$A = \begin{bmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x^2-x & x^2+x \\ 3x(x-1) & x(x^2-3x+2) & x(x^2-1) \end{bmatrix}$ નો રેન્ક (rank) શોધો.

ધારો કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^3 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$. તો $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3+qx+r=0$ (જ્યાં $r \neq 0$) ના બીજ છે અને તેઓ સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) માં છે. તો શ્રેણિક $\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \beta & \gamma & \alpha \\ \gamma & \alpha & \beta \end{bmatrix}$ નો રેન્ક (rank) કેટલો થાય?

અંતરાલ $-\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ માં $\left|\begin{array}{lll}\sin x & \cos x & \cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}\right|=0$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 8\end{array}\right]$ નો નિશ્ચાયક (Rank) શોધો.

જો $y = \sin(mx)$ હોય,તો $\left| \begin{array}{ccc} y & y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 & y_5 \\ y_6 & y_7 & y_8 \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય (જ્યાં $y$ ના સબસ્ક્રિપ્ટ વિકલનનો ક્રમ દર્શાવે છે) શું છે?