उस वृत्त का समीकरण जो वृत्तों S_1 equiv x^2+y | vedclass

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Question

(A) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। चूंकि वृत्त $S=0$ दिए गए वृत्तों को उनके व्यासों के सिरों पर काटता है,इसलिए $S=0$ औ

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$x^2+y^2-4x-6y-4=0$

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(A) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। चूंकि वृत्त $S=0$ दिए गए वृत्तों को उनके व्यासों के सिरों पर काटता है,इसलिए $S=0$ और प्रत्येक वृत्त $S_i=0$ की उभयनिष्ठ जीवा $S_i=0$ के केंद्र से होकर गुजरती है। $S_1 \equiv x^2+y^2-4=0$ के लिए,केंद्र $(0,0)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $S-S_1=0$ है,जो $2gx+2fy+c+4=0$ है। चूंकि यह $(0,0)$ से गुजरती है,इसलिए $c+4=0$,अर्थात $c=-4$। $S_2 \equiv x^2+y^2-6x-8y+10=0$ के लिए,केंद्र $(3,4)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $S-S_2=0$ है,जो $(2g+6)x+(2f+8)y+c-10=0$ है। $c=-4$ और केंद्र $(3,4)$ रखने पर,$(2g+6)(3)+(2f+8)(4)-14=0$,जो $6g+8f+36=0$ अर्थात $3g+4f+18=0$ $(i)$ में सरल होता है। $S_3 \equiv x^2+y^2+2x-4y-2=0$ के लिए,केंद्र $(-1,2)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $S-S_3=0$ है,जो $(2g-2)x+(2f+4)y+c+2=0$ है। $c=-4$ और केंद्र $(-1,2)$ रखने पर,$(2g-2)(-1)+(2f+4)(2)-2=0$,जो $-2g+4f+8=0$ (ii) में सरल होता है। $(i)$ और (ii) को हल करने पर: (ii) से,$g=2f+4$। $(i)$ में रखने पर,$3(2f+4)+4f+18=0$ $\Rightarrow 10f+30=0$ $\Rightarrow f=-3$। अतः $g=-2$। इस प्रकार,अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-6y-4=0$ है।

उस वृत्त का समीकरण जो वृत्तों $S_1 \equiv x^2+y^2-4=0$,$S_2 \equiv x^2+y^2-6x-8y+10=0$,और $S_3 \equiv x^2+y^2+2x-4y-2=0$ को उनके व्यासों के सिरों पर काटता है,है:

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यदि $x^2 + y^2 + px + 3y - 5 = 0$ और $x^2 + y^2 + 5x + py + 7 = 0$ लंबकोणीय (orthogonally) प्रतिच्छेद करते हैं,तो $p$ का मान है

$P, Q$ और $R$ तीन सह-अक्षीय वृत्तों के केंद्र हैं और $r_1, r_2, r_3$ क्रमशः उनकी त्रिज्याएँ हैं। तो $QRr_1^2 + RP r_2^2 + PQ r_3^2$ किसके बराबर है?

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