Volume of a Sphere Questions in Hindi

(B) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि गोले की त्रिज्या $R = 2r$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \pi (2r)^{3}$
$V = \frac{4}{3} \pi (8r^{3})$
$V = \frac{32}{3} \pi r^{3}$

(A) माना गोले की त्रिज्या $r$ है।
दिया गया है कि बेलन की ऊँचाई और व्यास गोले के व्यास के बराबर हैं।
चूँकि गोले का व्यास $2r$ है,इसलिए बेलन की ऊँचाई $h = 2r$ और बेलन का व्यास $2r$ है।
अतः,बेलन की त्रिज्या $r$ है।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$।
बेलन का आयतन $= \pi r^2 h = \pi r^2 (2r) = 2 \pi r^3$।
बेलन के आयतन का दो-तिहाई $= \frac{2}{3} \times (2 \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi r^3$।
चूँकि गोले का आयतन $\frac{4}{3} \pi r^3$ है,इसलिए दिया गया कथन सत्य है।

(N/A) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है।
माना प्रारंभिक त्रिज्या $r$ है। यदि त्रिज्या में $10 \%$ की वृद्धि होती है,तो नई त्रिज्या $r' = r + 0.1r = 1.1r$ हो जाती है।
नया आयतन $V'$ इस प्रकार है: $V' = \frac{4}{3} \pi (r')^{3} = \frac{4}{3} \pi (1.1r)^{3}$।
$(1.1)^{3} = 1.331$ की गणना करने पर,$V' = 1.331 \times (\frac{4}{3} \pi r^{3}) = 1.331V$ प्राप्त होता है।
आयतन में वृद्धि $\Delta V = V' - V = 1.331V - V = 0.331V$ है।
आयतन में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = \frac{0.331V}{V} \times 100 = 33.1 \%$ है।
अतः,आयतन में $33.1 \%$ की वृद्धि होती है।

(B) आयताकार बॉक्स का आंतरिक आयतन इस प्रकार है: $V_{\text{box}} = 16 \, cm \times 8 \, cm \times 8 \, cm = 1024 \, cm^3$.
$r = 2 \, cm$ त्रिज्या वाले एक गोले का आयतन सूत्र $V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2)^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 8 = \frac{100.48}{3} \approx 33.4933 \, cm^3$.
ऐसे $16$ गोलों द्वारा घेरा गया कुल आयतन: $V_{\text{total spheres}} = 16 \times 33.4933 = 535.8933 \, cm^3$.
प्रिजर्वेटिव तरल का आयतन बॉक्स में बची हुई जगह है: $V_{\text{liquid}} = V_{\text{box}} - V_{\text{total spheres}} = 1024 - 535.8933 = 488.1067 \, cm^3$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $488 \, cm^3$ प्राप्त होता है।

(D) एक ठोस गोलाकार गेंद द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा उस ठोस गोलाकार गेंद के आयतन के बराबर होती है।
गेंद का व्यास $d = 4.2 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{4.2}{2} = 2.1 \, cm$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3$.
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1$.
$V = 4 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2.1 \times 2.1$.
$V = 4 \times 22 \times 0.1 \times 2.1 \times 2.1 = 88 \times 0.1 \times 4.41 = 8.8 \times 4.41 = 38.808 \, cm^3$.
अतः,विस्थापित पानी की मात्रा $38.808 \, cm^3$ है।

(D) चूंकि दोनों गोले एक ही धातु से बने हैं,इसलिए उनका घनत्व $\rho$ समान है।
वजन $W = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} \times g = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$.
अतः,वजन का अनुपात आयतन के अनुपात के बराबर होता है: $\frac{W_1}{W_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$.
दिया गया है कि $W_1 = 5920 \, g$,$W_2 = 740 \, g$ और छोटे गोले का व्यास $d_2 = 5 \, cm$,इसलिए $r_2 = 2.5 \, cm$.
$\frac{5920}{740} = \frac{r_1^3}{(2.5)^3}$.
$8 = \frac{r_1^3}{15.625}$.
$r_1^3 = 8 \times 15.625 = 125$.
$r_1 = \sqrt[3]{125} = 5 \, cm$.

(C) गोले का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
माना बड़े लड्डू की त्रिज्या $R = 5 \, cm$ है और छोटे लड्डू की त्रिज्या $r = 2.5 \, cm$ है।
चूंकि सामग्री की कुल मात्रा समान रहती है,इसलिए छोटे लड्डूओं का कुल आयतन बड़े लड्डू के आयतन के बराबर होगा।
माना छोटे लड्डूओं की संख्या $n$ है।
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$n = \frac{R^3}{r^3} = (\frac{R}{r})^3$
$n = (\frac{5}{2.5})^3 = (2)^3 = 8$.
अतः,$2.5 \, cm$ त्रिज्या के $8$ लड्डू बनाए जा सकते हैं।

(C) अर्धगोलाकार टंकी का आंतरिक व्यास $= 14\, m$ है।
अर्धगोलाकार टंकी की आंतरिक त्रिज्या $(r) = 14\, m / 2 = 7\, m$ है।
अर्धगोलाकार टंकी का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^{3} = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^{3} = \frac{2}{3} \times 22 \times 49 = \frac{2156}{3} \approx 718.66\, m^{3}$ है।
टंकी में पहले से ही $50$ किलोलीटर पानी है। चूंकि $1\, m^{3} = 1000$ लीटर,इसलिए $50$ किलोलीटर $= 50,000$ लीटर $= 50\, m^{3}$ है।
टंकी में पंप किए जाने वाले पानी का आयतन $= \text{कुल क्षमता} - \text{मौजूदा आयतन} = 718.66\, m^{3} - 50\, m^{3} = 668.66\, m^{3}$ है।

(A) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 11.2 \, cm$ दी गई है।
मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (11.2)^3 \, cm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 1404.928 \, cm^3$
$V = \frac{123633.664}{21} \, cm^3$
$V \approx 5887.32 \, cm^3$.

(B) शॉट-पुट एक ठोस गोला है। गोले का द्रव्यमान उसके आयतन और घनत्व के गुणनफल द्वारा प्राप्त किया जाता है।
चरण $1$: गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
यहाँ $r = 4.9 \, cm$ दिया गया है,इसलिए:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (4.9)^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.9 \times 4.9 \times 4.9$
$V = \frac{4}{3} \times 22 \times 0.7 \times 4.9 \times 4.9$
$V \approx 493.0 \, cm^3$.
चरण $2$: शॉट-पुट का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
द्रव्यमान = आयतन $\times$ घनत्व
द्रव्यमान = $493.0 \, cm^3 \times 7.8 \, g/cm^3$
द्रव्यमान = $3845.4 \, g$.
चरण $3$: द्रव्यमान को किलोग्राम में परिवर्तित कीजिए।
चूंकि $1 \, kg = 1000 \, g$,
द्रव्यमान = $\frac{3845.4}{1000} \, kg \approx 3.85 \, kg$.

(A) अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{2}{3} \pi r^{3}$ है।
यहाँ त्रिज्या $r = 3.5\, cm = \frac{7}{2}\, cm$ दी गई है।
मान रखने पर:
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^{3}$
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}$
$V = \frac{1}{3} \times 11 \times \frac{49}{2} = \frac{539}{6} \approx 89.83\, cm^{3}$.

(D) यहाँ,त्रिज्या $(r) = 7 \, cm$ दी गई है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^3 \, cm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 \, cm^3$
$V = \frac{4 \times 22 \times 7 \times 7}{3} \, cm^3$
$V = \frac{4312}{3} \, cm^3$
अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलने पर:
$V = 1437 \frac{1}{3} \, cm^3$।
अतः,अभीष्ट आयतन $1437 \frac{1}{3} \, cm^3$ है।

(A) यहाँ,त्रिज्या $(r) = 0.63 \, m$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.63)^3 \, m^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100} \, m^3$
$V = 4 \times 22 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{7} \times \frac{63 \times 63 \times 63}{1000000} \, m^3$
$V = 4 \times 22 \times \frac{1}{21} \times \frac{250047}{1000000} \, m^3$
$V = 88 \times \frac{11907}{1000000} \, m^3$
$V = \frac{1047816}{1000000} \, m^3 = 1.047816 \, m^3$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,आयतन लगभग $1.05 \, m^3$ है।

(B) किसी ठोस वस्तु द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा उस वस्तु के आयतन के बराबर होती है।
गेंद का व्यास $= 28 \, cm$.
गेंद की त्रिज्या $(r) = \frac{28}{2} \, cm = 14 \, cm$.
गोलाकार गेंद का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (14)^3 \, cm^3$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 \, cm^3$.
आयतन $= \frac{4 \times 22 \times 2 \times 14 \times 14}{3} \, cm^3 = \frac{34496}{3} \, cm^3$.
मिश्रित भिन्न में बदलने पर: $34496 \div 3 = 11498$ और शेषफल $2$ प्राप्त होता है।
अतः,आयतन $= 11498 \frac{2}{3} \, cm^3$.
इस प्रकार,विस्थापित पानी की मात्रा $11498 \frac{2}{3} \, cm^3$ है।

(C) किसी ठोस वस्तु द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा उसके आयतन के बराबर होती है।
ठोस गोलाकार गेंद का व्यास $= 0.21 \, m$.
त्रिज्या $(r) = \frac{0.21}{2} \, m = \frac{21}{200} \, m$.
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left( \frac{21}{200} \right)^3 \, m^3$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{200} \times \frac{21}{200} \times \frac{21}{200} \, m^3$.
आयतन $= \frac{4 \times 22 \times 21 \times 21 \times 21}{3 \times 7 \times 200 \times 200 \times 200} \, m^3$.
आयतन $= \frac{4 \times 22 \times 3 \times 21 \times 21}{3 \times 8000000} \, m^3 = \frac{88 \times 441}{8000000} \, m^3 = \frac{38808}{8000000} \, m^3 = 0.004851 \, m^3$.

(D) दिया गया है: धात्विक गेंद का व्यास $= 4.2\, cm$.
त्रिज्या $(r) = \frac{4.2}{2}\, cm = 2.1\, cm$.
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3\, cm^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1\, cm^3$.
आयतन $= 4 \times 22 \times 0.1 \times 2.1 \times 2.1\, cm^3 = 38.808\, cm^3$.
धातु का घनत्व $= 8.9\, g/cm^3$.
गेंद का द्रव्यमान $= \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = 8.9\, g/cm^3 \times 38.808\, cm^3$.
द्रव्यमान $= 345.3912\, g \approx 345.39\, g$.
अतः,गेंद का द्रव्यमान लगभग $345.39\, g$ है।

(A) माना पृथ्वी की त्रिज्या $R$ है और चंद्रमा की त्रिज्या $r$ है।
दिया गया है कि चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का $\frac{1}{4}$ है,इसलिए चंद्रमा की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या की $\frac{1}{4}$ होगी,अर्थात $r = \frac{R}{4}$।
गोले का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
पृथ्वी का आयतन $(V_E)$ $= \frac{4}{3} \pi R^3$।
चंद्रमा का आयतन $(V_M)$ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{R}{4}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{R^3}{64}\right) = \frac{1}{64} \left(\frac{4}{3} \pi R^3\right)$।
अतः,$V_M = \frac{1}{64} V_E$।
इस प्रकार,चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन का $\frac{1}{64}$ भाग है।

(B) अर्धगोले का व्यास $= 10.5\, cm$ है।
अर्धगोले की त्रिज्या $(r) = \frac{10.5}{2}\, cm = 5.25\, cm$ है।
अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^3$ होता है।
आयतन $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (5.25)^3\, cm^3$ है।
आयतन $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 \times 5.25\, cm^3 = 303.1875\, cm^3$ है।
चूंकि $1000\, cm^3 = 1\, l$ होता है,इसलिए लीटर में क्षमता $= \frac{303.1875}{1000}\, l = 0.3031875\, l$ है।
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,क्षमता लगभग $0.303\, l$ है।

(C) माना कि प्रत्येक छोटे गोले की त्रिज्या $r$ है और नए बड़े गोले की त्रिज्या $r^{\prime}$ है।
एक छोटे गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है।
$27$ छोटे गोलों का कुल आयतन $27 \times \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होगा।
जब इन्हें पिघलाकर $r^{\prime}$ त्रिज्या का एक नया गोला बनाया जाता है,तो नए गोले का आयतन $\frac{4}{3} \pi (r^{\prime})^{3}$ होगा।
चूंकि पिघलाने की प्रक्रिया के दौरान आयतन समान रहता है,इसलिए:
$\frac{4}{3} \pi (r^{\prime})^{3} = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^{3}$
दोनों पक्षों को $\frac{4}{3} \pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(r^{\prime})^{3} = 27 r^{3}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$r^{\prime} = \sqrt[3]{27 r^{3}} = 3r$.
अतः,नए गोले की त्रिज्या $3r$ है।

(D) माना प्रत्येक छोटे गोले की त्रिज्या $r$ है और नए बड़े गोले की त्रिज्या $R$ है।
यह दिया गया है कि $27$ छोटे गोलों को पिघलाकर एक बड़ा गोला बनाया जाता है,इसलिए आयतन संरक्षित रहता है।
$27$ छोटे गोलों का आयतन $= 27 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$।
बड़े गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi R^3$।
आयतन की तुलना करने पर: $27 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$।
$27 r^3 = R^3$,जिसका अर्थ है $R = 3r$।
छोटे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ है।
बड़े गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S' = 4 \pi R^2 = 4 \pi (3r)^2 = 4 \pi (9r^2) = 36 \pi r^2$ है।
अब,अनुपात $S : S' = \frac{4 \pi r^2}{36 \pi r^2} = \frac{1}{9}$।
अतः,अनुपात $1: 9$ है।

(A) गोलाकार कैप्सूल का व्यास $d = 3.5 \, mm$ है।
कैप्सूल की त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{3.5}{2} = 1.75 \, mm$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.75)^3 \, mm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{7}{4}\right)^3 \, mm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7 \times 7 \times 7}{4 \times 4 \times 4} \, mm^3$
$V = \frac{22 \times 7 \times 7}{3 \times 4 \times 4} \, mm^3 = \frac{1078}{48} \, mm^3 \approx 22.4583 \, mm^3$.
दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,आयतन लगभग $22.46 \, mm^3$ है।

(C) दिए गए गोले के लिए,त्रिज्या $(r) = 2.1 \, cm = \frac{21}{10} \, cm$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{21}{10}\right)^3 \, cm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10} \, cm^3$
$V = 4 \times 22 \times \frac{1}{1} \times \frac{1}{1} \times \frac{0.1}{1} \times 2.1 \times 2.1 \, cm^3$ (अंश में स्थित $21$ को हर के $3 \times 7 = 21$ से काटने पर)
$V = 88 \times 0.1 \times 4.41 \, cm^3$
$V = 8.8 \times 4.41 \, cm^3 = 38.808 \, cm^3$.

(D) दिए गए अर्धगोले के लिए:
त्रिज्या $(r) = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, cm$.
अर्धगोले का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^3$.
मान रखने पर:
आयतन $= \frac{2}{3} \times 3.14 \times (6)^3 \, cm^3$.
आयतन $= \frac{2}{3} \times 3.14 \times 216 \, cm^3$.
आयतन $= 2 \times 3.14 \times 72 \, cm^3$.
आयतन $= 452.16 \, cm^3$.

(D) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
मान लीजिए कि तीन गोलों की त्रिज्याएँ $r_1 = 3 \,cm, r_2 = 4 \,cm$ और $r_3 = 5 \,cm$ हैं।
तीनों गोलों का कुल आयतन $V_{total} = \frac{4}{3} \pi (r_1^3 + r_2^3 + r_3^3)$ होगा।
$V_{total} = \frac{4}{3} \pi (3^3 + 4^3 + 5^3) = \frac{4}{3} \pi (27 + 64 + 125) = \frac{4}{3} \pi (216)$।
मान लीजिए कि नए गोले की त्रिज्या $R$ है। इसका आयतन $V_{new} = \frac{4}{3} \pi R^3$ होगा।
चूँकि आयतन संरक्षित रहता है,इसलिए $V_{new} = V_{total}$।
$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (216)$।
$R^3 = 216$।
$R = \sqrt[3]{216} = 6 \,cm$।

(B) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
माना मूल गोले की त्रिज्या $R = 9 \,cm$ है।
माना तीन छोटे गोलों की त्रिज्याएँ $r_1 = 1 \,cm$,$r_2 = 6 \,cm$ और $r_3$ (अज्ञात त्रिज्या) हैं।
चूँकि पिघलाने और पुन: ढालने के दौरान आयतन संरक्षित रहता है,इसलिए मूल गोले का आयतन तीन छोटे गोलों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3 + \frac{4}{3} \pi r_3^3$
दोनों पक्षों को $\frac{4}{3} \pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$9^3 = 1^3 + 6^3 + r_3^3$
$729 = 1 + 216 + r_3^3$
$729 = 217 + r_3^3$
$r_3^3 = 729 - 217$
$r_3^3 = 512$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$r_3 = \sqrt[3]{512} = 8 \,cm$।
अतः,तीसरे गोले की त्रिज्या $8 \,cm$ है।

(D) चूंकि गोले एक ही धातु से बने हैं,इसलिए उनका घनत्व $\rho$ समान है। गोले का वजन $W = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,वजन का अनुपात उनकी त्रिज्याओं के घनों के अनुपात के बराबर होता है: $\frac{W_1}{W_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$.
यहाँ $W_1 = 5920\, g$ और $W_2 = 740\, g$ दिया गया है,इसलिए $\frac{5920}{740} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$.
अनुपात को सरल करने पर: $8 = \frac{r_1^3}{r_2^3}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{8} = 2$.
छोटे गोले का व्यास $5\, cm$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r_2 = \frac{5}{2} = 2.5\, cm$ है।
अतः,बड़े गोले की त्रिज्या $r_1 = 2 \times r_2 = 2 \times 2.5 = 5\, cm$ है।

(A) मान लीजिए कि दो गोलों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{81}{49}$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{81}{49}} = \frac{9}{7}$ प्राप्त होता है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
आयतनों का अनुपात $\frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ होता है।
त्रिज्याओं के अनुपात का मान रखने पर,हमें $\left(\frac{9}{7}\right)^3 = \frac{9^3}{7^3} = \frac{729}{343}$ प्राप्त होता है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(C) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
दिया गया है $V = 4500 \pi \text{ cm}^3$,अतः:
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 4500 \pi$
$r^3 = 4500 \times \frac{3}{4}$
$r^3 = 1125 \times 3 = 3375$
$r = \sqrt[3]{3375} = 15 \text{ cm}$।
व्यास $d = 2r = 2 \times 15 = 30 \text{ cm}$ है।

(D) मान लीजिए कि दो गोलों के व्यास $d_1$ और $d_2$ हैं। दिया गया है कि $d_1 : d_2 = 3 : 5$ है।
चूंकि त्रिज्या $r = d/2$ होती है,इसलिए उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2$ भी $3 : 5$ होगा।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
दोनों गोलों के आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ होगा।
दिए गए अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left( \frac{3}{5} \right)^3 = \frac{27}{125}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $27 : 125$ है।

(A) गोले का आयतन $V$ ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ है।
यहाँ,त्रिज्या $r = 2.1 \, m$ दी गई है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^{3}$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1$
$V = 4 \times 22 \times 0.1 \times 2.1 \times 2.1$
$V = 88 \times 0.1 \times 4.41$
$V = 8.8 \times 4.41 = 38.808 \, m^{3}$.