$(0, 0)$,$(0, 21)$ અને $(21, 0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના અંદરના ભાગમાં આવેલા પૂર્ણાંક બિંદુઓની સંખ્યા (પૂર્ણાંક બિંદુ એટલે કે બંને યામ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ) કેટલી છે?

$A$ એ બે રેખાઓ $y + \sqrt{3} |x| = 2$ પૈકીની કોઈ એક પર આવેલું બિંદુ છે,જે તેમના છેદબિંદુથી $\frac{4}{\sqrt{3}}$ એકમના અંતરે છે. તેમની વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજક પર $A$ માંથી દોરેલા લંબના લંબપાદના યામ શોધો.

એક સીધી રેખા $x/a - y/b = 1$ એ બિંદુ $(8, 6)$ માંથી પસાર થાય છે અને યામ અક્ષો પર $12 \text{ sq units}$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતો ત્રિકોણ બનાવે છે. તો આ સીધી રેખાઓના સમીકરણો કયા છે?

$P$ એ બે રેખાઓ $y - \sqrt{3}|x| = 2$ પૈકીની કોઈ એક પર આવેલું બિંદુ છે,જે તેમના છેદબિંદુથી $5 \ units$ ના અંતરે છે. તેમની વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજક પર $P$ માંથી દોરેલા લંબપાદના યામ શોધો.

ઉગમબિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા સમાંતર રેખાઓ $4x + 2y = 9$ અને $2x + y + 6 = 0$ ને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં મળે છે. તો બિંદુ $O$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે?

ધારો કે એક સીધી રેખા $L : x + by + c = 0$ દ્વારા યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $48$ ચોરસ એકમ છે. જો ઉગમબિંદુમાંથી રેખા $L$ પર દોરવામાં આવેલ લંબ ધન $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તો $b^2 + c^2$ ની કિંમત શોધો.