$\hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{k})+\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k})+\hat{k} \cdot(\hat{i} \times \hat{j})$ का मान है

यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ तीन इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|=1$ और $\bar{b}, \bar{c}$ के लंबवत है। यदि $\bar{a}, \bar{b}$ और $\bar{c}$ के साथ क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ कोण बनाता है,तो $\cos \alpha+\cos \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत इकाई सदिश हैं और सदिश $\vec{c}$ इस प्रकार है कि $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$,तो $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) + (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ का मान क्या है?

मान लीजिए $v_1, v_2, v_3, v_4$ $XY$-समतल में इकाई सदिश हैं,जिनमें से प्रत्येक चार चतुर्थांशों के आंतरिक भाग में एक-एक है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन अनिवार्य रूप से सत्य है?

यदि $a \cdot b = a \cdot c$,$a \times b = a \times c$ और $a \neq 0$ है,तो

माना $\overrightarrow{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\overrightarrow{b} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$ है। यदि $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{r}$,$\overrightarrow{r} \cdot (\alpha\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = 3$ और $\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j} - \alpha\hat{k}) = -1$,जहाँ $\alpha \in R$,तो $\alpha + |\overrightarrow{r}|^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए: