Conservation of Linear Momentum Questions in Hindi

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,गोली चलाने से पहले निकाय का कुल संवेग,गोली चलाने के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग $(P_i)$ = $0$ (चूंकि दोनों स्थिर हैं)।
अंतिम संवेग $(P_f)$ = $m_b v_b + m_g v_g$,जहाँ $m_b = 40 \,g = 0.04 \,kg$,$v_b = 400 \,m/s$,$m_g = 10 \,kg$,और $v_g$ बंदूक का प्रतिक्षेप वेग है।
$P_i = P_f$
$0 = (0.04 \,kg \times 400 \,m/s) + (10 \,kg \times v_g)$
$0 = 16 + 10 v_g$
$10 v_g = -16$
$v_g = -1.6 \,m/s$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिक्षेप वेग गोली की गति की विपरीत दिशा में है।

(D) बम का कुल द्रव्यमान $M = 1 \,kg$ है। तीन टुकड़ों के द्रव्यमान का अनुपात $1: 1: 3$ है। अतः,द्रव्यमान $m_1 = 0.2 \,kg$,$m_2 = 0.2 \,kg$,और $m_3 = 0.6 \,kg$ हैं।
प्रारंभ में बम स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $P_i = 0$ है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए: $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$.
$0.2 \,kg$ द्रव्यमान के दो टुकड़े एक-दूसरे के लंबवत $v_1 = v_2 = 15 \,m / s$ की गति से चलते हैं। उनका संयुक्त संवेग $p_{12} = \sqrt{(m_1 v_1)^2 + (m_2 v_2)^2} = \sqrt{(0.2 \times 15)^2 + (0.2 \times 15)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3 \sqrt{2} \,kg \cdot m / s$ होगा।
कुल संवेग को शून्य रखने के लिए,तीसरे टुकड़े का संवेग $p_{12}$ के बराबर और विपरीत दिशा में होना चाहिए। अतः,$m_3 v_3 = 3 \sqrt{2}$.
$m_3 = 0.6 \,kg$ रखने पर,$0.6 \times v_3 = 3 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$v_3 = \frac{3 \sqrt{2}}{0.6} = 5 \sqrt{2} \,m / s$.

(B) चूंकि बम शुरू में विरामावस्था में है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग शून्य है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,तीनों टुकड़ों के संवेग का सदिश योग शून्य होना चाहिए: $\vec{p}_P + \vec{p}_Q + \vec{p}_R = 0$,जिसका अर्थ है $\vec{p}_R = -(\vec{p}_P + \vec{p}_Q)$।
प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान $m = 6 \,kg / 3 = 2 \,kg$ है।
टुकड़े $P$ का संवेग $p_P = m v_P = 2 \times 30 = 60 \,kg \cdot m/s$ है।
टुकड़े $Q$ का संवेग $p_Q = m v_Q = 2 \times 40 = 80 \,kg \cdot m/s$ है।
चूंकि $P$ और $Q$ एक-दूसरे के साथ $90^{\circ}$ पर हैं,इसलिए $P$ और $Q$ के परिणामी संवेग का परिमाण $p_{PQ} = \sqrt{p_P^2 + p_Q^2} = \sqrt{60^2 + 80^2} = 100 \,kg \cdot m/s$ है।
कुल संवेग को शून्य होने के लिए,$\vec{p}_R$ को $\vec{p}_{PQ}$ के बराबर और विपरीत होना चाहिए। अतः,$p_R = 100 \,kg \cdot m/s$।
मान लीजिए $\alpha$,$\vec{p}_R$ और $\vec{p}_P$ की विपरीत दिशा के बीच का कोण है। तो $\tan \alpha = p_Q / p_P = 80 / 60 = 4/3$,इसलिए $\alpha = 53^{\circ}$।
$P$ और $R$ की गति की दिशा के बीच का कोण $180^{\circ} - 53^{\circ} = 127^{\circ}$ होगा।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि प्रारंभिक कण स्थिर है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग $0$ है।
$0 = x v_1 - y v_2$ (विपरीत दिशाओं को धनात्मक और ऋणात्मक लेने पर)
$x v_1 = y v_2 \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{y}{x} \dots (1)$
कण की गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m v^2$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात है:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{1}{2} x v_1^2}{\frac{1}{2} y v_2^2} = \frac{x}{y} \left( \frac{v_1}{v_2} \right)^2$
समीकरण $(1)$ को इस व्यंजक में रखने पर:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{x}{y} \left( \frac{y}{x} \right)^2 = \frac{x}{y} \cdot \frac{y^2}{x^2} = \frac{y}{x}$
अतः,अनुपात $\frac{y}{x}$ है।

(D) उच्चतम बिंदु पर,प्रक्षेप्य का वेग $v_x = u \cos \theta$ और $v_y = 0$ होता है। कुल द्रव्यमान $M = m + m + 2m = 4m$ है।
चूंकि विस्फोट के दौरान कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं होता है,इसलिए $x$-अक्ष के अनुदिश रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
$x$-अक्ष के अनुदिश प्रारंभिक संवेग: $P_{ix} = (4m)(u \cos \theta)$।
विस्फोट के बाद:
- पहला भाग $(m)$ लंबवत नीचे गिरता है,इसलिए इसका क्षैतिज वेग $0$ है।
- दूसरा भाग $(m)$ प्रक्षेपण बिंदु पर वापस लौट आता है,जिसका अर्थ है कि इसका क्षैतिज वेग $-u \cos \theta$ होना चाहिए।
- मान लीजिए कि तीसरे भाग $(2m)$ का वेग $V$ है।
$x$-अक्ष के अनुदिश संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$4m(u \cos \theta) = m(0) + m(-u \cos \theta) + 2m(V)$
$4m u \cos \theta = -m u \cos \theta + 2m V$
$5m u \cos \theta = 2m V$
$V = \frac{5}{2} u \cos \theta$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बम का प्रारंभिक संवेग शून्य है क्योंकि यह स्थिर है।
मान लीजिए $m_1 = 3 \,kg$ और $m_2 = 6 \,kg$ है। $m_1$ का वेग $v_1 = 16 \,m/s$ है।
चूंकि $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$,इसलिए $3 \times 16 + 6 \times v_2 = 0$ होगा।
$48 + 6 v_2 = 0 \implies v_2 = -8 \,m/s$।
$6 \,kg$ द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} m_2 v_2^2$ है।
$K.E. = \frac{1}{2} \times 6 \times (-8)^2 = 3 \times 64 = 192 \,J$।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक संवेग कुल अंतिम संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभ में,राइफलमैन और गोलियां स्थिर हैं,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
मान लीजिए $M = 100\,kg$ राइफलमैन और राइफल का द्रव्यमान है,$n = 10$ गोलियों की संख्या है,$m = 10\,g = 0.01\,kg$ प्रत्येक गोली का द्रव्यमान है और $v_b = 800\,ms^{-1}$ प्रत्येक गोली का वेग है।
मान लीजिए $V$ राइफलमैन का प्रतिक्षेप वेग (recoil velocity) है।
निकाय का अंतिम संवेग $M \times V + n \times m \times v_b = 0$ है।
मान रखने पर: $100 \times V + 10 \times 0.01 \times 800 = 0$.
$100 \times V + 80 = 0$.
$100 \times V = -80$.
$V = -0.8\,ms^{-1}$.
राइफलमैन द्वारा प्राप्त वेग का परिमाण गोलियों की विपरीत दिशा में $0.8\,ms^{-1}$ है।

(D) सही उत्तर $D$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,तो कुल संवेग स्थिर रहता है।
प्रारंभ में,पिंड विराम अवस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $P_{i} = 0$ है।
विस्फोट के बाद,कुल अंतिम संवेग $P_{f}$ भी शून्य होना चाहिए:
$P_{f} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = 0$
यह दर्शाता है कि $m_{1}v_{1} = -m_{2}v_{2}$ है।
ऋणात्मक चिह्न यह इंगित करता है कि दोनों टुकड़े विपरीत दिशाओं में गति करते हैं।
चूंकि द्रव्यमान असमान हैं $(m_{1} \neq m_{2})$,इसलिए $m_{1}v_{1} = m_{2}v_{2}$ के समीकरण को संतुष्ट करने के लिए उनकी चाल भी असमान $(v_{1} \neq v_{2})$ होनी चाहिए।

(B) मान लीजिए व्यक्ति का द्रव्यमान $m_m = 100\,kg$ और प्लेटफॉर्म का द्रव्यमान $m_p = 200\,kg$ है।
चूंकि निकाय एक चिकनी बर्फ की सतह पर है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है।
अतः,द्रव्यमान केंद्र का वेग स्थिर रहता है। प्रारंभ में,निकाय स्थिर है,इसलिए $v_{com} = 0$ है।
मान लीजिए प्लेटफॉर्म का बर्फ (जमीन) के सापेक्ष पीछे की दिशा में वेग $v_p$ है।
मान लीजिए व्यक्ति का बर्फ (जमीन) के सापेक्ष आगे की दिशा में वेग $v_m$ है।
व्यक्ति का प्लेटफॉर्म के सापेक्ष वेग $v_{m/p} = 30\,m/s$ दिया गया है।
सापेक्ष वेग की परिभाषा के अनुसार,$v_{m/p} = v_m - (-v_p) = v_m + v_p$ है।
इसलिए,$v_m = 30 - v_p$ है।
संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,निकाय का कुल संवेग शून्य होना चाहिए:
$m_m v_m - m_p v_p = 0$
$100(30 - v_p) - 200 v_p = 0$
$3000 - 100 v_p - 200 v_p = 0$
$3000 = 300 v_p$
$v_p = 10\,m/s$ है।
इस प्रकार,प्लेटफॉर्म बर्फ के सापेक्ष $10\,m/s$ के वेग से पीछे की ओर हटेगा।

(C) न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,स्प्रिंग दोनों गाड़ियों पर समान समय अवधि के लिए समान और विपरीत बल लगाती है।
चूंकि निकाय विलगित है (कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है),निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में,गाड़ियाँ स्थिर हैं,इसलिए प्रारंभिक संवेग $P_i = 0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग $P_f$ भी शून्य होना चाहिए:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$
वेगों का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$m_1 v_1 = -m_2 v_2$
$\frac{v_1}{v_2} = -\frac{m_2}{m_1}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) सबसे पहले,$h = 20\,m$ की ऊँचाई से जमीन तक पहुँचने के लिए दोनों वस्तुओं द्वारा लिए गए समय की गणना $h = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करके करें:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = \sqrt{4} = 2\,s$.
मान लीजिए कि टक्कर के बाद गेंद का वेग $v_1$ और गोली का वेग $v_2$ है।
गेंद के लिए: $v_1 = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{30}{2} = 15\,m/s$.
गोली के लिए: $v_2 = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{120}{2} = 60\,m/s$.
क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$m_{bullet} u = m_{ball} v_1 + m_{bullet} v_2$
$(0.01) u = (0.2)(15) + (0.01)(60)$
$0.01 u = 3 + 0.6 = 3.6$
$u = \frac{3.6}{0.01} = 360\,m/s$.

(D) दिया गया है:
बंदूक का द्रव्यमान,$M = 10\,kg$
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान,$m = 20\,g = 0.02\,kg$
प्रति मिनट दागी गई गोलियों की संख्या,$n = 180$
प्रत्येक गोली का वेग,$v = 100\,m s^{-1}$
प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की दर,$n' = \frac{180}{60} = 3\,bullets/s$
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बंदूक और गोलियों का कुल संवेग शून्य होना चाहिए।
$M \times V + n' \times (m \times v) = 0$
$10 \times V + 3 \times (0.02 \times 100) = 0$
$10 \times V + 3 \times 2 = 0$
$10 \times V = -6$
$V = -0.6\,m/s$
प्रतिक्षेप वेग का परिमाण $0.6\,m/s$ है।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,तो निकाय का कुल संवेग स्थिर रहता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = m_1 \times v_1 = 1000 \text{ kg} \times 6 \text{ m/s} = 6000 \text{ kg m/s}$.
अंतिम द्रव्यमान $m_f = 1000 \text{ kg} + 200 \text{ kg} = 1200 \text{ kg}$.
माना अंतिम वेग $v_f$ है।
अंतिम संवेग $P_f = m_f \times v_f = 1200 \text{ kg} \times v_f$.
चूंकि $P_i = P_f$,इसलिए $6000 = 1200 \times v_f$.
$v_f = \frac{6000}{1200} = 5 \text{ m/s}$.

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,गोला दागने के तुरंत बाद तोप के संवेग $(p_1)$ और गोले के संवेग $(p_2)$ का परिमाण समान होना चाहिए,क्योंकि निकाय का प्रारंभिक संवेग शून्य था।
$|p_1| = |p_2| = p$
गतिज ऊर्जा $(KE)$ का संवेग $(p)$ और द्रव्यमान $(m)$ के साथ संबंध $KE = \frac{p^2}{2m}$ है।
चूंकि संवेग $p$ दोनों के लिए समान है,इसलिए $KE \propto \frac{1}{m}$ होगा।
अतः,तोप की गतिज ऊर्जा $(KE_1)$ और गोले की गतिज ऊर्जा $(KE_2)$ का अनुपात:
$\frac{KE_1}{KE_2} = \frac{p^2 / 2M_1}{p^2 / 2M_2} = \frac{M_2}{M_1}$.

(B) चूंकि कण शुरू में स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
इसलिए,दोनों भागों के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए: $|P_A| = |P_B|$,जिसका अर्थ है $m_A v_A = m_B v_B$।
कण की गतिज ऊर्जा $K = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_B}{K_A} = \frac{P_B^2 / 2m_B}{P_A^2 / 2m_A}$ है।
चूंकि $|P_A| = |P_B|$,यह सरल होकर $\frac{K_B}{K_A} = \frac{2m_A}{2m_B} = \frac{m_A}{m_B}$ हो जाता है।

(A) हम जानते हैं कि न्यूटन का दूसरा नियम एक जड़त्वीय फ्रेम में मान्य है और यह नियम बताता है कि,
यदि कणों के निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है तो रैखिक संवेग स्थिर रहता है।
$F_{\text{resultant}} = \frac{dP}{dt}$
अतः,चूंकि $F_{\text{resultant}} = 0$,हम कह सकते हैं कि निकाय का रैखिक संवेग समय के साथ नहीं बदलेगा।

(A) चूंकि बम शुरू में विराम अवस्था में है,इसलिए निकाय का प्रारंभिक संवेग शून्य है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान $m$ है। तीन टुकड़ों के वेग $\vec{v}_1 = (1\hat{i}+3\hat{j}) \ m/s$,$\vec{v}_2 = (2\hat{i}-4\hat{j}) \ m/s$,और $\vec{v}_3$ (अज्ञात) हैं।
संवेग संरक्षण का समीकरण है: $m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 + m\vec{v}_3 = 0$.
$m$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = 0$.
दिए गए मानों को रखने पर: $(1\hat{i}+3\hat{j}) + (2\hat{i}-4\hat{j}) + \vec{v}_3 = 0$.
$(3\hat{i}-1\hat{j}) + \vec{v}_3 = 0$.
अतः,$\vec{v}_3 = -(3\hat{i}-1\hat{j}) = (-3\hat{i}+1\hat{j}) \ m/s$.

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि पिंड प्रारंभ में स्थिर है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग शून्य है।
$P_{i} = 0$
विस्फोट के बाद,दोनों भाग विपरीत दिशाओं में गति करते हैं। मान लीजिए वेग $v_{1}$ और $v_{2}$ हैं।
$P_{f} = M_{1}v_{1} - M_{2}v_{2} = 0$
$M_{1}v_{1} = M_{2}v_{2}$
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{M_{2}}{M_{1}}$
पिंड की गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^{2}}{2M}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि संवेग के परिमाण समान हैं $(p_{1} = p_{2} = p)$,
$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{p^{2} / (2M_{1})}{p^{2} / (2M_{2})} = \frac{M_{2}}{M_{1}}$
अतः,उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{M_{2}}{M_{1}}$ है।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,तो कुल संवेग स्थिर रहता है।
निकाय का प्रारंभिक संवेग = गोली का संवेग + गुटके का संवेग = $mv + M(0) = mv$.
टक्कर के बाद,गोली गुटके के अंदर धंस जाती है,इसलिए वे $(m+M)$ द्रव्यमान के एक निकाय के रूप में अंतिम वेग $V$ के साथ गति करते हैं।
निकाय का अंतिम संवेग = $(m+M)V$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$mv = (m+M)V$
$V = \frac{mv}{m+M}$.

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि बम शुरू में विराम अवस्था में है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग शून्य है। अतः,कुल अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए तीसरे भाग का संवेग $\vec{p}_3$ है।
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$
$(-3 p \hat{i}) + (2 p \hat{j}) + \vec{p}_3 = 0$
$\vec{p}_3 = 3 p \hat{i} - 2 p \hat{j}$
तीसरे भाग के संवेग का परिमाण है:
$|\vec{p}_3| = \sqrt{(3p)^2 + (-2p)^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{9p^2 + 4p^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{13} p$

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल प्रारंभिक संवेग उसके कुल अंतिम संवेग के बराबर होना चाहिए,क्योंकि विस्फोट के दौरान पिंड पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है।
प्रारंभिक संवेग $P_{i} = MV$
अंतिम संवेग $P_{f} = \frac{M}{2}(0) + \frac{M}{2}(v_{0})$
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर:
$MV = 0 + \frac{M}{2}v_{0}$
$MV = \frac{M}{2}v_{0}$
$v_{0} = 2V$

(B) शेल शुरू में स्थिर है इसलिए इसका प्रारंभिक संवेग शून्य है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, तीनों टुकड़ों के संवेग का सदिश योग शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए टुकड़ों का द्रव्यमान $m_1 = M/4$, $m_2 = M/4$, और $m_3 = M - (M/4 + M/4) = M/2$ है।
पहले दो टुकड़ों के संवेग $p_1 = m_1 v_1 = (M/4) \times 3 = 3M/4$ और $p_2 = m_2 v_2 = (M/4) \times 4 = 4M/4 = M$ हैं।
चूंकि ये टुकड़े परस्पर लंबवत दिशाओं में गति करते हैं, इसलिए उनका परिणामी संवेग $p_{12} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{(3M/4)^2 + (M)^2} = \sqrt{9M^2/16 + 16M^2/16} = \sqrt{25M^2/16} = 5M/4$ है।
तीसरे टुकड़े का संवेग $p_3$ ऐसा होना चाहिए कि $p_3 = -p_{12}$, इसलिए इसका परिमाण $p_3 = 5M/4$ है।
$p_3 = m_3 v_3$ का उपयोग करते हुए, हमें $(M/2) \times v_3 = 5M/4$ प्राप्त होता है।
$v_3$ के लिए हल करने पर, $v_3 = (5M/4) \times (2/M) = 2.5 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।

(A) शेल का कुल द्रव्यमान $M = 20 \,kg$ है।
द्रव्यमानों का अनुपात $m_1 : m_2 = 2 : 3$ दिया गया है।
अतः,$m_1 = (2/5) \times 20 = 8 \,kg$ और $m_2 = (3/5) \times 20 = 12 \,kg$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$।
छोटे टुकड़े का वेग $v_1 = 6 \,ms^{-1}$ लेने पर,$8 \times 6 + 12 \times v_2 = 0$ प्राप्त होता है।
$48 + 12 v_2 = 0 \implies v_2 = -4 \,ms^{-1}$।
बड़े टुकड़े के वेग का परिमाण $4 \,ms^{-1}$ है।
बड़े टुकड़े की गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} \times 12 \times (4)^2 = 6 \times 16 = 96 \,J$ है।

(A) $\text{रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार}$, विराम अवस्था में बम का कुल प्रारंभिक संवेग $0$ है।
चूंकि बम दो टुकड़ों में विस्फोटित होता है, इसलिए अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
अतः, $4 \,kg$ के टुकड़े के संवेग $(p_1)$ का परिमाण $8 \,kg$ के टुकड़े के संवेग $(p_2)$ के परिमाण के बराबर होना चाहिए।
दिया गया है $p_1 = 20 \,Ns$, इसलिए $p_2 = 20 \,Ns$।
किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{p^2}{2m}$ होता है।
$8 \,kg$ के टुकड़े के लिए, $K_2 = \frac{p_2^2}{2m_2} = \frac{20^2}{2 \times 8} = \frac{400}{16} = 25 \,J$।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,गोली दागने के बाद बंदूक का संवेग $(p_g)$ और गोली का संवेग $(p_b)$ परिमाण में समान होना चाहिए,अर्थात $p_g = p_b = p$।
$m$ द्रव्यमान वाली वस्तु की $p$ संवेग के साथ गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ संबंध द्वारा दी जाती है।
चूंकि संवेग $p$ दोनों के लिए समान है,इसलिए $K \propto \frac{1}{m}$ होगा।
चूंकि बंदूक का द्रव्यमान $(M)$ गोली के द्रव्यमान $(m)$ से बहुत अधिक होता है,इसलिए बंदूक की गतिज ऊर्जा $(K_g = \frac{p^2}{2M})$ गोली की गतिज ऊर्जा $(K_b = \frac{p^2}{2m})$ से काफी कम होगी।
अतः,बंदूक की गतिज ऊर्जा $K$ से कम होगी।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले का कुल संवेग विस्फोट के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = M \vec{v} = 10 \ kg \times 5 \hat{i} \ m \ s^{-1} = 50 \hat{i} \ kg \ m \ s^{-1}$ है।
माना कि पहले टुकड़े का द्रव्यमान $m_1 = 4 \ kg$ है और उसका वेग $\vec{v}_1 = 10 \hat{i} \ m \ s^{-1}$ है।
दूसरे टुकड़े का द्रव्यमान $m_2 = M - m_1 = 10 \ kg - 4 \ kg = 6 \ kg$ है।
माना कि दूसरे टुकड़े का वेग $\vec{v}_2$ है।
अंतिम संवेग $P_f = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = 4 \times 10 \hat{i} + 6 \times \vec{v}_2 = 40 \hat{i} + 6 \vec{v}_2$ है।
$P_i = P_f$ को बराबर करने पर:
$50 \hat{i} = 40 \hat{i} + 6 \vec{v}_2$.
$6 \vec{v}_2 = 10 \hat{i}$.
$\vec{v}_2 = \frac{10}{6} \hat{i} = 1.67 \hat{i} \ m \ s^{-1}$।

(B) माना प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान $m$ है। चूंकि बम शुरू में विराम अवस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
माना तीनों टुकड़ों के वेग $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ और $\vec{v}_3$ हैं।
दिया गया है कि $\vec{v}_1 = v \hat{i}$ और $\vec{v}_2 = v \hat{j}$।
संवेग संरक्षण का समीकरण है: $m \vec{v}_1 + m \vec{v}_2 + m \vec{v}_3 = 0$।
$m$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = 0$।
मान रखने पर: $v \hat{i} + v \hat{j} + \vec{v}_3 = 0$।
अतः,$\vec{v}_3 = -v \hat{i} - v \hat{j}$।
तीसरे टुकड़े की चाल $\vec{v}_3$ का परिमाण है:
$|v_3| = \sqrt{(-v)^2 + (-v)^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2v^2} = v \sqrt{2}$।

(A) दिया गया है कि,शेल का द्रव्यमान $= m$ है।
शेल का प्रारंभिक वेग $= v$ है।
पहले टुकड़े का द्रव्यमान,$m_1 = \frac{m}{6}$ है।
दूसरे टुकड़े का द्रव्यमान,$m_2 = m - \frac{m}{6} = \frac{5m}{6}$ है।
पहले टुकड़े का वेग,$v_1 = 0$ है (क्योंकि यह स्थिर रहता है)।
माना कि दूसरे टुकड़े का वेग $v_2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक संवेग = कुल अंतिम संवेग:
$m v = m_1 v_1 + m_2 v_2$।
समीकरण में ज्ञात मान रखने पर:
$m v = \left(\frac{m}{6}\right) \times 0 + \left(\frac{5m}{6}\right) \times v_2$।
$m v = \frac{5m}{6} v_2$।
$v_2$ के लिए हल करने पर:
$v_2 = \frac{m v \times 6}{5m} = \frac{6v}{5}$।
अतः,दूसरे टुकड़े का वेग मूल गति की दिशा में $\frac{6v}{5}$ है।

(B) दिया गया है कि,गोली का द्रव्यमान $= m$ है।
राइफल का द्रव्यमान $= M$ है।
गोली का वेग $= v$ है।
मान लीजिए राइफल का वेग $v_r$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक संवेग कुल अंतिम संवेग के बराबर होता है।
चूंकि निकाय (गोली + राइफल) शुरू में स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
अतः,$m v + M v_r = 0$।
$v_r$ के लिए समीकरण को हल करने पर:
$M v_r = -m v$
$v_r = -\frac{m}{M} v$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि राइफल का प्रतिक्षेप वेग (recoil velocity) गोली के वेग की विपरीत दिशा में है।

(C) माना पिंड का द्रव्यमान $2m$ है। यह $m$ द्रव्यमान के दो समान टुकड़ों में विस्फोटित होता है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, प्रारंभिक संवेग शून्य है, इसलिए अंतिम संवेग समान और विपरीत होने चाहिए। यदि एक टुकड़े का वेग $\vec{v}_1 = -10 \hat{i} - gt \hat{j}$ है, तो दूसरे का वेग $\vec{v}_2 = 10 \hat{i} - gt \hat{j}$ होना चाहिए।
समय $t$ पर विस्फोट के बिंदु के सापेक्ष टुकड़ों के स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = -10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}$ और $\vec{r}_2 = 10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}$ हैं।
स्थिति सदिशों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है, इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2 = 0$
$(-10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}) \cdot (10t \hat{i} - \frac{1}{2}gt^2 \hat{j}) = 0$
$-100t^2 + \frac{1}{4}g^2t^4 = 0$
चूंकि $t \neq 0$, $t^2$ से भाग देने पर:
$-100 + \frac{1}{4}g^2t^2 = 0$
$\frac{1}{4}g^2t^2 = 100$
$g^2t^2 = 400$
$g = 10 \,ms^{-2}$ लेने पर:
$100t^2 = 400$
$t^2 = 4$
$t = 2 \,s$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले और बाद में निकाय का कुल संवेग शून्य होना चाहिए,क्योंकि बम शुरू में विराम अवस्था में था।
मान लीजिए कि तीसरे भाग का संवेग $\vec{p}_3$ है।
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$
दिया गया है कि $\vec{p}_1 = -2p \hat{i}$ और $\vec{p}_2 = p \hat{j}$ है।
$-2p \hat{i} + p \hat{j} + \vec{p}_3 = 0$
$\vec{p}_3 = 2p \hat{i} - p \hat{j}$
तीसरे भाग के संवेग का परिमाण इस प्रकार है:
$|\vec{p}_3| = \sqrt{(2p)^2 + (-p)^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{4p^2 + p^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{5p^2} = \sqrt{5} p$

(C) दिया गया है,बम का द्रव्यमान,$M = 9 \text{ kg}$।
प्रारंभ में,बम स्थिर है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0 \text{ m/s}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक संवेग कुल अंतिम संवेग के बराबर होना चाहिए:
$M \times u = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$9 \times 0 = 3 \times 16 + 6 \times v_2$
$0 = 48 + 6 v_2$
$6 v_2 = -48$
$v_2 = -8 \text{ m/s}$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि $6 \text{ kg}$ का टुकड़ा $3 \text{ kg}$ के टुकड़े की विपरीत दिशा में गति करता है।
अब,$6 \text{ kg}$ द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा $K$ इस प्रकार है:
$K = \frac{1}{2} m_2 v_2^2$
$K = \frac{1}{2} \times 6 \times (-8)^2$
$K = 3 \times 64 = 192 \text{ J}$।

$(A)$ दिया गया है: $m_1 = 1 \,kg, m_2 = 2 \,kg$, $v_1 = 12 \,ms^{-1}, v_2 = 8 \,ms^{-1}$, और $v_3 = 4 \,ms^{-1}$।
चूंकि चट्टान शुरू में स्थिर है, प्रारंभिक संवेग शून्य है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए:
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0 \Rightarrow \vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2)$।
तीसरे भाग के संवेग का परिमाण इस प्रकार है:
$p_3 = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + 2p_1 p_2 \cos 90^{\circ}} = \sqrt{(m_1 v_1)^2 + (m_2 v_2)^2}$।
मान रखने पर:
$p_3 = \sqrt{(1 \times 12)^2 + (2 \times 8)^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \,kg \cdot ms^{-1}$।
चूंकि $p_3 = m_3 v_3$, इसलिए $m_3 \times 4 = 20$, जिससे $m_3 = 5 \,kg$ प्राप्त होता है।
चट्टान का कुल द्रव्यमान $m = m_1 + m_2 + m_3 = 1 + 2 + 5 = 8 \,kg$ है।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(D) मान लीजिए गोले का द्रव्यमान $2m$ है। अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है और क्षैतिज वेग $u \cos \theta$ होता है।
अतः,विस्फोट से ठीक पहले गोले का संवेग $P = (2m)(u \cos \theta)$ है।
विस्फोट के बाद,गोला प्रत्येक $m$ द्रव्यमान के दो समान भागों में टूट जाता है।
एक भाग अपने पथ पर वापस लौटता है,जिसका अर्थ है कि उसका वेग $v_1 = -u \cos \theta$ है।
मान लीजिए दूसरे भाग का वेग $v_2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$2m u \cos \theta = m v_1 + m v_2$
$2m u \cos \theta = m(-u \cos \theta) + m v_2$
$2m u \cos \theta = -m u \cos \theta + m v_2$
$m v_2 = 3m u \cos \theta \Rightarrow v_2 = 3u \cos \theta$।
पहले भाग की गतिज ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m (-u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 \theta$ है।
दूसरे भाग की गतिज ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (3u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2} m (9 u^2 \cos^2 \theta) = 9 \left( \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 \theta \right)$ है।
इसलिए,$E_2 = 9 E_1$।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि $2M$ द्रव्यमान के टुकड़े का वेग $\vec{v} = u_x \hat{i} + u_y \hat{j}$ है।
$X$-अक्ष के अनुदिश संवेग: $M(4) + M(0) + 2M(u_x) = 0 \Rightarrow 2M u_x = -4M \Rightarrow u_x = -2 \ m s^{-1}$.
$Y$-अक्ष के अनुदिश संवेग: $M(0) + M(6) + 2M(u_y) = 0 \Rightarrow 2M u_y = -6M \Rightarrow u_y = -3 \ m s^{-1}$.
वेग का परिमाण $u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$u = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \ m s^{-1}$.

(A) मान लीजिए कि बम का कुल द्रव्यमान $M = 5m$ है। छोटे टुकड़े का द्रव्यमान $m_1 = m$ और बड़े टुकड़े का द्रव्यमान $m_2 = 4m$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग:
$M \vec{v} = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2$
$5m(40 \hat{i} + 50 \hat{j} - 25 \hat{k}) = m(200 \hat{i} + 70 \hat{j} + 15 \hat{k}) + 4m \vec{v}_2$
$m$ से विभाजित करने पर:
$5(40 \hat{i} + 50 \hat{j} - 25 \hat{k}) = (200 \hat{i} + 70 \hat{j} + 15 \hat{k}) + 4 \vec{v}_2$
$(200 \hat{i} + 250 \hat{j} - 125 \hat{k}) - (200 \hat{i} + 70 \hat{j} + 15 \hat{k}) = 4 \vec{v}_2$
$0 \hat{i} + 180 \hat{j} - 140 \hat{k} = 4 \vec{v}_2$
$\vec{v}_2 = \frac{180 \hat{j} - 140 \hat{k}}{4} = 45 \hat{j} - 35 \hat{k} \text{ m/s}$.

(A) मान लीजिए कि पानी के सापेक्ष नाव का वेग $v_b$ है और पानी के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $v_m$ है।
दिया गया है कि नाव के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $v_{mb} = 2 \,ms^{-1}$ है।
परिभाषा के अनुसार, $v_{mb} = v_m - v_b$, इसलिए $v_m = v_b + 2$.
चूंकि निकाय (व्यक्ति + नाव) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए निकाय का रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = 0$.
अंतिम संवेग $P_f = m_{boat} v_b + m_{man} v_m = 200 v_b + 50(v_b + 2)$.
$P_i = P_f$ को बराबर करने पर:
$200 v_b + 50 v_b + 100 = 0$
$250 v_b = -100$
$v_b = -\frac{100}{250} = -0.4 \,ms^{-1}$.
नाव के वेग का परिमाण $0.4 \,ms^{-1}$ है (व्यक्ति की गति की विपरीत दिशा में)।

(C) माना पिंड का द्रव्यमान $2m$ है। विस्फोट के बाद,यह $m$ द्रव्यमान के दो टुकड़ों में विभाजित हो जाता है।
प्रारंभिक संवेग शून्य होने के कारण,अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए। यदि एक टुकड़े का वेग $\vec{v}_1 = 10\sqrt{3} \hat{i}$ है,तो दूसरे का वेग $\vec{v}_2 = -10\sqrt{3} \hat{i}$ होगा।
समय $t$ पर,टुकड़ों की स्थिति $\vec{r}_1 = (10\sqrt{3}t) \hat{i} - (\frac{1}{2}gt^2) \hat{j}$ और $\vec{r}_2 = (-10\sqrt{3}t) \hat{i} - (\frac{1}{2}gt^2) \hat{j}$ है।
विस्थापन सदिशों $\vec{r}_1$ और $\vec{r}_2$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\cos(60^{\circ}) = \frac{\vec{r}_1 \cdot \vec{r}_2}{|\vec{r}_1| |\vec{r}_2|}$।
गणना करने पर,$\frac{1}{2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2 + y^2}$ जहाँ $x = 10\sqrt{3}t$ और $y = 5t^2$ है।
इससे $y = \sqrt{3}x$ प्राप्त होता है। $5t^2 = \sqrt{3}(10\sqrt{3}t) = 30t$ से $t = 6 \text{ s}$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज दूरी $|x_1 - x_2| = 20\sqrt{3}t = 20\sqrt{3}(6) = 120\sqrt{3} \text{ m}$ है।

(A) माना पिंड का वेग $v$ है और व्यक्ति का वेग $v'$ है।
चूंकि सतह चिकनी है,कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में दोनों स्थिर हैं,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग $0$ है।
$10 \ s$ के बाद,उनके बीच की दूरी $10 \ m$ है। वे विपरीत दिशाओं में गति करते हैं,इसलिए सापेक्ष वेग $v_{rel} = |v| + |v'| = \frac{10 \ m}{10 \ s} = 1 \ m/s$ है।
संवेग संरक्षण के नियम से: $Mv' + mv = 0$,जिसका अर्थ है $v = -\frac{M}{m}v' = -\frac{90}{10}v' = -9v'$.
इसे सापेक्ष वेग के समीकरण में रखने पर: $|-9v'| + |v'| = 1 \implies 10|v'| = 1 \implies |v'| = 0.1 \ m/s$.
व्यक्ति की गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2} M (v')^2 = \frac{1}{2} \times 90 \times (0.1)^2 = 45 \times 0.01 = 0.45 \ J$ है। यदि हम $v' = 1/9 \ m/s$ का उपयोग करें,तो $KE = 0.5 \times 90 \times (1/81) = 45/81 = 5/9 \approx 0.555 \ J$ प्राप्त होता है।

(A) कुल द्रव्यमान $M = 1 \,kg$ है। द्रव्यमान का अनुपात $1:1:3$ है, इसलिए द्रव्यमान $m_1 = \frac{1}{5} \,kg$, $m_2 = \frac{1}{5} \,kg$, और $m_3 = \frac{3}{5} \,kg$ हैं।
चूंकि पिंड प्रारंभ में स्थिर है, प्रारंभिक संवेग $0$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
मान लीजिए कि दो समान द्रव्यमान $x$ और $y$ अक्षों के अनुदिश गति करते हैं। उनके संवेग सदिश $\vec{p}_1 = m_1 v_1 \hat{i} = (\frac{1}{5} \times 30) \hat{i} = 6 \hat{i} \,kg \cdot m/s$ और $\vec{p}_2 = m_2 v_2 \hat{j} = (\frac{1}{5} \times 30) \hat{j} = 6 \hat{j} \,kg \cdot m/s$ हैं।
इन दो भागों का परिणामी संवेग $\vec{p}_{12} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 6 \hat{i} + 6 \hat{j}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{p}_{12}| = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6 \sqrt{2} \,kg \cdot m/s$ है।
कुल संवेग शून्य होने के लिए, तीसरे भाग का संवेग $\vec{p}_3$ को $\vec{p}_{12} + \vec{p}_3 = 0$ को संतुष्ट करना चाहिए, इसलिए $\vec{p}_3 = -\vec{p}_{12}$।
इसका परिमाण $|\vec{p}_3| = m_3 v_3 = \frac{3}{5} v_3 = 6 \sqrt{2}$ है।
$v_3$ के लिए हल करने पर: $v_3 = \frac{6 \sqrt{2} \times 5}{3} = 10 \sqrt{2} \,m/s$।

(C) मान लीजिए कि तीसरा द्रव्यमान कण $(2m)$ $X$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर $u$ वेग से चलता है।
$2m$ द्रव्यमान वाले कण के वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta$ है और ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta$ है।
चूंकि प्रारंभिक कण स्थिर था,इसलिए निकाय का कुल रैखिक संवेग शून्य होना चाहिए।
$X$-दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$0 = m(4) + 2m(u \cos \theta)$
$4m = -2m(u \cos \theta)$
$u \cos \theta = -2 \quad \dots (i)$
$Y$-दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$0 = m(6) + 2m(u \sin \theta)$
$6m = -2m(u \sin \theta)$
$u \sin \theta = -3 \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके उन्हें जोड़ने पर:
$(u \cos \theta)^2 + (u \sin \theta)^2 = (-2)^2 + (-3)^2$
$u^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 4 + 9$
$u^2 = 13$
$u = \sqrt{13} \text{ ms}^{-1}$

(A) माना पानी के सापेक्ष नाव का वेग $v_b$ है और पानी के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $v_m$ है।
दिया गया है कि नाव के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $v_{m/b} = 2 \,ms^{-1}$ है।
सापेक्ष वेग की परिभाषा के अनुसार, $v_{m/b} = v_m - v_b$, इसलिए $v_m = v_b + 2$.
चूंकि निकाय (व्यक्ति + नाव) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं लग रहा है, इसलिए निकाय का संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = 0$.
अंतिम संवेग $P_f = m_{boat} v_b + m_{man} v_m = 0$.
मान रखने पर: $200 v_b + 50(v_b + 2) = 0$.
$200 v_b + 50 v_b + 100 = 0$.
$250 v_b = -100$.
$v_b = -100 / 250 = -0.4 \,ms^{-1}$.
वेग का परिमाण $0.4 \,ms^{-1}$ या $2/5 \,ms^{-1}$ है।

(C) वस्तु का प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = u \cos \theta$ है। दिया गया है $\sin \theta = 3/5$, इसलिए $\cos \theta = 4/5$। अतः, $u_x = 100 \times (4/5) = 80 \ m/s$।
उच्चतम बिंदु पर, ऊर्ध्वाधर वेग $0$ है और क्षैतिज वेग $80 \ m/s$ है। उच्चतम बिंदु पर निकाय का संवेग $P = (2m) \times 80 = 160m$ है।
विस्फोट के बाद, पहला टुकड़ा $(m)$ स्थिर हो जाता है, इसलिए उसका वेग $0$ है। मान लीजिए कि दूसरे टुकड़े $(m)$ का वेग $v$ है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $160m = m(0) + m(v)$, जिससे $v = 160 \ m/s$ प्राप्त होता है।
उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लगा समय $t = (u \sin \theta) / g = (100 \times 3/5) / 10 = 6 \ s$ है। उच्चतम बिंदु तक पहुँचने के लिए तय की गई क्षैतिज दूरी $x_1 = u_x \times t = 80 \times 6 = 480 \ m$ है।
दूसरा टुकड़ा उच्चतम बिंदु से जमीन तक $t = 6 \ s$ समय में $160 \ m/s$ के निरंतर क्षैतिज वेग के साथ यात्रा करता है। तय की गई अतिरिक्त क्षैतिज दूरी $x_2 = v \times t = 160 \times 6 = 960 \ m$ है।
प्रक्षेपण बिंदु से कुल दूरी $x_1 + x_2 = 480 + 960 = 1440 \ m$ है।