बिंदु (0, 1) से गुजरने वाले वक्र का समीकरण, ज | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + y}$ है।व्युत्क्रम लेने पर, $\frac{dx}{dy} = \frac{x + y}{y} = \frac{x}{y} + 1$।यह

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$x = y \ln(y)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + y}$ है।व्युत्क्रम लेने पर, $\frac{dx}{dy} = \frac{x + y}{y} = \frac{x}{y} + 1$।यह $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 1$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ है।$IF$ से गुणा करने पर, हमें $\frac{1}{y} \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2} x = \frac{1}{y}$ प्राप्त होता है।$y$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\frac{x}{y} = \int \frac{1}{y} dy = \ln|y| + C$।चूंकि वक्र $(0, 1)$ से गुजरता है, $x=0$ और $y=1$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{0}{1} = \ln(1) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$।अतः, $\frac{x}{y} = \ln y$, जिससे $x = y \ln y$ प्राप्त होता है।

बिंदु $(0, 1)$ से गुजरने वाले वक्र का समीकरण, जिसकी किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{y}{x + y}$ के बराबर है, है:

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