फलन f(x) = x^2 sin frac{1}{x} जहाँ x ne 0 और | vedclass

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Question

(D) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच: $\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$. चूँकि $-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$,इसलिए $-x^2 \le x^2

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सतत और अवकलनीय है

Vedclass · Answer

(D) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच: $\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$. चूँकि $-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$,इसलिए $-x^2 \le x^2 \sin \frac{1}{x} \le x^2$. स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim_{x 	o 0} f(x) = 0 = f(0)$. अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है। $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच: $f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h 	o 0} h \sin \frac{1}{h}$. चूँकि $\lim_{h 	o 0} h = 0$ और $\sin(1/h)$ परिबद्ध (bounded) है,इसलिए सीमा $0$ है। अतः,$f'(0) = 0$,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है।

फलन $f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$ जहाँ $x \ne 0$ और $f(0) = 0$ के लिए $x = 0$ पर:

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