समतलों pi_1 equiv x+3y-6=0 और pi_2 equiv 3x-y | vedclass

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Question

(A) दिए गए समतलों के समीकरण $\pi_1 = x+3y-6=0$ और $\pi_2 = 3x-y+4z=0$ हैं। प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण $\pi_1+\lambda \pi_2=0

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$2x+y+2z-3=0$

Vedclass · Answer

(A) दिए गए समतलों के समीकरण $\pi_1 = x+3y-6=0$ और $\pi_2 = 3x-y+4z=0$ हैं। प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण $\pi_1+\lambda \pi_2=0$ है। $(x+3y-6)+\lambda(3x-y+4z) = 0$ $(1+3\lambda)x + (3-\lambda)y + 4\lambda z - 6 = 0$ ... $(i)$ मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल $(i)$ की लंबवत दूरी $1$ दी गई है। दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ का उपयोग करने पर: $\frac{|-6|}{\sqrt{(1+3\lambda)^2 + (3-\lambda)^2 + (4\lambda)^2}} = 1$ $36 = (1+9\lambda^2+6\lambda) + (9+\lambda^2-6\lambda) + 16\lambda^2$ $36 = 26\lambda^2 + 10$ $26\lambda^2 = 26 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$. $\lambda = 1$ के लिए,समीकरण $(1+3)x + (3-1)y + 4(1)z - 6 = 0$ हो जाता है,जो सरल होकर $4x+2y+4z-6=0$ या $2x+y+2z-3=0$ प्राप्त होता है। अतः,सही विकल्प $(a)$ है।

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