Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि घन की भुजा की लंबाई $a = 16\, cm$ है।
घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $6a^2$ होता है।
सूत्र में $a$ का मान रखने पर:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (16)^2\, cm^2$
$= 6 \times 256\, cm^2$
$= 1536\, cm^2$.
अतः,घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $1536\, cm^2$ है।

(C) घनाभाकार बक्से के लिए: लंबाई $(l) = 30 \, cm$,चौड़ाई $(b) = 25 \, cm$ और ऊँचाई $(h) = 20 \, cm$ है।
घनाभाकार बक्से का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(lb + bh + hl) = 2(30 \times 25 + 25 \times 20 + 20 \times 30) \, cm^2 = 2(750 + 500 + 600) \, cm^2 = 2(1850) \, cm^2 = 3700 \, cm^2$ है।
घनाकार बक्से के लिए: किनारा $(a) = 25 \, cm$ है।
घनाकार बक्से का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6a^2 = 6(25)^2 \, cm^2 = 6(625) \, cm^2 = 3750 \, cm^2$ है।
दोनों की तुलना करने पर,घनाकार बक्से में अधिक धातु की शीट का उपयोग होता है।
क्षेत्रफल में अंतर $3750 \, cm^2 - 3700 \, cm^2 = 50 \, cm^2$ है।
अतः,घनाकार बक्से में $50 \, cm^2$ अधिक धातु की शीट का उपयोग होता है।

(D) दिया है: लंबाई $(l) = 2\, m = 200\, cm$,चौड़ाई $(b) = 1\, m = 100\, cm$ और ऊंचाई $(h) = 80\, cm$.
टंकी की पांच सतहों को कवर करना है: दो सतह $(l \times h)$ की,दो सतह $(b \times h)$ की और एक ऊपरी सतह $(l \times b)$ की।
एक वर्गाकार टाइल का क्षेत्रफल $= 20\, cm \times 20\, cm = 400\, cm^2$.
$1$. $(l \times h)$ की दो सतहों के लिए आवश्यक टाइलें $= 2 \times \frac{200 \times 80}{400} = 2 \times \frac{16000}{400} = 2 \times 40 = 80$.
$2$. $(b \times h)$ की दो सतहों के लिए आवश्यक टाइलें $= 2 \times \frac{100 \times 80}{400} = 2 \times \frac{8000}{400} = 2 \times 20 = 40$.
$3$. ऊपरी सतह $(l \times b)$ के लिए आवश्यक टाइलें $= \frac{200 \times 100}{400} = \frac{20000}{400} = 50$.
कुल आवश्यक टाइलों की संख्या $= 80 + 40 + 50 = 170$.

(A) घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2(lb + bh + lh)$ है,जहाँ $l$ लंबाई,$b$ चौड़ाई और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $l = 20\, cm$,$b = 15\, cm$,$h = 12\, cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(20 \times 15 + 15 \times 12 + 20 \times 12)$
$= 2(300 + 180 + 240)$
$= 2(720)$
$= 1440\, cm^2$.

(B) घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $6a^2$ होता है,जहाँ $a$ घन की भुजा की लंबाई है।
दिया गया है,$a = 35\, cm$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (35)^2$
$= 6 \times 1225$
$= 7350\, cm^2$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) घनाभ की विमाएँ लंबाई $(l)$ = $50 \, cm$,चौड़ाई $(b)$ = $40 \, cm$ और ऊँचाई $(h)$ = $30 \, cm$ हैं।
घनाभ के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2h(l + b)$ होता है।
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \times 30 \times (50 + 40)$
= $60 \times 90$
= $5400 \, cm^2$.

(D) $8 \, cm$ किनारे $(a)$ वाले दो घनों को एक साथ जोड़ने पर एक घनाभ बनता है।
प्राप्त घनाभ की विमाएँ इस प्रकार हैं:
लंबाई $(l)$ = $8 \, cm + 8 \, cm = 16 \, cm$
चौड़ाई $(b)$ = $8 \, cm$
ऊँचाई $(h)$ = $8 \, cm$
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $TSA = 2(lb + bh + lh)$ है।
मान रखने पर:
$TSA = 2(16 \times 8 + 8 \times 8 + 16 \times 8)$
$TSA = 2(128 + 64 + 128)$
$TSA = 2(320)$
$TSA = 640 \, cm^{2}$.

(A) घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $4a^{2}$ है,जहाँ $a$ घन की भुजा की लंबाई है।
यहाँ,$a = 15 \, cm$ दिया गया है।
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \times (15)^{2} \, cm^{2}$.
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \times 225 \, cm^{2}$.
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 900 \, cm^{2}$.

(B) घनाभाकार टंकी की विमाएँ हैं: लंबाई $(l)$ = $10 \, m$,चौड़ाई $(b)$ = $8 \, m$ और ऊँचाई $(h)$ = $3 \, m$।
एक बंद घनाभाकार टंकी का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र $2(lb + bh + lh)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $2(10 \times 8 + 8 \times 3 + 10 \times 3) = 2(80 + 24 + 30) = 2(134) = 268 \, m^2$।
लोहे की चादर की लागत की गणना कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल को प्रति $m^2$ की दर से गुणा करके की जाती है।
लागत = $268 \, m^2 \times ₹ 50/m^2 = ₹ 13,400$।

(C) $1$. चारों दीवारों का क्षेत्रफल ज्ञात करें: $Area = 2(l + b) \times h = 2(7 + 5) \times 4 = 2(12) \times 4 = 96\, m^2$.
$2$. छत का क्षेत्रफल ज्ञात करें: $Area = l \times b = 7 \times 5 = 35\, m^2$.
$3$. सफेदी कराने के लिए कुल क्षेत्रफल (दरवाजों और खिड़कियों को छोड़कर): $Total\, Area = (\text{दीवारों}\, \text{का}\, \text{क्षेत्रफल }+ \text{छत}\, \text{का}\, \text{क्षेत्रफल}) - (2\, \text{दरवाजों}\, \text{का}\, \text{क्षेत्रफल }+ 4\, \text{खिड़कियों}\, \text{का}\, \text{क्षेत्रफल})$.
$4$. $2\, \text{दरवाजों}\, \text{का}\, \text{क्षेत्रफल }= 2 \times (3 \times 2) = 12\, m^2$.
$5$. $4\, \text{खिड़कियों}\, \text{का}\, \text{क्षेत्रफल }= 4 \times (2 \times 1) = 8\, m^2$.
$6$. $Total\, Area = (96 + 35) - (12 + 8) = 131 - 20 = 111\, m^2$.
$7$. $Cost = Total\, Area \times Rate = 111 \times 200 = ₹22,200$.

(N/A) माना घनाभाकार बक्से की विमाएँ $6x$,$4x$ और $3x$ मीटर हैं।
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $SA = 2(lb + bh + lh) = 2((6x)(4x) + (4x)(3x) + (6x)(3x)) = 2(24x^2 + 12x^2 + 18x^2) = 2(54x^2) = 108x^2 \, m^2$ है।
सफेद कागज से ढकने की लागत $₹ 2.00/m^2$ की दर से $2 \times 108x^2 = 216x^2$ है।
रंगीन कागज से ढकने की लागत $₹ 2.50/m^2$ की दर से $2.50 \times 108x^2 = 270x^2$ है।
लागत में अंतर $270x^2 - 216x^2 = 54x^2$ है।
दिया गया है कि अंतर $₹ 1350$ है,इसलिए $54x^2 = 1350$ है।
$x^2 = 1350 / 54 = 25$ है।
$x = 5$ है।
अतः,विमाएँ $6(5) = 30 \, m$,$4(5) = 20 \, m$ और $3(5) = 15 \, m$ हैं।

बेलन के लिए दिया गया है:
त्रिज्या $(r) = 28 \, cm$
ऊँचाई $(h) = 90 \, cm$
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 28 \times 90 \, cm^2$
$= 2 \times 22 \times 4 \times 90 \, cm^2$
$= 15,840 \, cm^2$
बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r(h + r)$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 28 \times (90 + 28) \, cm^2$
$= 176 \times 118 \, cm^2$
$= 20,768 \, cm^2$

(B) दिए गए बेलन के लिए,ऊँचाई $(h) = 30 \, cm$ और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 1320 \, cm^2$ है।
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi d h$ है,जहाँ $d$ व्यास है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1320 = \frac{22}{7} \times d \times 30$.
$d$ के लिए हल करने पर: $d = \frac{1320 \times 7}{22 \times 30}$.
$d = \frac{1320 \times 7}{660} = 2 \times 7 = 14 \, cm$.
अतः,बेलन का व्यास $14 \, cm$ है।

$(440 \ cm^2)$ धातु के खोखले बेलन के लिए: ऊँचाई $(h) = 70\, cm$.
आंतरिक त्रिज्या $(r) = 10\, cm$.
बाहरी त्रिज्या $(R) = \text{आंतरिक त्रिज्या} + \text{धातु की मोटाई} = 10 + 1 = 11\, cm$.
बाहरी और आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अंतर इस प्रकार है:
$\text{अंतर} = 2\pi Rh - 2\pi rh = 2\pi h(R - r)$.
मान रखने पर:
$\text{अंतर} = 2 \times \frac{22}{7} \times 70 \times (11 - 10) = 2 \times 22 \times 10 \times 1 = 440\, cm^2$.

(D) बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = 2 \pi rh$ होता है।
दिया गया है:
ऊँचाई $(h)$ = $35 \, cm$
त्रिज्या $(r)$ = $15 \, cm$
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 15 \times 35$
$CSA = 2 \times 22 \times 15 \times 5$
$CSA = 44 \times 75$
$CSA = 3300 \, cm^2$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) बेलन का व्यास $d = 28 \text{ cm}$ है,इसलिए त्रिज्या $r = d/2 = 14 \text{ cm}$ है।
बेलन की ऊँचाई $h = 50 \text{ cm}$ है।
बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 2\pi r(r + h)$ है।
मान रखने पर: $A = 2 \times (22/7) \times 14 \times (14 + 50)$.
$A = 2 \times 22 \times 2 \times 64$.
$A = 88 \times 64 = 5632 \text{ cm}^2$.

(B) बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $CSA = 2\pi rh$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $CSA = 3960\, cm^{2}$ और $r = 21\, cm$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$3960 = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times h$
$3960 = 2 \times 22 \times 3 \times h$
$3960 = 132 \times h$
$h = \frac{3960}{132}$
$h = 30\, cm$.
अतः,बेलन की ऊँचाई $30\, cm$ है।

(C) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र है: $CSA = 2 \pi r h$,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $CSA = 550 \, cm^2$ और $h = 50 \, cm$.
मान रखने पर: $550 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 50$.
$550 = \frac{2200}{7} \times r$.
$r = \frac{550 \times 7}{2200} = \frac{7}{4} = 1.75 \, cm$.
व्यास $(d)$ का मान $2 \times r = 2 \times 1.75 = 3.5 \, cm$ होगा।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $(r)$ = $10\,cm$,ऊँचाई $(h)$ = $30\,cm$,दर = ₹ $3/cm^2$,$\pi = 3.14$.
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $2\pi rh$ है।
$CSA$ = $2 \times 3.14 \times 10 \times 30 = 1884\,cm^2$.
कुल लागत = $CSA$ $\times$ दर = $1884 \times 3 = 5652$.
अतः,बाहरी वक्र सतह को पेंट करने की लागत ₹ $5652$ है।

(A) एक बंद बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ का सूत्र $TSA = 2\pi r(r + h)$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $TSA = 748\, cm^2$ और $r = 7\, cm$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$748 = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + h)$
$748 = 44 \times (7 + h)$
दोनों पक्षों को $44$ से विभाजित करने पर:
$7 + h = \frac{748}{44}$
$7 + h = 17$
$h = 17 - 7$
$h = 10\, cm$.

(B) कुआँ एक बेलन के आकार का है।
दिया है: गहराई $(h)$ = $20 \, m$,त्रिज्या $(r)$ = $7 \, m$।
बेलन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r h$।
क्षेत्रफल = $2 \times (22/7) \times 7 \times 20 = 2 \times 22 \times 20 = 880 \, m^2$।
सीमेंट कराने की दर ₹ $15$ प्रति $m^2$ है।
कुल व्यय = $880 \times 15 = ₹ 13,200$।

(C) मान लीजिए कि दो बेलनों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं,और उनकी ऊँचाइयाँ $h_1$ और $h_2$ हैं।
दिया गया है कि $r_1 : r_2 = 3 : 7$ और $h_1 : h_2 = 28 : 15$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $CSA = 2\pi rh$ है।
अतः,उनके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{2\pi r_1 h_1}{2\pi r_2 h_2} = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{h_1}{h_2}$
दिए गए अनुपातों का मान रखने पर:
$\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{3}{7} \times \frac{28}{15}$
$\frac{CSA_1}{CSA_2} = \frac{3}{15} \times \frac{28}{7} = \frac{1}{5} \times 4 = \frac{4}{5}$
इस प्रकार,उनके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $4 : 5$ है।

(D) माना बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $2\pi rh$ होता है।
बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$ होता है।
दिया गया अनुपात $CSA : TSA = 2 : 5$ है,अतः:
$\frac{2\pi rh}{2\pi r(h + r)} = \frac{2}{5}$
$\frac{h}{h + r} = \frac{2}{5}$
तिर्यक गुणा करने पर $5h = 2(h + r)$ प्राप्त होता है।
$5h = 2h + 2r$
$3h = 2r$
अतः,त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात $\frac{r}{h} = \frac{3}{2}$ है,जो $3: 2$ के बराबर है।

(A) $1$. त्रिज्या को $cm$ से $m$ में बदलें: $r = 14 \, cm = 0.14 \, m$.
$2$. बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $2 \pi rh$ है।
$3$. $CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.14 \times 5 = 4.4 \, m^2$.
$4$. $20$ स्तंभों के लिए कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $20 \times 4.4 = 88 \, m^2$.
$5$. कुल खर्च = $\text{कुल क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 88 \times 120 = ₹ 10,560$.

(N/A) दिया गया है: तिर्यक ऊँचाई $(l) = 25 \,cm$,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) = 550 \,cm^{2}$।
$1$. त्रिज्या $(r)$ ज्ञात करना:
$CSA = \pi r l$
$550 = \frac{22}{7} \times r \times 25$
$r = \frac{550 \times 7}{22 \times 25} = 7 \,cm$।
$2$. ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करना:
संबंध $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ का उपयोग करते हुए:
$25^{2} = h^{2} + 7^{2}$
$625 = h^{2} + 49$
$h^{2} = 625 - 49 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24 \,cm$।
$3$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ ज्ञात करना:
$TSA = \pi r(l + r)$
$TSA = \frac{22}{7} \times 7 \times (25 + 7)$
$TSA = 22 \times 32 = 704 \,cm^{2}$।

(A) दिए गए शंकु के लिए:
त्रिज्या $(r) = 7\, m$ और तिर्यक ऊँचाई $(l) = 12\, m$ है।
तंबू में उपयोग किए गए तिरपाल का क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 7 \times 12 = 264\, m^2$ है।
चूँकि तिरपाल का क्षेत्रफल $= l \times b$ होता है,जहाँ $b = 2\, m$ है:
$264 = l \times 2 \implies l = \frac{264}{2} = 132\, m$ है।
अतः,$132\, m$ तिरपाल की आवश्यकता होगी।
$1\, m$ तिरपाल की कीमत = ₹ $48$ है।
कुल लागत $= 132 \times 48 = ₹ 6336$ है।

(A) दिया गया है,ठोस अर्धगोले का व्यास $7 \, cm$ है।
त्रिज्या $(r) = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{7}{2} \, cm = 3.5 \, cm$.
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^2$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \, cm^2 = 77 \, cm^2$.
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 3 \pi r^2$.
$= 3 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \, cm^2 = 115.5 \, cm^2$.

(A) दी गई त्रिज्या $r = 2.1 \, m$ है।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi r^2$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 = 2 \times 22 \times 0.3 \times 2.1 = 27.72 \, m^2$.
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $3 \pi r^2$.
$= 3 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 = 3 \times 22 \times 0.3 \times 2.1 = 41.58 \, m^2$.

(A) दिया गया है: व्यास $(d)$ = $14 \, cm$.
त्रिज्या $(r)$ = $d / 2 = 14 / 2 = 7 \, cm$.
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ = $2 \pi r^2$.
$CSA$ = $2 \times (22 / 7) \times 7 \times 7 = 2 \times 22 \times 7 = 308 \, cm^2$.
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ = $3 \pi r^2$.
$TSA$ = $3 \times (22 / 7) \times 7 \times 7 = 3 \times 22 \times 7 = 462 \, cm^2$.
अतः,अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $308 \, cm^2$ और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $462 \, cm^2$ है।

(N/A) दिया गया व्यास $d = 126 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{126}{2} = 63 \, cm$ है।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 63 \times 63 = 2 \times 22 \times 9 \times 63 = 24,948 \, cm^2$ है।
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 3 \pi r^2 = 3 \times \frac{22}{7} \times 63 \times 63 = 3 \times 22 \times 9 \times 63 = 37,422 \, cm^2$ है।

(A) दिया गया व्यास $d = 2.8\,m$,इसलिए त्रिज्या $r = d/2 = 1.4\,m$ है।
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $2\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$CSA = 2 \times (22/7) \times (1.4)^2 = 2 \times (22/7) \times 1.96 = 2 \times 22 \times 0.28 = 12.32\,m^2$।
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $3\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$TSA = 3 \times (22/7) \times (1.4)^2 = 3 \times (22/7) \times 1.96 = 3 \times 22 \times 0.28 = 18.48\,m^2$।
अतः,अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $12.32\,m^2$ और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $18.48\,m^2$ है।

(D) गुंबद अर्धगोलाकार है।
त्रिज्या $(r)$ = $4.2 \, m$.
अर्धगोलाकार गुंबद का पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ = $2 \pi r^2$.
$CSA$ = $2 \times \frac{22}{7} \times 4.2 \times 4.2$.
$CSA$ = $2 \times 22 \times 0.6 \times 4.2 = 110.88 \, m^2$.
पेंट करने की लागत = क्षेत्रफल $\times$ दर.
लागत = $110.88 \times 18 = ₹ 1995.84$.

(A) अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $TSA = 3\pi r^2$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
दिया गया है कि $TSA = 4158 \, cm^2$.
अतः,$3 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 4158$.
$r^2 = \frac{4158 \times 7}{3 \times 22}$.
$r^2 = \frac{4158 \times 7}{66} = 63 \times 7 = 441$.
$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$.
व्यास $d = 2r = 2 \times 21 = 42 \, cm$ होगा।

(A) प्रत्येक लोहे के खोखले बक्से के लिए: लंबाई $(l) = 30 \, cm$,चौड़ाई $(b) = 15 \, cm$ और ऊंचाई $(h) = 10 \, cm$ है।
प्रत्येक घनाभ का आयतन $= l \times b \times h$.
$= 30 \times 15 \times 10 \, cm^3 = 4500 \, cm^3$.
अतः,$60$ ऐसे लोहे के बक्सों वाले कार्टन का आयतन $= 60 \times 4500 \, cm^3$.
$= 2,70,000 \, cm^3$.
चूंकि $1 \, m^3 = 1,000,000 \, cm^3$ होता है,इसलिए आयतन को घन मीटर में बदलने पर:
$= \frac{2,70,000}{1,000,000} \, m^3 = 0.27 \, m^3$.

(A) दिया गया है,घन की भुजा $a = 6 \, cm$ है।
$1$. घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल:
सूत्र: $TSA = 6a^2$
$TSA = 6 \times (6)^2 = 6 \times 36 = 216 \, cm^2$.
$2$. घन का आयतन:
सूत्र: $V = a^3$
$V = (6)^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216 \, cm^3$.

(C) दिए गए कमरे के लिए,विमाएँ हैं: लंबाई $(l) = 12 \, m$,चौड़ाई $(b) = 4 \, m$ और ऊँचाई $(h) = 3 \, m$.
कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ की लंबाई घनाभ के विकर्ण की लंबाई के बराबर होती है।
विकर्ण की लंबाई का सूत्र $d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$d = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} \, m$
$d = \sqrt{144 + 16 + 9} \, m$
$d = \sqrt{169} \, m$
$d = 13 \, m$.
अतः,सबसे लंबी छड़ की लंबाई $13 \, m$ है।

(N/A) माना घनाभ की लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $l \, cm$,$b \, cm$ और $h \, cm$ हैं।
एक शीर्ष पर मिलने वाली तीन आसन्न सतहों के क्षेत्रफल $lb$,$bh$ और $hl$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिया गया है:
$lb = 700 \, cm^2$ --- $(i)$
$bh = 300 \, cm^2$ --- $(ii)$
$hl = 525 \, cm^2$ --- $(iii)$
$(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ का गुणा करने पर:
$(lb) \times (bh) \times (hl) = 700 \times 300 \times 525$
$l^2 b^2 h^2 = 110,250,000$
$(lbh)^2 = (10,500)^2$
$lbh = 10,500 \, cm^3$ (यह घनाभ का आयतन है)।
विमाएँ ज्ञात करने के लिए:
$(i)$ और $(iii)$ से,$lb = 700$ और $hl = 525$ है। $(i)$ को $(iii)$ से भाग देने पर $b/h = 700/525 = 4/3$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = 4h/3$ है।
$b$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$(4h/3) \times h = 300$
$h^2 = 300 \times 3 / 4 = 225$
$h = 15 \, cm$.
अब,$b = 4(15)/3 = 20 \, cm$.
और $l = 700/20 = 35 \, cm$.
अतः,घनाभ की विमाएँ $35 \, cm$,$20 \, cm$ और $15 \, cm$ हैं और इसका आयतन $10,500 \, cm^3$ है।

(A) दिया गया है, टंकी की क्षमता = $60,000$ लीटर।
चूंकि $1$ मीटर$^3 = 1,000$ लीटर, इसलिए टंकी का आयतन मीटर$^3$ में $60,000 / 1,000 = 60$ मीटर$^3$ होगा।
घनाभ के आयतन का सूत्र $V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $60 = 5 \times 4 \times h$।
$60 = 20 \times h$।
$h = 60 / 20 = 3$ मीटर।
अतः, टंकी की ऊंचाई $3$ मीटर है।

(B) $1$. टंकी का कुल आयतन ज्ञात कीजिए: $V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई} = 20\, \text{मीटर} \times 13\, \text{मीटर} \times 10\, \text{मीटर} = 2600\, \text{मीटर}^3$.
$2$. आयतन को लीटर में बदलें: चूँकि $1\, \text{मीटर}^3 = 1000\, \text{लीटर}$, इसलिए कुल क्षमता $2600 \times 1000 = 2,600,000\, \text{लीटर}$ है।
$3$. गाँव की दैनिक पानी की आवश्यकता ज्ञात कीजिए: $5000 \times 130\, \text{लीटर/दिन} = 650,000\, \text{लीटर/दिन}$.
$4$. पानी कितने दिनों तक चलेगा, यह ज्ञात कीजिए: $\frac{2,600,000}{650,000} = 4\, \text{दिन}$.

(N/A) माना घन की भुजा $a$ है। घन का आयतन $V = a^{3}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $a^{3} = 3375\, cm^{3}$ है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$a = \sqrt[3]{3375} = 15\, cm$ प्राप्त होता है।
घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $TSA = 6a^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$TSA = 6 \times (15)^{2} = 6 \times 225 = 1350\, cm^{2}$ है।
अतः,घन की भुजा $15\, cm$ है और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $1350\, cm^{2}$ है।

(N/A) माना लंबाई $l = 30\, cm$,चौड़ाई $b = 25\, cm$ और ऊँचाई $h\, cm$ है।
घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $(LSA)$ $= 2h(l + b) = 2h(30 + 25) = 110h\, cm^2$.
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= 2(lb + bh + lh) = 2(30 \times 25 + 25h + 30h) = 2(750 + 55h) = 1500 + 110h\, cm^2$.
प्रश्न के अनुसार,$TSA = 2 \times LSA$.
$1500 + 110h = 2(110h)$.
$1500 + 110h = 220h$.
$110h = 1500$.
$h = \frac{1500}{110} = \frac{150}{11}\, cm$.
आयतन $V = l \times b \times h = 30 \times 25 \times \frac{150}{11} = 750 \times \frac{150}{11} = \frac{112500}{11}\, cm^3$.

(N/A) विमाओं $a, b, c$ वाले घनाभ का आयतन $V = abc$ होता है।
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2(ab + bc + ca)$ होता है।
अब,व्यंजक के दाहिने पक्ष $(RHS)$ पर विचार करें:
$RHS = \frac{2}{S} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$
$S$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$RHS = \frac{2}{2(ab + bc + ca)} \left( \frac{bc + ac + ab}{abc} \right)$
व्यंजक को सरल करने पर:
$RHS = \frac{1}{ab + bc + ca} \cdot \frac{ab + bc + ca}{abc}$
उभयनिष्ठ पद $(ab + bc + ca)$ को काटने पर:
$RHS = \frac{1}{abc}$
चूंकि $V = abc$,इसलिए:
$RHS = \frac{1}{V}$
अतः,$\frac{1}{V} = \frac{2}{S} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$ सिद्ध होता है।

(A) माना घनाभ की विमाएँ $l, b$ और $h$ हैं। तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल $lb = 4000$,$bh = 2000$ और $hl = 3200$ दिए गए हैं।
इन तीनों समीकरणों का गुणा करने पर: $(lb)(bh)(hl) = 4000 \times 2000 \times 3200$.
$(lbh)^2 = 25,600,000,000$.
$lbh = \sqrt{25,600,000,000} = 160,000 \, cm^3$.
अब,विमाएँ ज्ञात करने के लिए:
$l = (lbh) / (bh) = 160,000 / 2000 = 80 \, cm$.
$b = (lbh) / (hl) = 160,000 / 3200 = 50 \, cm$.
$h = (lbh) / (lb) = 160,000 / 4000 = 40 \, cm$.
अतः,घनाभ की विमाएँ $80 \, cm, 50 \, cm, 40 \, cm$ हैं और इसका आयतन $160,000 \, cm^3$ है।

(C) माना घनाभ की विमाएँ $4x$,$3x$ और $1x$ हैं।
घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र: $TSA = 2(lb + bh + lh)$.
दिए गए मानों को रखने पर: $3800 = 2((4x)(3x) + (3x)(x) + (4x)(x))$.
$3800 = 2(12x^{2} + 3x^{2} + 4x^{2})$.
$3800 = 2(19x^{2})$.
$3800 = 38x^{2}$.
$x^{2} = 100$,जिसका अर्थ है $x = 10 \, cm$.
अतः विमाएँ $4(10) = 40 \, cm$,$3(10) = 30 \, cm$ और $1(10) = 10 \, cm$ हैं।
घनाभ का आयतन $V = l \times b \times h = 40 \times 30 \times 10 = 12,000 \, cm^{3}$ है।

(A) $1$. घनाभ का आयतन = $\text{लंबाई }\times \text{चौड़ाई }\times \text{ऊँचाई }= 5 \,cm \times 4 \,cm \times 3 \,cm = 60 \,cm^3$।
$2$. एक घन का आयतन = $(\text{भुजा})^3 = (1 \,cm)^3 = 1 \,cm^3$।
$3$. घनों की संख्या = $\frac{\text{घनाभ का आयतन}}{\text{एक घन का आयतन}} = \frac{60 \,cm^3}{1 \,cm^3} = 60$।
$4$. घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(lb + bh + lh) = 2(5 \times 4 + 4 \times 3 + 3 \times 5) = 2(20 + 12 + 15) = 2(47) = 94 \,cm^2$।
$5$. एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $6(\text{भुजा})^2 = 6(1)^2 = 6 \,cm^2$।
$6$. $60$ घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $60 \times 6 \,cm^2 = 360 \,cm^2$।
$7$. अनुपात = $\frac{94}{360} = \frac{47}{180}$ या $47:180$।

(A) दिया गया है:
लंबाई $(l)$ = $10\, cm$
चौड़ाई $(b)$ = $6\, cm$
ऊँचाई $(h)$ = $4\, cm$
घनत्व $(\rho)$ = $7.8\, g/cm^3$
चरण $1$: घनाभ का आयतन $(V)$ ज्ञात कीजिए।
$V = l \times b \times h$
$V = 10\, cm \times 6\, cm \times 4\, cm = 240\, cm^3$
चरण $2$: घनाभ का द्रव्यमान $(m)$ ज्ञात कीजिए।
द्रव्यमान = घनत्व $\times$ आयतन
$m = 7.8\, g/cm^3 \times 240\, cm^3$
$m = 1872\, g$
अतः,घनाभ का द्रव्यमान $1872\, g$ है।

(B) माना कि चौथे घन की भुजा $x\, cm$ है।
घन का आयतन $V = a^3$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए घनों के आयतन $1^3 = 1\, cm^3$,$9^3 = 729\, cm^3$ और $10^3 = 1000\, cm^3$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$9\, cm$ और $10\, cm$ भुजा वाले घनों का कुल आयतन $1\, cm$ और $x\, cm$ भुजा वाले घनों के आयतन के योग के बराबर है।
अतः,$9^3 + 10^3 = 1^3 + x^3$.
$729 + 1000 = 1 + x^3$.
$1729 = 1 + x^3$.
$x^3 = 1728$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$x = \sqrt[3]{1728} = 12\, cm$.
इस प्रकार,चौथे घन की भुजा $12\, cm$ है।

(C) एक ठोस बेलन के लिए दिया गया है:
त्रिज्या $(r) = 7 \, cm$
आयतन $(V) = 4620 \, cm^{3}$
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^{2} h$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$4620 = \frac{22}{7} \times (7)^{2} \times h$
$4620 = \frac{22}{7} \times 49 \times h$
$4620 = 22 \times 7 \times h$
$4620 = 154 \times h$
ऊँचाई $(h)$ के लिए हल करने पर:
$h = \frac{4620}{154}$
$h = 30 \, cm$
अतः,बेलन की ऊँचाई $30 \, cm$ है।

(D) बेलन के लिए दिया गया है: त्रिज्या $(r) = 14 \, cm$ और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) = 4400 \, cm^2$.
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $CSA = 2 \pi r h$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $4400 = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times h$.
समीकरण को सरल करने पर: $4400 = 2 \times 22 \times 2 \times h = 88 \times h$.
अतः,$h = \frac{4400}{88} = 50 \, cm$.
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
मान रखने पर: $V = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 50$.
$V = 22 \times 2 \times 14 \times 50 = 44 \times 700 = 30800 \, cm^3$.

(N/A) बेलन के लिए दिया गया है:
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= 3960 \, cm^{2}$
आयतन $(V)$ $= 41580 \, cm^{3}$
हम जानते हैं कि:
$CSA = 2 \pi r h = 3960 \, cm^{2}$ --- $(1)$
$V = \pi r^{2} h = 41580 \, cm^{3}$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से भाग देने पर:
$\frac{V}{CSA} = \frac{\pi r^{2} h}{2 \pi r h} = \frac{41580}{3960}$
$\frac{r}{2} = 10.5$
$r = 21 \, cm$
अब,$r = 21 \, cm$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times h = 3960$
$2 \times 22 \times 3 \times h = 3960$
$132 \times h = 3960$
$h = \frac{3960}{132} = 30 \, cm$
अतः,बेलन की त्रिज्या $21 \, cm$ और ऊँचाई $30 \, cm$ है।