Volume of a Right Circular Cone Questions in Hindi

(B) असत्य।
$r$ किनारे वाले घन से काटे गए सबसे बड़े संभव लंब वृत्तीय शंकु के लिए,शंकु की ऊँचाई $(h)$ घन के किनारे के बराबर होनी चाहिए,इसलिए $h = r \, cm$।
शंकु के आधार का व्यास घन के किनारे के बराबर होना चाहिए,इसलिए आधार की त्रिज्या $(R)$ = $\frac{r}{2} \, cm$ होगी।
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ होता है।
मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 \cdot r = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r^2}{4}\right) \cdot r = \frac{1}{12} \pi r^3 \, cm^3$।
चूँकि $\frac{1}{12} \pi r^3 \neq \frac{1}{6} \pi r^3$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(FALSE) माना शंकु की मूल त्रिज्या $r$ है और मूल ऊँचाई $h$ है।
मूल शंकु का आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है।
अब,नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ और नई ऊँचाई $h' = 2h$ है।
नया आयतन $V_2 = \frac{1}{3} \pi (r')^{2} h' = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^{2} (2h)$ होगा।
इसे सरल करने पर,$V_2 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r^2}{4}\right) (2h) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\right) = \frac{1}{2} V_1$ प्राप्त होता है।
चूँकि नया आयतन मूल आयतन का आधा है,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(A) अर्धवृत्ताकार शीट का व्यास $28 \, cm$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $R = 14 \, cm$ है। जब इस शीट को मोड़कर एक खुला शंक्वाकार कप बनाया जाता है,तो शीट की त्रिज्या शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ बन जाती है।
अतः,$l = 14 \, cm$।
अर्धवृत्ताकार चाप की परिधि शंकु के आधार की परिधि बन जाती है। अर्धवृत्ताकार चाप की लंबाई $\pi R = \pi \times 14$ है।
मान लीजिए शंकु के आधार की त्रिज्या $r$ है। तब,$2 \pi r = 14 \pi$,जिससे $r = 7 \, cm$ प्राप्त होता है।
अब,हम $l^2 = r^2 + h^2$ संबंध का उपयोग करके शंकु की ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करते हैं:
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{14^2 - 7^2} = \sqrt{196 - 49} = \sqrt{147} \approx 12.124 \, cm$।
शंक्वाकार कप की धारिता (आयतन) $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 12.124 \approx 622.38 \, cm^3$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $622.16 \, cm^3$ है।

(B) दिया है: ऊँचाई $(h) = 21 \, cm$,तिर्यक ऊँचाई $(l) = 28 \, cm$।
संबंध $l^2 = r^2 + h^2$ का उपयोग करके,हम त्रिज्या $(r)$ ज्ञात करते हैं:
$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{28^2 - 21^2} = \sqrt{784 - 441} = \sqrt{343} = 7\sqrt{7} \, cm$।
अब,शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (7\sqrt{7})^2 \times 21$।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 7 \times 21$।
$V = 22 \times 49 \times 7 = 7546 \, cm^3$।

(D) लंबवृत्तीय शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
दिया गया है:
त्रिज्या $(r) = 6 \, cm$
ऊँचाई $(h) = 7 \, cm$
$\pi = \frac{22}{7}$
सूत्र में मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (6)^2 \times 7$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 36 \times 7$
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 36$
$V = 22 \times 12$
$V = 264 \, cm^3$
अतः,शंकु का आयतन $264 \, cm^3$ है।

(A) दिया गया है:
शंकु की त्रिज्या $(r) = 3.5 \, cm = \frac{35}{10} \, cm = \frac{7}{2} \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $(h) = 12 \, cm$.
लंबवृत्तीय शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 12$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 12$
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times \frac{1}{2} \times 7 \times 6$
$V = 11 \times 14 = 154 \, cm^3$.
अतः,शंकु का आयतन $154 \, cm^3$ है।

(B) दिया है: त्रिज्या $r = 7 \, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $l = 25 \, cm$ है।
सबसे पहले,हम संबंध $l^2 = r^2 + h^2$ का उपयोग करके ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ ज्ञात करते हैं:
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 \, cm$ है।
शंक्वाकार बर्तन का आयतन $V$ सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 24 \, cm^3$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 24 \, cm^3$
$V = 22 \times 7 \times 8 \, cm^3 = 1232 \, cm^3$ है।
चूँकि $1000 \, cm^3 = 1 \, l$,इसलिए लीटर में धारिता:
$V = \frac{1232}{1000} \, l = 1.232 \, l$ है।
अतः,शंक्वाकार बर्तन की आवश्यक धारिता $1.232 \, l$ है।

(C) दिया है: ऊँचाई $(h) = 12 \,cm$ और तिर्यक ऊँचाई $(l) = 13 \,cm$.
सबसे पहले,हम $l^2 = r^2 + h^2$ संबंध का उपयोग करके त्रिज्या $(r)$ ज्ञात करते हैं।
$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \,cm$.
अब,शंक्वाकार बर्तन का आयतन $(V)$ सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा प्राप्त होता है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^2 \times 12 \,cm^3$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 12 = 22 \times 25 \times \frac{4}{7} = \frac{2200}{7} \,cm^3$.
चूँकि $1000 \,cm^3 = 1 \,l$,इसलिए लीटर में धारिता $\frac{2200}{7 \times 1000} \,l = \frac{22}{70} \,l = \frac{11}{35} \,l$ है।
अतः,शंक्वाकार बर्तन की धारिता $\frac{11}{35} \,l$ है।

(D) दिया है,शंकु की ऊँचाई $(h) = 15 \, cm$.
शंकु का आयतन $(V) = 1570 \, cm^3$.
माना आधार की त्रिज्या $r \, cm$ है।
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $1570 = \frac{1}{3} \times 3.14 \times r^2 \times 15$.
समीकरण को सरल करने पर: $1570 = 3.14 \times r^2 \times 5$.
$1570 = 15.7 \times r^2$.
$r^2 = \frac{1570}{15.7} = 100$.
$r = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
अतः,आधार की त्रिज्या $10 \, cm$ है।

(A) शंकु का आयतन $= 48 \pi \, cm^3$ है।
शंकु की ऊँचाई $(h) = 9 \, cm$ है।
माना कि आधार की त्रिज्या $r$ है।
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{1}{3} \pi r^2 (9) = 48 \pi$।
$3 \pi r^2 = 48 \pi$।
$r^2 = \frac{48 \pi}{3 \pi} = 16$।
$r = \sqrt{16} = 4 \, cm$।
आधार का व्यास $d = 2r = 2 \times 4 = 8 \, cm$ है।

(B) दिया गया है, शंक्वाकार गड्ढे का व्यास $= 3.5 \, m$ है।
त्रिज्या $(r) = \frac{3.5}{2} \, m = 1.75 \, m$ है।
गहराई $(h) = 12 \, m$ है।
शंकु का आयतन (धारिता) ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.75)^2 \times 12 \, m^3$ है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{20} \times \frac{35}{20} \times 12 \, m^3$ है।
$V = \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times 4 \, m^3 = 38.5 \, m^3$ है।
हम जानते हैं कि $1 \, m^3 = 1000 \, \text{लीटर} = 1 \, \text{किलोलीटर} (kl)$ होता है।
अतः, गड्ढे की धारिता $38.5 \, kl$ है।

(C) दिया गया है,शंकु का आयतन $(V) = 9856 \, cm^3$ है।
आधार का व्यास $= 28 \, cm$ है।
आधार की त्रिज्या $(r) = \frac{28}{2} \, cm = 14 \, cm$ है।
माना शंकु की ऊँचाई $h \, cm$ है।
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
मान रखने पर: $9856 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (14)^2 \times h$.
$9856 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h$.
$9856 = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times h$.
$9856 = \frac{616}{3} \times h$.
$h = \frac{9856 \times 3}{616}$.
$h = 16 \times 3 = 48 \, cm$.
अतः,शंकु की ऊँचाई $48 \, cm$ है।

(D) शंकु का आयतन $(V) = 9856 \, cm^3$।
आधार का व्यास $= 28 \, cm$।
आधार की त्रिज्या $(r) = \frac{28}{2} = 14 \, cm$।
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$9856 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h$।
$9856 = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times h$।
$9856 = \frac{616}{3} \times h$।
$h = \frac{9856 \times 3}{616} = 16 \times 3 = 48 \, cm$।
तिर्यक ऊँचाई $(\ell) = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$।

(B) समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $5 \, cm, 12 \, cm$ और $13 \, cm$ हैं।
चूँकि समकोण त्रिभुज को $12 \, cm$ वाली भुजा के परितः घुमाया जाता है,इसलिए प्राप्त शंकु की ऊँचाई $h = 12 \, cm$ और आधार की त्रिज्या $r = 5 \, cm$ होगी।
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times (5)^2 \times 12 \, cm^3$
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12 \, cm^3$
$V = \pi \times 25 \times 4 \, cm^3$
$V = 100 \pi \, cm^3$.
अतः,प्राप्त ठोस का आयतन $100 \pi \, cm^3$ है।

(C) $1$. जब त्रिभुज को $12 \, cm$ भुजा के परितः घुमाया जाता है:
ऊंचाई $(h) = 12 \, cm$,त्रिज्या $(r) = 5 \, cm$.
आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times (5)^2 \times 12 = 100 \pi \, cm^3$.
$2$. जब त्रिभुज को $5 \, cm$ भुजा के परितः घुमाया जाता है:
ऊंचाई $(h) = 5 \, cm$,त्रिज्या $(r) = 12 \, cm$.
आयतन $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times (12)^2 \times 5 = 240 \pi \, cm^3$.
$3$. आयतनों का अनुपात:
अनुपात $= \frac{V_1}{V_2} = \frac{100 \pi}{240 \pi} = \frac{100}{240} = \frac{5}{12} = 5:12$.

(A) दिए गए शंकु के लिए:
त्रिज्या $(r) = 10 \, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $(l) = 26 \, cm$ है।
संबंध $l^2 = r^2 + h^2$ का उपयोग करके,हम ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करते हैं:
$h^2 = l^2 - r^2$
$h^2 = (26)^2 - (10)^2$
$h^2 = 676 - 100 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24 \, cm$।
शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$V = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (10)^2 \times 24$
$V = 3.14 \times 100 \times 8$
$V = 314 \times 8 = 2512 \, cm^3$।

(D) दिया गया है: आधार की त्रिज्या $(r)$ = $14 \, cm$,तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $50 \, cm$.
सबसे पहले,हम संबंध $r^2 + h^2 = l^2$ का उपयोग करके शंकु की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करते हैं।
$14^2 + h^2 = 50^2$
$196 + h^2 = 2500$
$h^2 = 2500 - 196 = 2304$
$h = \sqrt{2304} = 48 \, cm$.
शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 48$
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 48$
$V = 22 \times 2 \times 14 \times 16$
$V = 9856 \, cm^3$.
अतः,शंकु का आयतन $9856 \, cm^3$ है।

(A) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है,जहाँ $\pi r^2$ आधार का क्षेत्रफल है।
दिया गया है,आधार का क्षेत्रफल $(A)$ = $1386 \, cm^2$ और ऊँचाई $(h)$ = $9 \, cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times A \times h$
$V = \frac{1}{3} \times 1386 \times 9$
$V = 1386 \times 3$
$V = 4158 \, cm^3$ है।
अतः,शंकु का आयतन $4158 \, cm^3$ है।

(B) दिया है: त्रिज्या $(r) = 7 \, cm$, तिर्यक ऊँचाई $(l) = 25 \, cm$।
सबसे पहले, $l^2 = r^2 + h^2$ संबंध का उपयोग करके ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करें।
$h^2 = l^2 - r^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$।
$h = \sqrt{576} = 24 \, cm$।
शंकु का आयतन $(V) = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24 = 22 \times 7 \times 8 = 1232 \, cm^3$।
चूँकि $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{लीटर}$, इसलिए धारिता $\frac{1232}{1000} = 1.232 \, \text{लीटर}$ है।

(C) दिया गया है: त्रिज्या $(r)$ = $21 \,cm$,तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $29 \,cm$.
सबसे पहले,$l^2 = r^2 + h^2$ संबंध का उपयोग करके शंकु की ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करें।
$h^2 = l^2 - r^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400$.
$h = \sqrt{400} = 20 \,cm$.
शंकु का आयतन $(V)$ ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 20 = 22 \times 3 \times 7 \times 20 = 9240 \,cm^3$.
चूँकि $1000 \,cm^3 = 1 \,\text{लीटर}$,इसलिए धारिता $9240 / 1000 = 9.240 \,\text{लीटर}$ होगी।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $(r)$ = $35 \,cm$,तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $91 \,cm$.
सबसे पहले,$l^2 = r^2 + h^2$ संबंध का उपयोग करके ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करें।
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{91^2 - 35^2} = \sqrt{(91 - 35)(91 + 35)} = \sqrt{56 \times 126} = \sqrt{7056} = 84 \,cm$.
शंकु का आयतन $(V)$ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 35 \times 35 \times 84 = 22 \times 35 \times 5 \times 84 / 3 = 22 \times 35 \times 5 \times 28 = 107800 \,cm^3$.
चूँकि $1000 \,cm^3 = 1 \,litre$,धारिता $107800 / 1000 = 107.8 \,litres$ है।

(N/A) जब $\Delta ABC$ को भुजा $AB$ के परितः घुमाया जाता है,तो शंकु की ऊँचाई $h = AB = 6.3 \, cm$ और त्रिज्या $r = BC = 8.4 \, cm$ होती है। आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (8.4)^2 \times 6.3 = 465.696 \, cm^3$। जब $\Delta ABC$ को भुजा $BC$ के परितः घुमाया जाता है,तो शंकु की ऊँचाई $h = BC = 8.4 \, cm$ और त्रिज्या $r = AB = 6.3 \, cm$ होती है। आयतन $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (6.3)^2 \times 8.4 = 349.272 \, cm^3$।

(C) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $V = 616 \, cm^3$ और $h = 12 \, cm$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$616 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^2 \times 12$
$616 = 4 \times \frac{22}{7} \times r^2$
$616 = \frac{88}{7} \times r^2$
$r^2 = \frac{616 \times 7}{88}$
$r^2 = 7 \times 7 = 49$
$r = 7 \, cm$.
व्यास $d = 2r = 2 \times 7 = 14 \, cm$ होगा।

(D) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
दिया गया है:
त्रिज्या $(r)$ = $7 \, cm$
ऊँचाई $(h)$ = $30 \, cm$
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 30$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 30$
$V = 22 \times 7 \times 10$
$V = 1540 \, cm^3$.