Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(C) सिंधु घाटी सभ्यता में निर्माण कार्य के लिए उपयोग की जाने वाली पकी हुई ईंटें मानकीकृत थीं। पुरातात्विक निष्कर्षों से पुष्टि होती है कि ये ईंटें आमतौर पर $4: 2: 1$ के लंबाई,चौड़ाई और मोटाई के अनुपात में थीं। यह अनुपात उस अवधि के दौरान निर्मित भवनों के लिए संरचनात्मक स्थिरता प्रदान करता था।

(D) पिरामिड त्रिविमीय ज्यामिति में एक ठोस आकृति है। यह एक बहुभुजीय आधार को एक बिंदु से जोड़कर बनाया जाता है,जिसे शीर्ष (apex) कहा जाता है। आधार कोई भी बहुभुज (जैसे त्रिभुज,वर्ग,पंचभुज,आदि) हो सकता है,और इसकी पार्श्व सतहें त्रिभुज होती हैं जो शीर्ष पर मिलती हैं।

(A) पिरामिड एक बहुफलक (polyhedron) है जिसका आधार एक बहुभुज होता है और इसके पार्श्व फलक त्रिभुज होते हैं जो एक सामान्य शीर्ष पर मिलते हैं जिसे शीर्ष (apex) कहा जाता है।

(FALSE) यह कथन असत्य है।
औचित्य: पिरामिड एक ऐसी ठोस आकृति है जिसका आधार एक बहुभुज होता है और इसके पार्श्व फलक त्रिभुजाकार होते हैं जो एक सामान्य शीर्ष पर मिलते हैं। यद्यपि आधार कोई भी बहुभुज हो सकता है,लेकिन इसके पार्श्व फलक आवश्यक रूप से समबाहु त्रिभुज नहीं होते हैं; आधार की विमाओं और पिरामिड की ऊँचाई के आधार पर वे किसी भी प्रकार के त्रिभुज हो सकते हैं।

(A) चूंकि मैरी बक्से की बाहरी सतह पर कागज चिपकाना चाहती है,इसलिए आवश्यक कागज की मात्रा बक्से के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होगी,जो घनाभ के आकार का है।
बक्से की विमाएं हैं: लंबाई $(l)$ = $80 \, cm$,चौड़ाई $(b)$ = $40 \, cm$,ऊंचाई $(h)$ = $20 \, cm$.
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(lb + bh + hl)$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2[(80 \times 40) + (40 \times 20) + (20 \times 80)] \, cm^2$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2[3200 + 800 + 1600] \, cm^2$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \times 5600 \, cm^2 = 11200 \, cm^2$.
कागज की प्रत्येक वर्गाकार शीट का क्षेत्रफल = भुजा $\times$ भुजा = $40 \, cm \times 40 \, cm = 1600 \, cm^2$.
आवश्यक शीटों की संख्या = (बक्से का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल) / (कागज की एक शीट का क्षेत्रफल)।
शीटों की संख्या = $11200 / 1600 = 7$.
अतः,उसे $7$ शीटों की आवश्यकता होगी।

(B) चूंकि हमीद टंकी की पांच बाहरी सतहों पर टाइलें लगवा रहा है,इसलिए उसे आवश्यक टाइलों की संख्या निर्धारित करने के लिए इन पांच सतहों के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करनी होगी।
घनाकार टंकी का किनारा $(a)$ $= 1.5\, m = 150\, cm$.
पांच सतहों का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 5 \times a^2 = 5 \times 150 \times 150\, cm^2 = 112500\, cm^2$.
प्रत्येक वर्गाकार टाइल का क्षेत्रफल $= 25\, cm \times 25\, cm = 625\, cm^2$.
आवश्यक टाइलों की संख्या $= \frac{\text{कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{\text{एक टाइल का क्षेत्रफल}} = \frac{112500}{625} = 180$.
$1$ दर्जन $(12)$ टाइलों की कीमत $= Rs. 360$.
$1$ टाइल की कीमत $= \frac{360}{12} = Rs. 30$.
$180$ टाइलों के लिए कुल खर्च $= 180 \times 30 = Rs. 5400$.

(109) दिया गया है:
लंबाई $(l) = 1.5\, m$
चौड़ाई $(b) = 1.25\, m$
गहराई $(h) = 65\, cm = 0.65\, m$
$(i)$ चूंकि पेटी ऊपर से खुली है,इसलिए आवश्यक शीट का क्षेत्रफल चार दीवारों और आधार के क्षेत्रफल का योग है:
क्षेत्रफल $= 2lh + 2bh + lb$
$= [2 \times 1.5 \times 0.65 + 2 \times 1.25 \times 0.65 + 1.5 \times 1.25]\, m^2$
$= (1.95 + 1.625 + 1.875)\, m^2 = 5.45\, m^2$
$(ii)$ $1\, m^2$ शीट की लागत $= Rs. 20$
$5.45\, m^2$ शीट की कुल लागत $= 5.45 \times 20 = Rs. 109$

(D) दिया गया है: लंबाई $(l) = 5\, m$,चौड़ाई $(b) = 4\, m$,ऊँचाई $(h) = 3\, m$.
हमें चारों दीवारों और छत पर सफेदी करानी है।
सफेदी कराने का क्षेत्रफल = चारों दीवारों का क्षेत्रफल + छत का क्षेत्रफल
$= 2(l + b)h + (l \times b)$
$= 2(5 + 4) \times 3 + (5 \times 4)$
$= 2(9) \times 3 + 20$
$= 54 + 20 = 74\, m^2$.
$1\, m^2$ सफेदी कराने का व्यय = $Rs. 7.50$.
कुल व्यय = $74 \times 7.50 = Rs. 555$.

(A) माना आयताकार हॉल की लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $l\, m, b\, m$ और $h\, m$ है।
चार दीवारों का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र: $\text{क्षेत्रफल} = 2lh + 2bh = 2(l + b)h$.
हॉल के फर्श का परिमाप $2(l + b) = 250\, m$ है।
क्षेत्रफल के सूत्र में परिमाप का मान रखने पर: $\text{चार दीवारों का क्षेत्रफल} = 250 \times h = 250h\, m^2$.
पेंट करने की दर $10$ प्रति $m^2$ दी गई है।
कुल खर्च = $\text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 250h \times 10 = 2500h$.
कुल खर्च $Rs. 15000$ दिया गया है,इसलिए समीकरण: $2500h = 15000$.
$h$ का मान निकालने पर: $h = \frac{15000}{2500} = 6\, m$.
अतः,हॉल की ऊँचाई $6\, m$ है।

(B) एक ईंट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(lb + bh + lh)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दी गई विमाओं को रखने पर: $l = 22.5 \,cm$,$b = 10 \,cm$,$h = 7.5 \,cm$.
एक ईंट का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(22.5 \times 10 + 10 \times 7.5 + 22.5 \times 7.5) \,cm^2$.
$= 2(225 + 75 + 168.75) \,cm^2 = 2(468.75) \,cm^2 = 937.5 \,cm^2$.
कुल पेंट करने योग्य क्षेत्रफल को $m^2$ से $cm^2$ में बदलने पर: $9.375 \,m^2 = 9.375 \times 10000 \,cm^2 = 93750 \,cm^2$.
मान लीजिए कि $n$ ईंटें पेंट की जा सकती हैं।
$n \times 937.5 = 93750$.
$n = \frac{93750}{937.5} = 100$.
अतः,$100$ ईंटें पेंट की जा सकती हैं।

(C) घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \times (\text{किनारा})^2$.
घन का किनारा $= 10\, cm$ दिया गया है।
घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \times (10\, cm)^2 = 4 \times 100\, cm^2 = 400\, cm^2$.
घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times h \times (l + b)$.
लंबाई $(l) = 12.5\, cm$,चौड़ाई $(b) = 10\, cm$ और ऊँचाई $(h) = 8\, cm$ दी गई है।
घनाभाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times 8\, cm \times (12.5\, cm + 10\, cm) = 16\, cm \times 22.5\, cm = 360\, cm^2$.
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर,$400\, cm^2 > 360\, cm^2$.
अतः,घनाकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है।
अंतर $= 400\, cm^2 - 360\, cm^2 = 40\, cm^2$.

(D) घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (\text{किनारा})^2 = 6 \times (10\, cm)^2 = 600\, cm^2$.
घनाभाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(lh + bh + lb) = 2(12.5 \times 8 + 10 \times 8 + 12.5 \times 10) = 2(100 + 80 + 125) = 2(305) = 610\, cm^2$.
दोनों की तुलना करने पर, घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(600\, cm^2)$ घनाभाकार डिब्बे $(610\, cm^2)$ से कम है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में अंतर $= 610\, cm^2 - 600\, cm^2 = 10\, cm^2$.
अतः, घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $10\, cm^2$ कम है।

(A) ग्रीनहाउस एक घनाभ के आकार का है।
लंबाई $(l) = 30 \, cm$
चौड़ाई $(b) = 25 \, cm$
ऊंचाई $(h) = 25 \, cm$
कांच का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(lb + lh + bh)$
$= 2(30 \times 25 + 30 \times 25 + 25 \times 25) \, cm^2$
$= 2(750 + 750 + 625) \, cm^2$
$= 2(2125) \, cm^2$
$= 4250 \, cm^2$
अतः,कांच का कुल क्षेत्रफल $4250 \, cm^2$ है।

(B) एक घनाभ में $12$ किनारे होते हैं,जिसमें $4$ लंबाई $(l)$,$4$ चौड़ाई $(b)$ और $4$ ऊँचाई $(h)$ होती है।
दी गई विमाएँ लंबाई $(l)$ = $30 \, cm$,चौड़ाई $(b)$ = $25 \, cm$ और ऊँचाई $(h)$ = $25 \, cm$ हैं।
सभी $12$ किनारों के लिए आवश्यक टेप की कुल लंबाई का सूत्र है:
कुल लंबाई $= 4(l + b + h)$
$= 4(30 + 25 + 25) \, cm$
$= 4(80) \, cm$
$= 320 \, cm$
अतः,$320 \, cm$ टेप की आवश्यकता है।

(C) बड़े डिब्बे की लंबाई $(l_1) = 25 \,cm$,चौड़ाई $(b_1) = 20 \,cm$,ऊँचाई $(h_1) = 5 \,cm$.
बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(l_1b_1 + l_1h_1 + b_1h_1) = 2(25 \times 20 + 25 \times 5 + 20 \times 5) \,cm^2 = 2(500 + 125 + 100) \,cm^2 = 1450 \,cm^2$.
ओवरलैप के लिए अतिरिक्त क्षेत्रफल $= 1450 \text{ का } 5\% = (1450 \times 0.05) \,cm^2 = 72.5 \,cm^2$.
$1$ बड़े डिब्बे के लिए कुल क्षेत्रफल $= 1450 + 72.5 = 1522.5 \,cm^2$.
$250$ बड़े डिब्बों के लिए कुल क्षेत्रफल $= 250 \times 1522.5 = 380625 \,cm^2$.
छोटे डिब्बे की लंबाई $(l_2) = 15 \,cm$,चौड़ाई $(b_2) = 12 \,cm$,ऊँचाई $(h_2) = 5 \,cm$.
छोटे डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(15 \times 12 + 15 \times 5 + 12 \times 5) \,cm^2 = 2(180 + 75 + 60) \,cm^2 = 630 \,cm^2$.
ओवरलैप के लिए अतिरिक्त क्षेत्रफल $= 630 \text{ का } 5\% = (630 \times 0.05) \,cm^2 = 31.5 \,cm^2$.
$1$ छोटे डिब्बे के लिए कुल क्षेत्रफल $= 630 + 31.5 = 661.5 \,cm^2$.
$250$ छोटे डिब्बों के लिए कुल क्षेत्रफल $= 250 \times 661.5 = 165375 \,cm^2$.
कुल आवश्यक कार्डबोर्ड का क्षेत्रफल $= 380625 + 165375 = 546000 \,cm^2$.
कुल लागत $= (546000 / 1000) \times 4 = 546 \times 4 = Rs. 2184$.

(D) आश्रय एक घनाकार संरचना है जिसमें आधार नहीं है।
लंबाई $(l) = 4 \, m$,चौड़ाई $(b) = 3 \, m$,और ऊंचाई $(h) = 2.5 \, m$ है।
तिरपाल की आवश्यकता चारों दीवारों और छत के लिए है।
आवश्यक तिरपाल का क्षेत्रफल $= \text{पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{छत का क्षेत्रफल}$
$= 2(lh + bh) + (l \times b)$
$= [2(4 \times 2.5 + 3 \times 2.5) + (4 \times 3)] \, m^2$
$= [2(10 + 7.5) + 12] \, m^2$
$= [2(17.5) + 12] \, m^2$
$= (35 + 12) \, m^2 = 47 \, m^2$.
अतः,$47 \, m^2$ तिरपाल की आवश्यकता होगी।

(A) बहुरूपदर्शक बेलनाकार आकार का है।
बेलन के आधार की त्रिज्या $(r) = 3.5\, cm$.
बेलन की ऊँचाई (लंबाई) $(h) = 25\, cm$.
आवश्यक चार्ट पेपर का क्षेत्रफल बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 25\, cm^{2}$
$= 2 \times 22 \times 0.5 \times 25\, cm^{2}$
$= 44 \times 12.5\, cm^{2}$
$= 550\, cm^{2}$

(B) दिया है:
ऊँचाई $(h) = 14\, cm$
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) = 88\, cm^2$
माना आधार की त्रिज्या $r$ है और व्यास $d = 2r$ है।
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $CSA = 2\pi rh$ होता है।
चूँकि $d = 2r$,हम $CSA = \pi dh$ लिख सकते हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$88 = \frac{22}{7} \times d \times 14$
$88 = 22 \times d \times 2$
$88 = 44 \times d$
$d = \frac{88}{44} = 2\, cm$।
अतः,बेलन के आधार का व्यास $2\, cm$ है।

(C) बेलनाकार टंकी की ऊँचाई $(h) = 1 \,m$ है।
आधार का व्यास $140 \,cm$ है,इसलिए आधार की त्रिज्या $(r) = \frac{140}{2} \,cm = 70 \,cm = 0.7 \,m$ है।
आवश्यक चादर का क्षेत्रफल बंद बेलनाकार टंकी के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है,जिसका सूत्र $2\pi r(r + h)$ है।
मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times (0.7 + 1) \,m^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = 2 \times 22 \times 0.1 \times 1.7 \,m^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = 4.4 \times 1.7 \,m^2 = 7.48 \,m^2$.
अतः,$7.48 \,m^2$ धातु की चादर की आवश्यकता होगी।

(D) दिया है:
बेलनाकार पाइप की लंबाई (ऊंचाई),$h = 77\, cm$.
आंतरिक व्यास,$d_{1} = 4\, cm$.
आंतरिक त्रिज्या,$r_{1} = \frac{d_{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2\, cm$.
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $2\pi rh$ होता है।
आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times \pi \times r_{1} \times h$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2 \times 77$
$= 2 \times 22 \times 2 \times 11$
$= 968\, cm^{2}$.
अतः,धातु के पाइप का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $968\, cm^{2}$ है।

(B) दिया है:
पाइप की लंबाई $(h)$ = $77 \, cm$
आंतरिक व्यास $(d_1)$ = $4 \, cm$,अतः आंतरिक त्रिज्या $(r_1)$ = $2 \, cm$
बाहरी व्यास $(d_2)$ = $4.4 \, cm$,अतः बाहरी त्रिज्या $(r_2)$ = $2.2 \, cm$
पाइप का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (दोनों सिरों के वृत्ताकार छल्लों का क्षेत्रफल)
आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r_1 h = 2 \times \frac{22}{7} \times 2 \times 77 = 968 \, cm^2$
बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r_2 h = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.2 \times 77 = 1064.8 \, cm^2$
दोनों सिरों के वृत्ताकार छल्लों का क्षेत्रफल = $2 \times \pi (r_2^2 - r_1^2) = 2 \times \frac{22}{7} \times (2.2^2 - 2^2) = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.84 = 5.28 \, cm^2$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $968 + 1064.8 + 5.28 = 2038.08 \, cm^2$.

(C) रोलर बेलनाकार आकार का है।
बेलनाकार रोलर की ऊँचाई $(h)$ = रोलर की लंबाई = $120\, cm$ है।
रोलर के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r)$ = $\frac{84}{2}\, cm = 42\, cm$ है।
रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ = $2\pi rh$ है।
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 42 \times 120\, cm^2$ है।
$CSA = 2 \times 22 \times 6 \times 120\, cm^2 = 31680\, cm^2$ है।
मैदान का क्षेत्रफल $500$ चक्करों में तय किए गए कुल क्षेत्रफल के बराबर है।
मैदान का क्षेत्रफल = $500 \times$ रोलर का $CSA$ है।
क्षेत्रफल = $500 \times 31680\, cm^2 = 15840000\, cm^2$ है।
चूंकि $1\, m^2 = 10000\, cm^2$ होता है,इसलिए हम क्षेत्रफल को $m^2$ में बदलते हैं:
क्षेत्रफल = $\frac{15840000}{10000}\, m^2 = 1584\, m^2$ है।

(D) दिया है: बेलनाकार स्तंभ का व्यास $= 50 \, cm = 0.5 \, m$.
त्रिज्या $(r) = \frac{0.5}{2} = 0.25 \, m$.
ऊँचाई $(h) = 3.5 \, m$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) = 2 \pi rh$.
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times 3.5 \, m^2$.
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times \frac{35}{10} = 2 \times 22 \times 0.25 \times 0.5 = 5.5 \, m^2$.
$1 \, m^2$ रंगाई का व्यय $= Rs. \, 12.50$.
कुल रंगाई का व्यय $= 5.5 \times 12.50 = Rs. \, 68.75$.

(A) माना कि लंबवृत्तीय बेलन की ऊँचाई $h$ है।
बेलन के आधार की त्रिज्या $(r) = 0.7 \, m$ दी गई है।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) = 4.4 \, m^2$ दिया गया है।
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $CSA = 2 \pi r h$ होता है।
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times h = 4.4$
व्यंजक को सरल करने पर:
$2 \times 22 \times 0.1 \times h = 4.4$
$4.4 \times h = 4.4$
$h$ का मान ज्ञात करने पर:
$h = \frac{4.4}{4.4} = 1 \, m$।
अतः,बेलन की ऊँचाई $1 \, m$ है।

(B) वृत्ताकार कुएँ का आंतरिक व्यास $d = 3.5 \, m$ है।
अतः,आंतरिक त्रिज्या $(r) = \frac{d}{2} = \frac{3.5}{2} \, m = 1.75 \, m$ है।
कुएँ की गहराई $(h) = 10 \, m$ है।
बेलन के आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2 \pi r h$ होता है।
मान रखने पर:
आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 10 \, m^2$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{175}{100} \times 10 \, m^2$.
$= 44 \times 0.25 \times 10 \, m^2 = 110 \, m^2$.
अतः,वृत्ताकार कुएँ का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $110 \, m^2$ है।

$(C)$ दिया है: कुएँ का व्यास $(d)$ $= 3.5\, m$, गहराई $(h)$ $= 10\, m$.
त्रिज्या $(r)$ $= d/2 = 3.5/2 = 1.75\, m$.
बेलनाकार कुएँ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= 2\pi rh$.
$CSA = 2 \times (22/7) \times 1.75 \times 10$.
$CSA = 2 \times (22/7) \times 17.5 = 44 \times 2.5 = 110\, m^2$.
प्लास्टर कराने का व्यय $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 110\, m^2 \times Rs. 40/m^2 = Rs. 4400$.

(D) बेलनाकार पाइप की ऊँचाई $(h)$ उसकी लंबाई के बराबर है,इसलिए $h = 28 \, m$.
पाइप के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r)$ व्यास की आधी होती है,इसलिए $r = \frac{5}{2} \, cm = 2.5 \, cm$.
इकाइयों को सुसंगत रखने के लिए,त्रिज्या को मीटर में बदलें: $r = \frac{2.5}{100} \, m = 0.025 \, m$.
पाइप की कुल विकिरण सतह उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ है,जो सूत्र $CSA = 2 \pi r h$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.025 \times 28$.
$CSA = 2 \times 22 \times 0.025 \times 4 = 44 \times 0.1 = 4.4 \, m^2$.
अतः,प्रणाली में कुल विकिरण सतह $4.4 \, m^2$ है।

(A) बेलनाकार टंकी की ऊँचाई $(h) = 4.5\, m$ है।
बेलनाकार टंकी के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r) = \frac{4.2}{2}\, m = 2.1\, m$ है।
बेलन का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) = 2\pi rh$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 4.5\, m^2$ है।
$CSA = 2 \times 22 \times 0.3 \times 4.5\, m^2$ है।
$CSA = 44 \times 1.35\, m^2$ है।
$CSA = 59.4\, m^2$ है।
अतः,टंकी का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $59.4\, m^2$ है।

(B) सबसे पहले, बंद बेलनाकार टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ ज्ञात करें:
$TSA = 2\pi r(r + h)$
यहाँ $r = 2.1 \text{ m}$ और $h = 4.5 \text{ m}$ दिया गया है,
$TSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times (2.1 + 4.5) = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 6.6 = 87.12 \text{ m}^2$.
मान लीजिए कि वास्तव में उपयोग किया गया स्टील $A$ है। चूंकि स्टील का $1/12$ भाग बर्बाद हो गया था, इसलिए टंकी में उपयोग किया गया स्टील $A - \frac{1}{12}A = \frac{11}{12}A$ होगा।
इसे टंकी के पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर रखने पर:
$\frac{11}{12}A = 87.12$
$A = \frac{87.12 \times 12}{11} = 7.92 \times 12 = 95.04 \text{ m}^2$.
अतः, वास्तव में उपयोग किया गया स्टील $95.04 \text{ m}^2$ है।

(C) लैंपशेड का ढांचा बेलनाकार है।
दिया है:
आधार का व्यास $= 20 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $(r) = \frac{20}{2} = 10 \, cm$.
ढांचे की ऊंचाई $= 30 \, cm$.
ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए मार्जिन $= 2.5 \, cm$ प्रत्येक।
आवश्यक कपड़े की कुल ऊंचाई $(h) = 30 \, cm + 2.5 \, cm + 2.5 \, cm = 35 \, cm$.
लैंपशेड को ढकने के लिए आवश्यक कपड़ा बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi rh$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 10 \times 35 \, cm^2$
$= 2 \times 22 \times 10 \times 5 \, cm^2$
$= 2200 \, cm^2$.
अतः,लैंपशेड को ढकने के लिए $2200 \, cm^2$ कपड़े की आवश्यकता होगी।

(D) पेनहोल्डर एक आधार वाला बेलन है,इसलिए इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार के वृत्ताकार क्षेत्रफल का योग है।
त्रिज्या $(r) = 3 \,cm$
ऊँचाई $(h) = 10.5 \,cm$
$1$ पेनहोल्डर का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh + \pi r^2 = \pi r(2h + r)$
$= \frac{22}{7} \times 3 \times (2 \times 10.5 + 3) \,cm^2$
$= \frac{22}{7} \times 3 \times (21 + 3) \,cm^2$
$= \frac{22}{7} \times 3 \times 24 \,cm^2 = \frac{1584}{7} \,cm^2$
$35$ प्रतियोगियों के लिए आवश्यक कुल कार्डबोर्ड $= 35 \times \left(\frac{1584}{7}\right) \,cm^2$
$= 5 \times 1584 \,cm^2 = 7920 \,cm^2$
अतः,$7920 \,cm^2$ कार्डबोर्ड की आवश्यकता होगी।

(N/A) दिया है: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 308 \, cm^2$,तिर्यक ऊँचाई $(l) = 14 \, cm$।
$(i)$ माना आधार की त्रिज्या $r \, cm$ है।
हम जानते हैं कि शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r l$ होता है।
$\therefore \pi r l = 308$
$\Rightarrow \frac{22}{7} \times r \times 14 = 308$
$\Rightarrow 44 \times r = 308$
$\Rightarrow r = \frac{308}{44} = 7 \, cm$।
अतः,आधार की त्रिज्या $7 \, cm$ है।
$(ii)$ शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{आधार का क्षेत्रफल}$।
आधार का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7^2 = 154 \, cm^2$।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 308 \, cm^2 + 154 \, cm^2 = 462 \, cm^2$।

(A) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक त्रिज्या $r$ है और प्रारंभिक ऊँचाई $h$ है। प्रारंभिक आयतन $V_1 = \pi r^2 h$ होगा।
प्रश्न के अनुसार,नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ और नई ऊँचाई $h' = 2h$ है।
नया आयतन $V_2$ इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$V_2 = \pi (r')^2 (h')$
$V_2 = \pi (\frac{r}{2})^2 (2h)$
$V_2 = \pi (\frac{r^2}{4}) (2h)$
$V_2 = \frac{2}{4} \pi r^2 h$
$V_2 = \frac{1}{2} \pi r^2 h$
चूँकि $V_1 = \pi r^2 h$,इसलिए $V_2 = \frac{1}{2} V_1$ प्राप्त होता है।
अतः,आयतन आधा हो जाएगा।

(C) घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $6 \times (\text{भुजा})^2$ है।
यहाँ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $96 \, cm^2$ दिया गया है, इसलिए $6 \times (\text{भुजा})^2 = 96$ है।
दोनों पक्षों को $6$ से विभाजित करने पर, $(\text{भुजा})^2 = 16$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, भुजा की लंबाई $\text{भुजा} = \sqrt{16} = 4 \, cm$ है।
घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $(\text{भुजा})^3$ है।
अतः, आयतन $= (4)^3 = 64 \, cm^3$ है।

(D) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
यहाँ,त्रिज्या $r = 2.1 \, cm$ और ऊँचाई $h = 8.4 \, cm$ है।
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi (2.1)^2 \times 8.4$.
जब शंकु को पिघलाकर गोला बनाया जाता है,तो आयतन समान रहता है।
माना गोले की त्रिज्या $R$ है। गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है।
दोनों आयतनों को बराबर रखने पर: $\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{1}{3} \pi (2.1)^2 \times 8.4$.
दोनों पक्षों को $\frac{1}{3} \pi$ से विभाजित करने पर: $4 R^3 = (2.1)^2 \times 8.4$.
$R^3 = \frac{(2.1)^2 \times 8.4}{4} = (2.1)^2 \times 2.1 = (2.1)^3$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$R = 2.1 \, cm$.
अतः,गोले की त्रिज्या $2.1 \, cm$ है।

(A) बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = 2 \pi r h$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
जब त्रिज्या को दोगुना $(r' = 2r)$ और ऊँचाई को आधा $(h' = h/2)$ किया जाता है,तो नया वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA')$ होगा:
$CSA' = 2 \pi (2r) \times (h/2)$
$CSA' = 2 \pi r h$
चूँकि नया वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल मूल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर है,इसलिए वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल समान रहेगा।

(C) माना कि दो बेलनों की त्रिज्याएँ $r_1 = 2r$ और $r_2 = 3r$ हैं तथा उनकी ऊँचाइयाँ $h_1 = 5h$ और $h_2 = 3h$ हैं।
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \frac{\pi (2r)^2 (5h)}{\pi (3r)^2 (3h)}$
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{4r^2 \times 5h}{9r^2 \times 3h} = \frac{20r^2h}{27r^2h} = \frac{20}{27}$
इस प्रकार,उनके आयतनों का अनुपात $20:27$ है।

(D) घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $4 \times (\text{भुजा})^2$ है।
दिया गया है कि पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $256 \, m^2$ है,इसलिए:
$4 \times (\text{भुजा})^2 = 256$
$(\text{भुजा})^2 = 256 \div 4 = 64$
$\text{भुजा} = \sqrt{64} = 8 \, m$।
घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र: $(\text{भुजा})^3$ है।
अतः,आयतन $= (8)^3 = 512 \, m^3$ होगा।

(A) सबसे पहले,सभी विमाओं को एक ही इकाई (मीटर) में बदलें।
तख्ते की विमाएँ: $4 \,m$,$50 \,cm = 0.5 \,m$ और $20 \,cm = 0.2 \,m$ हैं।
गड्ढे का आयतन $= 16 \,m \times 12 \,m \times 4 \,m = 768 \,m^3$ है।
एक तख्ते का आयतन $= 4 \,m \times 0.5 \,m \times 0.2 \,m = 0.4 \,m^3$ है।
तख्तों की संख्या $= \frac{\text{गड्ढे का आयतन}}{\text{एक तख्ते का आयतन}} = \frac{768}{0.4} = 1920$ है।

(B) एक कमरे में रखे जा सकने वाले सबसे लंबे खंभे की लंबाई घनाभ के विकर्ण (space diagonal) की लंबाई के बराबर होती है।
$l$,$b$,और $h$ विमाओं वाले घनाभ के विकर्ण का सूत्र $\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$ होता है।
दी गई विमाएँ $l = 10 \text{ m}$,$b = 10 \text{ m}$,और $h = 5 \text{ m}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{लंबाई} = \sqrt{10^2 + 10^2 + 5^2}$
$= \sqrt{100 + 100 + 25}$
$= \sqrt{225}$
$= 15 \text{ m}$.

(TRUE) सत्य।
यहाँ,गोले की त्रिज्या $=$ बेलन की त्रिज्या $= r$ है।
गोले का व्यास $=$ बेलन की ऊँचाई $= 2r$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \pi r^2$ है।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h = 2 \pi r (2r) = 4 \pi r^2$ है।
चूँकि दोनों क्षेत्रफल $4 \pi r^2$ के बराबर हैं,इसलिए यह कथन सत्य है।

(B) एक लंबवृत्तीय शंकु में,ऊँचाई $(h)$,त्रिज्या $(r)$ और तिर्यक ऊँचाई $(l)$ हमेशा एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ बनाती हैं,जहाँ तिर्यक ऊँचाई कर्ण होती है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,संबंध $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ होता है।
चूँकि यह संबंध सभी लंबवृत्तीय शंकुओं के लिए सत्य है,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(A) मान लीजिए कि बेलन की त्रिज्या $r$ है और ऊँचाई $h$ है।
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = 2 \pi r h$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई त्रिज्या $r' = 2r$ और नई ऊँचाई $h' = h/2$ है।
नया वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA')$ ज्ञात करने पर:
$CSA' = 2 \pi r' h' = 2 \pi (2r) (h/2) = 2 \pi r h$।
चूँकि $CSA' = CSA$ है,इसलिए जब त्रिज्या को दोगुना और ऊँचाई को आधा किया जाता है,तो वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(A) घन की भुजा $2r$ है। इस घन के भीतर समा सकने वाले सबसे बड़े लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई $h = 2r$ होगी और आधार का व्यास घन की भुजा के बराबर होगा,इसलिए शंकु की त्रिज्या $R = r$ होगी।
इस शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (r)^2 (2r) = \frac{2}{3} \pi r^3$ है।
$r$ त्रिज्या वाले अर्धगोले का आयतन $V_{hemisphere} = \frac{2}{3} \pi r^3$ होता है।
चूँकि शंकु का आयतन $\frac{2}{3} \pi r^3$ है और अर्धगोले का आयतन भी $\frac{2}{3} \pi r^3$ है,इसलिए दोनों आयतन बराबर हैं।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(TRUE) माना कि बेलन और लंबवृत्तीय शंकु दोनों की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
बेलन के आयतन का सूत्र $V_{cylinder} = \pi r^{2} h$ है।
लंबवृत्तीय शंकु के आयतन का सूत्र $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ है।
दोनों आयतनों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $V_{cylinder} = 3 \times (\frac{1}{3} \pi r^{2} h) = 3 \times V_{cone}$ है।
अतः,बेलन का आयतन वास्तव में शंकु के आयतन का तीन गुना है।
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।

(TRUE) माना कि शंकु,अर्धगोले और बेलन के आधार की त्रिज्या $r$ है। चूँकि वे समान आधार पर स्थित हैं,इसलिए उनकी त्रिज्याएँ समान हैं।
दिया गया है कि उनकी ऊँचाई समान है,और अर्धगोले की ऊँचाई उसकी त्रिज्या $(r)$ के बराबर होती है,इसलिए शंकु और बेलन की ऊँचाई भी $r$ होगी।
$1$. शंकु का आयतन $(V_1)$: $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 (r) = \frac{1}{3} \pi r^3$.
$2$. अर्धगोले का आयतन $(V_2)$: $V_2 = \frac{2}{3} \pi r^3$.
$3$. बेलन का आयतन $(V_3)$: $V_3 = \pi r^2 h = \pi r^2 (r) = \pi r^3 = \frac{3}{3} \pi r^3$.
आयतनों की तुलना करने पर: $V_1 : V_2 : V_3 = \frac{1}{3} \pi r^3 : \frac{2}{3} \pi r^3 : \frac{3}{3} \pi r^3 = 1 : 2 : 3$.
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $1 : 2 : 3$ है। दिया गया कथन सत्य है।

(B) माना कि घन के किनारे की लंबाई $a$ है।
घन के विकर्ण की लंबाई का सूत्र $\sqrt{3} a$ होता है।
दिया गया है कि घन के विकर्ण की लंबाई $6 \sqrt{3} \, \text{cm}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $\sqrt{3} a = 6 \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर,हमें $a = 6 \, \text{cm}$ प्राप्त होता है।
अतः,घन के किनारे की लंबाई $6 \, \text{cm}$ है,न कि $3 \, \text{cm}$।
इसलिए,दिया गया कथन असत्य है।

(A) माना कि घन की भुजा की लंबाई $a$ है।
चूंकि गोला घन के अंदर अंतर्निहित है,इसलिए गोले का व्यास घन की भुजा की लंबाई $a$ के बराबर होगा। अतः,गोले की त्रिज्या $r = \frac{a}{2}$ होगी।
घन का आयतन $(V_1)$ = $(\text{भुजा})^3 = a^3$.
गोले का आयतन $(V_2)$ = $\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{a}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{a^3}{8}) = \frac{\pi a^3}{6}$.
घन के आयतन और गोले के आयतन का अनुपात = $\frac{V_1}{V_2} = \frac{a^3}{\frac{\pi a^3}{6}} = \frac{6}{\pi}$.
अतः,अनुपात $6: \pi$ है।
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।

(TRUE) माना बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
बेलन का मूल आयतन $V_{1} = \pi r^{2} h$ है।
जब त्रिज्या को दोगुना किया जाता है,तो नई त्रिज्या $2r$ हो जाती है। जब ऊँचाई को आधा किया जाता है,तो नई ऊँचाई $\frac{h}{2}$ हो जाती है।
नया आयतन $V_{2}$ इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$V_{2} = \pi (2r)^{2} \times \left(\frac{h}{2}\right)$
$V_{2} = \pi (4r^{2}) \times \left(\frac{h}{2}\right)$
$V_{2} = 2 \pi r^{2} h$
$V_{2} = 2 V_{1}$
चूँकि नया आयतन मूल आयतन का दोगुना है,इसलिए दिया गया कथन सत्य है।

(N/A) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4\pi r^2 = 4 \times \pi \times 5^2 = 100\pi \, cm^2$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl = \pi \times 4 \times l = 4\pi l \, cm^2$,जहाँ $l$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई है।
प्रश्न के अनुसार,गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 5 \times$ शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
$100\pi = 5 \times 4\pi l$
$100\pi = 20\pi l$
$l = \frac{100}{20} = 5 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $h$ ज्ञात करने के लिए,सूत्र $l^2 = h^2 + r^2$ का उपयोग करते हुए:
$5^2 = h^2 + 4^2$
$25 = h^2 + 16$
$h^2 = 25 - 16 = 9$
$h = 3 \, cm$.
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 4^2 \times 3$
$= \frac{22}{7} \times 16 = \frac{352}{7} \approx 50.29 \, cm^3$.