$(2, -4, 3)$ અને $(-4, 5, -6)$ ને જોડતી રેખાને $3x + 2y + z - 4 = 0$ સમતલ કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે?

ધારો કે રેખાઓ $l_1: \frac{x+5}{3}=\frac{y+4}{1}=\frac{z-\alpha}{-2}$ અને $l_2: 3x+2y+z-2=0=x-3y+2z-13$ સમતલીય છે. જો $l_1$ પરનું બિંદુ $P(a, b, c)$ એ બિંદુ $Q(-4, -3, 2)$ ની સૌથી નજીક હોય,તો $|a|+|b|+|c|$ ની કિંમત શોધો.

બિંદુ $(3, 2, 0)$ અને રેખા $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{5} = \frac{z - 4}{4}$ માંથી પસાર થતું સમતલ કયું છે?

રેખાઓ $\frac{x-2}{0}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ અને $\frac{x-3}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-1}{1}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર દર્શાવતી રેખા,સમતલ $P: ax-y-z=0$,$(a>0)$ સાથે $\cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{27}}\right)$ નો ખૂણો બનાવે છે. જો બિંદુ $(1,1,-5)$ નું સમતલ $P$ માં પ્રતિબિંબ $(\alpha, \beta, \gamma)$ હોય,તો $\alpha+\beta-\gamma$ ની કિંમત $........$ છે.

જો રેખા $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{2}$ અને સમતલ $2x - y + \sqrt{\lambda} z + 4 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય અને $\sin \theta = \frac{1}{3}$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જો $O(0,0,0)$,$A(1,2,1)$,$B(2,1,3)$ અને $C(-1,1,2)$ એ ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ હોય,તો તેના ફલક $OAB$ અને ધાર $BC$ વચ્ચેનો લઘુકોણ શોધો.