Volume of a Right Circular Cone Questions in Gujarati

(B) ખોટું.
$r$ ધારવાળા સમઘનમાંથી કાપવામાં આવતા મોટામાં મોટા લંબવૃત્તીય શંકુ માટે,શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ એ સમઘનની ધાર જેટલી હોવી જોઈએ,તેથી $h = r \, cm$.
શંકુના પાયાનો વ્યાસ સમઘનની ધાર જેટલો હોવો જોઈએ,તેથી પાયાની ત્રિજ્યા $(R)$ = $\frac{r}{2} \, cm$ થાય.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 \cdot r = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r^2}{4}\right) \cdot r = \frac{1}{12} \pi r^3 \, cm^3$.
અહીં $\frac{1}{12} \pi r^3 \neq \frac{1}{6} \pi r^3$ હોવાથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(FALSE) ધારો કે શંકુની મૂળ ત્રિજ્યા $r$ છે અને મૂળ ઊંચાઈ $h$ છે.
મૂળ શંકુનું ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ છે.
હવે,નવી ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{2}$ અને નવી ઊંચાઈ $h' = 2h$ છે.
નવું ઘનફળ $V_2 = \frac{1}{3} \pi (r')^{2} h' = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^{2} (2h)$ થશે.
આનું સાદુંરૂપ આપતા,$V_2 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r^2}{4}\right) (2h) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\right) = \frac{1}{2} V_1$ મળે છે.
નવું ઘનફળ મૂળ ઘનફળ કરતા અડધું હોવાથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) અર્ધવર્તુળાકાર શીટનો વ્યાસ $28 \, cm$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $R = 14 \, cm$ થાય. જ્યારે આ શીટને વાળીને ખુલ્લો શંકુ આકારનો કપ બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે શીટની ત્રિજ્યા એ શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ બને છે.
તેથી,$l = 14 \, cm$.
અર્ધવર્તુળાકાર ચાપનો પરિઘ એ શંકુના પાયાનો પરિઘ બને છે. અર્ધવર્તુળાકાર ચાપની લંબાઈ $\pi R = \pi \times 14$ છે.
ધારો કે શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા $r$ છે. તો,$2 \pi r = 14 \pi$,જે આપણને $r = 7 \, cm$ આપે છે.
હવે,આપણે $l^2 = r^2 + h^2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ શોધીએ:
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{14^2 - 7^2} = \sqrt{196 - 49} = \sqrt{147} \approx 12.124 \, cm$.
શંકુ આકારના કપની ક્ષમતા (ઘનફળ) $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 12.124 \approx 622.38 \, cm^3$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકની કિંમત $622.16 \, cm^3$ છે.

(B) આપેલ છે: ઊંચાઈ $(h) = 21 \, cm$,તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 28 \, cm$.
સંબંધ $l^2 = r^2 + h^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ત્રિજ્યા $(r)$ શોધીએ:
$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{28^2 - 21^2} = \sqrt{784 - 441} = \sqrt{343} = 7\sqrt{7} \, cm$.
હવે,શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (7\sqrt{7})^2 \times 21$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 7 \times 21$.
$V = 22 \times 49 \times 7 = 7546 \, cm^3$.

(D) લંબવૃત્તીય શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r) = 6 \, cm$
ઊંચાઈ $(h) = 7 \, cm$
$\pi = \frac{22}{7}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (6)^2 \times 7$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 36 \times 7$
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 36$
$V = 22 \times 12$
$V = 264 \, cm^3$
આમ,શંકુનું ઘનફળ $264 \, cm^3$ છે.

(A) આપેલ છે:
શંકુની ત્રિજ્યા $(r) = 3.5 \, cm = \frac{35}{10} \, cm = \frac{7}{2} \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $(h) = 12 \, cm$.
લંબવૃત્તીય શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 12$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 12$
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times \frac{1}{2} \times 7 \times 6$
$V = 11 \times 14 = 154 \, cm^3$.
આમ,શંકુનું ઘનફળ $154 \, cm^3$ છે.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $l = 25 \, cm$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંબંધ $l^2 = r^2 + h^2$ નો ઉપયોગ કરીને શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ શોધીશું:
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 \, cm$.
શંકુ આકારના પાત્રનું ઘનફળ $V$ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 24 \, cm^3$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 24 \, cm^3$
$V = 22 \times 7 \times 8 \, cm^3 = 1232 \, cm^3$.
કારણ કે $1000 \, cm^3 = 1 \, l$,તેથી લિટરમાં ક્ષમતા:
$V = \frac{1232}{1000} \, l = 1.232 \, l$.
આમ,શંકુ આકારના પાત્રની જરૂરી ક્ષમતા $1.232 \, l$ છે.

(C) આપેલ છે: ઊંચાઈ $(h) = 12 \,cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 13 \,cm$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $l^2 = r^2 + h^2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને ત્રિજ્યા $(r)$ શોધીશું.
$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \,cm$.
હવે,શંકુ આકારના પાત્રનું ઘનફળ $(V)$ સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^2 \times 12 \,cm^3$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 12 = 22 \times 25 \times \frac{4}{7} = \frac{2200}{7} \,cm^3$.
કારણ કે $1000 \,cm^3 = 1 \,l$,તેથી લિટરમાં ક્ષમતા $\frac{2200}{7 \times 1000} \,l = \frac{22}{70} \,l = \frac{11}{35} \,l$ થાય.
આમ,શંકુ આકારના પાત્રની ક્ષમતા $\frac{11}{35} \,l$ છે.

(D) આપેલ છે કે,શંકુની ઊંચાઈ $(h) = 15 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $(V) = 1570 \, cm^3$.
ધારો કે પાયાની ત્રિજ્યા $r \, cm$ છે.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $1570 = \frac{1}{3} \times 3.14 \times r^2 \times 15$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $1570 = 3.14 \times r^2 \times 5$.
$1570 = 15.7 \times r^2$.
$r^2 = \frac{1570}{15.7} = 100$.
$r = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
તેથી,પાયાની ત્રિજ્યા $10 \, cm$ છે.

(A) શંકુનું ઘનફળ $= 48 \pi \, cm^3$.
શંકુની ઊંચાઈ $(h) = 9 \, cm$.
ધારો કે પાયાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{3} \pi r^2 (9) = 48 \pi$.
$3 \pi r^2 = 48 \pi$.
$r^2 = \frac{48 \pi}{3 \pi} = 16$.
$r = \sqrt{16} = 4 \, cm$.
પાયાનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 4 = 8 \, cm$ થાય.

(B) આપેલ છે કે, શંકુ આકારના ખાડાનો વ્યાસ $= 3.5 \, m$.
ત્રિજ્યા $(r) = \frac{3.5}{2} \, m = 1.75 \, m$.
ઊંડાઈ $(h) = 12 \, m$.
શંકુનું ઘનફળ (ક્ષમતા) શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.75)^2 \times 12 \, m^3$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{20} \times \frac{35}{20} \times 12 \, m^3$.
$V = \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times 4 \, m^3 = 38.5 \, m^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, m^3 = 1000 \, \text{લીટર} = 1 \, \text{કિલોલીટર} (kl)$.
તેથી, ખાડાની ક્ષમતા $38.5 \, kl$ છે.

(C) આપેલ છે કે,શંકુનું ઘનફળ $(V) = 9856 \, cm^3$.
પાયાનો વ્યાસ $= 28 \, cm$.
પાયાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{28}{2} \, cm = 14 \, cm$.
ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $h \, cm$ છે.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $9856 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (14)^2 \times h$.
$9856 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h$.
$9856 = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times h$.
$9856 = \frac{616}{3} \times h$.
$h = \frac{9856 \times 3}{616}$.
$h = 16 \times 3 = 48 \, cm$.
આમ,શંકુની ઊંચાઈ $48 \, cm$ છે.

(D) શંકુનું ઘનફળ $(V) = 9856 \, cm^3$.
પાયાનો વ્યાસ $= 28 \, cm$.
પાયાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{28}{2} = 14 \, cm$.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$9856 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h$.
$9856 = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times h$.
$9856 = \frac{616}{3} \times h$.
$h = \frac{9856 \times 3}{616} = 16 \times 3 = 48 \, cm$.
તિર્યક ઊંચાઈ $(\ell) = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $5 \, cm, 12 \, cm$ અને $13 \, cm$ છે.
જ્યારે કાટકોણ ત્રિકોણને $12 \, cm$ ની બાજુની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે બનતા શંકુની ઊંચાઈ $h = 12 \, cm$ અને પાયાની ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ થાય છે.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times (5)^2 \times 12 \, cm^3$
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12 \, cm^3$
$V = \pi \times 25 \times 4 \, cm^3$
$V = 100 \pi \, cm^3$.
આમ,મળતા ઘન પદાર્થનું ઘનફળ $100 \pi \, cm^3$ છે.

(C) $1$. જ્યારે ત્રિકોણને $12 \, cm$ બાજુની આસપાસ પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે:
ઊંચાઈ $(h) = 12 \, cm$,ત્રિજ્યા $(r) = 5 \, cm$.
ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times (5)^2 \times 12 = 100 \pi \, cm^3$.
$2$. જ્યારે ત્રિકોણને $5 \, cm$ બાજુની આસપાસ પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે:
ઊંચાઈ $(h) = 5 \, cm$,ત્રિજ્યા $(r) = 12 \, cm$.
ઘનફળ $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times (12)^2 \times 5 = 240 \pi \, cm^3$.
$3$. ઘનફળનો ગુણોત્તર:
ગુણોત્તર $= \frac{V_1}{V_2} = \frac{100 \pi}{240 \pi} = \frac{100}{240} = \frac{5}{12} = 5:12$.

(A) આપેલ શંકુ માટે:
ત્રિજ્યા $(r) = 10 \, cm$ અને તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 26 \, cm$.
સંબંધ $l^2 = r^2 + h^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઊંચાઈ $(h)$ શોધીએ:
$h^2 = l^2 - r^2$
$h^2 = (26)^2 - (10)^2$
$h^2 = 676 - 100 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$V = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (10)^2 \times 24$
$V = 3.14 \times 100 \times 8$
$V = 314 \times 8 = 2512 \, cm^3$.

(D) આપેલ છે: પાયાની ત્રિજ્યા $(r)$ = $14 \, cm$,તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $50 \, cm$.
સૌ પ્રથમ,આપણે શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ સંબંધ $r^2 + h^2 = l^2$ નો ઉપયોગ કરીને શોધીશું.
$14^2 + h^2 = 50^2$
$196 + h^2 = 2500$
$h^2 = 2500 - 196 = 2304$
$h = \sqrt{2304} = 48 \, cm$.
શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 48$
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 48$
$V = 22 \times 2 \times 14 \times 16$
$V = 9856 \, cm^3$.
તેથી,શંકુનું ઘનફળ $9856 \, cm^3$ છે.

(A) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે,જ્યાં $\pi r^2$ એ પાયાનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે,પાયાનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ = $1386 \, cm^2$ અને ઊંચાઈ $(h)$ = $9 \, cm$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{1}{3} \times A \times h$
$V = \frac{1}{3} \times 1386 \times 9$
$V = 1386 \times 3$
$V = 4158 \, cm^3$.
તેથી,શંકુનું ઘનફળ $4158 \, cm^3$ છે.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r) = 7 \, cm$, તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 25 \, cm$.
સૌ પ્રથમ, $l^2 = r^2 + h^2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને શિરોલંબ ઊંચાઈ $(h)$ શોધો.
$h^2 = l^2 - r^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$.
$h = \sqrt{576} = 24 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $(V) = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24 = 22 \times 7 \times 8 = 1232 \, cm^3$.
કારણ કે $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{લિટર}$, તેથી ક્ષમતા $\frac{1232}{1000} = 1.232 \, \text{લિટર}$ થાય.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r)$ = $21 \,cm$,તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $29 \,cm$.
સૌ પ્રથમ,$l^2 = r^2 + h^2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને શંકુની ઊંચાઈ $(h)$ શોધો.
$h^2 = l^2 - r^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400$.
$h = \sqrt{400} = 20 \,cm$.
શંકુનું ઘનફળ $(V)$ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 20 = 22 \times 3 \times 7 \times 20 = 9240 \,cm^3$.
કારણ કે $1000 \,cm^3 = 1 \,\text{લિટર}$,તેથી ક્ષમતા $9240 / 1000 = 9.240 \,\text{લિટર}$ થશે.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $(r)$ = $35 \,cm$,તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $91 \,cm$.
સૌ પ્રથમ,$l^2 = r^2 + h^2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને શિરોલંબ ઊંચાઈ $(h)$ શોધો.
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{91^2 - 35^2} = \sqrt{(91 - 35)(91 + 35)} = \sqrt{56 \times 126} = \sqrt{7056} = 84 \,cm$.
શંકુનું ઘનફળ $(V)$ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 35 \times 35 \times 84 = 22 \times 35 \times 5 \times 84 / 3 = 22 \times 35 \times 5 \times 28 = 107800 \,cm^3$.
$1000 \,cm^3 = 1 \,litre$ હોવાથી,ક્ષમતા $107800 / 1000 = 107.8 \,litres$ થાય.

(N/A) જ્યારે $\Delta ABC$ ને બાજુ $AB$ ની આસપાસ પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે,ત્યારે શંકુની ઊંચાઈ $h = AB = 6.3 \, cm$ અને ત્રિજ્યા $r = BC = 8.4 \, cm$ થાય છે. ઘનફળ $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (8.4)^2 \times 6.3 = 465.696 \, cm^3$. જ્યારે $\Delta ABC$ ને બાજુ $BC$ ની આસપાસ પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે,ત્યારે શંકુની ઊંચાઈ $h = BC = 8.4 \, cm$ અને ત્રિજ્યા $r = AB = 6.3 \, cm$ થાય છે. ઘનફળ $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (6.3)^2 \times 8.4 = 349.272 \, cm^3$.

(C) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે: $V = 616 \, cm^3$ અને $h = 12 \, cm$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા:
$616 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^2 \times 12$
$616 = 4 \times \frac{22}{7} \times r^2$
$616 = \frac{88}{7} \times r^2$
$r^2 = \frac{616 \times 7}{88}$
$r^2 = 7 \times 7 = 49$
$r = 7 \, cm$.
વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 7 = 14 \, cm$ થાય.

(D) શંકુના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $(r)$ = $7 \, cm$
ઊંચાઈ $(h)$ = $30 \, cm$
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 30$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 30$
$V = 22 \times 7 \times 10$
$V = 1540 \, cm^3$.