Euclid's Definitions, Axioms and Postulates Questions in Hindi

(N/A) ऊपर दी गई आकृति में,रेखाखंड $AC$ रेखाखंडों $AB$ और $BC$ के योग के संपाती है।
यूक्लिड की अभिगृहीत $(4)$ के अनुसार,वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती होती हैं,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
चूँकि रेखाखंड $AB + BC$ रेखाखंड $AC$ के संपाती है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि:
$AB + BC = AC$
ध्यान दें कि इस उपपत्ति में,यह मान लिया गया है कि दो भिन्न बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।

(N/A) उपरोक्त कथन में,किसी भी लंबाई का एक रेखाखंड दिया गया है,मान लीजिए $AB$ [देखिए आकृति $(i)$]।
यहाँ,आपको कुछ रचना करने की आवश्यकता है। यूक्लिड की अभिधारणा $3$ का उपयोग करके,आप बिंदु $A$ को केंद्र मानकर और $AB$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींच सकते हैं [देखिए आकृति $(ii)$]। इसी प्रकार,बिंदु $B$ को केंद्र मानकर और $BA$ को त्रिज्या मानकर एक और वृत्त खींचिए। ये दोनों वृत्त एक बिंदु पर मिलते हैं,मान लीजिए $C$। अब,$\Delta ABC$ बनाने के लिए रेखाखंड $AC$ और $BC$ खींचिए [देखिए आकृति $(iii)$]।
अतः,आपको यह सिद्ध करना है कि यह त्रिभुज समबाहु है,अर्थात $AB = AC = BC$।
अब,$AB = AC$,क्योंकि वे एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं $(1)$।
इसी प्रकार,$AB = BC$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) $(2)$।
इन दो तथ्यों से,और यूक्लिड के इस अभिगृहीत से कि जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों,वे एक-दूसरे के बराबर होती हैं,आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $AB = BC = AC$।
अतः,$\Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
ध्यान दें कि यहाँ यूक्लिड ने बिना कहीं उल्लेख किए यह मान लिया है कि $A$ और $B$ को केंद्र मानकर खींचे गए दो वृत्त एक-दूसरे को एक बिंदु पर काटेंगे।

(A-D) $(i)$ असत्य। यदि हम कागज की सतह पर एक बिंदु $O$ अंकित करें,तो हम $O$ से होकर जाने वाली अनंत सीधी रेखाएँ खींच सकते हैं।
$(ii)$ असत्य। दो भिन्न बिंदुओं $P$ और $Q$ से होकर जाने वाली केवल एक और एक ही रेखा होती है।
$(iii)$ सत्य। यूक्लिड की अभिधारणा $2$ के अनुसार,एक शांत रेखा को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।
$(iv)$ सत्य। यदि दो वृत्त बराबर हैं,तो एक-दूसरे पर रखने पर उनके केंद्र और परिधि संपाती होते हैं,इसलिए उनकी त्रिज्याएँ बराबर होनी चाहिए।
$(v)$ सत्य। यूक्लिड के अभिगृहीत के अनुसार,वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।

(N/A) समांतर रेखाएँ: एक समतल में स्थित दो रेखाओं को समांतर कहा जाता है यदि वे एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,चाहे उन्हें किसी भी दिशा में कितना भी आगे बढ़ाया जाए।
हाँ,अन्य पद हैं जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता है:
$1$. बिंदु: बिंदु अंतरिक्ष में एक ऐसा स्थान है जिसका कोई आयाम (लंबाई,चौड़ाई या मोटाई) नहीं होता है।
$2$. रेखा: रेखा एक चौड़ाई रहित लंबाई है जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली होती है।
$3$. समतल: एक सतह जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है।
$4$. प्रतिच्छेदन: दो रेखाओं को प्रतिच्छेदी कहा जाता है यदि उनका एक उभयनिष्ठ बिंदु हो।
$5$. रेखाओं के बीच की दूरी: दो समांतर रेखाओं के बीच की लंबवत दूरी सभी बिंदुओं पर स्थिर रहती है।

(N/A) हाँ,इन अभिगृहीतों में 'बिंदु' और 'रेखा' जैसे अपरिभाषित शब्द हैं।
ये अभिगृहीत सुसंगत हैं क्योंकि वे दो अलग-अलग स्थितियों से संबंधित हैं:
$(i)$ कहता है कि दो बिंदु $A$ और $B$ दिए गए हैं,तो उनके बीच की रेखा पर एक बिंदु $C$ स्थित है।
$(ii)$ कहता है कि,$A$ और $B$ दिए गए हैं,तो आप एक ऐसा बिंदु $C$ ले सकते हैं जो $A$ और $B$ से होकर जाने वाली रेखा पर स्थित नहीं है।
नहीं,ये अभिगृहीत यूक्लिड के अभिगृहीतों से प्राप्त नहीं होते हैं। हालाँकि,वे इस स्वयंसिद्ध (axiom) से प्राप्त होते हैं: 'दो भिन्न बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।'

(N/A) दिया है: बिंदु $C$,$A$ और $B$ के बीच इस प्रकार स्थित है कि $AC = BC$ है।
सिद्ध करना है: $AC = \frac{1}{2} AB$.
उपपत्ति:
चूंकि $C$,$A$ और $B$ के बीच स्थित है,इसलिए $AC + BC = AB$ होगा।
दिया गया है कि $AC = BC$ है।
समीकरण $AC + BC = AB$ में $BC$ के स्थान पर $AC$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC + AC = AB$
$2 AC = AB$
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC = \frac{1}{2} AB$.
इति सिद्धम्।

(N/A) दिया गया है कि $C$ रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AC = BC$ है।
चूंकि $AC + BC = AB$,हम लिख सकते हैं कि $AC + AC = AB$,जिसका अर्थ है $2AC = AB$,या $AC = \frac{1}{2} AB$ है।
यह सिद्ध करने के लिए कि प्रत्येक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है,मान लीजिए कि रेखाखंड $AB$ के दो अलग-अलग मध्य-बिंदु $C$ और $D$ हैं।
चूंकि $C$ एक मध्य-बिंदु है,$AC = \frac{1}{2} AB$ ............. $(1)$
चूंकि $D$ एक मध्य-बिंदु है,$AD = \frac{1}{2} AB$ ............. $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है कि $AC = AD$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $C$ और $D$ संपाती होने चाहिए।
अतः,प्रत्येक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है।

(N/A) हमें दिया गया है,
$AC = BD$ [दिया है] .......... $(1)$
चूँकि बिंदु $B$,$A$ और $C$ के बीच स्थित है,
$\therefore AC = AB + BC$ .......... $(2)$
इसी प्रकार,चूँकि बिंदु $C$,$B$ और $D$ के बीच स्थित है,
$\therefore BD = BC + CD$ .......... $(3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,
$AB + BC = BC + CD$
दोनों पक्षों से $BC$ घटाने पर (यूक्लिड का अभिगृहीत: यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए,तो शेषफल भी बराबर होते हैं),
$\Rightarrow AB = CD$.

(B) यूक्लिड के अभिगृहीतों की दी गई सूची में,अभिगृहीत $5$ कहता है: 'पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है'।
यह कथन ब्रह्मांड की सभी वस्तुओं और सभी भागों के लिए सत्य है,चाहे वस्तुएं किसी भी प्रकार की हों।
चूंकि यह बिना किसी अपवाद के सार्वभौमिक रूप से सत्य है,इसलिए इसे 'सार्वभौमिक सत्य' माना जाता है।

(A) कोई भी रेखा $l$ और उस पर स्थित न होने वाला एक बिंदु $P$ लीजिए।
प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध के अनुसार,जो यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के समतुल्य है,हम जानते हैं कि $P$ से होकर जाने वाली एक अद्वितीय रेखा $m$ है जो $l$ के समांतर है।
परिभाषा के अनुसार,एक बिंदु की रेखा से दूरी उस बिंदु से रेखा पर खींचे गए लंब की लंबाई होती है।
चूंकि रेखाएं समांतर हैं,इसलिए रेखा $m$ पर स्थित किसी भी बिंदु की रेखा $l$ से लंबवत दूरी समान रहती है।
अतः,ये दोनों रेखाएं हर जगह एक-दूसरे से समान दूरी पर होती हैं,जो कि पाँचवीं अभिधारणा का सीधा परिणाम है।

(N/A) यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को अक्सर जटिल माना जाता है। इसका एक समतुल्य और समझने में आसान संस्करण 'प्लेफेयर की अभिगृहीत' (Playfair's Axiom) के रूप में जाना जाता है,जो कहता है: 'प्रत्येक रेखा $l$ और उस पर स्थित न होने वाले प्रत्येक बिंदु $P$ के लिए,एक अद्वितीय रेखा $m$ का अस्तित्व होता है जो $P$ से होकर गुजरती है और $l$ के समांतर होती है।' वैकल्पिक रूप से,इसे इस प्रकार भी कहा जा सकता है: 'दो भिन्न प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा के समांतर नहीं हो सकती हैं।'

(N/A) हाँ,यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा समांतर रेखाओं के अस्तित्व को सूचित करती है।
यदि एक सीधी रेखा $l$ दो रेखाओं $m$ और $n$ पर इस प्रकार गिरती है कि $l$ के एक तरफ के अंतःकोणों का योग दो समकोण $(180^{\circ})$ के बराबर हो,तो यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के अनुसार,रेखाएँ $m$ और $n$ $l$ के इस तरफ कभी नहीं मिलेंगी।
चूँकि रेखा $l$ के दूसरी तरफ के अंतःकोणों का योग भी दो समकोण $(180^{\circ})$ के बराबर ही होगा,इसलिए रेखाएँ दूसरी तरफ भी कभी नहीं मिलेंगी।
$\therefore$ रेखाएँ $m$ और $n$ कभी नहीं मिलती हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक-दूसरे के समांतर हैं।

(N/A) लंब रेखाएँ: एक ही समतल में स्थित दो रेखाओं $p$ और $q$ को लंब कहा जाता है यदि वे समकोण $(90^{\circ})$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,और हम उन्हें $p \perp q$ के रूप में लिखते हैं।
हाँ,अन्य पद हैं जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता है:
$1$. रेखा: रेखा एक चौड़ाईहीन लंबाई है जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली होती है।
$2$. समतल: एक सतह जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है।
$3$. कोण: दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का झुकाव।
$4$. समकोण: वह कोण जिसका माप $90^{\circ}$ होता है।

(N/A) 'रेखाखंड' को एक रेखा के उस भाग के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके दो अलग-अलग अंत बिंदु होते हैं और जिसमें उनके बीच के रेखा पर स्थित सभी बिंदु शामिल होते हैं।
हाँ,अन्य शब्द हैं जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता है,विशेष रूप से 'बिंदु' और 'रेखा'।
$1$. बिंदु: बिंदु अंतरिक्ष में एक सटीक स्थान है जिसका कोई आयाम (लंबाई,चौड़ाई या ऊंचाई) नहीं होता है।
$2$. रेखा: रेखा एक सीधा पथ है जो दोनों दिशाओं में अनंत तक फैला होता है और जिसकी कोई मोटाई नहीं होती है।

(N/A) वृत्त की त्रिज्या की परिभाषा:
केंद्र से वृत्त पर स्थित किसी बिंदु तक की दूरी को वृत्त की त्रिज्या कहा जाता है। आकृति में,$P$ केंद्र है और $Q$ वृत्त पर एक बिंदु है,तो रेखाखंड $PQ$ त्रिज्या है।
अन्य पद जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता है:
$1$. वृत्त: एक समतल में उन सभी बिंदुओं का समूह जो एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित हों,वृत्त कहलाता है।
$2$. केंद्र: वह निश्चित बिंदु जिससे वृत्त के सभी बिंदु समान दूरी पर होते हैं,वृत्त का केंद्र कहलाता है।
$3$. बिंदु: बिंदु वह है जिसका कोई भाग नहीं होता।
$4$. समतल: समतल वह पृष्ठ है जो स्वयं पर स्थित सीधी रेखाओं के साथ समान रूप से स्थित होता है।

(N/A) वर्ग एक ऐसा चतुर्भुज है जिसमें चारों कोण समकोण होते हैं और चारों भुजाएँ बराबर होती हैं।
वर्ग को परिभाषित करने के लिए,हमें पहले निम्नलिखित पदों को परिभाषित करने की आवश्यकता है:
$1$. चतुर्भुज: चार रेखाखंडों से बनी एक सरल बंद आकृति।
$2$. रेखाखंड: दो अंत बिंदुओं वाली एक रेखा का भाग।
$3$. कोण: एक सामान्य प्रारंभिक बिंदु वाले दो किरणों के बीच का झुकाव।
$4$. समकोण: वह कोण जिसका माप $90^{\circ}$ हो।
आकृति में,$PQRS$ एक वर्ग है।

(A) यूक्लिड के अभिगृहीत ज्यामिति में उपयोग किए जाने वाले मौलिक अनुमान हैं। यूक्लिड के अभिगृहीतों की सूची इस प्रकार है:
$1$. वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
$2$. यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
$3$. यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए,तो शेषफल भी बराबर होते हैं।
$4$. वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
$5$. पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
अतः,यूक्लिड का दूसरा अभिगृहीत है: 'यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।'

(B) यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा यह बताती है कि यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर अपने एक ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोणों $(180^{\circ})$ से कम बनाती है,तो वे दोनों सीधी रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर उसी ओर मिलती हैं,जिस ओर कोणों का योग दो समकोणों से कम होता है। यह यूक्लिडियन ज्यामिति में समांतर अभिधारणा से संबंधित एक मौलिक सिद्धांत है।

(C) यूक्लिड के अभिगृहीतों (Axioms) के अनुसार,जो वस्तुएँ एक ही वस्तु की दोगुनी होती हैं,वे एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
यदि $x = 2a$ और $y = 2a$ है,तो $x = y$ होगा।
अतः,वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की दोगुनी होती हैं,वे बराबर होती हैं।

(D) गणित में,अभिगृहीत (Axioms) वे मूलभूत कथन या प्रस्ताव हैं जिन्हें बिना किसी प्रमाण के सत्य माना जाता है।
विशेष रूप से,यूक्लिड के अभिगृहीतों को सार्वभौमिक सत्य माना जाता है जो गणित की सभी शाखाओं पर लागू होते हैं,न कि केवल ज्यामिति पर।
प्रमेयों के विपरीत,जिन्हें अभिगृहीतों के आधार पर तार्किक प्रमाण की आवश्यकता होती है,अभिगृहीत सभी गणितीय तर्क के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य करते हैं।

(A) मान लीजिए जॉन की आयु $J$,मोहन की आयु $M$ और राम की आयु $R$ है।
दिया गया है कि $J = M$ और $R = M$ है।
यूक्लिड के प्रथम अभिगृहीत के अनुसार,'वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु के बराबर हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं'।
चूंकि $J$ और $R$ दोनों $M$ के बराबर हैं,इसलिए $J = R$ होगा।
अतः,जॉन और राम एक ही उम्र के हैं,जिसे प्रथम अभिगृहीत द्वारा दर्शाया गया है।

(A) यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा के अनुसार,यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरती है और अपने एक ही तरफ के आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ से कम बनाती है,तो वे दो सीधी रेखाएं,यदि अनिश्चित काल तक बढ़ाई जाएं,तो उस तरफ मिलती हैं जिस तरफ कोणों का योग $180^{\circ}$ से कम होता है।
दिए गए प्रश्न में,एक तरफ के आंतरिक कोणों का योग $120^{\circ}$ है।
चूंकि $120^{\circ} < 180^{\circ}$,इसलिए रेखाएं उस तरफ मिलेंगी जहां कोणों का योग $180^{\circ}$ से कम है।
दिए गए विकल्पों में से,रेखाएं उस तरफ मिलेंगी जहां योग $180^{\circ}$ से कम है।

(C) यूक्लिड की ज्यामिति के अनुसार,ज्यामितीय आकृतियों का पदानुक्रम इस प्रकार है:
$1$. एक ठोस में तीन आयाम होते हैं (लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई)।
$2$. ठोस की सीमा एक सतह होती है,जिसमें दो आयाम होते हैं (लंबाई और चौड़ाई)।
$3$. सतह की सीमा एक रेखा होती है,जिसमें एक आयाम होता है (लंबाई)।
$4$. रेखा का अंत एक बिंदु होता है,जिसका कोई आयाम नहीं होता है।
इसलिए,ठोस से बिंदुओं तक का क्रम है: ठोस $\rightarrow$ सतहें $\rightarrow$ रेखाएँ $\rightarrow$ बिंदु।

(D) एक ठोस एक त्रि-आयामी वस्तु है जिसकी लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई होती है। यह स्थान घेरता है और इसे एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाया जा सकता है। इसलिए,एक ठोस में $3$ विमाएँ होती हैं। उदाहरण के लिए: घनाभ,घन,बेलन और शंकु।

(A) ज्यामिति में,एक बिंदु के $0$ आयाम होते हैं,एक रेखा का $1$ आयाम होता है और एक सतह के $2$ आयाम (लंबाई और चौड़ाई) होते हैं। अतः,एक सतह में आयामों की संख्या $2$ होती है।

(B) यूक्लिड की ज्यामिति के अनुसार,बिंदु वह है जिसका कोई भाग नहीं होता है।
चूँकि इसकी न तो कोई लंबाई होती है,न चौड़ाई और न ही ऊँचाई,इसलिए यह कोई स्थान नहीं घेरता है।
अतः,एक बिंदु की $0$ विमाएँ होती हैं।

(C) यूक्लिड ने अपने प्रसिद्ध ग्रंथ "द एलिमेंट्स" (The Elements) को $13$ अध्यायों में विभाजित किया था,जिन्हें पुस्तकों के रूप में जाना जाता है।

(D) यूक्लिड का कार्य,जिसे 'Elements' कहा जाता है,$13$ पुस्तकों का एक संग्रह है।
इन पुस्तकों में कुल $465$ प्रमेय (propositions) शामिल हैं।
अतः,सही उत्तर $465$ है।

(A) यूक्लिड की ज्यामिति के अनुसार,ठोसों की सीमाएँ पृष्ठ (सतह) होती हैं। एक ठोस की तीन विमाएँ (लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई) होती हैं,और इसकी सीमा एक पृष्ठ होता है,जिसकी दो विमाएँ होती हैं।

(B) यूक्लिड की परिभाषाओं के अनुसार,एक पृष्ठ वह है जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है। पृष्ठ के किनारे या सीमाएँ वक्र (curves) होती हैं।

(B) यूक्लिड का दूसरा अभिगृहीत कहता है कि यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
दिए गए कथन में,हमारे पास $x+y=10$ है। दोनों पक्षों में $z$ जोड़ने पर,हमें $(x+y)+z = 10+z$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x+y$ और $10$ बराबर हैं,इसलिए दोनों पक्षों में समान राशि $z$ जोड़ने पर समानता बनी रहती है।
अतः,यह दूसरे अभिगृहीत को दर्शाता है।

(A) यूनानी मुख्य रूप से निगमनात्मक तर्क (Deductive reasoning) का उपयोग करके अपने द्वारा खोजे गए कथनों की सत्यता स्थापित करने में रुचि रखते थे।
निगमनात्मक तर्क में तार्किक निष्कर्ष पर पहुंचने के लिए स्थापित स्वयंसिद्धों (axioms),अभिगृहीतों (postulates) और पहले से सिद्ध किए गए प्रमेयों का उपयोग किया जाता है।
एक यूनानी गणितज्ञ,थेल्स (Thales) को इस पद्धति का उपयोग करके पहली ज्ञात उपपत्ति (proof) देने का श्रेय दिया जाता है।

(C) यूक्लिड यूनान (Greece) देश से संबंधित थे।
यूक्लिड ने लगभग $300 \, B.C.$ में गणित के क्षेत्र में ज्ञात सभी कार्यों को एकत्रित किया और उन्हें अपने प्रसिद्ध ग्रंथ 'एलिमेंट्स' (Elements) में व्यवस्थित किया।

(D) पायथागोरस $(572 \, BC)$ थेल्स के छात्र थे।
पायथागोरस और उनके समूह ने ज्यामिति के कई गुणों की खोज की और ज्यामिति के सिद्धांत को काफी हद तक विकसित किया।
यह प्रक्रिया $300 \, BC$ तक जारी रही।
उस समय,मिस्र के अलेक्जेंड्रिया में गणित के शिक्षक यूक्लिड ने सभी ज्ञात कार्यों को एकत्र किया और उन्हें अपने प्रसिद्ध ग्रंथ में व्यवस्थित किया।

(A) $\text{प्रमेय}$ एक ऐसा गणितीय कथन है जिसे पहले से स्थापित कथनों जैसे कि अन्य प्रमेयों,अभिगृहीतों (Axioms) और अभिकल्पनाओं (Postulates) के आधार पर सिद्ध किया गया है। अभिगृहीतों और अभिकल्पनाओं के विपरीत,जिन्हें बिना किसी प्रमाण के सत्य मान लिया जाता है,एक प्रमेय को वैध गणितीय सत्य के रूप में स्वीकार करने के लिए तार्किक प्रमाण की आवश्यकता होती है।

(B) यूक्लिड की चौथी अभिकल्पना (Postulate) यह बताती है कि सभी समकोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं। अतः,सही उत्तर अभिकल्पना है।

(C) यूक्लिड की ज्यामिति में,वह कथन जो किसी पद या अवधारणा के अर्थ को स्पष्ट करता है,उसे परिभाषा कहा जाता है। 'रेखाएँ समांतर होती हैं यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करती हैं' कथन समांतर रेखाओं की अवधारणा को परिभाषित करता है। अतः,यह एक परिभाषा है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
वैदिक काल की ज्यामिति का उद्भव वैदिक अनुष्ठानों को करने के लिए 'वेदियों' और अग्निकुंडों के निर्माण के साथ हुआ था।
घरेलू अनुष्ठानों में वर्गाकार और वृत्ताकार आकृतियों वाली वेदियों का उपयोग किया जाता था,जबकि सार्वजनिक पूजा के लिए जटिल आकृतियों वाली वेदियों का उपयोग किया जाता था,जो आयतों,त्रिभुजों और समलंबों के संयोजन से बनी होती थीं।

(TRUE) सत्य। ज्यामिति में,एक बिंदु,एक रेखा और एक तल को परिभाषित करने के लिए,हमें अन्य कई पदों को परिभाषित करने की आवश्यकता होगी,जिससे परिभाषाओं की एक अनंत श्रृंखला बन जाएगी। इस कारण से,गणितज्ञों ने इन मूलभूत ज्यामितीय अवधारणाओं को अपरिभाषित पदों के रूप में स्वीकार करने पर सहमति व्यक्त की है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
यूक्लिड के प्रथम अभिगृहीत के अनुसार: 'वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।'
माना त्रिभुज का क्षेत्रफल $A_1$ है,आयत का क्षेत्रफल $A_2$ है और वर्ग का क्षेत्रफल $A_3$ है।
दिया गया है: $A_1 = A_2$ और $A_2 = A_3$।
चूंकि $A_1$ और $A_3$ दोनों एक ही राशि $A_2$ के बराबर हैं,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $A_1 = A_3$।
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है।

(A) यह कथन सत्य है।
यूक्लिड का चौथा अभिगृहीत कहता है कि वे वस्तुएं जो परस्पर संपाती होती हैं,एक-दूसरे के बराबर होती हैं। इसका अर्थ यह है कि यदि दो वस्तुओं को एक-दूसरे के ऊपर इस प्रकार रखा जाए कि वे एक-दूसरे को पूरी तरह से ढक लें,तो वे आकार और माप में समान हैं,और इसलिए वे बराबर हैं।

(TRUE) सत्य। यूक्लिड की ज्यामिति एक समतल सतह (यूक्लिडियन समतल) की धारणा पर आधारित है। यह वक्र सतहों पर मान्य नहीं है। उदाहरण के लिए,एक गोलाकार सतह पर,एक त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ से अधिक होता है।

(B) दिया गया कथन $False$ (असत्य) है।
यूक्लिडियन ज्यामिति यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रतिपादित एक गणितीय प्रणाली है,जो एक समतल,द्वि-आयामी स्थान (यूक्लिडियन समतल) में बिंदुओं,रेखाओं और तलों के गुणों का वर्णन करती है।
यह विशेष रूप से समतल पृष्ठों के लिए डिज़ाइन की गई है। वक्र पृष्ठों पर ज्यामिति को गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति (जैसे गोलीय या अतिपरवलयिक ज्यामिति) के रूप में जाना जाता है।
इसलिए,यूक्लिडियन ज्यामिति वक्र पृष्ठों के लिए मान्य नहीं है।

(FALSE) दिया गया कथन असत्य है।
औचित्य: यूक्लिड की ज्यामिति के अनुसार,ठोसों की सीमाएँ पृष्ठ (surfaces) होती हैं,न कि वक्र। एक ठोस की तीन विमाएँ (लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई) होती हैं,इसकी सीमाएँ पृष्ठ (द्विविमीय) होती हैं और पृष्ठों की सीमाएँ वक्र या सीधी रेखाएँ (एकविमीय) होती हैं।

(B) दिया गया कथन असत्य है।
यूक्लिड की ज्यामिति के अनुसार,पृष्ठ के किनारे रेखाएँ होते हैं,वक्र नहीं। एक पृष्ठ को उस रूप में परिभाषित किया गया है जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है,और इसकी सीमाएँ या किनारे रेखाएँ होते हैं।

(A) सत्य।
यह कथन यूक्लिड के अभिगृहीतों (axioms) में से एक है। यूक्लिड के अभिगृहीत ज्यामिति में उपयोग की जाने वाली मूलभूत धारणाएं हैं। विशेष रूप से,यूक्लिड का छठा अभिगृहीत कहता है कि "वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु की दोगुनी हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।"
यदि हमारे पास दो राशियाँ $x$ और $y$ हैं जो दोनों एक राशि $z$ की दोगुनी हैं,तो $x = 2z$ और $y = 2z$ होगा। चूंकि $x$ और $y$ दोनों $2z$ के बराबर हैं,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $x = y$।

(TRUE) दिया गया कथन सत्य है।
यूक्लिड के अभिगृहीत के अनुसार,"पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।"
विशेष रूप से,यूक्लिड की तीसरी सामान्य धारणा यह बताती है कि यदि एक राशि $B$ दूसरी राशि $A$ का एक भाग है,तो एक अन्य राशि $C$ का अस्तित्व इस प्रकार है कि $A = B + C$।

(FALSE) दिया गया कथन असत्य है।
औचित्य: अभिगृहीत (Axioms) वे आधारभूत धारणाएँ हैं जिन्हें बिना किसी प्रमाण के सत्य मान लिया जाता है। जो कथन इन अभिगृहीतों,अभिधारणाओं और पहले से सिद्ध किए गए कथनों का उपयोग करके सिद्ध किए जाते हैं,उन्हें प्रमेय (Theorems) कहा जाता है।

(A) दिया गया कथन सत्य है।
औचित्य: प्लेफेयर का अभिगृहीत यह बताता है कि प्रत्येक रेखा $l$ और रेखा $l$ पर स्थित न होने वाले प्रत्येक बिंदु $P$ के लिए,$P$ से होकर जाने वाली और $l$ के समांतर एक अद्वितीय रेखा $m$ का अस्तित्व होता है। यह अभिगृहीत यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा का एक समतुल्य रूप है,जो यूक्लिडियन ज्यामिति का एक मूलभूत सिद्धांत है।

(A) यह कथन $True$ (सत्य) है।
औचित्य: प्लेफेयर के अभिगृहीत के अनुसार,जो यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा का एक समतुल्य रूप है,यदि एक रेखा $l$ और एक बिंदु $P$ ($l$ पर स्थित नहीं) दिए गए हैं,तो $P$ से होकर जाने वाली एक और केवल एक ही रेखा $m$ ऐसी होती है जो $l$ के समांतर होती है।
यदि दो भिन्न प्रतिच्छेदी रेखाएँ $m_1$ और $m_2$ दोनों एक ही रेखा $l$ के समांतर होतीं,तो यह इस गुण का खंडन करता कि एक दी गई रेखा पर स्थित न होने वाले बिंदु से होकर जाने वाली केवल एक ही अद्वितीय रेखा दी गई रेखा के समांतर होती है। अतः,दो भिन्न प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा के समांतर नहीं हो सकती हैं।