$x-y \geq 0$,$x+3y \leq 12$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ શરતોને આધીન $z=6x+8y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો:

એક ઉત્પાદન એકમ તાંબુ અને પિત્તળને જોડીને એક ખાસ પ્રકારની મેટલ ચિપ બનાવે છે. ચિપનું પ્રમાણભૂત વજન ઓછામાં ઓછું $5 \text{ gms}$ હોવું જોઈએ. મૂળભૂત ઘટકો,એટલે કે તાંબુ અને પિત્તળ,અનુક્રમે $₹8$ અને $₹5$ પ્રતિ $\text{gm}$ છે. ટકાઉપણું ધ્યાનમાં લેતા,મેટલ ચિપમાં $4 \text{ gms}$ થી વધુ પિત્તળ ન હોવું જોઈએ અને ઓછામાં ઓછું $2 \text{ gms}$ તાંબુ હોવું જોઈએ. તો,ઉપરની શરતોને સંતોષતી મેટલ ચિપની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી છે?

$3x + 2y \leq 18$,$x \leq 4$,$y \leq 6$,$x, y \geq 0$ મર્યાદાઓને આધીન $z = 3x + 5y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 5y$ માટે,મર્યાદાઓ $x + 3y \leqslant 60$,$x + y \geqslant 10$,$x - y \leqslant 0$,$x \geqslant 0$,$y \geqslant 0$ ને આધીન મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત કેટલો છે?

એક વિમાન મહત્તમ $250$ મુસાફરોને લઈ જઈ શકે છે. દરેક એક્ઝિક્યુટિવ ક્લાસ ટિકિટ પર $Rs \ 1500$ નો નફો અને દરેક ઇકોનોમી ક્લાસ ટિકિટ પર $Rs \ 900$ નો નફો થાય છે. એરલાઇન એક્ઝિક્યુટિવ ક્લાસ માટે ઓછામાં ઓછી $30$ બેઠકો અનામત રાખે છે. જો કે, એક્ઝિક્યુટિવ ક્લાસ કરતા ઓછામાં ઓછા $4$ ગણા વધુ મુસાફરો ઇકોનોમી ક્લાસમાં મુસાફરી કરવાનું પસંદ કરે છે. ધારો કે $x_1$ એ એક્ઝિક્યુટિવ ક્લાસના મુસાફરોની સંખ્યા છે અને $x_2$ એ ઇકોનોમી ક્લાસના મુસાફરોની સંખ્યા છે. એરલાઇન માટે નફો મહત્તમ કરવા માટે લીનિયર પ્રોગ્રામિંગ પ્રોબ્લેમ $(LPP)$ તૈયાર કરો.

એક આહાર નિષ્ણાત બે પ્રકારના ખોરાકને એવી રીતે મિશ્ર કરવા માંગે છે કે મિશ્રણમાં ઓછામાં ઓછા $8$ એકમ વિટામિન $A$ અને $10$ એકમ વિટામિન $C$ હોય. ખોરાક $'I'$ માં $2$ એકમ/કિગ્રા વિટામિન $A$ અને $1$ એકમ/કિગ્રા વિટામિન $C$ છે. ખોરાક $'II'$ માં $1$ એકમ/કિગ્રા વિટામિન $A$ અને $2$ એકમ/કિગ્રા વિટામિન $C$ છે. ખોરાક $'I'$ ખરીદવા માટે રૂ. $50$ પ્રતિ કિગ્રા અને ખોરાક $'II'$ ખરીદવા માટે રૂ. $70$ પ્રતિ કિગ્રા ખર્ચ થાય છે. આ મિશ્રણનો ખર્ચ ઘટાડવા માટે આ સમસ્યાને સુરેખ આયોજન સમસ્યા તરીકે દર્શાવો.