Complementary Events and Simple Problems Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि $S$ और $R$ क्रमशः वे घटनाएँ हैं जिनमें संगीता मैच जीतती है और रेश्मा मैच जीतती है।
संगीता के मैच जीतने की प्रायिकता $P(S) = 0.62$ है (दिया गया है)।
चूंकि घटनाएँ $S$ और $R$ पूरक घटनाएँ हैं,इसलिए रेश्मा के मैच जीतने की प्रायिकता $P(R) = 1 - P(S)$ होगी।
अतः,$P(R) = 1 - 0.62 = 0.38$।

(A) दो मित्रों में से,एक लड़की,मान लीजिए सविता का जन्मदिन वर्ष के किसी भी दिन हो सकता है। अब,हमीदा का जन्मदिन भी वर्ष के $365$ दिनों में से किसी भी दिन हो सकता है।
हम मानते हैं कि ये $365$ परिणाम समप्रायिक हैं।
$(i)$ यदि हमीदा का जन्मदिन सविता के जन्मदिन से अलग है,तो उसके जन्मदिन के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $365 - 1 = 364$ है।
अतः,$P(\text{हमीदा का जन्मदिन सविता के जन्मदिन से अलग हो}) = \frac{364}{365}$।
$(ii)$ $P(\text{सविता और हमीदा का जन्मदिन एक ही हो})$
$= 1 - P(\text{दोनों का जन्मदिन अलग-अलग हो})$
$= 1 - \frac{364}{365} \quad [P(\overline{E}) = 1 - P(E) \text{ का उपयोग करते हुए}]$
$= \frac{1}{365}$।

(A) $(i)$ किसी घटना $E$ और उसकी पूरक घटना 'नहीं $E$' की प्रायिकताओं का योग सदैव $1$ होता है। अतः,$P(E) + P(\text{नहीं } E) = 1$.
$(ii)$ उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती,$0$ है। ऐसी घटना को असंभव घटना कहा जाता है।
$(iii)$ उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है,$1$ है। ऐसी घटना को निश्चित घटना कहा जाता है।

(A) हम जानते हैं कि किसी घटना की प्रायिकता और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग $1$ होता है।
$P(E) + P(\text{not } E) = 1$
दिया गया है कि $P(E) = 0.05$ है।
इसलिए,$P(\text{not } E) = 1 - P(E)$
$P(\text{not } E) = 1 - 0.05$
$P(\text{not } E) = 0.95$
अतः,'$E$ नहीं' की प्रायिकता $0.95$ है।

(C) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि $2$ छात्रों का जन्मदिन एक ही है।
मान लीजिए $\bar{E}$ वह घटना है कि $2$ छात्रों का जन्मदिन एक ही नहीं है।
यह दिया गया है कि $P(\bar{E}) = 0.992$ है।
हम जानते हैं कि पूरक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $P(E) + P(\bar{E}) = 1$ है।
अतः,$P(E) = 1 - P(\bar{E})$ है।
$P(E) = 1 - 0.992 = 0.008$।

(C) सिक्के को $3$ बार उछालने पर संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$(HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT)$
कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 8$ है।
हनीफ जीतता है यदि सभी उछालों में समान परिणाम मिलते हैं,जो $(HHH)$ या $(TTT)$ हैं।
जीतने के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $= 2$ है।
जीतने की प्रायिकता $P(\text{Win}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि किसी घटना और उसके पूरक की प्रायिकता का योग $1$ होता है,इसलिए हारने की प्रायिकता:
$P(\text{Lose}) = 1 - P(\text{Win}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।

(A) कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 6 \times 6 = 36$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E$ वह घटना है कि $5$ कम से कम एक बार आता है। वे परिणाम जिनमें $5$ आता है,वे हैं: $(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5)$।
घटना $E$ के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $= 11$ है।
$5$ के कम से कम एक बार आने की प्रायिकता $P(E) = \frac{11}{36}$ है।
$5$ के किसी भी बार न आने की प्रायिकता $P(\text{not } E) = 1 - P(E) = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$ होगी।
$(ii)$ $5$ के कम से कम एक बार आने की प्रायिकता $P(E) = \frac{11}{36}$ है।

(A) किसी घटना की प्रायिकता और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग सदैव $1$ होता है।
मान लीजिए $E$ एक घटना है और $E'$ उसकी पूरक घटना है।
अतः,$P(E) + P(E') = 1$ होता है।
दिया गया है कि घटना की प्रायिकता $p$ है,अर्थात $P(E) = p$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $p + P(E') = 1$।
इसलिए,उसकी पूरक घटना की प्रायिकता $P(E') = 1 - p$ होगी।

(C) ताश की एक मानक गड्डी में कुल $52$ पत्ते होते हैं।
इसमें पान का इक्का (ace of hearts) केवल $1$ ही होता है।
घटना $E$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि निकाला गया पत्ता पान का इक्का नहीं है।
$E$ के अनुकूल परिणामों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कुल पत्तों की संख्या में से पान के इक्के की संख्या को घटाते हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या = कुल पत्ते - पान के इक्के की संख्या
अनुकूल परिणामों की संख्या = $52 - 1 = 51$.

(B) नहीं,यह सही नहीं है।
जब एक निष्पक्ष पासा फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6$ होती है,जो ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ हैं।
$1$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(1) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{6}$ है।
'$1$ नहीं' प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\text{not } 1) = 1 - P(1) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
चूंकि $\frac{1}{6} \neq \frac{5}{6}$,इसलिए छात्र का यह दावा कि प्रत्येक प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है,गलत है।

(A) जब दो पासों को एक साथ फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ दोनों पासों पर समान संख्या प्राप्त करने की घटना है।
अनुकूल परिणाम $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 6$ है।
प्रायिकता $P(E_1) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ दोनों पासों पर अलग-अलग संख्या प्राप्त करने की घटना है।
यह घटना $E_1$ की पूरक घटना है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 36 - 6 = 30$ है।
प्रायिकता $P(E_2) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$ है।

(B) $52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से चुनने के प्रयोग में,कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $52$ है।
मान लीजिए घटना $D$ वह घटना है जिसमें चुना गया पत्ता राजा नहीं है।
मान लीजिए घटना $\bar{D}$ वह घटना है जिसमें चुना गया पत्ता राजा है।
घटना $\bar{D}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है,क्योंकि ताश की गड्डी में $4$ राजा होते हैं।
इसलिए,$P(\bar{D}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$।
पूरक घटना के नियम का उपयोग करते हुए,$P(D) = 1 - P(\bar{D})$।
इसलिए,$P(D) = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$।
अतः,इस बात की प्रायिकता कि चुना गया पत्ता राजा नहीं है,$\frac{12}{13}$ है।

(A) बक्से में गेंदों की कुल संख्या $= 5 + 8 + 4 = 17$.
इसलिए,बक्से से एक गेंद निकालने के प्रयोग में कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 17$.
माना घटना $C$ वह घटना है कि निकाली गई गेंद हरी नहीं है।
माना घटना $\overline{C}$ वह घटना है कि निकाली गई गेंद हरी है।
बक्से में $4$ हरी गेंदें हैं।
इसलिए,घटना $\overline{C}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 4$.
अतः,$P(\overline{C}) = \frac{4}{17}$.
पूरक घटनाओं के गुण का उपयोग करते हुए,$P(C) = 1 - P(\overline{C})$.
इसलिए,$P(C) = 1 - \frac{4}{17} = \frac{17 - 4}{17} = \frac{13}{17}$.

(D) गेंदों की कुल संख्या = $5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
सफेद गेंदों की संख्या = $5$.
सफेद न होने वाली गेंदों की संख्या = कुल गेंदें - सफेद गेंदें = $18 - 5 = 13$.
सफेद न होने वाली गेंद चुनने की प्रायिकता = $\frac{\text{सफेद न होने वाली गेंदों की संख्या}}{\text{गेंदों की कुल संख्या}} = \frac{13}{18}$.

(B) गेंदों की कुल संख्या = $5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
नीली गेंदों की संख्या = $2$.
नीली गेंद चुनने की प्रायिकता $P(\text{Blue}) = \frac{\text{नीली गेंदों की संख्या}}{\text{गेंदों की कुल संख्या}} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.
प्रायिकता कि गेंद नीली नहीं है,$P(\text{Not Blue}) = 1 - P(\text{Blue})$ द्वारा दी जाती है।
$P(\text{Not Blue}) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

(D) किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग सदैव $1$ होता है।
यहाँ $P(A) = 0.54$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $P(A) + P(\overline{A}) = 1$ होता है।
अतः,$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
$P(\overline{A}) = 1 - 0.54 = 0.46$।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी घटना $B$ के लिए,घटना की प्रायिकता और उसके पूरक की प्रायिकता का योग $1$ होता है।
$P(B) + P(\overline{B}) = 1$
दिया गया है कि $P(\overline{B}) = 0.81$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(B) + 0.81 = 1$
$P(B) = 1 - 0.81$
$P(B) = 0.19$

(B) किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग हमेशा $1$ होता है।
दिया गया है कि $P(C) = \frac{2}{5}$।
हम जानते हैं कि $P(C) + P(\bar{C}) = 1$।
अतः,$P(\bar{C}) = 1 - P(C)$।
$P(\bar{C}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{5 - 2}{5} = \frac{3}{5}$।

(C) किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग सदैव $1$ होता है।
अर्थात,$P(D) + P(\overline{D}) = 1$ होता है।
दिया गया है कि $P(\overline{D}) = \frac{6}{17}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$P(D) + \frac{6}{17} = 1$
$P(D) = 1 - \frac{6}{17}$
$P(D) = \frac{17 - 6}{17}$
$P(D) = \frac{11}{17}$

(B) हम जानते हैं कि किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग $1$ होता है,अर्थात $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.
दिए गए अनुपात $P(A) : P(\bar{A}) = 3 : 2$ के अनुसार,मान लीजिए $P(A) = 3x$ और $P(\bar{A}) = 2x$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $3x + 2x = 1$.
$5x = 1$,जिससे $x = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(A) = 3x = 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी घटना $A$ के लिए,घटना की प्रायिकता और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग $1$ होता है,अर्थात $P(A) + P(\overline{A}) = 1$।
दिए गए अनुपात $P(A) : P(\overline{A}) = 4 : 1$ से,हम मान सकते हैं कि $P(A) = 4x$ और $P(\overline{A}) = 1x$,जहाँ $x$ एक स्थिरांक है।
इन मानों को योग समीकरण में रखने पर: $4x + 1x = 1$।
$5x = 1$,जिससे हमें $x = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(\overline{A}) = 1x = 1 \times \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$।

(C) $52$ ताश के पत्तों की एक मानक गड्डी में $4$ सूट होते हैं,जिनमें से प्रत्येक में $13$ पत्ते होते हैं।
ईंट (Diamonds) के पत्तों की संख्या $13$ है।
ईंट न होने वाले पत्तों की संख्या $52 - 13 = 39$ है।
किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात होती है।
$\text{प्रायिकता (ईंट नहीं)} = \frac{\text{ईंट न होने वाले पत्तों की संख्या}}{\text{कुल पत्तों की संख्या}} = \frac{39}{52}$.
अंश और हर को $13$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{39 \div 13}{52 \div 13} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) $52$ ताश के पत्तों की एक मानक गड्डी में $4$ इक्के होते हैं।
इसलिए,इक्का न होने वाले पत्तों की संख्या $52 - 4 = 48$ है।
इक्का न होने वाले पत्ते को निकालने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात है।
$\text{प्रायिकता} = \frac{\text{इक्का न होने वाले पत्तों की संख्या}}{\text{कुल पत्तों की संख्या}} = \frac{48}{52}$.
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{48 \div 4}{52 \div 4} = \frac{12}{13}$ प्राप्त होता है।

(B) थैले में गेंदों की कुल संख्या $= 6 + 5 + 4 = 15$.
$\therefore$ कुल संभावित परिणामों की संख्या $= n = 15$.
निकाली गई गेंद के लाल न होने की घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या $= m = 6 \text{ (हरे)} + 4 \text{ (नीले)} = 10$.
$\therefore$ अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{m}{n} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.

(C) किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकताओं का योग सदैव $1$ होता है।
दिया गया है कि $P(A) = 0.6$ है।
हम जानते हैं कि $P(A) + P(\bar{A}) = 1$ होता है।
अतः,$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ होगा।
$P(\bar{A}) = 1 - 0.6 = 0.4$।

(C) किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग हमेशा $1$ होता है।
दिया गया है कि $P(\bar{B}) = 0.55$ है।
हम जानते हैं कि $P(B) + P(\bar{B}) = 1$ होता है।
अतः,$P(B) = 1 - P(\bar{B})$ होगा।
मान रखने पर: $P(B) = 1 - 0.55 = 0.45$।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया अनुपात $P(A) : P(\bar{A}) = 3 : 4$ है।
माना $P(A) = 3x$ और $P(\bar{A}) = 4x$,जहाँ $x$ एक स्थिरांक है।
हम जानते हैं कि किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग हमेशा $1$ होता है,अर्थात $P(A) + P(\bar{A}) = 1$।
मान रखने पर,हमें $3x + 4x = 1$ प्राप्त होता है।
$7x = 1$,जिसका अर्थ है कि $x = \frac{1}{7}$।
अतः,$P(A) = 3x = 3 \times \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी घटना $A$ के लिए,घटना की प्रायिकता और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग $P(A) + P(\bar{A}) = 1$ होता है।
दिए गए अनुपात $P(A) : P(\bar{A}) = 5 : 3$ से,हम मान सकते हैं कि $P(A) = 5k$ और $P(\bar{A}) = 3k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर: $5k + 3k = 1$।
$8k = 1$,जिसका अर्थ है कि $k = \frac{1}{8}$।
अतः,$P(\bar{A}) = 3k = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$।

(B) मान लीजिए घटना $A$ वह घटना है जिसमें दोनों पासों पर आने वाली संख्याएँ अलग-अलग हैं।
तब,पूरक घटना $\overline{A}$ वह घटना है जिसमें दोनों पासों पर आने वाली संख्याएँ समान हैं।
जब दो पासों को उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
घटना $\overline{A}$ के अनुकूल परिणाम $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ हैं।
अतः,$\overline{A}$ के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 6$ है।
घटना $\overline{A}$ की प्रायिकता $P(\overline{A}) = \frac{m}{n} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
चूँकि $P(A) + P(\overline{A}) = 1$,इसलिए संख्याएँ अलग-अलग होने की प्रायिकता $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।

(D) हम जानते हैं कि किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग $1$ होता है,अर्थात $P(A) + P(\bar{A}) = 1$।
हमें समीकरण दिया गया है: $P(A) - P(\bar{A}) = 0.5$।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(P(A) + P(\bar{A})) + (P(A) - P(\bar{A})) = 1 + 0.5$
$2P(A) = 1.5$
$2$ से भाग देने पर:
$P(A) = \frac{1.5}{2} = 0.75$।