निम्नलिखित में से कौन सा आव्यूह शून्यंभावी (n | vedclass

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Question

(C) एक आव्यूह $A$ को शून्यंभावी (nilpotent) कहा जाता है यदि एक ऐसा धनात्मक पूर्णांक $m$ मौजूद हो कि $A^m = 0$ हो,जहाँ $0$ शून्य आव्यूह है।विकल्प $C$ क

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$\begin{bmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$

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(C) एक आव्यूह $A$ को शून्यंभावी (nilpotent) कहा जाता है यदि एक ऐसा धनात्मक पूर्णांक $m$ मौजूद हो कि $A^m = 0$ हो,जहाँ $0$ शून्य आव्यूह है।विकल्प $C$ के लिए,मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है।तब $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 	imes 0 + 0 	imes 1 & 0 	imes 0 + 0 	imes 0 \ 1 	imes 0 + 0 	imes 1 & 1 	imes 0 + 0 	imes 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।चूँकि $A^2 = 0$ है,इसलिए आव्यूह $A$ घात $2$ का एक शून्यंभावी आव्यूह है।

निम्नलिखित में से कौन सा आव्यूह शून्यंभावी (nilpotent) आव्यूह है?

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यदि $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$ और $A + A^{\prime} = I$ है,तो $\alpha$ का मान . . . . . . है।

यदि $A$ और $B$ समान कोटि के सममित आव्यूह हैं,तो $AB - BA$ एक . . . . . . है।

दर्शाइए कि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ एक सममित आव्यूह है।

यदि $A$ और $B$ समान कोटि के विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrices) हैं,तो $(AB)^{\prime} =$ . . . . . . .

सिद्ध कीजिए कि आव्यूह $B^{\prime}AB$ सममित या विषम-सममित है,यदि $A$ क्रमशः सममित या विषम-सममित है।

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