फलन u = e^x sin x और v = e^x cos x निम्नलिखित | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $u = e^x \sin x$ और $v = e^x \cos x$।सबसे पहले,प्रथम अवकलज की गणना करें:$\frac{du}{dx} = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x

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उपरोक्त सभी

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(D) दिया गया है $u = e^x \sin x$ और $v = e^x \cos x$।सबसे पहले,प्रथम अवकलज की गणना करें:$\frac{du}{dx} = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$$\frac{dv}{dx} = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x(\cos x - \sin x)$विकल्प $A$ की जाँच करें: $v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx} = e^x \cos x \cdot e^x(\sin x + \cos x) - e^x \sin x \cdot e^x(\cos x - \sin x)$$= e^{2x}(\sin x \cos x + \cos^2 x - \sin x \cos x + \sin^2 x) = e^{2x}(\sin^2 x + \cos^2 x) = e^{2x}$।साथ ही,$u^2 + v^2 = (e^x \sin x)^2 + (e^x \cos x)^2 = e^{2x}(\sin^2 x + \cos^2 x) = e^{2x}$।अतः,$v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx} = u^2 + v^2$ सही है।विकल्प $B$ की जाँच करें: $\frac{d^2u}{dx^2} = \frac{d}{dx}[e^x(\sin x + \cos x)] = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x = 2v$। यह सही है।विकल्प $C$ की जाँच करें: $\frac{d^2v}{dx^2} = \frac{d}{dx}[e^x(\cos x - \sin x)] = e^x(\cos x - \sin x) + e^x(-\sin x - \cos x) = -2e^x \sin x = -2u$। यह सही है।चूंकि सभी समीकरण संतुष्ट होते हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

फलन $u = e^x \sin x$ और $v = e^x \cos x$ निम्नलिखित में से किस समीकरण को संतुष्ट करते हैं?

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यदि $y=\frac{(\sqrt{x}+1)(x^2-\sqrt{x})}{x \sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1}{15}(3 \cos^2 x-5) \cos^3 x$ है,तो $96 y'(\frac{\pi}{6})$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $f(x) = \begin{cases} ax+b, & \text{यदि } x \leq 1 \\ ax^2+c, & \text{यदि } 1 < x \leq 2 \\ \frac{dx^2+1}{x}, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$ $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय है, तो $ad-bc = $

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