ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બિંદુ $\theta$ નું નાભિથી અંતર કેટલું છે?

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ પર આવેલા બિંદુ $(2, \sqrt{3})$ નો ઉત્કેન્દ્રિય કોણ (eccentric angle) શોધો.

ધારો કે બે ઉપવલયો $E_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, (a > b)$ અને $E_2: \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1, (A < B)$ દરેકની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{4}{5}$ છે. જો $E_1$ અને $E_2$ ના નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $\ell_1$ અને $\ell_2$ હોય, જેથી $2\ell_1^2 = 9\ell_2$ થાય. જો $E_1$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $8$ હોય, તો $E_2$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો:

જો $B$ અને $B^{\prime}$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ના ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ હોય અને $S$ અને $S^{\prime}$ તેના નાભિઓ હોય, તો સમબાજુ ચતુષ્કોણ $SBS^{\prime}B^{\prime}$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થશે?

$c$ ની કઈ કિંમતો માટે રેખા $y=4x+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ ને સ્પર્શે છે?