अवकल समीकरण y(frac{dx}{dy}) = x log x का x = | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dx}{dy} = x \log x$ चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{x \log x} = \frac{dy}{y}$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int

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$x = e^y$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dx}{dy} = x \log x$ चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{x \log x} = \frac{dy}{y}$ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{y} dy$ माना $u = \log x$,तब $du = \frac{1}{x} dx$. समाकलन $\int \frac{1}{u} du = \log |u| = \log |\log x|$ हो जाता है। अतः,$\log |\log x| = \log |y| + C$. $x = e$ और $y = 1$ दिया गया है: $\log |\log e| = \log |1| + C \Rightarrow \log |1| = 0 + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$. इस प्रकार,$\log |\log x| = \log |y|$. दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\log x = y$,जिसका अर्थ है $x = e^y$.

अवकल समीकरण $y(\frac{dx}{dy}) = x \log x$ का $x = e$ और $y = 1$ पर विशिष्ट हल है:

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