Euclid's Definitions, Axioms and Postulates Questions in Hindi

(A) दिया गया कथन $True$ (सत्य) है। सदियों तक,गणितज्ञों ने यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा (समांतर अभिधारणा) को उनकी अन्य चार अभिधारणाओं और अभिगृहीतों का उपयोग करके सिद्ध करने का प्रयास किया। ये प्रयास इसे एक प्रमेय के रूप में सिद्ध करने में विफल रहे,लेकिन अंततः इनके कारण ज्यामिति की कई अन्य सुसंगत प्रणालियों की खोज हुई,जिन्हें सामूहिक रूप से गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति (non-Euclidean geometries) के रूप में जाना जाता है,जैसे कि गोलीय ज्यामिति (spherical geometry) और अतिपरवलयिक ज्यामिति (hyperbolic geometry)।

(C) मान लीजिए कि राम और रवि दोनों का प्रारंभिक वजन $x\, kg$ है।
$2\, kg$ वजन बढ़ने के बाद,राम का नया वजन $(x + 2)\, kg$ और रवि का नया वजन $(x + 2)\, kg$ हो जाता है।
यूक्लिड के दूसरे अभिगृहीत (axiom) के अनुसार,यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
इसलिए,चूंकि प्रारंभिक वजन समान थे और दोनों में समान मात्रा जोड़ी गई थी,इसलिए उनके नए वजन भी समान रहेंगे।

(A) दिया गया समीकरण: $a-15=25$ है।
$a$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण के दोनों पक्षों में $15$ जोड़िए।
$a-15+15=25+15$ प्राप्त होता है।
$a=40$ है।
यहाँ उपयोग किया गया अभिगृहीत यूक्लिड का दूसरा अभिगृहीत है,जो कहता है: "यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।"

(N/A) दिया है: $\angle 1 = \angle 3$,$\angle 2 = \angle 4$ और $\angle 3 = \angle 4$।
यूक्लिड का पहला अभिगृहीत कहता है कि 'वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु के बराबर हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं'।
चूंकि $\angle 1 = \angle 3$ और $\angle 3 = \angle 4$ है,इसलिए $\angle 1 = \angle 4$ होगा।
अब,हमारे पास $\angle 1 = \angle 4$ और $\angle 2 = \angle 4$ है।
यूक्लिड के पहले अभिगृहीत को लागू करने पर,चूंकि $\angle 1$ और $\angle 2$ दोनों एक ही कोण $\angle 4$ के बराबर हैं,इसलिए $\angle 1 = \angle 2$ होगा।

(N/A) दिया गया है कि $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AB = 2AC$ है।
दिया गया है कि $D$,$XY$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $XY = 2XD$ है।
हमें यह भी दिया गया है कि $AC = XD$ है।
चूँकि वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की दोगुनी हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं (यूक्लिड का अभिगृहीत),इसलिए हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $AB = XY$ है।

(N/A) मान लीजिए कि अगस्त के महीने में दो सेल्समैन की बिक्री $x$ और $y$ है।
चूंकि वे अगस्त के महीने में समान बिक्री करते हैं,इसलिए $x = y$ है।
सितंबर में,प्रत्येक सेल्समैन अगस्त के महीने की अपनी बिक्री को दोगुना कर देता है,इसलिए उनकी बिक्री $2x$ और $2y$ हो जाती है।
यूक्लिड के अभिगृहीत के अनुसार,'वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु की दोगुनी हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं'।
अतः,चूंकि $x = y$ है,इसलिए $2x = 2y$ होगा।
इसलिए,हम कह सकते हैं कि सितंबर के महीने में भी दोनों सेल्समैन समान बिक्री करते हैं।

(B) दिया गया है कि $x+y=10$ और $x=z$ है।
यूक्लिड के दूसरे अभिगृहीत के अनुसार,यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
चूंकि $x=z$ है,हम समीकरण $x=z$ के दोनों पक्षों में $y$ जोड़ सकते हैं:
$x+y = z+y$.
हमें दिया गया है कि $x+y=10$ है। उपरोक्त समीकरण में $x+y$ के स्थान पर $10$ प्रतिस्थापित करने पर:
$10 = z+y$.
अतः,$z+y=10$ है।

(N/A) हम देखते हैं कि $AB, BC$ और $CD$ रेखाखंड $AD$ के भाग हैं।
अब,$AB + BC + CD = AD$ $......(1)$
यूक्लिड के अभिगृहीत $5$ के अनुसार,पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है। चूँकि $AD$,रेखाखंड $AH$ का एक भाग है,इसलिए:
$AH > AD$
अर्थात,लंबाई $AH >$ लंबाई $AB + BC + CD$ का योग $[(1)$ का उपयोग करने पर]।

(N/A) हमें दिया गया है कि:
$AB = BC$ ... $(1)$
$BX = BY$ ... $(2)$
यूक्लिड के अभिगृहीत $3$ के अनुसार,यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए,तो शेषफल भी बराबर होते हैं।
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB - BX = BC - BY$
आकृति से,$AB - BX = AX$ और $BC - BY = CY$ है।
अतः,$AX = CY$।

(N/A) दिया है: $AX = CY$ और $X, Y$ क्रमशः $AC$ और $BC$ के मध्य-बिंदु हैं।
चूंकि $X, AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AC = 2AX$ है।
चूंकि $Y, BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BC = 2CY$ है।
यूक्लिड के अभिगृहीत $6$ के अनुसार,"वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु की दोगुनी हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।"
चूंकि $AX = CY$ है,इसलिए उनके दोगुने भी बराबर होने चाहिए।
अतः,$2AX = 2CY$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $AC = BC$ प्राप्त होता है।

(N/A) हमें दिया गया है कि $AB = BC$ [दिया है]।
यूक्लिड के अभिगृहीत के अनुसार,वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु की आधी हों,वे एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
चूंकि $AB = BC$ है,इसलिए उनके आधे भाग भी बराबर होने चाहिए:
$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} BC$।
हमें दिया गया है कि $BX = \frac{1}{2} AB$ और $BY = \frac{1}{2} BC$,इसलिए हम इन मानों को उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$BX = BY$ सिद्ध होता है।

(N/A) हमें दिया गया है:
$\angle 1 = \angle 2$ (दिया है)
$\angle 2 = \angle 3$ (दिया है)
यूक्लिड के प्रथम अभिगृहीत के अनुसार,"वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु के बराबर हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।"
चूंकि $\angle 1$ और $\angle 3$ दोनों $\angle 2$ के बराबर हैं,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $\angle 1 = \angle 3$ है।

(N/A) हमारे पास $\angle 1 = \angle 3$ ..... $(1)$ [दिया है]
और $\angle 2 = \angle 4$ ..... $(2)$ [दिया है]
अब,यूक्लिड के अभिगृहीत $2$ के अनुसार,जो कहता है कि यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है
$\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 4$
चूंकि $\angle 1 + \angle 2 = \angle A$ और $\angle 3 + \angle 4 = \angle C$ है,
अतः,$\angle A = \angle C$।

(N/A) हमें दिया गया है:
$\angle ABC = \angle ACB$ ...$(1)$
$\angle 3 = \angle 4$ ...$(2)$
यूक्लिड के अभिगृहीत $3$ के अनुसार,यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए,तो शेषफल भी बराबर होते हैं।
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle ABC - \angle 4 = \angle ACB - \angle 3$
आकृति से,$\angle ABC - \angle 4 = \angle 1$ और $\angle ACB - \angle 3 = \angle 2$ है।
अतः,$\angle 1 = \angle 2$ है।

(N/A) हमारे पास $AC = DC$ $\dots(1)$ [दिया है]
और $CB = CE$ $\dots(2)$ [दिया है]
अब,यूक्लिड के दूसरे अभिगृहीत के अनुसार,यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC + CB = DC + CE$
चूंकि $AC + CB = AB$ और $DC + CE = DE$,इसलिए:
$AB = DE$.

(N/A) दिया है: $OX = \frac{1}{2} XY$,$PX = \frac{1}{2} XZ$ और $OX = PX$ है।
चूंकि $OX = PX$ है,हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{1}{2} XY = \frac{1}{2} XZ$
यूक्लिड के अभिगृहीत के अनुसार,"वे वस्तुएं जो एक ही वस्तुओं की दोगुनी हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।"
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 \times (\frac{1}{2} XY) = 2 \times (\frac{1}{2} XZ)$
$XY = XZ$
अतः,यह सिद्ध हुआ कि $XY = XZ$ है।

(N/A) दिया है: $AB = BC$ ... $(1)$
चूंकि $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए हमारे पास $AM = MB = \frac{1}{2} AB$ है।
अतः,$AB = 2 AM$ ... $(2)$
चूंकि $N$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए हमारे पास $BN = NC = \frac{1}{2} BC$ है।
अतः,$BC = 2 NC$ ... $(3)$
समीकरण $(1)$ से,हमारे पास $AB = BC$ है।
समीकरण $(2)$ और $(3)$ के मानों को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 AM = 2 NC$
यूक्लिड के अभिगृहीत के अनुसार: "वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु की आधी हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।"
चूंकि $AM = \frac{1}{2} AB$ और $NC = \frac{1}{2} BC$ है,और $AB = BC$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $AM = NC$ है।

(N/A) दिया है: $BM = BN$ ... $(1)$
चूंकि $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AM = BM$ ... $(2)$
चूंकि $N$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BN = NC$ ... $(3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हम कह सकते हैं कि $AM = NC$ ... $(4)$
अब,$(1)$ और $(4)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$BM + AM = BN + NC$
चूंकि $BM + AM = AB$ और $BN + NC = BC$,इसलिए:
$AB = BC$
यह यूक्लिड के दूसरे अभिगृहीत द्वारा सिद्ध होता है: "यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।"

(N/A) परिभाषित किए जाने वाले पद:
बहुभुज: तीन या अधिक रेखाखंडों से बनी एक सरल बंद आकृति।
रेखाखंड: दो अंत बिंदुओं वाली एक रेखा का भाग।
रेखा: अपरिभाषित पद।
बिंदु: अपरिभाषित पद।
कोण: एक उभयनिष्ठ प्रारंभिक बिंदु वाली दो किरणों से बनी आकृति।
किरण: एक अंत बिंदु वाली रेखा का भाग।
समकोण: वह कोण जिसका माप $90^{\circ}$ हो।
प्रयुक्त अपरिभाषित पद हैं: रेखा,बिंदु।
यूक्लिड की चौथी अभिधारणा कहती है कि "सभी समकोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं।"
एक वर्ग में,सभी कोण समकोण होते हैं; इसलिए,सभी कोण बराबर हैं (यूक्लिड की चौथी अभिधारणा से)।
तीन रेखाखंड चौथे रेखाखंड के बराबर हैं (दिया गया है)।
इसलिए,एक वर्ग की चारों भुजाएँ बराबर हैं (यूक्लिड के पहले अभिगृहीत द्वारा: "वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।")

(N/A) परिभाषित किए जाने वाले पद हैं:
$1$. बहुभुज: तीन या अधिक रेखाखंडों से बनी एक सरल बंद आकृति।
$2$. रेखाखंड: दो अंत बिंदुओं वाली रेखा का एक भाग।
$3$. कोण: एक सामान्य प्रारंभिक बिंदु वाली दो किरणों द्वारा बनाई गई आकृति।
परिभाषा में प्रयुक्त अपरिभाषित पद हैं: रेखा,बिंदु,भाग।
औचित्य:
यह दिया गया है कि दो रेखाखंड तीसरे रेखाखंड के बराबर हैं,इसलिए संक्रामकता के गुण के अनुसार,समबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हैं।
चूंकि सभी कोण $60^{\circ}$ के हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के बराबर हैं। यूक्लिड के पहले अभिगृहीत के अनुसार,वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं। अतः,सभी कोण बराबर हैं।

(NO) दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा पर लंब नहीं हो सकती हैं क्योंकि यदि दो रेखाएँ $l$ और $m$ एक ही रेखा $n$ पर लंब हैं,तो $l$ और $m$ को एक-दूसरे के समांतर होना चाहिए।
यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा यह बताती है कि यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरती है और अपने ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोणों $(180^{circ})$ से कम बनाती है,तो वे दो सीधी रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर उसी ओर मिलती हैं जिस ओर कोणों का योग दो समकोणों से कम होता है।
चूँकि दिया गया कथन समांतर रेखाओं के गुण का वर्णन करता है और अंतःकोणों के आधार पर रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बारे में नहीं है,इसलिए यह यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा का समतुल्य संस्करण नहीं है।

(N/A) नहीं,अभिगृहीतों की यह प्रणाली सुसंगत नहीं है।
यूक्लिड की ज्यामिति में,यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है,तो संगत कोण बराबर होने चाहिए।
यदि हम कथन $(i)$ को सत्य मानते हैं,तो यह समांतर रेखाओं के मूलभूत गुण का खंडन करता है।
इसके अतिरिक्त,यदि संगत कोण बराबर नहीं हैं,तो एकांतर अंतःकोण भी बराबर नहीं हो सकते,जो कथन $(ii)$ का खंडन करता है।
चूंकि दोनों कथन तार्किक विरोधाभास की ओर ले जाते हैं,इसलिए अभिगृहीतों की यह प्रणाली असंगत है।

(B) अभिगृहीतों की दी गई प्रणाली संगत नहीं है।
कथन $(ii)$ एक मानक ज्यामितीय गुण (रैखिक युग्म अभिगृहीत) है जो यूक्लिडियन ज्यामिति में सार्वभौमिक रूप से सत्य है।
यदि हम कथन $(ii)$ को स्वीकार करते हैं,तो दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लिए,एक सीधी रेखा पर बने कोणों का योग $180^{\circ}$ होना चाहिए।
प्रतिच्छेदन के दोनों ओर इस गुण को लागू करके,गणितीय रूप से यह सिद्ध किया जा सकता है कि शीर्षाभिमुख कोण हमेशा बराबर होते हैं।
चूंकि कथन $(i)$ कथन $(ii)$ से प्राप्त इस सिद्ध परिणाम का खंडन करता है,इसलिए अभिगृहीतों की यह प्रणाली असंगत है।

(A) अभिगृहीतों की दी गई प्रणाली संगत है।
$(i)$ यह यूक्लिड का पहला अभिगृहीत है: 'वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।'
$(ii)$ यह यूक्लिड का दूसरा अभिगृहीत है: 'यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।'
$(iii)$ यह यूक्लिड का तीसरा अभिगृहीत है: 'वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की दुगुनी हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।'
चूँकि दिए गए सभी कथन यूक्लिड द्वारा परिभाषित मानक अभिगृहीत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे का खंडन नहीं करते हैं और इस प्रकार वे संगत हैं।

(N/A) ऊपर दी गई आकृति में,रेखाखंड $PR$ रेखाखंड $PQ$ और $QR$ के योग के साथ संपाती है।
यूक्लिड का अभिगृहीत $(4)$ कहता है कि वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती होती हैं,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
अतः,यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि $PQ + QR = PR$ है।
ध्यान दें कि,इस हल में,यह मान लिया गया है कि दो भिन्न बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा गुजरती है।

(A) दिया गया समीकरण: $2x = 50$ है।
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करते हैं।
यूक्लिड की अभिगृहीत $(7)$ के अनुसार,जो कहती है: 'वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु की आधी हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।'
वैकल्पिक रूप से,इस अभिगृहीत का उपयोग करते हुए: 'यदि बराबरों को बराबरों से विभाजित किया जाए,तो भागफल बराबर होते हैं।'
अतः,$x = 50 / 2 = 25$ है।
हल $x = 25$ है और प्रयुक्त अभिगृहीत यूक्लिड की अभिगृहीत $(7)$ है।

(N/A) दिया है: $PQ = RS$
आकृति से,हम लिख सकते हैं:
$PR = PQ + QR$
$QS = QR + RS$
चूंकि $PQ = RS$,हम समीकरण के दोनों पक्षों में समान राशि $QR$ जोड़ सकते हैं:
$PQ + QR = RS + QR$
यूक्लिड के अभिगृहीत $(2)$ का उपयोग करते हुए,जो कहता है कि 'यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं',हमें प्राप्त होता है:
$PR = QS$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AC = CB$ है। चूँकि $AB = AC + CB$,इसलिए $AB = AC + AC = 2AC$ है। अतः,$AC = \frac{1}{2} AB$ है।
साथ ही,$D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AD = DC$ है। चूँकि $AC = AD + DC$,इसलिए $AC = AD + AD = 2AD$ है। अतः,$AD = \frac{1}{2} AC$ है।
$AC = \frac{1}{2} AB$ का मान $AD = \frac{1}{2} AC$ समीकरण में रखने पर,हमें $AD = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} AB) = \frac{1}{4} AB$ प्राप्त होता है।
प्रयुक्त यूक्लिड के अभिगृहीत:
$1$. अभिगृहीत $(7)$: वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की आधी हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
$2$. अभिगृहीत $(2)$: यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।

(N/A) नहीं,यह कथन यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा का सीधा परिणाम नहीं है।
यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा कहती है कि यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर अपने एक ही तरफ के आंतरिक कोणों का योग दो समकोणों से कम बनाती है,तो वे दो सीधी रेखाएं,यदि अनिश्चित रूप से बढ़ाई जाएं,तो उस तरफ मिलती हैं जिस तरफ कोणों का योग दो समकोणों से कम होता है।
हालाँकि,रेखाओं के हर जगह समान दूरी पर होने का कथन यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा के समतुल्य है,लेकिन इसे प्लेफेयर की अभिगृहीत (या समानांतर अभिधारणा) के रूप में जाना जाता है।
यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा रेखाओं के प्रतिच्छेदन से संबंधित है,जबकि समान दूरी वाली रेखाओं की अवधारणा समानांतर रेखाओं को परिभाषित करती है। इसलिए,हालांकि वे यूक्लिडियन ज्यामिति में तार्किक रूप से समतुल्य हैं,यह कथन पांचवीं अभिधारणा का सीधा परिणाम नहीं बल्कि एक वैकल्पिक निरूपण है।

(A) यह कथन सत्य है।
यूक्लिड के अभिगृहीतों (Axioms) के अनुसार,वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की दोगुनी हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
यदि $x = 2a$ और $y = 2a$ है,तो $x = y$ होगा।

(FALSE) यह कथन असत्य है।
यूक्लिड की प्रथम अभिधारणा के अनुसार,दो भिन्न बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है। इसका अर्थ यह है कि किन्हीं भी दो दिए गए भिन्न बिंदुओं से केवल एक ही सीधी रेखा खींची जा सकती है।

(B) यह कथन असत्य है।
यूक्लिड एक यूनानी गणितज्ञ थे,जिन्हें अक्सर 'ज्यामिति का जनक' कहा जाता है,जो लगभग $300 \text{ BCE}$ में हुए थे। थेल्स एक यूनानी दार्शनिक थे जो उनसे बहुत पहले,लगभग $624-546 \text{ BCE}$ में हुए थे। यूक्लिड थेल्स के छात्र नहीं थे; बल्कि,यूक्लिड ने अपने प्रसिद्ध ग्रंथ 'एलिमेंट्स' (Elements) में अपने समय के गणितीय ज्ञान का संकलन और व्यवस्थितकरण किया था।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
यूक्लिड के अभिगृहीतों और यूक्लिडियन ज्यामिति के मूलभूत गुणों के अनुसार,दो भिन्न रेखाएं अधिकतम एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं। यदि उनमें एक से अधिक बिंदु उभयनिष्ठ होते,तो वे संपाती हो जातीं और एक ही रेखा बन जातीं,जो इस धारणा के विपरीत है कि रेखाएं भिन्न हैं।

(B) यह कथन $False$ (असत्य) है।
यूक्लिड की ज्यामिति के अनुसार,एक बिंदु से होकर अनंत रेखाएं खींची जा सकती हैं।

(D) यूक्लिड,जो एक यूनानी गणितज्ञ थे,को 'ज्यामिति का जनक' कहा जाता है।
उन्होंने ज्यामिति के अपने ज्ञान को 'द एलिमेंट्स' नामक एक प्रसिद्ध ग्रंथ में संकलित किया था।
यह कार्य $13$ अध्यायों में विभाजित था,जिन्हें पारंपरिक रूप से 'पुस्तकें' (books) कहा जाता है।
अतः,सही उत्तर $13$ है।

(A) यूक्लिड एक यूनानी गणितज्ञ थे जो मिस्र के अलेक्जेंड्रिया में रहते थे। उन्हें 'ज्यामिति का जनक' कहा जाता है। ऐतिहासिक रूप से,वे मिस्र के अलेक्जेंड्रिया शहर से जुड़े हुए हैं,जहाँ उन्होंने पढ़ाया और अपना प्रसिद्ध ग्रंथ 'एलिमेंट्स' लिखा।

(B) थेल्स को पहला ज्ञात प्रमाण देने का श्रेय दिया जाता है। वे एक यूनानी गणितज्ञ थे जो लगभग $600 \text{ BC}$ में रहते थे। उन्हें अक्सर पहला सच्चा गणितज्ञ माना जाता है क्योंकि वे अनुभवजन्य अवलोकन से आगे बढ़कर निगमनात्मक तर्क (deductive reasoning) की ओर बढ़े थे।

(D) प्राचीन भारत में,आयत,त्रिभुज और समलंब जैसे विशिष्ट ज्यामितीय आकारों का उपयोग करके वेदियों का निर्माण किया जाता था। ये वेदियां विशेष रूप से वैदिक अनुष्ठानों के लिए आवश्यक थीं। शुल्ब सूत्रों के अनुसार,इन वेदियों की ज्यामिति विभिन्न धार्मिक अनुष्ठानों के प्रदर्शन के लिए अनिवार्य थी।

(D) प्राचीन भारत में,घरेलू अनुष्ठानों के लिए वर्ग और वृत्ताकार आकृतियों वाली वेदियों का उपयोग किया जाता था। इन आकृतियों को विभिन्न धार्मिक समारोहों के लिए विशिष्ट ज्यामितीय सिद्धांतों का उपयोग करके बनाया जाता था।

(A) यूक्लिड की पहली अभिधारणा के अनुसार,दो भिन्न बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय (unique) रेखा गुजरती है। इसका अर्थ यह है कि एक समतल में दिए गए किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने के लिए केवल एक ही सीधी रेखा खींची जा सकती है।

(B) यूक्लिड की परिभाषाओं के अनुसार,एक पृष्ठ वह है जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है। एक पृष्ठ के किनारे रेखाएँ होती हैं। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) ज्यामितीय आकृतियों के अनुक्रम में: ठोस ($3$ आयाम) $-$ पृष्ठ ($2$ आयाम) $-$ रेखाएँ ($1$ आयाम) $-$ बिंदु ($0$ आयाम),प्रत्येक चरण में आयामों की संख्या $1$ कम हो जाती है। इसलिए,आयाम घट रहे हैं।

(D) यूक्लिड,एक यूनानी गणितज्ञ,ने अपने कार्यों को 'एलिमेंट्स' नामक पुस्तकों की एक श्रृंखला में संकलित किया था।
'एलिमेंट्स' की पुस्तक $1$ में,ज्यामिति की नींव रखने के लिए यूक्लिड ने $23$ परिभाषाएँ दी हैं।
अतः,सही उत्तर $23$ है।

(A) यूक्लिड की ज्यामिति के अनुसार,एक ठोस एक त्रि-आयामी वस्तु है जो स्थान घेरती है। इसे लंबाई,चौड़ाई और ऊंचाई के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसलिए,एक ठोस का एक निश्चित आकार,एक निश्चित माप (साइज) और अंतरिक्ष में एक विशिष्ट स्थिति होती है।

(B) यूक्लिड की ज्यामिति में,रेखाखंड को रेखा के उस भाग के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके दो अंत बिंदु होते हैं। यूक्लिड ने अपने ग्रंथ 'द एलिमेंट्स' (The Elements) में इस अवधारणा के लिए 'सीमित रेखा' (terminated line) शब्द का प्रयोग किया था।

(A) ज्यामिति में यूक्लिड की परिभाषाओं के अनुसार,एक रेखा को 'चौड़ाई रहित लंबाई' के रूप में परिभाषित किया गया है। इसलिए,एक रेखा चौड़ाई के बिना एक लंबाई है।

(B) एक कथन जिसे पहले से स्थापित सत्यों,गृहीतों (Axioms) या अभिगृहीतों (Postulates) के आधार पर तार्किक प्रमाण की आवश्यकता होती है,उसे $Theorem$ (प्रमेय) कहा जाता है। गृहीत और अभिगृहीत स्वयं-सिद्ध सत्य हैं जिन्हें प्रमाण की आवश्यकता नहीं होती है।

(A) $\text{शुल्बसूत्र}$ प्राचीन भारतीय ग्रंथ थे जो वेदियों और ज्यामितीय संरचनाओं के निर्माण के लिए नियम और निर्देश प्रदान करते थे। इन ग्रंथों को भारत में ज्यामिति का सबसे पुराना स्रोत माना जाता है।

(C) यूक्लिड की ज्यामिति के अनुसार,एक ठोस की तीन विमाएँ होती हैं: लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई। एक ठोस की सीमाएँ पृष्ठ (सतह) होती हैं। ये पृष्ठ अंतरिक्ष के एक भाग को दूसरे से अलग करते हैं या ठोस को उसके आसपास के स्थान से अलग करते हैं। इसलिए,एक ठोस की सीमाएँ पृष्ठ होती हैं।

(A) ज्यामिति में यूक्लिड की परिभाषाओं के अनुसार,पृष्ठ को वह माना गया है जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है। इसकी कोई मोटाई या गहराई नहीं होती है।