Electric potential Questions in Gujarati

(A) સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_S = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$q = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ મૂકતા,આપણને $V_S = \frac{\rho R^2}{3 \epsilon_0}$ મળે છે.
ગોળાના કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_C = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$q = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ મૂકતા,આપણને $V_C = \frac{\rho R^2}{2 \epsilon_0}$ મળે છે.
કેન્દ્ર અને સપાટી વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_C - V_S$ છે.
$\Delta V = \frac{\rho R^2}{2 \epsilon_0} - \frac{\rho R^2}{3 \epsilon_0} = \frac{3 \rho R^2 - 2 \rho R^2}{6 \epsilon_0} = \frac{\rho R^2}{6 \epsilon_0}$.

(A) ધારો કે $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા આંતરિક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $q_1$ છે અને $b$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બાહ્ય કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $q_2$ છે.
આંતરિક ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન બંને ગોળાઓને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનના સરવાળા જેટલું હોય છે: $V_a = \frac{kq_1}{a} + \frac{kq_2}{b} = 10 \text{ V}$.
બાહ્ય કવચની સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન: $V_b = \frac{kq_1}{b} + \frac{kq_2}{b} = \frac{k(q_1 + q_2)}{b} = 5 \text{ V}$.
ગોળાઓના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન એ બંને ગોળાઓને કારણે તે બિંદુએ ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે. ગોળાકાર કવચની અંદરનું સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે,તેથી કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન: $V_c = \frac{kq_1}{a} + \frac{kq_2}{b}$ થાય.
આ સમીકરણની $V_a$ ના સમીકરણ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V_c = V_a = 10 \text{ V}$ થાય.

(C) કવચ પરના વિદ્યુતભારો $q = \text{પૃષ્ઠ ઘનતા} \times \text{ક્ષેત્રફળ}$ દ્વારા મળે છે.
કવચ $A$ (ત્રિજ્યા $a$) માટે: $q_A = -\sigma(4\pi a^2)$.
કવચ $B$ (ત્રિજ્યા $b$) માટે: $q_B = +\sigma(4\pi b^2)$.
કવચ $C$ (ત્રિજ્યા $c$) માટે: $q_C = -\sigma(4\pi c^2)$.
કવચ $A$ ની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન એ ત્રણેય કવચને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_A = V_{A,A} + V_{A,B} + V_{A,C} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} [\frac{q_A}{a} + \frac{q_B}{b} + \frac{q_C}{c}]$.
કિંમતો મૂકતા:
$V_A = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} [\frac{-\sigma(4\pi a^2)}{a} + \frac{\sigma(4\pi b^2)}{b} + \frac{-\sigma(4\pi c^2)}{c}]$.
$V_A = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} [-\sigma(4\pi a) + \sigma(4\pi b) - \sigma(4\pi c)]$.
$V_A = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} [-a + b - c] = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} [b - a - c]$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત નક્કર ગોળાના કેન્દ્ર પરનું સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_c = \frac{3}{2} \frac{kQ}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળાની બહાર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે (જ્યાં $x > R$),સ્થિતિમાન $V(x) = \frac{kQ}{x}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ અંતરે સ્થિતિમાન એ કેન્દ્ર પરના સ્થિતિમાન કરતા અડધું છે:
$V(x) = \frac{1}{2} V_c$
$\frac{kQ}{x} = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \frac{kQ}{R} \right)$
$\frac{1}{x} = \frac{3}{4R}$
$x = \frac{4R}{3}$.
ગોળાની સપાટીથી અંતર $d = x - R = \frac{4R}{3} - R = \frac{R}{3}$ થાય.

(B) બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી $q$ વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને રીંગોને કારણે પ્રથમ રીંગના કેન્દ્ર $A$ પરનું સ્થિતિમાન:
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_1}{R} + \frac{Q_2}{\sqrt{R^2 + R^2}} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_1}{R} + \frac{Q_2}{\sqrt{2}R} \right)$.
બંને રીંગોને કારણે બીજી રીંગના કેન્દ્ર $B$ પરનું સ્થિતિમાન:
$V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_2}{R} + \frac{Q_1}{\sqrt{R^2 + R^2}} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_2}{R} + \frac{Q_1}{\sqrt{2}R} \right)$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$:
$W = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \left( \frac{Q_2}{R} + \frac{Q_1}{\sqrt{2}R} \right) - \left( \frac{Q_1}{R} + \frac{Q_2}{\sqrt{2}R} \right) \right]$.
$W = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R} \left[ (Q_2 - Q_1) + \frac{Q_1 - Q_2}{\sqrt{2}} \right]$.
$W = \frac{q(Q_2 - Q_1)}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{q(Q_2 - Q_1)}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} \right)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ગોળાની સપાટી પર ગોળીની સ્થિતિ ઉર્જા $U_s = qV_s = q \left( \frac{kq}{R} \right) = \frac{kq^2}{R}$ છે.
ગોળાના કેન્દ્ર પર ગોળીની સ્થિતિ ઉર્જા $U_c = qV_c = q \left( \frac{3kq}{2R} \right) = \frac{3kq^2}{2R}$ છે.
ગોળી ગોળામાંથી પસાર થઈ શકે તે માટે,સપાટી પર તેની ગતિ ઉર્જા સપાટીથી કેન્દ્ર સુધી જતી વખતે થતા સ્થિતિ ઉર્જાના ફેરફાર જેટલી હોવી જોઈએ.
$\frac{1}{2}mu^2 = U_c - U_s$
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{3kq^2}{2R} - \frac{kq^2}{R} = \frac{kq^2}{2R}$
$u^2 = \frac{kq^2}{mR}$
$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $u^2 = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 mR}$ મળે છે.
તેથી,$u = \frac{q}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0 mR}}$.

(A) ધારો કે રીંગની ત્રિજ્યા $R$ છે. આકૃતિ પરથી,$+Q$ થી $P$ નું અંતર $4a$ છે. તેથી,$V = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0(4a)}$.
મણકાએ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે બિંદુ $B$ (જે $+Q$ ની સૌથી નજીકનું બિંદુ છે) સુધી પહોંચવું આવશ્યક છે. $+Q$ થી $B$ નું અંતર $a$ છે. $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 a} = 4V$ છે.
બિંદુ $P$ અને બિંદુ $B$ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$U_P + K_P = U_B + K_B$
$qV + \frac{1}{2}mv_0^2 = qV_B + K_B$
$qV + \frac{1}{2}mv_0^2 = q(4V) + K_B$
મણકો વર્તુળ પૂર્ણ કરે તે માટે,બિંદુ $B$ પર તેની ગતિ ઉર્જા શૂન્ય કરતા વધારે હોવી જોઈએ $(K_B > 0)$.
$\frac{1}{2}mv_0^2 = 3qV + K_B$
$K_B > 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{1}{2}mv_0^2 > 3qV$.
$v_0^2 > \frac{6qV}{m}$
$v_0 > \sqrt{\frac{6qV}{m}}$.

(B) એક સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,સ્થિતિમાન $V$ ને $V(x, y, z) = V_0 - (E_x x + E_y y + E_z z)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ છે કે $V(0, 0, 0) = 10 \ V$,તેથી $V_0 = 10 \ V$.
આપેલ છે કે $V(1, 0, 0) = 8 \ V$,તેથી $10 - E_x(1) = 8 \implies E_x = 2 \ V$.
આપેલ છે કે $V(0, 1, 0) = 8 \ V$,તેથી $10 - E_y(1) = 8 \implies E_y = 2 \ V$.
આપેલ છે કે $V(0, 0, 1) = 8 \ V$,તેથી $10 - E_z(1) = 8 \implies E_z = 2 \ V$.
હવે,બિંદુ $(1, 1, 1)$ પર સ્થિતિમાન $V(1, 1, 1) = 10 - (2 \times 1 + 2 \times 1 + 2 \times 1) = 10 - 6 = 4 \ V$ થશે.

(D) $1$. કવચ વાહક પદાર્થનું બનેલું હોવાથી,કવચના દ્રવ્યની અંદર $(a < R < b)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$2$. વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય રહે તે માટે,કવચની આંતરિક સપાટી (ત્રિજ્યા $a$ પર) પર $-Q$ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર ઉત્પન્ન થવો જોઈએ.
$3$. કવચ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $-q$ છે. આંતરિક સપાટી પર $-Q$ વિદ્યુતભાર હોવાથી,બાહ્ય સપાટી (ત્રિજ્યા $b$ પર) પરનો વિદ્યુતભાર $q_{outer} = (-q) - (-Q) = Q - q$ થશે.
$4$. કવચના દ્રવ્યની અંદરના બિંદુ $R$ $(a < R < b)$ પર સ્થિતિમાન એ કેન્દ્ર પરના $+Q$ બિંદુવત વિદ્યુતભાર,આંતરિક સપાટી પરના $-Q$ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર અને બાહ્ય સપાટી પરના $(Q-q)$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$5$. સ્થિતિમાન $V(R) = V_{point} + V_{inner} + V_{outer} = \frac{KQ}{R} + \frac{K(-Q)}{R} + \frac{K(Q-q)}{b}$.
$6$. આનું સાદું રૂપ આપતા,$V(R) = 0 + \frac{K(Q-q)}{b} = \frac{K(Q-q)}{b}$.

(D) ધારો કે કવચ $C$ પરનો વિદ્યુતભાર $q'$ છે.
કવચ $C$ અર્થિંગ કરેલું હોવાથી,તેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_C = 0$ થાય.
કવચ $C$ (ત્રિજ્યા $3a$) પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $B, C$ અને $D$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે છે:
$V_C = \frac{Kq}{3a} + \frac{Kq'}{3a} - \frac{Kq}{4a} = 0$
$\frac{q}{3a} + \frac{q'}{3a} = \frac{q}{4a}$
$q + q' = \frac{3q}{4} \implies q' = -\frac{q}{4}$.
હવે,કવચ $A$ (ત્રિજ્યા $a$) પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન શોધીએ:
$V_A = \frac{Kq}{2a} + \frac{Kq'}{3a} - \frac{Kq}{4a}$
$q' = -\frac{q}{4}$ મૂકતા:
$V_A = \frac{Kq}{2a} + \frac{K(-q/4)}{3a} - \frac{Kq}{4a} = \frac{Kq}{2a} - \frac{Kq}{12a} - \frac{Kq}{4a}$
$V_A = Kq \left( \frac{6 - 1 - 3}{12a} \right) = \frac{2Kq}{12a} = \frac{Kq}{6a}$.
$V_C = 0$ હોવાથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_C = \frac{Kq}{6a} - 0 = \frac{Kq}{6a}$.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{KQ}{r}$ છે.
અહીં,$Q = 10^{-8} \ C$ છે.
વિદ્યુતભારનું સ્થાન $(4, 7, 2)$ છે અને અવલોકન બિંદુ $(1, 3, 2)$ છે.
અંતર $r$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $r = \sqrt{(1-4)^2 + (3-7)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \ m$.
કિંમતો મૂકતા,$V = \frac{(9 \times 10^9) \times 10^{-8}}{5} = \frac{90}{5} = 18 \ V$.
આમ,આપેલા બિંદુ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $18 \ V$ છે.

(D) બિંદુ $A$ પર સ્થિતિમાન $V_A = 3 \ V$ છે અને બિંદુ $B$ પર $V_B = 7 \ V$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $q = -e$ છે.
કોઈપણ બિંદુએ ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિઊર્જા $U = qV = -eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$A$ પર સ્થિતિઊર્જા $U_A = -3e \ V$ અને $B$ પર $U_B = -7e \ V$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન $B$ થી $A$ તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,તે ઓછી સ્થિતિઊર્જા $(-7e \ V)$ થી વધુ સ્થિતિઊર્જા $(-3e \ V)$ વાળા વિસ્તારમાં ગતિ કરે છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$K_i + U_i = K_f + U_f$,જ્યાં $K$ એ ગતિઊર્જા છે.
$K_B + U_B = K_A + U_A$
$K_A = K_B + (U_B - U_A) = K_B + (-7e - (-3e)) = K_B - 4e$.
ઇલેક્ટ્રોન $A$ સુધી પહોંચે તે માટે,$A$ પર તેની ગતિઊર્જા શૂન્ય અથવા ધન હોવી જોઈએ $(K_A \ge 0)$.
$K_B - 4e \ge 0 \implies K_B \ge 4 \ eV$.
આમ,$A$ સુધી પહોંચવા માટે ઇલેક્ટ્રોન પાસે $B$ પર ઓછામાં ઓછી $4 \ eV$ ગતિઊર્જા હોવી જોઈએ. આનો અર્થ એ પણ થાય છે કે તેની પાસે $B$ પર કેટલીક ગતિઊર્જા હોવી જરૂરી છે.

(D) બિંદુ $P$ થી બિંદુ $Q$ સુધી $q$ વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = q(V_Q - V_P)$.
અહીં,વિદ્યુતભાર $q$ એ $100$ ઇલેક્ટ્રોનનો કુલ વિદ્યુતભાર છે. એક ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $-1.6 \times 10^{-19} \ C$ હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભાર $q = 100 \times (-1.6 \times 10^{-19} \ C) = -1.6 \times 10^{-17} \ C$ થાય.
પોટેન્શિયલ $V_P = 10 \ V$ અને $V_Q = -4 \ V$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = (-1.6 \times 10^{-17} \ C) \times (-4 \ V - 10 \ V)$
$W = (-1.6 \times 10^{-17}) \times (-14) \ J$
$W = 22.4 \times 10^{-17} \ J = 2.24 \times 10^{-16} \ J$.

(A) ધારો કે સળિયાની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = \frac{Q}{L}$ છે.
બિંદુ $O$ થી $x$ અંતરે સળિયા પર $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ વિચારો.
આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dx = \frac{Q}{L} dx$ છે.
આ ખંડને કારણે બિંદુ $O$ પાસે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $dV = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{x} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{L} \frac{dx}{x}$ છે.
બિંદુ $O$ પાસે કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ મેળવવા માટે $x = L$ (છેડા $A$ પર) થી $x = 2L$ (છેડા $B$ પર) સુધી સંકલન કરતા:
$V = \int_{L}^{2L} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 L} \frac{dx}{x} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 L} [\ln x]_{L}^{2L} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 L} (\ln 2L - \ln L) = \frac{Q \ln 2}{4 \pi \varepsilon_0 L}$.

(B) સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત નક્કર ગોળાની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_0 = \frac{Kq}{R}$ છે.
$r < R$ માટે, સ્થિતિમાન $V_i = \frac{Kq}{2R^3}(3R^2 - r^2)$ છે.
કેન્દ્ર પર $(r = 0)$, $V_{center} = \frac{3Kq}{2R} = \frac{3}{2}V_0$. તેથી, $\frac{3V_0}{2}$ સ્થિતિમાન માટે $R_1 = 0$ મળે.
$\frac{5V_0}{4}$ સ્થિતિમાન માટે $(r < R)$: $\frac{5}{4} \frac{Kq}{R} = \frac{Kq}{2R^3}(3R^2 - R_2^2) \implies \frac{5}{2} = 3 - \frac{R_2^2}{R^2} \implies \frac{R_2^2}{R^2} = \frac{1}{2} \implies R_2 = \frac{R}{\sqrt{2}} \approx 0.707R$.
$\frac{3V_0}{4}$ સ્થિતિમાન માટે $(r > R)$: $\frac{3}{4} \frac{Kq}{R} = \frac{Kq}{R_3} \implies R_3 = \frac{4}{3}R \approx 1.333R$.
$\frac{V_0}{4}$ સ્થિતિમાન માટે $(r > R)$: $\frac{1}{4} \frac{Kq}{R} = \frac{Kq}{R_4} \implies R_4 = 4R$.
હવે, $R_2 = 0.707R$ અને $(R_4 - R_3) = 4R - 1.333R = 2.667R$.
આમ, $0.707R < 2.667R$ હોવાથી, $R_2 < (R_4 - R_3)$ સાચું છે.

(A) કોઈપણ કવચની સપાટી પરના બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ ત્રણેય કવચને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,$R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કવચને કારણે સ્થિતિમાન $V = \frac{KQ}{R}$ જો $r \le R$ હોય અને $V = \frac{KQ}{r}$ જો $r > R$ હોય,જ્યાં $K = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.
કવચ પરના વિદ્યુતભારો $q_A = \sigma(4\pi a^2)$,$q_B = -\sigma(4\pi b^2)$,અને $q_C = \sigma(4\pi c^2)$ છે.
કવચ $B$ (ત્રિજ્યા $b$) માટે,સ્થિતિમાન $V_B$ એ કવચ $A$ ($b > a$ અંતરે),કવચ $B$ ($b = b$ અંતરે),અને કવચ $C$ ($b < c$ અંતરે) ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_B = \frac{K q_A}{b} + \frac{K q_B}{b} + \frac{K q_C}{c}$
$V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{\sigma(4\pi a^2)}{b} + \frac{-\sigma(4\pi b^2)}{b} + \frac{\sigma(4\pi c^2)}{c} \right]$
$V_B = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \left[ \frac{a^2}{b} - \frac{b^2}{b} + \frac{c^2}{c} \right]$
$V_B = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \left[ \frac{a^2 - b^2}{b} + c \right]$

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે। $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારો $+q$ છે।
રેખાખંડ $AB$ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ પર, જે $A$ થી $x$ અંતરે છે, તેનું $B$ થી અંતર $(d - x)$ થશે।
બિંદુ $P$ પર કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{kq}{x} + \frac{kq}{d - x}$
સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર જાણવા માટે, આપણે $V$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dV}{dx} = -\frac{kq}{x^2} + \frac{kq}{(d - x)^2}$
ન્યૂનતમ સ્થિતિમાન માટે $\frac{dV}{dx} = 0$ લેતા:
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{(d - x)^2} \implies x = d - x \implies x = d/2$.
$x = d/2$ પર, સ્થિતિમાન ન્યૂનતમ હોય છે।
આમ, જેમ આપણે $A$ થી $B$ તરફ જઈએ છીએ, તેમ સ્થિતિમાન પહેલા મધ્યબિંદુ સુધી ઘટે છે અને પછી વધે છે।

(C) કેન્દ્રથી $r$ અંતરે,જ્યાં $r > b$ હોય,ત્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર એ કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ના વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન જ હોય છે,કારણ કે ડાયઇલેક્ટ્રિક કવચ ગોલીય રીતે સંમિત છે અને $r > b$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક માટે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$r > b$ માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon _0} \frac{Q}{r^2}$ મળે છે.
$b$ અંતરે સ્થિતિમાન $V$ ની ગણતરી અનંતથી $b$ સુધી વિદ્યુતક્ષેત્રનું સંકલન કરીને કરવામાં આવે છે:
$V = -\int_{\infty}^{b} E \cdot dr = \int_{b}^{\infty} \frac{1}{4\pi \varepsilon _0} \frac{Q}{r^2} dr = \frac{Q}{4\pi \varepsilon _0} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{b}^{\infty} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon _0 b}$.
આમ,ડાયઇલેક્ટ્રિક કવચની બહારના બિંદુઓ પર ડાયઇલેક્ટ્રિકની કોઈ અસર થતી નથી.

(A) કુલ સ્થિત વિદ્યુત ઉર્જા શોધવા માટે,આપણે કેન્દ્રિત વિદ્યુતભારિત રીંગો ઉમેરીને તકતી બનાવીએ છીએ તેમ વિચારીએ.
$r$ ત્રિજ્યા અને સમાન સપાટી વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી તકતીનો વિચાર કરો. $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ પહોળાઈ ધરાવતી પાતળી રીંગ પરનો વિદ્યુતભાર નીચે મુજબ છે:
$dq = (2\pi r dr) \sigma$
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીના પરિઘ પરનું પોટેન્શિયલ $V = 4\sigma r$ આપેલ છે. અનંત અંતરેથી વધારાનો વિદ્યુતભાર $dq$ ને તકતીના પરિઘ પર લાવવા માટે કરેલું કાર્ય એ સ્થિત વિદ્યુત પોટેન્શિયલ ઉર્જા $dU$ છે:
$dU = V dq = (4\sigma r) \cdot (2\pi r dr \sigma) = 8\pi \sigma^2 r^2 dr$
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતી માટે કુલ ઉર્જા $U$ શોધવા માટે,આપણે $r = 0$ થી $r = R$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$U = \int_0^R 8\pi \sigma^2 r^2 dr = 8\pi \sigma^2 \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^R = \frac{8}{3}\pi \sigma^2 R^3$

(A) અનંત તારને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 4 \pi \varepsilon_0$,તેથી $E = \frac{4 \pi \varepsilon_0}{2 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{2}{r}$.
બિંદુ $A$ $(r_A = 2 \, m)$ અને $B$ $(r_B = 1 \, m)$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_B - V_A = - \int_{r_A}^{r_B} E \, dr = - \int_{2}^{1} \frac{2}{r} \, dr = -2 [\ln r]_2^1 = -2 (\ln 1 - \ln 2) = 2 \ln 2$.
કણ અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોવાથી,કુલ કાર્ય શૂન્ય થાય $(W_{ext} + W_{elec} = 0)$.
વિદ્યુત બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{elec} = q(V_A - V_B) = q(-(V_B - V_A)) = 2 \times (-2 \ln 2) = -4 \ln 2$.
બાહ્ય બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{ext} = -W_{elec} = 4 \ln 2$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ચાપને કારણે તેના કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિમાન એ અદિશ રાશિ હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ સ્થિતિમાન એ ત્રણેય ચાપને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે.
$V_{net} = V_1 + V_2 + V_3$
$V_{net} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 R} (Q_1 + Q_2 + Q_3)$
આપેલ વિદ્યુતભારો $Q_1 = +Q$,$Q_2 = +3Q$,અને $Q_3 = -2Q$ છે.
$V_{net} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 R} (Q + 3Q - 2Q)$
$V_{net} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 R} (2Q)$
$V_{net} = \frac{2Q}{4\pi \epsilon_0 R} = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 R}$.

(B) ગોલીય સંમિત વિદ્યુતભાર વિતરણની બહારના બિંદુ માટે,સમગ્ર વિદ્યુતભાર તેના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થયેલ ગણી શકાય છે.
આપેલ છે:
કુલ વિદ્યુતભાર $q = 5 \ nC = 5 \times 10^{-9} \ C$.
અંતર $r = 15 \ cm = 0.15 \ m = 15 \times 10^{-2} \ m$.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r} = \frac{k q}{r}$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-9}}{15 \times 10^{-2}}$
$V = \frac{45}{0.15} = \frac{4500}{15} = 300 \ V$
તેથી,બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $300 \ V$ છે.

(B) કોઈપણ વિદ્યુતભારીત પદાર્થની અંદર અથવા તેની સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ તમામ સપાટી વિદ્યુતભાર ઘટકો $dq$ ના સ્થિતિમાનના યોગદાનના સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $V = \int \frac{k dq}{r}$.
સમાન સપાટી વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ ધરાવતા પોલા અર્ધગોળા માટે,કેન્દ્ર $O$ પરનું સ્થિતિમાન પાયા પરના અન્ય કોઈપણ બિંદુ કરતા વધારે હોય છે કારણ કે કેન્દ્ર,સરેરાશ રીતે,પાયા પરના અન્ય કોઈપણ બિંદુ કરતા વિદ્યુતભારીત સપાટીના ઘટકોની વધુ નજીક હોય છે.
જેમ આપણે કેન્દ્ર $O$ થી કિનારી $A$ તરફ જઈએ છીએ,તેમ વિદ્યુતભારીત સપાટીના વિવિધ ભાગોનું અંતર સરેરાશ વધે છે,જેના પરિણામે વિદ્યુત સ્થિતિમાનમાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,કેન્દ્ર $O$ પરનું સ્થિતિમાન એ અર્ધગોળાના પાયા પરનું મહત્તમ સ્થિતિમાન છે.
આમ,$V_O > V_A$ અથવા $V_A < V_O$.

(A) જ્યારે બે વાહક ગોળાઓને લાંબા તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ સમાન વિદ્યુત સ્થિતિમાન પ્રાપ્ત કરે છે.
ધારો કે $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_1$ છે અને $3R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_2$ છે.
નાના ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{kQ}{R}$ છે.
મોટા ગોળાનું સ્થિતિમાન તેના પોતાના વિદ્યુતભાર $Q$ અને તેના કેન્દ્ર પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q'$ ને કારણે છે: $V_2 = \frac{kQ}{3R} + \frac{kq'}{3R}$.
તેઓ જોડાયેલા હોવાથી,$V_1 = V_2$.
$\frac{kQ}{R} = \frac{kQ}{3R} + \frac{kq'}{3R}$.
$\frac{3R}{k}$ વડે ગુણતા,આપણને $3Q = Q + q'$ મળે છે.
તેથી,$q' = 2Q$.

(D) વિદ્યુતભારોની સિસ્ટમને કારણે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે: $V = \sum \frac{kq_i}{r_i}$.
સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવેલા ત્રણ સમાન વિદ્યુતભારો માટે, સિસ્ટમ $C_{3v}$ સંમિતિ ધરાવે છે.
દરેક વિદ્યુતભારની નજીક, સ્થાનિક વિદ્યુતભારના સ્થિતિમાનના પ્રભુત્વને કારણે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો લગભગ ગોળાકાર (ત્રિકોણના સમતલમાં વર્તુળાકાર) હોય છે.
જેમ જેમ આપણે વિદ્યુતભારોથી દૂર જઈએ છીએ, તેમ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો એકબીજામાં ભળવા લાગે છે અને અંતે એવો આકાર લે છે જે વિદ્યુતભાર વિતરણની એકંદર સંમિતિને પ્રતિબિંબિત કરે છે.
ત્રણ સમાન વિદ્યુતભારો માટે, દૂરના ક્ષેત્રના સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો વર્તુળાકાર આકાર તરફ વળશે, પરંતુ નજીકના અને મધ્યમ ક્ષેત્રમાં, તેઓએ સમબાજુ ત્રિકોણની ત્રણ ગણી પરિભ્રમણીય સંમિતિ દર્શાવવી આવશ્યક છે.
આલેખ $D$ સમસ્થિતિમાન રેખાઓ દર્શાવે છે જે દરેક વિદ્યુતભારની નજીક વર્તુળાકાર છે અને ત્રણેય વિદ્યુતભારોને આવરી લેતો એક મોટો, આશરે ત્રિકોણાકાર આકાર બનાવે છે, જે સિસ્ટમની સંમિતિને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(A) ધારો કે નક્કર ગોળાની ત્રિજ્યા $r_a$ છે અને પોલા કવચની ત્રિજ્યા $r_b$ છે.
નક્કર ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{sphere} = \frac{KQ}{r_a} + \frac{K(0)}{r_b} = \frac{KQ}{r_a}$ છે.
પોલા કવચની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{shell} = \frac{KQ}{r_b} + \frac{K(0)}{r_b} = \frac{KQ}{r_b}$ છે.
શરૂઆતનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_{sphere} - V_{shell} = K Q \left( \frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b} \right)$ છે.
જ્યારે કવચને $-3Q$ વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે,ત્યારે નક્કર ગોળાની સપાટી પરનું નવું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V'_{sphere} = \frac{KQ}{r_a} + \frac{K(-3Q)}{r_b}$ થાય છે.
પોલા કવચની સપાટી પરનું નવું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V'_{shell} = \frac{KQ}{r_b} + \frac{K(-3Q)}{r_b} = -\frac{2KQ}{r_b}$ થાય છે.
નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = V'_{sphere} - V'_{shell} = \left( \frac{KQ}{r_a} - \frac{3KQ}{r_b} \right) - \left( -\frac{2KQ}{r_b} \right) = \frac{KQ}{r_a} - \frac{KQ}{r_b} = V$ થાય છે.
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બદલાતો નથી.

(B) વિદ્યુતભારીત કવચને કારણે કોઈ બિંદુ પર સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{r}$ (જ્યારે $r \ge R$) અને $V = \frac{kQ}{R}$ (જ્યારે $r < R$) દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ કવચની ત્રિજ્યા છે.
બિંદુ $A$ કેન્દ્રથી $r = R$ અંતરે આવેલું છે.
$1$. આંતરિક કવચને કારણે સ્થિતિમાન (ત્રિજ્યા $R/2$,વિદ્યુતભાર $Q$): $r > R/2$ હોવાથી,$V_1 = \frac{kQ}{R}$.
$2$. મધ્ય કવચને કારણે સ્થિતિમાન (ત્રિજ્યા $2R$,વિદ્યુતભાર $2Q$): $r < 2R$ હોવાથી,$V_2 = \frac{k(2Q)}{2R} = \frac{kQ}{R}$.
$3$. બાહ્ય કવચને કારણે સ્થિતિમાન (ત્રિજ્યા $4R$,વિદ્યુતભાર $8Q$): $r < 4R$ હોવાથી,$V_3 = \frac{k(8Q)}{4R} = \frac{2kQ}{R}$.
બિંદુ $A$ પર કુલ સ્થિતિમાન $V_A = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{kQ}{R} + \frac{kQ}{R} + \frac{2kQ}{R} = \frac{4kQ}{R}$.

(B) બાહ્ય બળ દ્વારા વીજભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W_{ext} = q(V_B - V_A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: ધન વીજભાર $(q > 0)$ ને નીચા સ્થિતિમાન $(V_A)$ થી ઊંચા સ્થિતિમાન $(V_B)$ તરફ લઈ જવાનો અર્થ છે કે $V_B > V_A$,તેથી $V_B - V_A > 0$. આમ,$W_{ext} = q(V_B - V_A) > 0$. આ કાર્ય ધન છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: ઋણ વીજભાર $(q < 0)$ ને ઊંચા સ્થિતિમાન $(V_A)$ થી નીચા સ્થિતિમાન $(V_B)$ તરફ લઈ જવાનો અર્થ છે કે $V_B < V_A$,તેથી $V_B - V_A < 0$. આમ,$W_{ext} = q(V_B - V_A) > 0$. આ કાર્ય ધન છે,ઋણ નથી.
વિકલ્પ $C$ માટે: વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય $W_{field} = -\Delta U = -(U_{final} - U_{initial})$. જો ઊંચી સ્થિતિ ઊર્જાથી નીચી સ્થિતિ ઊર્જા તરફ ગતિ કરવામાં આવે,તો $U_{final} < U_{initial}$,તેથી $\Delta U < 0$. આમ,$W_{field} = -(\text{ઋણ}) = \text{ધન}$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચું વિધાન છે.

(A) અર્ધગોળાકાર કવચ પર $\theta$ ખૂણે એક પાતળી રીંગ ધારો,જેની પહોળાઈ $R d\theta$ અને ત્રિજ્યા $r = R \cos \theta$ છે. આ રીંગ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \sigma (2\pi r) (R d\theta) = 2\pi \sigma R^2 \cos \theta d\theta$ છે.
સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળાકાર કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે $V = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$ જેટલું હોય છે.
અર્ધગોળાકાર કવચ માટે,કેન્દ્ર $O$ પર સ્થિતિમાન $V_O = \frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}$ થાય છે.
પાયા પર કેન્દ્રથી $x = R/2$ અંતરે આવેલા બિંદુ $A$ માટે,સ્થિતિમાન $V_A = \frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}$ મળે છે. કારણ કે અર્ધગોળાકાર કવચના પાયા પરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે કેન્દ્ર પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.

(B) વાહક કવચ પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન,સિસ્ટમમાં હાજર તમામ વિદ્યુતભારોને કારણે તેના કેન્દ્ર પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = V_{\text{shell}} + V_A + V_B + V_C$
$V = \frac{KQ_0}{R} + \frac{KQ_0}{R/2} + \frac{K(-2Q_0)}{2R/3} + \frac{K(3Q_0)}{2R}$
$V = \frac{KQ_0}{R} + \frac{2KQ_0}{R} - \frac{3KQ_0}{R} + \frac{1.5KQ_0}{R}$
$V = \frac{1.5KQ_0}{R} = \frac{3KQ_0}{2R}$

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ વિદ્યુતભારોની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
$a$ બાજુવાળા ચોરસ માટે,$a$ અંતરે $4$ જોડીઓ (બાજુઓ) અને $a\sqrt{2}$ અંતરે $2$ જોડીઓ (વિકર્ણો) છે.
ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = Q$,$q_2 = 2Q$,$q_3 = 3Q$,અને $q_4 = 4Q$ છે.
$a$ અંતરે રહેલી જોડીઓ:
$(q_1, q_2) = (Q, 2Q) \implies U_1 = \frac{k(Q)(2Q)}{a} = 2 \frac{kQ^2}{a}$
$(q_2, q_3) = (2Q, 3Q) \implies U_2 = \frac{k(2Q)(3Q)}{a} = 6 \frac{kQ^2}{a}$
$(q_3, q_4) = (3Q, 4Q) \implies U_3 = \frac{k(3Q)(4Q)}{a} = 12 \frac{kQ^2}{a}$
$(q_4, q_1) = (4Q, Q) \implies U_4 = \frac{k(4Q)(Q)}{a} = 4 \frac{kQ^2}{a}$
$a\sqrt{2}$ અંતરે રહેલી જોડીઓ:
$(q_1, q_3) = (Q, 3Q) \implies U_5 = \frac{k(Q)(3Q)}{a\sqrt{2}} = 3 \frac{kQ^2}{a\sqrt{2}}$
$(q_2, q_4) = (2Q, 4Q) \implies U_6 = \frac{k(2Q)(4Q)}{a\sqrt{2}} = 8 \frac{kQ^2}{a\sqrt{2}}$
કુલ સ્થિતિઊર્જા $U = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + U_5 + U_6 = (2 + 6 + 12 + 4) \frac{kQ^2}{a} + (3 + 8) \frac{kQ^2}{a\sqrt{2}} = 24 \frac{kQ^2}{a} + 11 \frac{kQ^2}{a\sqrt{2}} = \frac{kQ^2}{a} \left( 24 + \frac{11}{\sqrt{2}} \right)$.

(D) કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર સ્થિતિમાન,જ્યાં $r_2 < x < r_1$ છે,તે બંને ગોળાઓને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$1$. બહારના ગોળા (ત્રિજ્યા $r_1$,વિદ્યુતભાર $q_1$) ને કારણે તેની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે: $V_1 = \frac{q_1}{4\pi \varepsilon_0 r_1}$.
$2$. અંદરના ગોળા (ત્રિજ્યા $r_2$,વિદ્યુતભાર $q_2$) ને કારણે તેની બહાર $x$ અંતરે આવેલા બિંદુએ સ્થિતિમાન: $V_2 = \frac{q_2}{4\pi \varepsilon_0 x}$ થાય.
$3$. $x$ અંતરે કુલ સ્થિતિમાન $V = V_1 + V_2 = \frac{q_1}{4\pi \varepsilon_0 r_1} + \frac{q_2}{4\pi \varepsilon_0 x}$ થશે.

(C) વિદ્યુતભારોના તંત્રને કારણે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \sum \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં, વિદ્યુતભારો $q$ એ $r = 1, 2, 4, 8, \dots \, \text{m}$ અંતરે છે।
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{1} + \frac{q}{2} + \frac{q}{4} + \frac{q}{8} + \dots \right]$
$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right]$
કૌંસમાં રહેલું પદ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/2$ છે।
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$ થાય।
તેથી, $V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \times 2 = \frac{2q}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0}$.

(A) ધારો કે આંતરિક ગોળાની ત્રિજ્યા $a$ છે અને બાહ્ય કવચની ત્રિજ્યા $b$ છે. ધારો કે આંતરિક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $q_1$ છે અને બાહ્ય કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $q_2$ છે.
આંતરિક ગોળાની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન: $V_a = \frac{kq_1}{a} + \frac{kq_2}{b} = 10\, V$.
બાહ્ય કવચની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન: $V_b = \frac{kq_1}{b} + \frac{kq_2}{b} = 50\, V$.
સામાન્ય કેન્દ્ર $O$ પરનું સ્થિતિમાન: $V_O = \frac{kq_1}{a} + \frac{kq_2}{b}$.
આ સમીકરણની સરખામણી $V_a$ ના સમીકરણ સાથે કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન એ આંતરિક ગોળાની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
તેથી,$V_O = 10\, V$.

(B) સ્થિત-વિદ્યુત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફારના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
$W = -\Delta U = U_i - U_f$
શરૂઆતમાં,કેન્દ્રમાં રહેલો વિદ્યુતભાર $q$ એ છ વિદ્યુતભારો $q$ થી $r$ અંતરે છે. છ આસપાસના વિદ્યુતભારોને કારણે કેન્દ્રના વિદ્યુતભારની સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = 6 \times (kq^2 / r) = 6q^2 / 4\pi\varepsilon_0 r$ છે.
જ્યારે કેન્દ્રના વિદ્યુતભારને અનંત અંતરે લઈ જવામાં આવે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = 0$ થઈ જાય છે.
તેથી,સ્થિત-વિદ્યુત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = U_i - U_f = 6q^2 / 4\pi\varepsilon_0 r - 0 = 6q^2 / 4\pi\varepsilon_0 r$ થાય છે.

(B) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{kq}{r}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ છે.
બિંદુ $A$ $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $r_A = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \, m$ છે.
બિંદુ $B$ $(2, 0)$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $r_B = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \, m$ છે.
અહીં અંતર $r_A$ અને $r_B$ સમાન હોવાથી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન થશે: $V_A = V_B = \frac{kq}{2}$.
તેથી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_A - V_B = 0 \, V$ થશે.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનંત વિદ્યુતભારો માટે,કુલ સ્થિતિમાન એ વ્યક્તિગત સ્થિતિમાનોનો સરવાળો છે:
$V = \sum \frac{kq}{r} = kq \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right)$.
અહીં,$k = 9 \times 10^9 \, N\cdot m^2/C^2$ અને $q = 0.2 \times 10^{-6} \, C$ છે.
કૌંસમાં રહેલું પદ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/2$ છે. તેનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$V = (9 \times 10^9) \times (0.2 \times 10^{-6}) \times 2 = 1.8 \times 10^3 \times 2 = 3600 \, V$.
$1000 \, V = 1 \, kV$ હોવાથી,સ્થિતિમાન $3.60 \, kV$ થશે.

(B) પોલો ધાતુનો ગોળો એ ગોળીય વાહક કવચ તરીકે વર્તે છે.
કોઈપણ વિદ્યુતભારિત ગોળીય વાહક માટે,વાહકની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 0$ હોય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનનો ઋણ પ્રચલન છે $(E = -dV/dr)$,તેથી જો $E = 0$ હોય,તો ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહેવું જોઈએ.
આથી,ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ,જેમાં કેન્દ્રનો પણ સમાવેશ થાય છે,ત્યાંનું સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે કે સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $10\, V$ છે,તેથી કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન પણ $10\, V$ થશે.

(B) એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી વિદ્યુતભાર $q$ ને લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q(V_{\text{અંતિમ}} - V_{\text{પ્રારંભિક}})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નજીકમાં કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોવાથી, સમગ્ર વિસ્તારમાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે (અથવા જો આપણે અનંતને સંદર્ભ તરીકે લઈએ તો તે શૂન્ય છે).
બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ એક વક્ર પર આવેલા છે, પરંતુ કોઈપણ બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર અથવા સ્ત્રોત વિદ્યુતભારની ગેરહાજરીમાં, અવકાશના તમામ બિંદુઓ પર સ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
તેથી, બિંદુ $P$ અને કોઈપણ બિંદુ $A, B$ અથવા $C$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે.
આમ, $W_A = q(V_A - V_P) = 0$, $W_B = q(V_B - V_P) = 0$, અને $W_C = q(V_C - V_P) = 0$.
તેથી, $W_A = W_B = W_C = 0$.

(C) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = -a$ અને $x = a$ પર મૂકવામાં આવેલા બે સમાન ધન વિદ્યુતભારો $q$ માટે,કોઈપણ બિંદુ $x$ પર કુલ સ્થિતિમાન $V(x) = \frac{kq}{|x+a|} + \frac{kq}{|x-a|}$ છે.
$1$. જેમ $x \to a$,તેમ $V \to +\infty$. જેમ $x \to -a$,તેમ $V \to +\infty$. આનો અર્થ એ છે કે સ્થિતિમાન $x = a$ અને $x = -a$ પર અનંત હોવું જોઈએ.
$2$. ઉગમબિંદુ $(x = 0)$ પર,સ્થિતિમાન $V(0) = \frac{kq}{a} + \frac{kq}{a} = \frac{2kq}{a}$ છે,જે એક ધન અને નિશ્ચિત મૂલ્ય છે.
$3$. જેમ $x \to \pm\infty$,તેમ $V \to 0$.
આ ગુણધર્મોને આપેલા આલેખો સાથે સરખાવતા,સ્થિતિમાન દરેક જગ્યાએ ધન છે અને બે વિદ્યુતભારોની વચ્ચે ઉગમબિંદુ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે. આલેખ $C$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જે વિદ્યુતભારોની વચ્ચે $U$-આકારનો વળાંક દર્શાવે છે અને અનંત પર શૂન્યની નજીક જાય છે.

(A) ધારો કે $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતી આંતરિક કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $q_1$ છે અને $2a$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બાહ્ય કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $q_2$ છે.
આંતરિક કવચની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન: $V_{inner} = \frac{kq_1}{a} + \frac{kq_2}{2a} = 10\,V$.
બાહ્ય કવચની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન: $V_{outer} = \frac{kq_1}{2a} + \frac{kq_2}{2a} = 5\,V$.
કવચના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન: $V_{centre} = \frac{kq_1}{a} + \frac{kq_2}{2a}$.
આ સમીકરણને આંતરિક કવચના સ્થિતિમાનના સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $V_{centre} = V_{inner} = 10\,V$.

(D) રીંગના કેન્દ્ર પર $d\theta$ ખૂણો આંતરતા ચાપના સૂક્ષ્મ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર:
$dQ = \lambda R d\theta = \lambda_0 \cos(\theta/2) R d\theta$
આ વિદ્યુતભાર $dQ$ ને કારણે રીંગના કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $dV$:
$dV = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{dQ}{R} = \frac{\lambda_0 \cos(\theta/2) R d\theta}{4 \pi \epsilon_0 R} = \frac{\lambda_0}{4 \pi \epsilon_0} \cos(\theta/2) d\theta$
કુલ સ્થિતિમાન $V$ શોધવા માટે,આપણે $\theta = 0$ થી $\theta = 2\pi$ સુધી સંકલન કરીએ:
$V = \int_0^{2\pi} dV = \frac{\lambda_0}{4 \pi \epsilon_0} \int_0^{2\pi} \cos(\theta/2) d\theta$
$V = \frac{\lambda_0}{4 \pi \epsilon_0} \left[ 2 \sin(\theta/2) \right]_0^{2\pi}$
$V = \frac{\lambda_0}{4 \pi \epsilon_0} \left[ 2 \sin(\pi) - 2 \sin(0) \right] = \frac{\lambda_0}{4 \pi \epsilon_0} [0 - 0] = 0 \text{ V}$

(D) ધારો કે $r$ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાઓ પરના વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $q_1$ અને $q_2$ છે. આપેલ છે કે $q_1 + q_2 = Q$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન હોવાથી,$\sigma = \frac{q_1}{4\pi r^2} = \frac{q_2}{4\pi R^2}$.
ગુણોત્તરના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2} = \frac{q_1 + q_2}{r^2 + R^2} = \frac{Q}{r^2 + R^2}$.
આથી,$q_1 = \frac{Q r^2}{r^2 + R^2}$ અને $q_2 = \frac{Q R^2}{r^2 + R^2}$.
સામાન્ય કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right)$ થશે.
$q_1$ અને $q_2$ ની કિંમતો મૂકતા,$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Q r^2}{r(r^2 + R^2)} + \frac{Q R^2}{R(r^2 + R^2)} \right)$.
$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(r^2 + R^2)} (r + R)$.

(B) $R_1 < r < R_2$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ બંને ગોળાઓને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$1$. અંદરના ગોળા (ત્રિજ્યા $R_1$,વિદ્યુતભાર $Q_1$) ને કારણે $r$ અંતરે $(r > R_1)$ સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q_1}{r}$ છે.
$2$. બહારના ગોળા (ત્રિજ્યા $R_2$,વિદ્યુતભાર $Q_2$) ને કારણે તેની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન અચળ રહે છે,જે $V_2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q_2}{R_2}$ છે.
$3$. તેથી,$r$ અંતરે કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = V_1 + V_2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q_1}{r} + \frac{Q_2}{R_2} \right)$ થાય.

(B) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{kq}{r}$ છે.
બિંદુ $A$ $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ માટે,ઉગમબિંદુથી અંતર $r_A = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \ m$ છે.
બિંદુ $B$ $(2, 0)$ માટે,ઉગમબિંદુથી અંતર $r_B = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \ m$ છે.
અહીં $r_A = r_B$ હોવાથી,બંને બિંદુઓ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન છે: $V_A = V_B = \frac{kq}{2}$.
તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = 0 \ volt$ થાય.

(B) સમાન વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં,બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષે સ્થાન $\vec{r}$ પર સ્થિતિમાન $V = V_P - \vec{E} \cdot \vec{r} = V_P - Er \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ત્રિજ્યા સદિશ અને ક્ષેત્રની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સ્થિતિમાન $V_{min} = V_P - Er$ (જ્યાં $\theta = 0^o$) અને $V_{max} = V_P + Er$ (જ્યાં $\theta = 180^o$) ની વચ્ચે બદલાય છે.
આપેલ છે કે $V_{min} = 589.0\,V$ અને $V_{max} = 589.8\,V$,તેથી વ્યાસ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $2Er = 589.8 - 589.0 = 0.8\,V$ થાય. આમ,$Er = 0.4\,V$.
કેન્દ્રનું સ્થિતિમાન $V_P$ એ સરેરાશ છે: $V_P = (589.0 + 589.8) / 2 = 589.4\,V$.
$\theta = 60^o$ ખૂણે આવેલા બિંદુ માટે,સ્થિતિમાન $V = V_P - Er \cos(60^o) = 589.4 - 0.4 \times 0.5 = 589.4 - 0.2 = 589.2\,V$ થાય.

(C) ધારો કે દરેક દોરીની લંબાઈ $L$ છે. બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $x = 2L \sin \theta$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,દરેક વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળો તણાવ $T$,વજન $mg$,અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{kq^2}{x^2}$ છે.
બળોના ઘટકો લેતા: $T \sin \theta = F_e$ અને $T \cos \theta = mg$.
આ બંનેનો ભાગાકાર કરતા $\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{kq^2}{x^2 mg}$ મળે.
તેથી,$x^2 = \frac{kq^2}{mg \tan \theta}$,જેનો અર્થ છે કે $x = q \sqrt{\frac{k}{mg \tan \theta}}$.
વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાના કેન્દ્ર પર (દરેક વિદ્યુતભારથી $x/2$ અંતરે) સ્થિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$:
$V = \frac{kq}{x/2} + \frac{kq}{x/2} = \frac{4kq}{x}$.
$x$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{4kq}{q \sqrt{\frac{k}{mg \tan \theta}}} = 4 \sqrt{k^2 \cdot \frac{mg \tan \theta}{k}} = 4 \sqrt{k \, mg \tan \theta}$.

(C) ધારો કે $r$ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાઓ પરના વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $q_1$ અને $q_2$ છે.
આપેલ છે કે $q_1 + q_2 = Q$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન હોવાથી,$\sigma_1 = \sigma_2$.
$\frac{q_1}{4\pi r^2} = \frac{q_2}{4\pi R^2} \implies \frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2}$.
ગુણોત્તરના નિયમ મુજબ,$\frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2} = \frac{q_1 + q_2}{r^2 + R^2} = \frac{Q}{r^2 + R^2}$.
તેથી,$q_1 = \frac{Q r^2}{R^2 + r^2}$ અને $q_2 = \frac{Q R^2}{R^2 + r^2}$.
સામાન્ય કેન્દ્ર પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right)$.
$q_1$ અને $q_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r^2}{r(R^2 + r^2)} + \frac{Q R^2}{R(R^2 + r^2)} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r + Q R}{R^2 + r^2} \right)$.
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{(R + r)Q}{R^2 + r^2}$.