3m + 2$ के रूप का हो सकता है,जहाँ $m$ एक प्राकृतिक संख्या है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,दिए गए धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $7$ के लिए,अद्वितीय अऋणात्मक पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = 7q + r$; जहाँ..........