Electric potential Questions in Gujarati

(N/A) સતત વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ધરાવતા બિંદુ $P$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ સૂક્ષ્મ વિદ્યુતભાર ઘટકો $dq$ થી મળતા સ્થિતિમાનના સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. રેખીય વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે:
$V = k \int_{L} \frac{\lambda dl}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$
જ્યાં $\lambda$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે,$dl$ એ લંબાઈનો ઘટક છે,અને $\vec{r}'$ એ વિદ્યુતભાર ઘટકનો સ્થાન સદિશ છે.
$2$. પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે:
$V = k \int_{S} \frac{\sigma dS}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$
જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે અને $dS$ એ ક્ષેત્રફળનો ઘટક છે.
$3$. કદ વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે:
$V = k \int_{V} \frac{\rho dV}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$
જ્યાં $\rho$ એ કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે અને $dV$ એ કદનો ઘટક છે.
બધા સમીકરણોમાં,$k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ એ કુલંબનો અચળાંક છે.

(N/A) $R$ ત્રિજ્યા અને $q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા એક સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોલીય કવચ માટે,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ નક્કી કરવામાં આવે છે:
$1$. કવચની બહાર $(r > R)$: સ્થિતિમાન એ કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત બિંદુવત વિદ્યુતભારના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે: $V = \frac{kq}{r}$.
$2$. કવચની સપાટી પર $(r = R)$: સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{R}$ છે.
$3$. કવચની અંદર $(r < R)$: ગોલીય કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,સ્થિતિમાન અચળ રહે છે અને સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે: $V = \frac{kq}{R}$.
આમ,સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$r \geq R$ માટે $V = \frac{kq}{r}$
$r < R$ માટે $V = \frac{kq}{R}$

(N/A) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોલીય કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,તેથી સ્થિતિમાન અચળ રહે છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે: $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$.
$2$. સપાટી પર $(r = R)$,સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ હોય છે.
$3$. કવચની બહાર $(r > R)$,કવચ કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે,તેથી સ્થિતિમાન $V \propto \frac{1}{r}$ મુજબ બદલાય છે,એટલે કે $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$.
આલેખ $r \leq R$ માટે અચળ સ્થિતિમાનની રેખા અને $r > R$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે.

(N/A) કોઈ બિંદુએ $n$ જેટલા બિંદુવત વીજભારો $q_1, q_2, ..., q_n$ ને કારણે,જે તે બિંદુથી $r_1, r_2, ..., r_n$ અંતરે આવેલા હોય,ત્યારે કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વીજભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનના બેઝિક સરવાળા જેટલું હોય છે.
આ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$V = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$
જ્યાં:
$V$ એ કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે.
$\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
$q_i$ એ $i$-મો વીજભાર છે.
$r_i$ એ જે બિંદુએ સ્થિતિમાન શોધવાનું છે,ત્યાંથી $i$-મા વીજભારનું અંતર છે.

(N/A) કદ $V'$ માં વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ ધરાવતા કદ વિદ્યુતભાર વિતરણને કારણે બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબના સંકલન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{V'} \frac{\rho(r') \, dV'}{|r - r'|}$
જ્યાં:
$1. \epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
$2. \rho(r')$ એ સ્થાન સદિશ $r'$ પર કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
$3. dV'$ એ સૂક્ષ્મ કદનો ઘટક છે.
$4. |r - r'|$ એ અવલોકન બિંદુ $r$ અને ઉદગમ બિંદુ $r'$ વચ્ચેનું અંતર છે.

(N/A) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળીય કવચ માટે:
$1$. કવચની બહાર $(r \ge R)$: સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. કવચની અંદર $(r < R)$: વિદ્યુતભારીત ગોળીય કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. તેથી,સ્થિતિમાન અચળ રહે છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે. સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળીય કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 0$ હોય છે. તેથી,સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે અને સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે,એટલે કે $V = kQ/R$.
$2$. કવચની બહાર $(r \ge R)$,કવચ કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે. તેથી,સ્થિતિમાન $V = kQ/r$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $V \propto 1/r$.
$3$. $V$ વિરુદ્ધ $r$ નો આલેખ $r = 0$ થી $r = R$ સુધી $V = kQ/R$ મૂલ્ય પર એક આડી રેખા તરીકે શરૂ થાય છે,અને ત્યારબાદ $r > R$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે.

(N/A) ધારો કે ત્રણ વિદ્યુતભારો $q_{1}, q_{2}$ અને $q_{3}$ ને અનંત અંતરેથી અનુક્રમે $P_{1}, P_{2}$ અને $P_{3}$ સ્થાનો પર લાવવામાં આવે છે.
$1$. વિદ્યુતભાર $q_{1}$ ને $P_{1}$ પર લાવવા માટે કરેલું કાર્ય:
અહીં કોઈ બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ન હોવાથી,કરેલું કાર્ય $W_{1} = 0$ થાય.
$2$. વિદ્યુતભાર $q_{2}$ ને $P_{2}$ પર લાવવા માટે કરેલું કાર્ય:
$q_{1}$ ને કારણે $P_{2}$ આગળ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{1} = \frac{k q_{1}}{r_{12}}$ છે.
તેથી,કરેલું કાર્ય $W_{2} = V_{1} \times q_{2} = \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{12}}$.
$3$. વિદ્યુતભાર $q_{3}$ ને $P_{3}$ પર લાવવા માટે કરેલું કાર્ય:
$q_{1}$ અને $q_{2}$ ને કારણે $P_{3}$ આગળ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{2} = \frac{k q_{1}}{r_{13}} + \frac{k q_{2}}{r_{23}}$ છે.
તેથી,કરેલું કાર્ય $W_{3} = V_{2} \times q_{3} = k \left[ \frac{q_{1} q_{3}}{r_{13}} + \frac{q_{2} q_{3}}{r_{23}} \right]$.
$4$. કુલ સ્થિતિઊર્જા $(U)$:
તંત્રની કુલ સ્થિતિઊર્જા એ કરેલા કાર્યનો સરવાળો છે:
$U = W_{1} + W_{2} + W_{3} = 0 + \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{12}} + k \left[ \frac{q_{1} q_{3}}{r_{13}} + \frac{q_{2} q_{3}}{r_{23}} \right]$
$U = k \left[ \frac{q_{1} q_{2}}{r_{12}} + \frac{q_{1} q_{3}}{r_{13}} + \frac{q_{2} q_{3}}{r_{23}} \right]$

ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ $(eV)$ એટલે એક ઇલેક્ટ્રોન જ્યારે $1 \text{ volt}$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત થાય ત્યારે તેને મળતી ગતિઊર્જા.
ગણતરી:
$q$ વિદ્યુતભારને $\Delta V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત કરવાથી મળતી ઊર્જા $U = q \Delta V$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વિદ્યુતભાર $q = e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
જો $\Delta V = 1 \text{ V}$ હોય,તો:
$1 \text{ eV} = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (1 \text{ V})$
$1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$.
આ એકમનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે પરમાણુ,ન્યુક્લિયર અને કણ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં થાય છે.
$eV$ ના ગુણકો:
$1 \text{ meV} = 1.6 \times 10^{-22} \text{ J}$
$1 \text{ keV} = 1.6 \times 10^{-16} \text{ J}$
$1 \text{ MeV} = 1.6 \times 10^{-13} \text{ J}$
$1 \text{ GeV} = 1.6 \times 10^{-10} \text{ J}$
$1 \text{ TeV} = 1.6 \times 10^{-7} \text{ J}$

(N/A) ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ $(eV)$ એ એક ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા $1 \ V$ ના વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ સ્થિર સ્થિતિમાંથી પ્રવેગિત થતી વખતે મેળવેલી અથવા ગુમાવેલી ગતિઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,ઊર્જા $E = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $q = 1.602 \times 10^{-19} \ C$ અને સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 1 \ V$ છે.
તેથી,$1 \ eV = (1.602 \times 10^{-19} \ C) \times (1 \ V) = 1.602 \times 10^{-19} \ J$.

$(1.602 \times 10^{-19})$ ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ $(eV)$ એ ઉર્જાનો એકમ છે, જે $1 \ V$ ના વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ સ્થિર સ્થિતિમાંથી પ્રવેગિત થતા એક ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિ ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $e = 1.602 \times 10^{-19} \ C$ હોવાથી, જૂલ $(J)$ માં ઉર્જા $E = qV = (1.602 \times 10^{-19} \ C) \times (1 \ V) = 1.602 \times 10^{-19} \ J$ દ્વારા મળે છે.
તેથી, $1 \ eV = 1.602 \times 10^{-19} \ J$.

(C) વાન - દ - ગ્રાફ જનરેટર એ એક સ્થિત-વિદ્યુત પ્રવેગક છે જે ખૂબ જ ઊંચું વિદ્યુતસ્થિતિમાન ઉત્પન્ન કરી શકે છે,જે સામાન્ય રીતે $6$ થી $8$ મિલિયન વોલ્ટ ($6 \times 10^6 \ V$ થી $8 \times 10^6 \ V$) ની રેન્જમાં હોય છે.
આ ઊંચા વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઉપયોગ વિદ્યુતભારિત કણોને ઉચ્ચ ઊર્જા સાથે પ્રવેગિત કરવા માટે થાય છે,જેથી દ્રવ્યના બંધારણનો અભ્યાસ કરી શકાય.

(C) $r$ ત્રિજ્યાના આંતરિક ગોળાની સપાટી પર તેના પોતાના વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_{q,r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ છે.
$R$ ત્રિજ્યાની બાહ્ય કવચ પરના વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે આંતરિક ગોળાની સપાટી પર સ્થિતિમાન $V_{Q,r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ છે (કારણ કે બિંદુ કવચની અંદર છે).
આંતરિક ગોળાનું કુલ સ્થિતિમાન $V_{inner} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q}{r} + \frac{Q}{R} \right)$ છે.
$R$ ત્રિજ્યાની બાહ્ય કવચની સપાટી પર વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_{q,R} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$ છે.
બાહ્ય કવચની સપાટી પર તેના પોતાના વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_{Q,R} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ છે.
બાહ્ય કવચનું કુલ સ્થિતિમાન $V_{outer} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q}{R} + \frac{Q}{R} \right)$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_{inner} - V_{outer} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q}{r} + \frac{Q}{R} - \frac{q}{R} - \frac{Q}{R} \right) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$ થાય છે.

(A) મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન પર ઋણ વીજભાર હોય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની વ્યાખ્યા મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા ઉચ્ચ સ્થિતિમાનથી નિમ્ન સ્થિતિમાન તરફ હોય છે.
વીજભાર $q$ પર લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર ઋણ $(q = -e)$ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = -eE$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
તેથી,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન નિમ્ન સ્થિતિમાનથી ઉચ્ચ સ્થિતિમાન તરફ ગતિ કરે છે.

(N/A) ના,મુક્ત અવકાશમાં પોટેન્શિયલ વિધેય મહત્તમ કે ન્યૂનતમ હોઈ શકે નહીં. લેપ્લેસના સમીકરણ મુજબ,વીજભાર રહિત વિસ્તારમાં $\nabla^2 V = 0$ થાય છે. જો કોઈ બિંદુએ $V$ નું સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય હોય,તો તે બિંદુએ લેપ્લેસિયન $\nabla^2 V$ શૂન્ય ન હોય,જે મુક્ત અવકાશની શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે. ભૌતિક રીતે,આનો અર્થ એ છે કે મુક્ત અવકાશમાં મૂકાયેલો પરીક્ષણ વીજભાર માત્ર સ્થિત-વિદ્યુત બળોની અસર હેઠળ સ્થાયી સંતુલનમાં રહી શકશે નહીં.

(N/A) ધારો કે $R=a$ ત્રિજ્યાની એક રીંગ છે જેના પર $Q$ વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વિતરિત થયેલ છે. તેની અક્ષ પર $z$ અંતરે એક બિંદુ $P$ લો. રીંગ પરના કોઈપણ વિદ્યુતભારના ઘટક $dq$ થી $P$ નું અંતર $r = \sqrt{z^2 + a^2}$ છે.
બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = \int \frac{k dq}{r} = \frac{k}{\sqrt{z^2 + a^2}} \int dq = \frac{kQ}{\sqrt{z^2 + a^2}}$
બિંદુ $P$ પર મૂકવામાં આવેલા $-q$ વિદ્યુતભારની સ્થિતિઊર્જા $U$:
$U = (-q)V = -\frac{kQq}{\sqrt{z^2 + a^2}}$
ધારો કે $S = \frac{kQq}{a}$. તો $U = -\frac{S}{\sqrt{1 + (z/a)^2}}$.
$z=0$ આગળ,$U = -S$ (ન્યૂનતમ સ્થિતિઊર્જા). જેમ $|z|$ વધે છે,તેમ $U$ શૂન્ય તરફ વધે છે. $U$ વિરુદ્ધ $z$ નો આલેખ $z=0$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવતો પોટેન્શિયલ વેલ (સ્થિતિઊર્જાનો ખાડો) દર્શાવે છે. જો $-q$ ને કેન્દ્રથી થોડું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો તે કેન્દ્ર તરફ પુનઃસ્થાપક બળ અનુભવશે,જેના પરિણામે નાના સ્થાનાંતર માટે તે સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરશે.

(N/A) ધારો કે $R=a$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ પર $+Q$ વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વિતરિત થયેલ છે.
ધારો કે રીંગના કેન્દ્રથી તેની અક્ષ પર $x$ અંતરે બિંદુ $P$ આવેલું છે.
રીંગ પરના કોઈપણ નાના વિદ્યુતભારના ઘટક $dq$ થી બિંદુ $P$ સુધીનું અંતર $r$ નીચે મુજબ છે:
$r = \sqrt{x^{2} + a^{2}}$
વિદ્યુતભારના ઘટક $dq$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $dV$:
$dV = \frac{k dq}{r} = \frac{k dq}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}$
આખી રીંગ પરના વિદ્યુતભારને કારણે બિંદુ $P$ પર કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ શોધવા માટે,આપણે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ પર સંકલન કરીશું:
$V = \int dV = \int \frac{k dq}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}$
અહીં $k$,$x$ અને $a$ અચળ હોવાથી:
$V = \frac{k}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} \int dq$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int dq = Q$ અને $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}$,તેથી:
$V = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} \sqrt{x^{2} + a^{2}}}$

(N/A) ધારો કે તકતીના કેન્દ્ર $O$ થી $x$ અંતરે તેની અક્ષ પર એક બિંદુ $P$ છે. તકતીની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{\pi R^2}$ છે.
તકતી પર $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ પહોળાઈની એક પાતળી રિંગ (વલય) વિચારો. આ રિંગનું ક્ષેત્રફળ $dA = 2\pi r dr$ છે.
આ રિંગ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \sigma dA = \sigma (2\pi r dr)$ છે.
આ રિંગના દરેક બિંદુનું $P$ થી અંતર $\sqrt{r^2 + x^2}$ છે.
આ રિંગને કારણે બિંદુ $P$ પર સ્થિતિમાન $dV = \frac{k dq}{\sqrt{r^2 + x^2}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\sigma (2\pi r dr)}{\sqrt{r^2 + x^2}}$ થાય.
કુલ સ્થિતિમાન $V$ શોધવા માટે,$r = 0$ થી $r = R$ સુધી સંકલન કરતા:
$V = \int_0^R \frac{\sigma 2\pi r dr}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{r^2 + x^2}} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \int_0^R \frac{r dr}{\sqrt{r^2 + x^2}}$.
ધારો કે $u = r^2 + x^2$,તેથી $du = 2r dr$,અથવા $r dr = \frac{du}{2}$.
$V = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \int_{x^2}^{R^2+x^2} \frac{du/2}{\sqrt{u}} = \frac{\sigma}{4\epsilon_0} [2\sqrt{u}]_{x^2}^{R^2+x^2} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} [\sqrt{R^2 + x^2} - x]$.
$\sigma = \frac{Q}{\pi R^2}$ મૂકતા,આપણને મળે:
$V = \frac{Q}{2\pi \epsilon_0 R^2} [\sqrt{R^2 + x^2} - x]$.

(N/A) ધારો કે બિંદુપથ પરના કોઈ બિંદુના યામ $(x, y, z)$ છે. આ બિંદુ પર બે વિદ્યુતભારોને કારણે મળતું કુલ સ્થિતિમાન $V = V_1 + V_2 = 0$ થાય.
સ્થિતિમાનના સૂત્ર $V = \frac{kq}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{kq_1}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z - d)^2}} + \frac{kq_2}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z + d)^2}} = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{q_1}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z - d)^2}} = -\frac{q_2}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z + d)^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{q_1^2}{x^2 + y^2 + (z - d)^2} = \frac{q_2^2}{x^2 + y^2 + (z + d)^2}$
ધારો કે $\lambda^2 = \frac{q_1^2}{q_2^2}$. તેથી:
$\lambda^2 (x^2 + y^2 + z^2 + 2zd + d^2) = x^2 + y^2 + z^2 - 2zd + d^2$
$(\lambda^2 - 1)(x^2 + y^2 + z^2 + d^2) = -2zd(1 + \lambda^2)$
$x^2 + y^2 + z^2 + 2zd \left( \frac{\lambda^2 + 1}{\lambda^2 - 1} \right) + d^2 = 0$
$\lambda^2 = \frac{q_1^2}{q_2^2}$ મૂકતા:
$x^2 + y^2 + z^2 + 2zd \left( \frac{q_1^2 + q_2^2}{q_1^2 - q_2^2} \right) + d^2 = 0$
આ સમીકરણ એક ગોળાનું છે.

(B) કોઈ પણ બળક્ષેત્રનું વર્ણન કરવા માટેની અગત્યની રાશિ સ્થિતીમાન (Potential) છે. સંરક્ષી બળક્ષેત્રમાં,બળને સ્થિતીમાનના ઋણ પ્રચલન (negative gradient) તરીકે દર્શાવી શકાય છે,એટલે કે $\vec{F} = -\nabla V$. આ અદિશ ક્ષેત્ર ક્ષેત્રની અંદરના કણોની ગતિશાસ્ત્રનું વિશ્લેષણ કરવાની સરળ રીત પૂરી પાડે છે.

(C) ધારો કે અંદરના અને બહારના ગોળા પરના વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $Q_{1}$ અને $Q_{2}$ છે.
બંને ગોળા માટે પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ સમાન હોવાથી:
$\sigma = \frac{Q_{1}}{4 \pi r^{2}} = \frac{Q_{2}}{4 \pi R^{2}} \Rightarrow \frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{r^{2}}{R^{2}}$
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{1} + Q_{2} = Q$ આપેલ છે,તેથી $Q_{1} = Q_{2} \frac{r^{2}}{R^{2}}$ મૂકતા:
$Q_{2} \frac{r^{2}}{R^{2}} + Q_{2} = Q \Rightarrow Q_{2} \left( \frac{r^{2} + R^{2}}{R^{2}} \right) = Q \Rightarrow Q_{2} = \frac{Q R^{2}}{R^{2} + r^{2}}$
તે જ રીતે,$Q_{1} = Q - Q_{2} = Q - \frac{Q R^{2}}{R^{2} + r^{2}} = \frac{Q r^{2}}{R^{2} + r^{2}}$
સામાન્ય કેન્દ્ર $O$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન બંને કવચને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_{1}}{r} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_{2}}{R}$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{Q r^{2}}{r(R^{2} + r^{2})} + \frac{Q R^{2}}{R(R^{2} + r^{2})} \right]$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{Q r}{R^{2} + r^{2}} + \frac{Q R}{R^{2} + r^{2}} \right]$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(R + r)Q}{R^{2} + r^{2}}$

(A) ધારો કે પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે. $\sigma_1 = \sigma_2$ હોવાથી,$\frac{Q_1}{4 \pi R^2} = \frac{Q_2}{4 \pi (4R)^2}$,જે દર્શાવે છે કે $Q_2 = 16 Q_1$ થાય.
અંદરના ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $(r=R)$ $V(R) = \frac{k Q_1}{R} + \frac{k Q_2}{4R}$ છે.
બહારના ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $(r=4R)$ $V(4R) = \frac{k Q_1}{4R} + \frac{k Q_2}{4R}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V(R) - V(4R) = (\frac{k Q_1}{R} + \frac{k Q_2}{4R}) - (\frac{k Q_1}{4R} + \frac{k Q_2}{4R}) = \frac{k Q_1}{R} - \frac{k Q_1}{4R} = \frac{3 k Q_1}{4R}$ થાય.
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $V(R) - V(4R) = \frac{3 Q_1}{16 \pi \varepsilon_0 R}$ મળે છે.

(C) કોઈ બિંદુ પર વિદ્યુતભાર $q$ ની સ્થિતિઊર્જા $U = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ સ્થિર વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતસ્થિતિમાન છે.
પ્રારંભિક સ્થાન: $x_i = 0$. $4q$ અને $-q$ થી અંતર $r_1 = d/2$ અને $r_2 = d/2$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{4q}{d/2} + \frac{-q}{d/2} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{3q}{d/2} \right) = \frac{6q}{4\pi\varepsilon_0 d}$.
અંતિમ સ્થાન: $x_f = d$. $4q$ અને $-q$ થી અંતર $r_1' = d + d/2 = 3d/2$ અને $r_2' = d - d/2 = d/2$ છે.
અંતિમ સ્થિતિમાન $V_f = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{4q}{3d/2} + \frac{-q}{d/2} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{8q}{3d} - \frac{2q}{d} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{8q - 6q}{3d} \right) = \frac{2q}{12\pi\varepsilon_0 d} = \frac{q}{6\pi\varepsilon_0 d}$.
સ્થિતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = q(V_f - V_i) = q \left( \frac{q}{6\pi\varepsilon_0 d} - \frac{6q}{4\pi\varepsilon_0 d} \right) = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d} \left( \frac{2}{3} - 6 \right) = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d} \left( -\frac{16}{3} \right) = -\frac{4q^2}{3\pi\varepsilon_0 d}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે સ્થિતિઊર્જામાં $\frac{4q^2}{3\pi\varepsilon_0 d}$ જેટલો ઘટાડો થાય છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ધન વિદ્યુતભારિત ધાતુના પાતળા કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થિતવિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R} = \text{અચળ}$
$2$. કવચની બહાર $(r \geq R)$,કવચ કેન્દ્ર પર મૂકાયેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તે છે. આમ,સ્થિતિમાન અંતર સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે.
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r} \implies V \propto \frac{1}{r}$
તેથી,આલેખ $r < R$ માટે અચળ સ્થિતિમાન અને $r \geq R$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $C$ માં આપેલા આલેખ સાથે સુસંગત છે.

(D) ધારો કે રિંગ $A$ ના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V_A$ છે અને રિંગ $B$ ના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે.
રિંગ $A$ ના કેન્દ્ર પર રિંગ $A$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_{A1} = \frac{KQ}{a}$ છે.
રિંગ $A$ ના કેન્દ્ર પર રિંગ $B$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_{A2} = \frac{K(-Q)}{\sqrt{a^2 + s^2}}$ છે.
તેથી,$V_A = V_{A1} + V_{A2} = \frac{KQ}{a} - \frac{KQ}{\sqrt{a^2 + s^2}}$.
રિંગ $B$ ના કેન્દ્ર પર રિંગ $B$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_{B1} = \frac{K(-Q)}{a}$ છે.
રિંગ $B$ ના કેન્દ્ર પર રિંગ $A$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_{B2} = \frac{KQ}{\sqrt{a^2 + s^2}}$ છે.
તેથી,$V_B = V_{B1} + V_{B2} = -\frac{KQ}{a} + \frac{KQ}{\sqrt{a^2 + s^2}}$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = \left(\frac{KQ}{a} - \frac{KQ}{\sqrt{a^2 + s^2}}\right) - \left(-\frac{KQ}{a} + \frac{KQ}{\sqrt{a^2 + s^2}}\right)$ છે.
$V_A - V_B = \frac{2KQ}{a} - \frac{2KQ}{\sqrt{a^2 + s^2}} = 2KQ \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{\sqrt{a^2 + s^2}}\right)$.
$K = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $V_A - V_B = \frac{2}{4 \pi \varepsilon_0} Q \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{\sqrt{a^2 + s^2}}\right) = \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{\sqrt{a^2 + s^2}}\right)$ મળે છે.

(A) $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના પોલા વાહક ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{R}$.
અહીં,$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}$ એ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે બંને ગોળાઓ પર સમાન વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
તેથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ ત્રિજ્યા $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $V \propto \frac{1}{R}$.
અહીં $R_{1} >> R_{2}$ હોવાથી,નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $R_{2}$ છે.
$R_{2} < R_{1}$ હોવાથી,$V_{2} > V_{1}$ થશે.
આમ,નાના ગોળા પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન વધારે હશે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળાની અંદર સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V(r) = \frac{kQ}{2R^3} (3R^2 - r^2)$
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$V(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3} \left( \frac{3R^2 - r^2}{2} \right)$
$V(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R} \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{r}{R} \right)^2 \right)$
આ સમીકરણની સરખામણી આપેલ સ્વરૂપ $V(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R} (a + b(r/R)^c)$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$a = \frac{3}{2}$
$b = -\frac{1}{2}$
$c = 2$
આમ,$(a, b, c)$ ના મૂલ્યો $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 2)$ છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર વાહકનો વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$,જેના પર $q$ વિદ્યુતભાર છે,તે $V = \frac{k q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્થિર વિદ્યુત અચળાંક છે.
જેમ કે વિદ્યુતભાર એક સમયે એક ઇલેક્ટ્રોન ઉમેરીને વધારવામાં આવે છે,કણ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ ક્વોન્ટાઈઝ્ડ છે,એટલે કે $q = n e$,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે અને $e$ એ પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર છે.
સ્થિતિમાનના સૂત્રમાં $q = n e$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{k (n e)}{r}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે જેમ દરેક ઇલેક્ટ્રોન કણમાં ઉમેરવામાં આવે છે તેમ સ્થિતિમાન $V$ અલગ-અલગ પગલાઓમાં વધે છે.
તેથી,કુલ વિદ્યુતભાર $q$ વિરુદ્ધ લાગુ કરેલા વોલ્ટેજ $V$ નો આલેખ એક સ્ટેપ ફંક્શન હશે,જ્યાં વિદ્યુતભાર સ્થિતિમાનની ચોક્કસ શ્રેણી માટે $e$ ના દરેક પૂર્ણાંક ગુણાંક પર સ્થિર રહે છે,અને પછી જેમ આગળનો ઇલેક્ટ્રોન ઉમેરવામાં આવે છે તેમ તે આગલા સ્તર પર કૂદકો મારે છે.

(B) રીંગ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{\text{total}}$ એ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ નું પરિઘ પરનું સંકલન છે:
$q_{\text{total}} = \int_0^{2\pi} \lambda (r d\theta) = \int_0^{2\pi} \frac{q \sin^2 \theta}{\pi r} (r d\theta) = \frac{q}{\pi} \int_0^{2\pi} \sin^2 \theta d\theta$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = (1 - \cos 2\theta) / 2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$q_{\text{total}} = \frac{q}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{q}{2\pi} [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{2\pi} = \frac{q}{2\pi} (2\pi) = q$
રીંગના તમામ બિંદુઓ કેન્દ્રથી $r$ અંતરે હોવાથી,કેન્દ્ર પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$:
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac{dq}{r} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 r} \int dq = \frac{q_{\text{total}}}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}$
વિદ્યુતભાર $Q$ ને કેન્દ્રથી અનંત સુધી લઈ જવા માટે વિદ્યુત બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = Q(V_{\text{centre}} - V_{\infty})$ છે. $V_{\infty} = 0$ હોવાથી:
$W = Q \cdot V = \frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 r}$

(B) જ્યારે ધાતુની તકતી ફરે છે,ત્યારે તકતીની અંદરના મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ કેન્દ્રત્યાગી બળ અનુભવે છે,જે $F_c = m\omega^2 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$\omega$ એ કોણીય વેગ છે,અને $r$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી અંતર છે.
આ કેન્દ્રત્યાગી બળને કારણે,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્રથી તકતીની કિનારી તરફ સ્થળાંતર કરે છે.
પરિણામે,તકતીની કિનારી પર ચોખ્ખો ઋણ વીજભાર જમા થાય છે,જ્યારે કેન્દ્ર ધન વીજભારિત બને છે.
સ્થિતિમાન $V$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સાથે $E = -dV/dr$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,અને વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન કેન્દ્રથી ઋણ કિનારી તરફ હોય છે,તેથી જેમ આપણે કેન્દ્રથી કિનારી તરફ જઈએ છીએ તેમ સ્થિતિમાન ઘટે છે.
તેથી,તકતીની કિનારી પરનો બિંદુ તેના કેન્દ્ર કરતા નીચા સ્થિતિમાન પર હોય છે.

(A) ધારો કે નાના સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. મોટા સમઘનની બાજુની લંબાઈ $2a$ છે અને તે આવા $8$ નાના સમઘનનો બનેલો છે.
ધારો કે $V_c$ એ $a$ બાજુ અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા નાના સમઘનના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન છે. મોટા સમઘનના કેન્દ્ર (બિંદુ $A$) પરનું કુલ સ્થિતિમાન તેની આસપાસના $8$ નાના સમઘનને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
મોટા સમઘનનું કેન્દ્ર એ $8$ નાના સમઘનનો સામાન્ય ખૂણો હોવાથી,કેન્દ્ર $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = 8 \times V_{\text{નાના સમઘનનો ખૂણો}}$ થાય.
$a$ બાજુ ધરાવતા નાના સમઘન માટે,તેના પોતાના વિદ્યુતભાર $Q = \rho a^3$ ને કારણે તેના ખૂણા પરનું સ્થિતિમાન $V_{\text{ખૂણો}} = k \frac{Q}{a} = k \rho a^2$ છે (જ્યાં $k$ અચળાંક છે).
આમ,$V_A = 8 \times (k \rho a^2) = 8 k \rho a^2$.
હવે,$2a$ બાજુ ધરાવતા મોટા સમઘનના ખૂણા $B$ પરના સ્થિતિમાનનો વિચાર કરો. $L$ બાજુ અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા સમઘનના ખૂણા પરનું સ્થિતિમાન $\rho L^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$2a$ બાજુ ધરાવતા મોટા સમઘન માટે,$V_B = k \rho (2a)^2 = 4 k \rho a^2$.
કેન્દ્ર પરના સ્થિતિમાન અને ખૂણા પરના સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \frac{8 k \rho a^2}{4 k \rho a^2} = 2$ થાય.

$(D)$ ઇલેક્ટ્રોન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, $W = \Delta K = K_f - K_i$.
ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર થાય છે, તેથી $K_f = 0$, એટલે કે $W = -K_i = -\frac{1}{2}mv^2$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય $W = -qV$ છે, જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
બંનેને સરખાવતા, $-qV = -\frac{1}{2}mv^2$, જે આપે છે $V = \frac{mv^2}{2q}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{9 \times 10^{-31} \times (4.0 \times 10^6)^2}{2 \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$V = \frac{9 \times 10^{-31} \times 16 \times 10^{12}}{3.2 \times 10^{-19}} = \frac{144 \times 10^{-19}}{3.2 \times 10^{-19}} = 45 \, V$.
ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વીજભારિત હોવાથી, તે ઊંચા સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ ગતિ કરે ત્યારે તેની સ્થિતિઊર્જામાં વધારો થાય છે, જેના પરિણામે તેની ગતિઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે. તેથી, તે ઊંચા સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાનના વિસ્તારમાં ગતિ કરે છે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{kq}{r}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ છે.
બિંદુ $A(0, a)$ માટે,ઉગમબિંદુથી અંતર $r_A = \sqrt{0^2 + a^2} = a$ છે.
તેથી,$A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = \frac{kq}{a}$ થાય.
બિંદુ $B(a, 0)$ માટે,ઉગમબિંદુથી અંતર $r_B = \sqrt{a^2 + 0^2} = a$ છે.
તેથી,$B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{kq}{a}$ થાય.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_A - V_B = \frac{kq}{a} - \frac{kq}{a} = 0$ થાય.

(A) $(0, a)$ અને $(0, -a)$ પર મૂકવામાં આવેલા બે સમાન વિદ્યુતભારો $q$ ને કારણે $x$-અક્ષ પરના બિંદુ $x$ પાસેનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનના સરવાળા જેટલું હોય છે.
દરેક વિદ્યુતભારથી બિંદુ $(x, 0)$ નું અંતર $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ છે.
તેથી,કુલ સ્થિતિમાન $V$ છે:
$V = \frac{kq}{r} + \frac{kq}{r} = \frac{2kq}{\sqrt{x^2 + a^2}}$
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $V = \frac{2kq}{a}$,જે મહત્તમ મૂલ્ય છે.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $V \to 0$.
જેમ $x \to -\infty$,તેમ $V \to 0$.
$V$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત એવો ઘંટ આકારનો વક્ર છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) ધારો કે અંદરના ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે અને બહારના ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે,જ્યાં $x > R$,બંને ગોળાઓ કેન્દ્ર પર સ્થિત બિંદુવત વિદ્યુતભારો તરીકે વર્તે છે.
બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ બંને ગોળાઓને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{x} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{x}$
આપણને આપેલ છે કે બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન શૂન્ય છે,તેથી:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 x} (q + Q) = 0$
કારણ કે $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 x} \neq 0$,તેથી આપણે કહી શકીએ કે:
$q + Q = 0$
$q = -Q$
આમ,અંદરના ગોળાને $-Q$ જેટલો વિદ્યુતભાર આપવો જોઈએ.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_B - V_A$ એ બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કરવામાં આવતું કાર્ય વિદ્યુતભાર $q$ ના મૂલ્ય અને બે બિંદુઓ વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત પર આધાર રાખે છે.
જોકે,વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા કણનું કાર્ય તેના દળ પર આધારિત નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત $V$ માં પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણ દ્વારા પ્રાપ્ત ગતિઊર્જા $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,ઝડપ $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ મળે છે.
કણ $A$ માટે,જેનો વિદ્યુતભાર $q_A = q$ અને દળ $m$ છે,તેની ઝડપ $v_A = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ થશે.
કણ $B$ માટે,જેનો વિદ્યુતભાર $q_B = 4q$ અને દળ $m$ છે,તેની ઝડપ $v_B = \sqrt{\frac{2(4q)V}{m}} = \sqrt{\frac{8qV}{m}} = 2\sqrt{\frac{2qV}{m}}$ થશે.
તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{\frac{2qV}{m}}}{2\sqrt{\frac{2qV}{m}}} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(C) સ્થિતિમાન $V_A$ ધરાવતા બિંદુથી સ્થિતિમાન $V_B$ ધરાવતા બિંદુ સુધી $q$ વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = q(V_B - V_A)$
આપેલ છે:
$W = 50 \, J$
$q = 2 \, C$
$V_A = -10 \, V$
$V_B = V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$50 = 2(V - (-10))$
$50 = 2(V + 10)$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$25 = V + 10$
$V = 25 - 10$
$V = 15 \, V$
તેથી,$V$ નું મૂલ્ય $15 \, V$ છે.

(B) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણ દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર: $KE = qV$ છે.
અહીં,પ્રોટોનનો વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 1 \text{ મિલિયન વોલ્ટ} = 10^6 \,V$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$KE = (1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (10^6 \,V)$
$KE = 1.6 \times 10^{-13} \,J$.
આમ,પ્રોટોન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $1.6 \times 10^{-13} \,J$ છે.

(B) સ્થિત-વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે,તેથી થયેલ કાર્ય માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે,પથ પર નહીં. વિદ્યુતભાર $q_0$ ને $A$ થી $B$ સુધી લઈ જવા માટે થયેલ કાર્ય $W = q_0(V_B - V_A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ છે.
અહીં ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ પર $q = 8 \, mC = 8 \times 10^{-3} \, C$ છે.
બિંદુ $A$ એ $(0,0,3 \, cm)$ પર છે,તેથી $r_A = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$.
$V_A = \frac{9 \times 10^9 \times 8 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-2}} = 24 \times 10^8 \, V$.
બિંદુ $B$ એ $(0,4 \, cm, 0)$ પર છે,તેથી $r_B = 4 \, cm = 4 \times 10^{-2} \, m$.
$V_B = \frac{9 \times 10^9 \times 8 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-2}} = 18 \times 10^8 \, V$.
થયેલ કાર્ય $W = q_0(V_B - V_A) = (-2 \times 10^{-9} \, C) \times (18 \times 10^8 - 24 \times 10^8) \, V$.
$W = (-2 \times 10^{-9}) \times (-6 \times 10^8) \, J = 12 \times 10^{-1} \, J = 1.2 \, J$.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારને પ્રારંભિક સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન પર લઈ જવામાં આવે ત્યારે સ્થિત-વિદ્યુત બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = -\Delta U = -(U_f - U_i) = U_i - U_f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,આઠ આસપાસના વિદ્યુતભારોને કારણે કેન્દ્રમાં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ ની સ્થિતિ ઊર્જા $U_i$ એ કેન્દ્રમાં રહેલા વિદ્યુતભાર અને આઠ વિદ્યુતભારો વચ્ચેની સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે.
આઠ વિદ્યુતભારોમાંથી દરેક કેન્દ્રથી $r$ અંતરે હોવાથી,આઠ વિદ્યુતભારોને કારણે કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V_i = 8 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r} = \frac{8 q}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ છે.
કેન્દ્રમાં રહેલા વિદ્યુતભારની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = q V_i = \frac{8 q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ છે.
જ્યારે કેન્દ્રમાં રહેલા વિદ્યુતભારને અનંત અંતરે લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = 0$ થાય છે કારણ કે અંતર અનંત થઈ જાય છે.
તેથી,સ્થિત-વિદ્યુત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = U_i - U_f = \frac{8 q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r} - 0 = \frac{8 q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત અવાહક ઘન ગોળા માટે,અનંત અંતરની સાપેક્ષમાં સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $(V_s)$ અને કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $(V_c)$ નીચે મુજબ છે:
$V_s = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R} = V$
$V_c = \frac{3}{2} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R} = \frac{3}{2}V$
જો આપણે સંદર્ભ બિંદુને એવી રીતે બદલીએ કે જેથી સપાટી પરનું સ્થિતિમાન શૂન્ય થઈ જાય,તો આપણે દરેક બિંદુના સ્થિતિમાનમાંથી $V$ બાદ કરીશું.
સપાટી પરનું નવું સ્થિતિમાન,$V'_s = V_s - V = V - V = 0$
કેન્દ્ર પરનું નવું સ્થિતિમાન,$V'_c = V_c - V = \frac{3}{2}V - V = \frac{V}{2}$

(B) વિદ્યુતભારોના તંત્રને કારણે $P(r, 0)$ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે.
$V = V_1 + V_2 + V_3$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q}{r+a} + \frac{-2q}{r} + \frac{q}{r-a} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{r+a} + \frac{1}{r-a} - \frac{2}{r} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{(r-a) + (r+a)}{r^2 - a^2} - \frac{2}{r} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2r}{r^2 - a^2} - \frac{2}{r} \right]$
$V = \frac{2q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2 - (r^2 - a^2)}{r(r^2 - a^2)} \right]$
$V = \frac{2q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{a^2}{r(r^2 - a^2)} \right]$
અહીં $r \gg a$ હોવાથી,આપણે $r^2 - a^2 \approx r^2$ લઈ શકીએ.
$V \approx \frac{2q}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{a^2}{r^3} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 q a^2}{r^3}$.

(D) સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત અવાહક ગોળાના કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_c = \frac{3 k q}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે સપાટીથી એવું અંતર $x$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી તે બિંદુ પરનું સ્થિતિમાન $V_s$ એ $V_c$ કરતા અડધું હોય. ગોળાના કેન્દ્રથી આ બિંદુનું અંતર $r = R + x$ છે.
બિંદુ ગોળાની બહાર હોવાથી $(r > R)$,સ્થિતિમાન $V_s = \frac{k q}{r} = \frac{k q}{R + x}$ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,$V_s = \frac{1}{2} V_c$.
પદ મૂકતા:
$\frac{k q}{R + x} = \frac{1}{2} \left( \frac{3 k q}{2 R} \right)$
$\frac{k q}{R + x} = \frac{3 k q}{4 R}$
$\frac{1}{R + x} = \frac{3}{4 R}$
$4 R = 3(R + x)$
$4 R = 3 R + 3 x$
$3 x = R$
$x = \frac{R}{3}$

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રને કારણે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે.
અહીં વિદ્યુતભારો $q_1 = q$ (સ્થાન $x_1 = 1 \, m$),$q_2 = -q$ (સ્થાન $x_2 = 2 \, m$),$q_3 = q$ (સ્થાન $x_3 = 4 \, m$),$q_4 = -q$ (સ્થાન $x_4 = 8 \, m$) વગેરે છે.
$x = 0$ આગળ સ્થિતિમાન $V = \sum \frac{k q_i}{r_i}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$.
$V = k \left( \frac{q}{1} - \frac{q}{2} + \frac{q}{4} - \frac{q}{8} + \dots \right)$
$V = kq \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \dots \right)$
કૌંસમાં રહેલી શ્રેણી એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -1/2$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ થાય.
$S = \frac{1}{1 - (-1/2)} = \frac{1}{1 + 1/2} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$V = kq \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{2q}{3} \right)$.

(A) ત્રિજ્યા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી રીંગના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉગમબિંદુ $(x=0)$ પર,સ્થિતિમાન $V_{center} = \frac{kq}{a}$ છે.
જેમ જેમ પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q_0$ ઉગમબિંદુથી દૂર $x$-અક્ષ પર ગતિ કરે છે,તેમ અંતર $\sqrt{x^2 + a^2}$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થિતિમાન $V$ ઘટે છે.
પરીક્ષણ વિદ્યુતભારની સ્થિતિ ઉર્જા $U = q_0 V$ છે. જેમ $x$ વધે છે તેમ $V$ ઘટે છે,તેથી સ્થિતિ ઉર્જા $U$ પણ ઘટે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે. જેમ સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ઘટે છે,તેમ ગતિ ઉર્જા $K$ વધવી જોઈએ.
તેથી,જેમ પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર ઉગમબિંદુથી દૂર જાય છે તેમ તેની ઝડપ સતત વધે છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા $q_0$ વિદ્યુતભારને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W_{AB} = q_0(V_A - V_B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ રીતે,$A$ થી $C$ સુધી વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W_{AC} = q_0(V_A - V_C)$ છે.
જેহেতু $B$ અને $C$ એ $q$ વિદ્યુતભારને કેન્દ્રમાં રાખીને દોરેલા વર્તુળના પરિઘ પર આવેલા છે,તેથી બંને બિંદુઓ વિદ્યુતભાર $q$ થી સમાન અંતર $r$ પર છે.
તેથી,$B$ અને $C$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન છે,એટલે કે $V_B = V_C = \frac{kq}{r}$.
$V_B = V_C$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $W_{AB} = q_0(V_A - V_B) = q_0(V_A - V_C) = W_{AC}$.
$A$ એ વર્તુળની બહાર હોવાથી,$V_A \neq V_B$,તેથી $W_{AB} = W_{AC} \neq 0$.

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થતા $q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ગતિઊર્જા $(KE)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$KE = q \times V$
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 0.5 \, C$
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 2000 \, V$
કિંમતો મૂકતા:
$KE = 0.5 \times 2000 = 1000 \, J$
તેથી,પ્રાપ્ત થયેલી ગતિઊર્જા $1000 \, J$ છે.

(B) $r$ અંતરે રહેલા $q$ વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યા અને રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતા અર્ધ-વલય માટે,કુલ વિદ્યુતભાર $q = \lambda \times (\pi R)$ થાય.
$R_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પ્રથમ અર્ધ-વલયને કારણે કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda \pi R_1}{R_1} = \frac{\lambda}{4 \epsilon_0}$ છે.
$R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બીજા અર્ધ-વલયને કારણે કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $V_2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\lambda \pi R_2}{R_2} = \frac{\lambda}{4 \epsilon_0}$ છે.
કેન્દ્ર પર કુલ સ્થિતિમાન $V = V_1 + V_2 = \frac{\lambda}{4 \epsilon_0} + \frac{\lambda}{4 \epsilon_0} = \frac{2 \lambda}{4 \epsilon_0} = \frac{\lambda}{2 \epsilon_0}$ થાય.