Volume of a Sphere Questions in Gujarati

(B) ગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે ગોલકની ત્રિજ્યા $R = 2r$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \pi (2r)^{3}$
$V = \frac{4}{3} \pi (8r^{3})$
$V = \frac{32}{3} \pi r^{3}$

(A) ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે નળાકારની ઊંચાઈ અને વ્યાસ ગોલકના વ્યાસ જેટલા છે.
ગોલકનો વ્યાસ $2r$ હોવાથી,નળાકારની ઊંચાઈ $h = 2r$ અને નળાકારનો વ્યાસ $2r$ થાય.
તેથી,નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ થાય.
ગોલકનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \pi r^2 (2r) = 2 \pi r^3$.
નળાકારના ઘનફળનો બે-તૃતીયાંશ ભાગ $= \frac{2}{3} \times (2 \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi r^3$.
ગોલકનું ઘનફળ $\frac{4}{3} \pi r^3$ હોવાથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(N/A) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ છે. જો ત્રિજ્યામાં $10 \%$ નો વધારો થાય,તો નવી ત્રિજ્યા $r' = r + 0.1r = 1.1r$ થાય.
નવું ઘનફળ $V'$ એ $V' = \frac{4}{3} \pi (r')^{3} = \frac{4}{3} \pi (1.1r)^{3}$ દ્વારા મળે છે.
$(1.1)^{3} = 1.331$ ગણતરી કરતા,$V' = 1.331 \times (\frac{4}{3} \pi r^{3}) = 1.331V$ મળે.
ઘનફળમાં થતો વધારો $\Delta V = V' - V = 1.331V - V = 0.331V$ છે.
ઘનફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = \frac{0.331V}{V} \times 100 = 33.1 \%$ છે.
આમ,ઘનફળમાં $33.1 \%$ નો વધારો થાય છે.

(B) લંબઘન બોક્સનું આંતરિક ઘનફળ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: $V_{\text{box}} = 16 \, cm \times 8 \, cm \times 8 \, cm = 1024 \, cm^3$.
$r = 2 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક ગોળાનું ઘનફળ સૂત્ર $V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2)^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 8 = \frac{100.48}{3} \approx 33.4933 \, cm^3$.
આવા $16$ ગોળાઓ દ્વારા રોકાયેલું કુલ ઘનફળ: $V_{\text{total spheres}} = 16 \times 33.4933 = 535.8933 \, cm^3$.
પ્રિઝર્વેટિવ પ્રવાહીનું ઘનફળ એ બોક્સમાં બાકી રહેલી જગ્યા છે: $V_{\text{liquid}} = V_{\text{box}} - V_{\text{total spheres}} = 1024 - 535.8933 = 488.1067 \, cm^3$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $488 \, cm^3$ મળે છે.

(D) નક્કર ગોળાકાર દડા દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું પ્રમાણ તે દડાના ઘનફળ જેટલું હોય છે.
દડાનો વ્યાસ $d = 4.2 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{4.2}{2} = 2.1 \, cm$ થાય.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3$.
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1$.
$V = 4 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2.1 \times 2.1$.
$V = 4 \times 22 \times 0.1 \times 2.1 \times 2.1 = 88 \times 0.1 \times 4.41 = 8.8 \times 4.41 = 38.808 \, cm^3$.
આમ,વિસ્થાપિત પાણીનું પ્રમાણ $38.808 \, cm^3$ છે.

(D) બંને ગોળાઓ એક જ ધાતુના બનેલા હોવાથી,તેમની ઘનતા $\rho$ સમાન છે.
વજન $W = \text{ઘનફળ} \times \text{ઘનતા} \times g = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$.
તેથી,વજનનો ગુણોત્તર એ ઘનફળના ગુણોત્તર જેટલો થાય: $\frac{W_1}{W_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$.
આપેલ છે કે $W_1 = 5920 \, g$,$W_2 = 740 \, g$ અને નાના ગોળાનો વ્યાસ $d_2 = 5 \, cm$,તેથી $r_2 = 2.5 \, cm$.
$\frac{5920}{740} = \frac{r_1^3}{(2.5)^3}$.
$8 = \frac{r_1^3}{15.625}$.
$r_1^3 = 8 \times 15.625 = 125$.
$r_1 = \sqrt[3]{125} = 5 \, cm$.

(C) ગોળાનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ધારો કે મોટા લાડુની ત્રિજ્યા $R = 5 \, cm$ છે અને નાના લાડુની ત્રિજ્યા $r = 2.5 \, cm$ છે.
સામગ્રીનો જથ્થો સમાન હોવાથી,નાના લાડુઓનું કુલ ઘનફળ એ મોટા લાડુના ઘનફળ જેટલું જ થશે.
ધારો કે નાના લાડુની સંખ્યા $n$ છે.
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$n = \frac{R^3}{r^3} = (\frac{R}{r})^3$
$n = (\frac{5}{2.5})^3 = (2)^3 = 8$.
આમ,$2.5 \, cm$ ત્રિજ્યાના $8$ લાડુ બનાવી શકાય.

(C) અર્ધગોળાકાર ટાંકીનો આંતરિક વ્યાસ $= 14\, m$.
અર્ધગોળાકાર ટાંકીની આંતરિક ત્રિજ્યા $(r) = 14\, m / 2 = 7\, m$.
અર્ધગોળાકાર ટાંકીનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^{3} = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^{3} = \frac{2}{3} \times 22 \times 49 = \frac{2156}{3} \approx 718.66\, m^{3}$.
ટાંકીમાં પહેલેથી જ $50$ કિલોલીટર પાણી છે. $1\, m^{3} = 1000$ લિટર હોવાથી,$50$ કિલોલીટર $= 50,000$ લિટર $= 50\, m^{3}$.
ટાંકીમાં પમ્પ કરવાના પાણીનું ઘનફળ $= \text{કુલ ક્ષમતા} - \text{હાલનું ઘનફળ} = 718.66\, m^{3} - 50\, m^{3} = 668.66\, m^{3}$.

(A) ગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 11.2 \, cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (11.2)^3 \, cm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 1404.928 \, cm^3$
$V = \frac{123633.664}{21} \, cm^3$
$V \approx 5887.32 \, cm^3$.

(B) શૉટ-પુટ એક નક્કર ગોળો છે. ગોળાનું દળ તેના કદ અને ઘનતાના ગુણાકાર દ્વારા મેળવી શકાય છે.
પગલું $1$: ગોળાનું કદ શોધો.
ગોળાના કદનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
અહીં $r = 4.9 \, cm$ આપેલ છે,તેથી:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (4.9)^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.9 \times 4.9 \times 4.9$
$V = \frac{4}{3} \times 22 \times 0.7 \times 4.9 \times 4.9$
$V \approx 493.0 \, cm^3$.
પગલું $2$: શૉટ-પુટનું દળ શોધો.
દળ = કદ $\times$ ઘનતા
દળ = $493.0 \, cm^3 \times 7.8 \, g/cm^3$
દળ = $3845.4 \, g$.
પગલું $3$: દળને કિલોગ્રામમાં ફેરવો.
$1 \, kg = 1000 \, g$ હોવાથી,
દળ = $\frac{3845.4}{1000} \, kg \approx 3.85 \, kg$.

(A) અર્ધગોળાકાર વાટકાનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{2}{3} \pi r^{3}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 3.5\, cm = \frac{7}{2}\, cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^{3}$
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}$
$V = \frac{1}{3} \times 11 \times \frac{49}{2} = \frac{539}{6} \approx 89.83\, cm^{3}$.

(D) અહીં,ત્રિજ્યા $(r) = 7 \, cm$ આપેલ છે.
ગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^3 \, cm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 \, cm^3$
$V = \frac{4 \times 22 \times 7 \times 7}{3} \, cm^3$
$V = \frac{4312}{3} \, cm^3$
અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકને મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$V = 1437 \frac{1}{3} \, cm^3$.
આમ,જરૂરી ઘનફળ $1437 \frac{1}{3} \, cm^3$ છે.

(A) અહીં,ત્રિજ્યા $(r) = 0.63 \, m$ છે.
ગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.63)^3 \, m^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100} \, m^3$
$V = 4 \times 22 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{7} \times \frac{63 \times 63 \times 63}{1000000} \, m^3$
$V = 4 \times 22 \times \frac{1}{21} \times \frac{250047}{1000000} \, m^3$
$V = 88 \times \frac{11907}{1000000} \, m^3$
$V = \frac{1047816}{1000000} \, m^3 = 1.047816 \, m^3$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઘનફળ આશરે $1.05 \, m^3$ મળે છે.

(B) કોઈપણ ઘન પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું પ્રમાણ તે પદાર્થના કદ (ઘનફળ) જેટલું હોય છે.
દડાનો વ્યાસ $= 28 \, cm$.
દડાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{28}{2} \, cm = 14 \, cm$.
ગોળાકાર દડાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (14)^3 \, cm^3$.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 \, cm^3$.
ઘનફળ $= \frac{4 \times 22 \times 2 \times 14 \times 14}{3} \, cm^3 = \frac{34496}{3} \, cm^3$.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $34496 \div 3 = 11498$ અને શેષ $2$ વધે છે.
તેથી,ઘનફળ $= 11498 \frac{2}{3} \, cm^3$.
આમ,વિસ્થાપિત પાણીનું પ્રમાણ $11498 \frac{2}{3} \, cm^3$ છે.

(C) કોઈપણ ઘન પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું પ્રમાણ તેના કદ (ઘનફળ) જેટલું હોય છે.
ઘન ગોળાકાર દડાનો વ્યાસ $= 0.21 \, m$.
ત્રિજ્યા $(r) = \frac{0.21}{2} \, m = \frac{21}{200} \, m$.
ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left( \frac{21}{200} \right)^3 \, m^3$.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{200} \times \frac{21}{200} \times \frac{21}{200} \, m^3$.
ઘનફળ $= \frac{4 \times 22 \times 21 \times 21 \times 21}{3 \times 7 \times 200 \times 200 \times 200} \, m^3$.
ઘનફળ $= \frac{4 \times 22 \times 3 \times 21 \times 21}{3 \times 8000000} \, m^3 = \frac{88 \times 441}{8000000} \, m^3 = \frac{38808}{8000000} \, m^3 = 0.004851 \, m^3$.

(D) આપેલ છે: ધાતુના ગોળાનો વ્યાસ $= 4.2\, cm$.
ત્રિજ્યા $(r) = \frac{4.2}{2}\, cm = 2.1\, cm$.
ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
ઘનફળ $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3\, cm^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1\, cm^3$.
ઘનફળ $= 4 \times 22 \times 0.1 \times 2.1 \times 2.1\, cm^3 = 38.808\, cm^3$.
ધાતુની ઘનતા $= 8.9\, g/cm^3$.
ગોળાનું દળ $= \text{ઘનતા} \times \text{ઘનફળ} = 8.9\, g/cm^3 \times 38.808\, cm^3$.
દળ $= 345.3912\, g \approx 345.39\, g$.
આમ,ગોળાનું દળ આશરે $345.39\, g$ છે.

(A) ધારો કે પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ છે અને ચંદ્રની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે ચંદ્રનો વ્યાસ પૃથ્વીના વ્યાસનો $\frac{1}{4}$ ભાગ છે,તેથી ચંદ્રની ત્રિજ્યા પૃથ્વીની ત્રિજ્યાનો $\frac{1}{4}$ ભાગ થાય,એટલે કે $r = \frac{R}{4}$.
ગોલકનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
પૃથ્વીનું ઘનફળ $(V_E)$ $= \frac{4}{3} \pi R^3$.
ચંદ્રનું ઘનફળ $(V_M)$ $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{R}{4}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{R^3}{64}\right) = \frac{1}{64} \left(\frac{4}{3} \pi R^3\right)$.
તેથી,$V_M = \frac{1}{64} V_E$.
આમ,ચંદ્રનું ઘનફળ પૃથ્વીના ઘનફળનો $\frac{1}{64}$ ભાગ છે.

(B) અર્ધગોળાનો વ્યાસ $= 10.5\, cm$.
અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{10.5}{2}\, cm = 5.25\, cm$.
અર્ધગોળાકાર વાટકાનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^3$.
ઘનફળ $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (5.25)^3\, cm^3$.
ઘનફળ $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 \times 5.25\, cm^3 = 303.1875\, cm^3$.
કારણ કે $1000\, cm^3 = 1\, l$,લિટરમાં ક્ષમતા $= \frac{303.1875}{1000}\, l = 0.3031875\, l$.
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ક્ષમતા આશરે $0.303\, l$ છે.

(C) ધારો કે દરેક નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને નવા મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $r^{\prime}$ છે.
એક નાના ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
$27$ નાના ગોળાઓનું કુલ ઘનફળ $27 \times \frac{4}{3} \pi r^{3}$ થાય.
જ્યારે તેમને ઓગાળીને $r^{\prime}$ ત્રિજ્યાનો નવો ગોળો બનાવવામાં આવે,ત્યારે નવા ગોળાનું ઘનફળ $\frac{4}{3} \pi (r^{\prime})^{3}$ થાય.
ઓગાળવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી:
$\frac{4}{3} \pi (r^{\prime})^{3} = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^{3}$
બંને બાજુ $\frac{4}{3} \pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$(r^{\prime})^{3} = 27 r^{3}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$r^{\prime} = \sqrt[3]{27 r^{3}} = 3r$.
આમ,નવા ગોળાની ત્રિજ્યા $3r$ છે.

(D) ધારો કે દરેક નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને નવા મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
આપેલ છે કે $27$ નાના ગોળાઓને ઓગાળીને એક મોટો ગોળો બનાવવામાં આવે છે,તેથી ઘનફળ સમાન રહે છે.
$27$ નાના ગોળાઓનું ઘનફળ $= 27 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$.
મોટા ગોળાનું ઘનફળ $= \frac{4}{3} \pi R^3$.
ઘનફળને સરખાવતા: $27 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$27 r^3 = R^3$,જેનો અર્થ છે કે $R = 3r$.
નાના ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
મોટા ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S' = 4 \pi R^2 = 4 \pi (3r)^2 = 4 \pi (9r^2) = 36 \pi r^2$ છે.
હવે,ગુણોત્તર $S : S' = \frac{4 \pi r^2}{36 \pi r^2} = \frac{1}{9}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 9$ છે.

(A) ગોળાકાર કેપ્સ્યુલનો વ્યાસ $d = 3.5 \, mm$ છે.
કેપ્સ્યુલની ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{3.5}{2} = 1.75 \, mm$ થાય.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.75)^3 \, mm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{7}{4}\right)^3 \, mm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7 \times 7 \times 7}{4 \times 4 \times 4} \, mm^3$
$V = \frac{22 \times 7 \times 7}{3 \times 4 \times 4} \, mm^3 = \frac{1078}{48} \, mm^3 \approx 22.4583 \, mm^3$.
દશાંશના બે અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઘનફળ આશરે $22.46 \, mm^3$ મળે છે.

(C) આપેલ ગોલક માટે,ત્રિજ્યા $(r) = 2.1 \, cm = \frac{21}{10} \, cm$ છે.
ગોલકના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{21}{10}\right)^3 \, cm^3$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10} \, cm^3$
$V = 4 \times 22 \times \frac{1}{1} \times \frac{1}{1} \times \frac{0.1}{1} \times 2.1 \times 2.1 \, cm^3$ (અંશમાં રહેલા $21$ ને છેદના $3 \times 7 = 21$ સાથે ઉડાડતા)
$V = 88 \times 0.1 \times 4.41 \, cm^3$
$V = 8.8 \times 4.41 \, cm^3 = 38.808 \, cm^3$.

(D) આપેલ અર્ધગોલક માટે:
ત્રિજ્યા $(r) = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, cm$.
અર્ધગોલકનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^3$.
કિંમતો મૂકતા:
ઘનફળ $= \frac{2}{3} \times 3.14 \times (6)^3 \, cm^3$.
ઘનફળ $= \frac{2}{3} \times 3.14 \times 216 \, cm^3$.
ઘનફળ $= 2 \times 3.14 \times 72 \, cm^3$.
ઘનફળ $= 452.16 \, cm^3$.

(D) ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ધારો કે ત્રણ ગોળાઓની ત્રિજ્યા $r_1 = 3 \,cm, r_2 = 4 \,cm$ અને $r_3 = 5 \,cm$ છે.
ત્રણેય ગોળાઓનું કુલ ઘનફળ $V_{total} = \frac{4}{3} \pi (r_1^3 + r_2^3 + r_3^3)$ થશે.
$V_{total} = \frac{4}{3} \pi (3^3 + 4^3 + 5^3) = \frac{4}{3} \pi (27 + 64 + 125) = \frac{4}{3} \pi (216)$.
ધારો કે નવા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે. તેનું ઘનફળ $V_{new} = \frac{4}{3} \pi R^3$ થશે.
ઘનફળનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,$V_{new} = V_{total}$.
$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (216)$.
$R^3 = 216$.
$R = \sqrt[3]{216} = 6 \,cm$.

(B) ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ધારો કે મૂળ ગોળાની ત્રિજ્યા $R = 9 \,cm$ છે.
ત્રણ નાના ગોળાઓની ત્રિજ્યા $r_1 = 1 \,cm$,$r_2 = 6 \,cm$ અને $r_3$ (અજ્ઞાત ત્રિજ્યા) છે.
ઓગાળવાની અને ફરીથી બનાવવા દરમિયાન ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી,મૂળ ગોળાનું ઘનફળ એ ત્રણ નાના ગોળાઓના ઘનફળના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3 + \frac{4}{3} \pi r_3^3$
બંને બાજુ $\frac{4}{3} \pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$9^3 = 1^3 + 6^3 + r_3^3$
$729 = 1 + 216 + r_3^3$
$729 = 217 + r_3^3$
$r_3^3 = 729 - 217$
$r_3^3 = 512$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$r_3 = \sqrt[3]{512} = 8 \,cm$.
આમ,ત્રીજા ગોળાની ત્રિજ્યા $8 \,cm$ છે.

(D) ગોળાઓ એક જ ધાતુના બનેલા હોવાથી તેમની ઘનતા $\rho$ સમાન છે. ગોળાનું વજન $W = \text{ઘનફળ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ દ્વારા મળે છે.
આમ,વજનનો ગુણોત્તર તેમની ત્રિજ્યાના ઘનનો ગુણોત્તર જેટલો થાય છે: $\frac{W_1}{W_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$.
અહીં $W_1 = 5920\, g$ અને $W_2 = 740\, g$ આપેલ છે,તેથી $\frac{5920}{740} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $8 = \frac{r_1^3}{r_2^3}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{8} = 2$.
નાના ગોળાનો વ્યાસ $5\, cm$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{5}{2} = 2.5\, cm$ થાય.
તેથી,મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $r_1 = 2 \times r_2 = 2 \times 2.5 = 5\, cm$ થાય.

(A) ધારો કે બે ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $\frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{81}{49}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{81}{49}} = \frac{9}{7}$ મળે છે.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ થાય.
ત્રિજ્યાઓના ગુણોત્તરની કિંમત મૂકતા,આપણને $\left(\frac{9}{7}\right)^3 = \frac{9^3}{7^3} = \frac{729}{343}$ મળે છે.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(C) ગોલકનું ઘનફળ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
આપેલ છે કે $V = 4500 \pi \text{ cm}^3$,તેથી:
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 4500 \pi$
$r^3 = 4500 \times \frac{3}{4}$
$r^3 = 1125 \times 3 = 3375$
$r = \sqrt[3]{3375} = 15 \text{ cm}$.
વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 15 = 30 \text{ cm}$ થાય.

(D) ધારો કે બે ગોળાઓના વ્યાસ $d_1$ અને $d_2$ છે. આપેલ છે કે $d_1 : d_2 = 3 : 5$.
ત્રિજ્યા $r = d/2$ હોવાથી,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2$ પણ $3 : 5$ થશે.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
બે ગોળાઓના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $\left( \frac{3}{5} \right)^3 = \frac{27}{125}$ મળે છે.
તેથી,તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર $27 : 125$ છે.

(A) ગોલકનું ઘનફળ $V$ શોધવાનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
અહીં,ત્રિજ્યા $r = 2.1 \, m$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^{3}$
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1$
$V = 4 \times 22 \times 0.1 \times 2.1 \times 2.1$
$V = 88 \times 0.1 \times 4.41$
$V = 8.8 \times 4.41 = 38.808 \, m^{3}$.