फलन f(x) = frac{e^x ln x cdot 5^{(x^2 + 2)}(x | vedclass

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Question

(A) सबसे पहले,अंश और हर का गुणनखंड करें: $f(x) = \frac{e^x \ln x \cdot 5^{(x^2 + 2)}(x - 2)(x - 5)}{(2x - 3)(x - 4)}$ ध्यान दें कि $\ln x$ के कारण फलन

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$( - \infty, \infty )$

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(A) सबसे पहले,अंश और हर का गुणनखंड करें: $f(x) = \frac{e^x \ln x \cdot 5^{(x^2 + 2)}(x - 2)(x - 5)}{(2x - 3)(x - 4)}$ ध्यान दें कि $\ln x$ के कारण फलन $x > 0$ के लिए परिभाषित है और $x 
eq \frac{3}{2}, x 
eq 4$ है। अंतराल $\left( \frac{3}{2}, 4 ight)$ में फलन सतत है। सीमाओं पर सीमा (limit) का मूल्यांकन करने पर: $x 	o (3/2)^+$ के लिए,हर $(2x-3)$ धनात्मक $(0^+)$ है और $(x-4)$ ऋणात्मक है। अंश: $e^x$ धनात्मक है,$\ln x$ धनात्मक है,$5^{(x^2+2)}$ धनात्मक है,$(x-2)$ ऋणात्मक है,$(x-5)$ ऋणात्मक है। अतः,$\frac{(+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-)}{(+) \cdot (-)} = \frac{+}{-} = -\infty$. $x 	o 4^-$ के लिए,हर $(2x-3)$ धनात्मक है,$(x-4)$ ऋणात्मक $(0^-)$ है। अंश: $e^x$ धनात्मक है,$\ln x$ धनात्मक है,$5^{(x^2+2)}$ धनात्मक है,$(x-2)$ धनात्मक है,$(x-5)$ ऋणात्मक है। अतः,$\frac{(+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-)}{(+) \cdot (0^-)} = \frac{-}{-} = \infty$. चूंकि फलन $\left( \frac{3}{2}, 4 ight)$ पर सतत है और $-\infty$ से $\infty$ तक के सभी मान लेता है,इसलिए परिसर $(-\infty, \infty)$ है।

फलन $f(x) = \frac{e^x \ln x \cdot 5^{(x^2 + 2)}(x^2 - 7x + 10)}{2x^2 - 11x + 12}$ का परिसर (range) ज्ञात कीजिए।

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यदि फलन $f(x) = \sqrt{\log_{0.6} (\left| \frac{2x-5}{x^2-4} \right|)}$ का प्रांत $(-\infty, a] \cup \{b\} \cup [c, d) \cup (e, \infty)$ है, तो $a+b+c+d+e$ का मान ———— है।

यदि फलन $f: R-\{-1, 1\} \rightarrow A$ जो $f(x) = \frac{x^2}{1-x^2}$ द्वारा परिभाषित है,आच्छादक (surjective) है,तो $A$ किसके बराबर है?

यदि फलन $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{2-|x|}{4}\right) + (\log_e(3-x))^{-1}$ का प्रांत (domain) $[-\alpha, \beta) \setminus \{\gamma\}$ है,तो $\alpha + \beta + \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए:

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