एक दीर्घवृत्त (ellipse) के नाभिलंब (latus rec | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 10$ है। लघु अक्ष की लंबाई नाभियों के बीच की दूरी के बराबर है,इसलिए $2b = 2ae$,जिसका अर्थ है $b =

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$x^2 + 2y^2 = 100$

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(A) दिया गया है कि नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 10$ है। लघु अक्ष की लंबाई नाभियों के बीच की दूरी के बराबर है,इसलिए $2b = 2ae$,जिसका अर्थ है $b = ae$। हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$। $b = ae$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $e^2 = 1 - e^2$ यानी $2e^2 = 1$ या $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ हो जाता है। चूंकि $b = ae$,हमारे पास $b^2 = a^2e^2 = a^2(\frac{1}{2})$ है। इस मान को नाभिलंब के समीकरण में रखने पर: $\frac{2(a^2/2)}{a} = 10$,जिससे $a = 10$ प्राप्त होता है। तब $b^2 = \frac{100}{2} = 50$,इसलिए $b = 5\sqrt{2}$। दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{50} = 1$ है। $100$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + 2y^2 = 100$ प्राप्त होता है।

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