एक शहर की जनसंख्या उस समय जनसंख्या के समानुपाती दर से बढ़ती है। यदि जनसंख्या $20$ वर्षों में $40,000$ से बढ़कर $80,000$ हो जाती है,तो अगले $40$ वर्षों में जनसंख्या क्या होगी ($,000$ में)?

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y = 0$ को संतुष्ट करने वाली सरल रेखाओं की संख्या है:

सत्यापित कीजिए कि फलन $y=c_{1} e^{a x} \cos b x+c_{2} e^{a x} \sin b x,$ जहाँ $c_{1}, c_{2}$ स्वेच्छ अचर हैं,अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 a \frac{d y}{d x}+\left(a^{2}+b^{2}\right) y=0$ का एक हल है।

एक निश्चित प्रजाति की समय $t$ पर जनसंख्या $P = P(t)$ अवकल समीकरण $\frac{dP}{dt} = 0.5P - 450$ का पालन करती है। यदि $P(0) = 850$ है,तो वह समय जिस पर जनसंख्या शून्य हो जाती है,है:

एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन एक स्थिर दर से बदल रहा है। यदि प्रारंभ में इसकी त्रिज्या $3$ इकाई है और $3$ सेकंड के बाद यह $6$ इकाई हो जाती है,तो $t$ सेकंड के बाद गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:[0,2] \rightarrow R$ एक फलन है जो $[0,2]$ पर सतत है और $(0,2)$ पर अवकलनीय है,जहाँ $f(0)=1$ है। मान लीजिए $F(x)=\int_0^{x^2} f(\sqrt{t}) dt$ जहाँ $x \in [0,2]$ है। यदि सभी $x \in (0,2)$ के लिए $F'(x)=f'(x)$ है,तो $F(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।