સમતલ $2x - 3y + 6z - 11 = 0$ એ $X$-અક્ષ સાથે $\sin^{-1}(\alpha)$ ખૂણો બનાવે છે. $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

રેખા $r = (2i - j + k) + \lambda (-i + j + k)$ અને સમતલ $r \cdot (3i + 2j - k) = 4$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે એક રેખા $l$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને રેખાઓ $l_1: \overrightarrow{r} = (\hat{i} - 11\hat{j} - 7\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ અને $l_2: \overrightarrow{r} = (-\hat{i} + \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$ ને લંબ છે. જો $P$ એ $l$ અને $l_1$ નું છેદબિંદુ હોય,અને $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $P$ માંથી $l_2$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ હોય,તો $9(\alpha + \beta + \gamma)$ ની કિંમત શોધો.

એક સમતલ $P$ એ સમતલો $\vec{r} \cdot (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = 6$ અને $\vec{r} \cdot (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) = -5$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થાય છે. જો $P$ બિંદુ $(0, 2, -2)$ માંથી પસાર થતું હોય,તો બિંદુ $(12, 12, 18)$ નું સમતલ $P$ થી અંતરનો વર્ગ કેટલો થાય?

ધન દિશા કોસાઇન ધરાવતી એક રેખા બિંદુ $P(2, -1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે. જો આ રેખા સમતલ $2x + y + z = 9$ ને બિંદુ $Q$ પર મળે,તો લંબાઈ $PQ$ શોધો.

ધારો કે $L$ એ $\hat{i}-9 \hat{k}$ અને $7 \hat{j}+\hat{k}$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા છે અને $\pi$ એ $6 \hat{i}+\hat{j}$ બિંદુમાંથી પસાર થતું અને $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ સદિશને લંબ સમતલ છે. જો $\theta$ એ $L$ અને $\pi$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\sin \theta=$