Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(B) एक बेलनाकार सिक्के के लिए:
त्रिज्या $(r) = 1.4 \, cm = \frac{14}{10} \, cm$
ऊँचाई $(h) = 0.1 \, cm = \frac{1}{10} \, cm$
एक सिक्के का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (\frac{14}{10})^2 \times \frac{1}{10} \, cm^3$
$= \frac{22}{7} \times \frac{196}{100} \times \frac{1}{10} = \frac{22 \times 28}{1000} = \frac{616}{1000} \, cm^3 = 0.616 \, cm^3$
चूँकि ऐसे $60$ सिक्कों को एक के ऊपर एक रखकर एक बड़ा बेलन बनाया गया है,इसलिए कुल आयतन:
कुल आयतन $= 60 \times 0.616 \, cm^3 = 36.96 \, cm^3$.

(C) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
दिया गया है:
त्रिज्या $(r) = 10 \, cm$
ऊँचाई $(h) = 20 \, cm$
$\pi = 3.14$
सूत्र में मान रखने पर:
$V = 3.14 \times (10)^2 \times 20$
$V = 3.14 \times 100 \times 20$
$V = 314 \times 20$
$V = 6280 \, cm^3$
अतः,बेलन का आयतन $6280 \, cm^3$ है।

(A) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
दिया है: $r = 3.5\,cm = \frac{7}{2}\,cm$ और $V = 2310\,cm^3$.
सूत्र में मान रखने पर:
$2310 = \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2 \times h$
$2310 = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times h$
$2310 = \frac{11 \times 7}{2} \times h$
$2310 = 38.5 \times h$
$h = \frac{2310}{38.5} = 60\,cm$.
अतः,बेलन की ऊँचाई $60\,cm$ है।

(B) दिया गया है: त्रिज्या $r = 70 \,cm = 0.7 \,m$ और ऊँचाई $h = 1.5 \,m$ है।
बेलन का आयतन $V$ ज्ञात करने का सूत्र $V = \pi r^2 h$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{22}{7} \times (0.7)^2 \times 1.5$.
$V = \frac{22}{7} \times 0.49 \times 1.5 = 22 \times 0.07 \times 1.5 = 1.54 \times 1.5 = 2.31 \,m^3$.
चूँकि $1 \,m^3 = 1000 \,\text{लीटर}$,इसलिए टंकी की क्षमता $2.31 \times 1000 = 2310 \,\text{लीटर}$ होगी।

(C) दिया गया है:
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ = $8800 \, cm^2$
त्रिज्या $(r)$ = $28 \, cm$
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = $2 \pi r h$
$2 \times \frac{22}{7} \times 28 \times h = 8800$
$2 \times 22 \times 4 \times h = 8800$
$176 \times h = 8800$
$h = \frac{8800}{176} = 50 \, cm$
अब,बेलन का आयतन = $\pi r^2 h$
आयतन = $\frac{22}{7} \times 28 \times 28 \times 50$
आयतन = $22 \times 4 \times 28 \times 50$
आयतन = $88 \times 1400 = 1,23,200 \, cm^3$.

(D) डुबोए गए घनाभ का आयतन $V = 22\, cm \times 16\, cm \times 7\, cm = 2464\, cm^3$ है।
जब घनाभ को डुबोया जाता है,तो विस्थापित पानी का आयतन घनाभ के आयतन के बराबर होता है।
मान लीजिए कि पानी के स्तर में हुई वृद्धि $h\, cm$ है।
बेलनाकार पात्र में विस्थापित पानी का आयतन $\pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 14\, cm$ है।
अतः,$\pi r^2 h = 2464$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$\frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h = 2464$.
$22 \times 2 \times 14 \times h = 2464$.
$616 \times h = 2464$.
$h = \frac{2464}{616} = 4\, cm$.
अतः,पानी के स्तर में हुई वृद्धि $4\, cm$ है।

(A) दिया गया है कि कागज की शीट एक वर्ग है जिसकी भुजा की लंबाई $s = 44 \, cm$ है।
जब इसे इसकी लंबाई के अनुदिश मोड़कर एक बेलन बनाया जाता है,तो शीट की लंबाई बेलन के आधार की परिधि बन जाती है।
अतः,परिधि $C = 2 \pi r = 44 \, cm$ है।
$\pi = 22/7$ का उपयोग करने पर,$2 \times (22/7) \times r = 44$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $(44/7) \times r = 44$,जिससे $r = 7 \, cm$ प्राप्त होता है।
बेलन की ऊँचाई $h$ वर्ग की भुजा के बराबर होगी,इसलिए $h = 44 \, cm$ है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$V = (22/7) \times (7)^2 \times 44$.
$V = (22/7) \times 49 \times 44 = 22 \times 7 \times 44$.
$V = 154 \times 44 = 6776 \, cm^3$.

(B) दिया गया है: आधार की परिधि $(C)$ = $440\, cm$,ऊँचाई $(h)$ = $80\, cm$.
चरण $1$: $C = 2\pi r$ का उपयोग करके त्रिज्या $(r)$ ज्ञात करें।
$440 = 2 \times (22/7) \times r$
$r = (440 \times 7) / 44 = 70\, cm$.
चरण $2$: विमाओं को मीटर $(m)$ में बदलें: $r = 0.7\, m$,$h = 0.8\, m$.
चरण $3$: $V = \pi r^2 h$ का उपयोग करके आयतन $(V)$ की गणना करें।
$V = (22/7) \times (0.7)^2 \times 0.8$
$V = (22/7) \times 0.49 \times 0.8$
$V = 22 \times 0.07 \times 0.8 = 1.232\, m^3$.

(C) दिया गया है: नली की मोटाई = $5 \, mm = 0.5 \, cm$। आंतरिक त्रिज्या $(r)$ = $10 \, cm / 2 = 5 \, cm$। लंबाई $(h)$ = $70 \, cm$। बाहरी त्रिज्या $(R)$ = $r + \text{मोटाई} = 5 \, cm + 0.5 \, cm = 5.5 \, cm$। धातु का आयतन = $\pi(R^2 - r^2)h = \frac{22}{7} \times ((5.5)^2 - (5)^2) \times 70 = 22 \times (30.25 - 25) \times 10 = 22 \times 5.25 \times 10 = 1155 \, cm^3$। द्रव्यमान = $\text{आयतन} \times \text{घनत्व} = 1155 \, cm^3 \times 8 \, g/cm^3 = 9240 \, g$.

(D) $1$. कुएँ से निकाली गई मिट्टी का आयतन बेलन के आयतन के बराबर होता है: $V = \pi r^2 h$.
$2$. दिया गया व्यास $d = 14\, m$,इसलिए त्रिज्या $r = 7\, m$। गहराई $h = 50\, m$।
$3$. $V = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 50 = 22 \times 7 \times 50 = 7700\, m^3$।
$4$. इस मिट्टी को $110\, m \times 100\, m = 11000\, m^2$ क्षेत्रफल वाले आयताकार खेत में फैलाया जाता है।
$5$. मान लीजिए ऊँचाई में वृद्धि $H$ है। तब,$V = A \times H$।
$6$. $7700 = 11000 \times H$।
$7$. $H = \frac{7700}{11000} = 0.7\, m$।
$8$. $cm$ में बदलने पर: $0.7 \times 100 = 70\, cm$।

(B) शंकु के लिए दिया गया है: त्रिज्या $(r) = 7 \, cm$ और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 550 \, cm^2$.
शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $\pi r l$ है।
अतः,$550 = \frac{22}{7} \times 7 \times l$.
$550 = 22 \times l \implies l = \frac{550}{22} = 25 \, cm$.
संबंध $l^2 = r^2 + h^2$ का उपयोग करके,हम ऊँचाई $(h)$ ज्ञात करते हैं:
$h^2 = l^2 - r^2 = (25)^2 - (7)^2 = 625 - 49 = 576$.
$h = \sqrt{576} = 24 \, cm$.
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24$.
$V = 22 \times 7 \times 8 = 1232 \, cm^3$.

(C) दिए गए शंकु के लिए,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 423.9 \, cm^2$ है।
त्रिज्या : तिर्यक ऊँचाई $= 3:5$ है।
माना त्रिज्या $r = 3x \, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $l = 5x \, cm$ है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi rl$ होता है।
अतः,$423.9 = 3.14 \times 3x \times 5x$ है।
$423.9 = 3.14 \times 15x^2$ है।
$x^2 = \frac{423.9}{47.1} = 9$ है।
इसलिए,$x = 3$ है।
अतः,त्रिज्या $r = 3(3) = 9 \, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $l = 5(3) = 15 \, cm$ है।
संबंध $l^2 = h^2 + r^2$ का उपयोग करके,ऊँचाई $h$ ज्ञात करते हैं:
$h^2 = l^2 - r^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$ है।
$h = \sqrt{144} = 12 \, cm$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
$V = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 9^2 \times 12$ है।
$V = 3.14 \times 81 \times 4 = 1017.36 \, cm^3$ है।

(D) माना त्रिज्या $r = 5x$ और तिर्यक ऊँचाई $l = 13x$ है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $\pi rl = 1836.9 \, cm^2$ होता है।
मान रखने पर: $3.14 \times 5x \times 13x = 1836.9$.
$3.14 \times 65x^2 = 1836.9$.
$204.1x^2 = 1836.9$.
$x^2 = \frac{1836.9}{204.1} = 9$.
$x = 3$.
अतः,$r = 5 \times 3 = 15 \, cm$ और $l = 13 \times 3 = 39 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{39^2 - 15^2} = \sqrt{1521 - 225} = \sqrt{1296} = 36 \, cm$.
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 15^2 \times 36$.
$V = 3.14 \times 225 \times 12 = 3.14 \times 2700 = 8478 \, cm^3$.

(A) दिए गए गोले के लिए,त्रिज्या $(r) = 6\, cm$ है।
दिए गए बेलनाकार तार के लिए,व्यास $1\, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $(R) = \frac{1}{2}\, cm$ होगी।
माना तार की लंबाई $H\, cm$ है।
चूंकि गोले को पिघलाकर तार बनाने पर आयतन समान रहता है:
बेलन का आयतन = गोले का आयतन
$\pi R^2 H = \frac{4}{3} \pi r^3$
मान रखने पर:
$R^2 H = \frac{4}{3} r^3$
$(\frac{1}{2})^2 \times H = \frac{4}{3} \times (6)^3$
$\frac{1}{4} \times H = \frac{4}{3} \times 216$
$\frac{1}{4} \times H = 4 \times 72$
$\frac{1}{4} \times H = 288$
$H = 288 \times 4 = 1152\, cm$.
लंबाई को मीटर में बदलने पर:
$H = \frac{1152}{100} = 11.52\, m$.
अतः,तार की लंबाई $11.52\, m$ है।

(D) $1$. लकड़ी के गोले की त्रिज्या $(R) = \frac{21}{2} = 10.5\, cm$.
$2$. एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4\pi R^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 = 1386\, cm^2$.
$3$. गोले पर बेलनाकार आधार द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 1.5 \times 1.5 \approx 7.07\, cm^2$.
$4$. एक गोले के लिए सिल्वर रंगने योग्य क्षेत्रफल $= 1386 - 7.07 = 1378.93\, cm^2$.
$5$. $8$ गोलों के लिए कुल क्षेत्रफल $= 8 \times 1378.93 = 11031.44\, cm^2$.
$6$. सिल्वर पेंट की लागत $= 11031.44 \times 0.25 = ₹ 2757.86$.
$7$. एक बेलनाकार आधार का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.5 \times 7 = 66\, cm^2$.
$8$. $8$ आधारों के लिए काला रंगने योग्य कुल क्षेत्रफल $= 8 \times 66 = 528\, cm^2$.
$9$. काले पेंट की लागत $= 528 \times 0.05 = ₹ 26.40$.
$10$. कुल लागत $= 2757.86 + 26.40 = ₹ 2784.26$.

(B) दिया गया व्यास $d = 28 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 14 \, cm$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 88 \times 28 = 2464 \, cm^2$।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 = \frac{4}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 14 = \frac{34496}{3} = 11498 \frac{2}{3} \, cm^3$।

(N/A) दिया गया है: व्यास $d = 42\, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{42}{2} = 21\, cm$.
$1$. अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= 2\pi r^2$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 3 \times 21 = 2772\, cm^2$.
$2$. अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= 3\pi r^2$
$= 3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 3 \times 22 \times 3 \times 21 = 4158\, cm^2$.
$3$. अर्धगोले का आयतन $= \frac{2}{3}\pi r^3$
$= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 21 \times 21 = 19404\, cm^3$.

(A) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = 4 \pi r^2$ है।
दिया गया है $A = 5544 \, cm^2$,इसलिए $4 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 5544$.
$r^2 = \frac{5544 \times 7}{4 \times 22} = \frac{5544 \times 7}{88} = 63 \times 7 = 441$.
अतः,$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$.
गोले का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (21)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 21$.
$V = 4 \times 22 \times 21 \times 21 = 88 \times 441 = 38808 \, cm^3$.

(C) $R = 20\, cm$ त्रिज्या वाले बड़े गोले का आयतन $V_s = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (20)^3 = \frac{4}{3} \pi (8000)\, cm^3$ है।
$r = 5\, cm$ त्रिज्या वाले एक छोटे अर्धगोले का आयतन $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi (5)^3 = \frac{2}{3} \pi (125)\, cm^3$ है।
अर्धगोलों की संख्या $n$ गोले के आयतन और एक अर्धगोले के आयतन के अनुपात से प्राप्त होती है:
$n = \frac{V_s}{V_h} = \frac{\frac{4}{3} \pi (8000)}{\frac{2}{3} \pi (125)} = \frac{4 \times 8000}{2 \times 125} = \frac{32000}{250} = 128$.
अतः,प्राप्त अर्धगोलों की कुल संख्या $128$ है।

(A) अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 18\, cm$ है।
$V_h = \frac{2}{3} \times \pi \times (18)^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 5832 = 3888\pi\, cm^3$.
एक बेलनाकार बोतल का आयतन $V_c = \pi R^2 h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R = 2\, cm$ और $h = 4\, cm$ है।
$V_c = \pi \times (2)^2 \times 4 = \pi \times 4 \times 4 = 16\pi\, cm^3$.
आवश्यक बोतलों की संख्या $n = \frac{V_h}{V_c} = \frac{3888\pi}{16\pi} = 243$ है।
अतः,$243$ बोतलों की आवश्यकता है।

(C) धातु के गोले का आयतन $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 12\, cm$ है।
$V_s = \frac{4}{3} \pi (12)^3 = \frac{4}{3} \pi (1728) = 2304 \pi\, cm^3$.
एक शंकु का आयतन $V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 3\, cm$ और $h = 4\, cm$ है।
$V_c = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (4) = \frac{1}{3} \pi (9)(4) = 12 \pi\, cm^3$.
प्राप्त शंकुओं की संख्या गोले के आयतन और एक शंकु के आयतन का अनुपात है:
$N = \frac{V_s}{V_c} = \frac{2304 \pi}{12 \pi} = 192$.
अतः,$192$ शंकु प्राप्त होते हैं।

(A) $1$. गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$2$. पाँचों गोलों का कुल आयतन = $\frac{4}{3}\pi (1^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 8^3) = \frac{4}{3}\pi (1 + 27 + 64 + 125 + 512) = \frac{4}{3}\pi (729)$.
$3$. मान लीजिए कि नए बड़े गोले की त्रिज्या $R$ है। तब $\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (729)$,जिसका अर्थ है $R^3 = 729$,अतः $R = 9\, cm$.
$4$. एक बेलन का आयतन = $\pi r^2 h = \pi (3^2)(4) = 36\pi\, cm^3$.
$5$. बेलनों की संख्या = $\frac{\text{कुल आयतन}}{\text{एक बेलन का आयतन}} = \frac{\frac{4}{3}\pi (729)}{36\pi} = \frac{972\pi}{36\pi} = 27$ बेलन।

(A) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S = 1256 \, cm^{2}$ और $\pi = 3.14$ है।
$1256 = 4 \times 3.14 \times r^{2}$
$1256 = 12.56 \times r^{2}$
$r^{2} = \frac{1256}{12.56} = 100$
अतः $r = 10 \, cm$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (10)^{3}$
$V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 1000$
$V = \frac{12560}{3} = 4186 \frac{2}{3} \, cm^{3}$.

(B) माना गोले की त्रिज्या $r_1$ है और अर्धगोले की त्रिज्या $r_2$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $4\pi r_1^2$ है और अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r_2^2$ है।
दिया गया अनुपात: $\frac{4\pi r_1^2}{2\pi r_2^2} = \frac{9}{2}$.
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{2r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{4}$.
वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
गोले का आयतन $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$ है और अर्धगोले का आयतन $V_2 = \frac{2}{3}\pi r_2^3$ है।
उनके आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{2}{3}\pi r_2^3} = 2 \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ है।
अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$ रखने पर,हमें $\frac{V_1}{V_2} = 2 \times \left(\frac{3}{2}\right)^3 = 2 \times \frac{27}{8} = \frac{27}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $27:4$ है।

(C) घनीय टंकी का कुल आयतन $V_{total} = 15.625 \, m^3$ है।
चूंकि टंकी एक घन है, इसलिए भुजा की लंबाई $s = \sqrt[3]{15.625} = 2.5 \, m$ है।
वर्तमान में पानी की गहराई $h = 1.3 \, m$ है।
टंकी में वर्तमान में मौजूद पानी का आयतन $V_{current} = \text{भुजा} \times \text{भुजा} \times \text{गहराई} = 2.5 \times 2.5 \times 1.3 = 6.25 \times 1.3 = 8.125 \, m^3$ है।
उपयोग किए जा चुके पानी का आयतन $V_{used} = V_{total} - V_{current} = 15.625 - 8.125 = 7.5 \, m^3$ है।

(A) बेलनाकार गिलास का व्यास $d = 7\, cm$ है, इसलिए त्रिज्या $r = 3.5\, cm$ है।
गिलास में दूध की ऊँचाई $h = 12\, cm$ है।
एक गिलास में दूध का आयतन $V = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$V = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 12 = 22 \times 0.5 \times 3.5 \times 12 = 462\, cm^3$।
चूँकि $1000\, cm^3 = 1\, \text{लीटर}$, इसलिए एक गिलास में दूध का आयतन $0.462\, \text{लीटर}$ है।
$1600$ छात्रों के लिए आवश्यक कुल दूध $1600 \times 0.462 = 739.2\, \text{लीटर}$ है।

(A) जब $6 \, cm, 8 \, cm$ और $10 \, cm$ भुजाओं वाले एक समकोण त्रिभुज को $8 \, cm$ भुजा के परितः घुमाया जाता है,तो $8 \, cm$ भुजा शंकु की ऊँचाई $(h)$ बन जाती है और $6 \, cm$ भुजा आधार की त्रिज्या $(r)$ बन जाती है। कर्ण $10 \, cm$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ बन जाती है।
दिया है: $r = 6 \, cm, h = 8 \, cm, l = 10 \, cm$.
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (6)^2 \times 8 = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 36 \times 8 = 3.14 \times 12 \times 8 = 301.44 \, cm^3$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $CSA = \pi r l = 3.14 \times 6 \times 10 = 188.4 \, cm^2$.

(C) $1$. अर्धगोलाकार टंकी का आंतरिक व्यास $14\, m$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 7\, m$ होगी।
$2$. अर्धगोलाकार टंकी का आयतन $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$3$. $V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 = \frac{2}{3} \times 22 \times 49 = \frac{2156}{3} = 718 \frac{2}{3}\, m^3$.
$4$. हम जानते हैं कि $1\, m^3 = 1\, kilolitre$ होता है। अतः,टंकी में $50\, m^3$ पानी पहले से मौजूद है।
$5$. पंप किए जाने वाले पानी का आयतन = (कुल क्षमता) - (पहले से मौजूद पानी)।
$6$. पंप किए जाने वाले पानी का आयतन = $718 \frac{2}{3} - 50 = 668 \frac{2}{3}\, m^3$।

(D) माना गोले और बेलन की त्रिज्या $r$ है। माना बेलन की ऊँचाई $h$ है।
दिया गया है कि आयतन बराबर हैं:
गोले का आयतन = $\frac{4}{3} \pi r^3$
बेलन का आयतन = $\pi r^2 h$
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi r^2 h$
$h = \frac{4}{3} r$
बेलन का व्यास $d = 2r$ है।
हमें वह प्रतिशत ज्ञात करना है जिससे व्यास ऊँचाई से अधिक है:
अंतर = $d - h = 2r - \frac{4}{3} r = \frac{2}{3} r$
प्रतिशत = $\frac{d - h}{h} \times 100 = \frac{(2/3)r}{(4/3)r} \times 100 = \frac{2}{4} \times 100 = 50\%$.

(B) यह कथन असत्य है।
एक लंब वृत्तीय शंकु में,त्रिज्या $(r)$,ऊँचाई $(h)$ और तिर्यक ऊँचाई $(l)$ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं,जहाँ तिर्यक ऊँचाई कर्ण होती है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,संबंध $l^2 = r^2 + h^2$ होता है।
दिया गया है: $r = 3 \, cm$,$h = 5 \, cm$ और $l = 4 \, cm$।
$r^2 + h^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$ की गणना करने पर।
$l^2 = 4^2 = 16$ की गणना करने पर।
चूँकि $16 \neq 34$,इसलिए दिए गए आयाम एक लंब वृत्तीय शंकु नहीं बना सकते क्योंकि त्रिज्या और ऊँचाई द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में तिर्यक ऊँचाई सबसे लंबी भुजा होनी चाहिए।

(B) घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $(LSA)$ ज्ञात करने का सूत्र $LSA = 4a^2$ है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
यहाँ,भुजा $a = 5 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$LSA = 4 \times (5)^2$
$LSA = 4 \times 25$
$LSA = 100 \, cm^2$.
कथन में पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $150 \, cm^2$ दिया गया है,जो गलत है।
अतः,यह कथन असत्य है।

(TRUE) बेलन के आयतन का सूत्र है: $V = \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई}$.
दिया गया है:
आधार का क्षेत्रफल = $154 \, cm^{2}$
ऊँचाई = $20 \, cm$
आयतन की गणना करने पर:
$V = 154 \, cm^{2} \times 20 \, cm = 3080 \, cm^{3}$.
चूँकि गणना किया गया आयतन दिए गए मान से मेल खाता है, इसलिए यह कथन सत्य है।

(B) $l \times b \times h$ आयामों वाले एक आयताकार बक्से में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ की लंबाई विकर्ण के सूत्र द्वारा दी जाती है: $d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$।
दिए गए आयाम $l = 12\, cm$,$b = 4\, cm$ और $h = 3\, cm$ हैं।
विकर्ण की गणना करने पर: $d = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13\, cm$।
बक्से के अंदर फिट हो सकने वाली छड़ की अधिकतम लंबाई $13\, cm$ है।
चूंकि छड़ $15\, cm$ लंबी है और $15\, cm > 13\, cm$,इसलिए छड़ बक्से में नहीं आ सकती है।
अतः,यह कथन असत्य है।

(B) बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $A = 2\pi rh$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $r = 10\, cm$,$A = 440\, cm^{2}$ और $\pi = 22/7$ लेने पर।
मान रखने पर: $440 = 2 \times (22/7) \times 10 \times h$.
$440 = (440/7) \times h$.
$h = (440 \times 7) / 440$.
$h = 7\, cm$.
अतः,बेलन की ऊँचाई $7\, cm$ है।

(C) '$a$' भुजा वाले घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$TSA = 6a^2$
यह दिया गया है कि $TSA = 864 \, cm^2$,इसलिए हम समीकरण बना सकते हैं:
$6a^2 = 864$
दोनों पक्षों को $6$ से विभाजित करने पर:
$a^2 = \frac{864}{6}$
$a^2 = 144$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$a = \sqrt{144}$
$a = 12 \, cm$
अतः,घन की भुजा $12 \, cm$ है।

(D) घनाभ का आयतन ज्ञात करने का सूत्र है: $V = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई}$.
दिया गया है:
लंबाई $(l)$ = $30 \, cm$
चौड़ाई $(b)$ = $20 \, cm$
ऊँचाई $(h)$ = $15 \, cm$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = 30 \, cm \times 20 \, cm \times 15 \, cm$
$V = 600 \, cm^2 \times 15 \, cm$
$V = 9000 \, cm^3$.
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(D) माना कि दो बेलनों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं तथा उनकी ऊँचाई $h_1$ और $h_2$ है। दिया गया है कि $h_1 = h_2 = h$ और $r_1:r_2 = 4:5$.
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
उनके आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h}{\pi r_2^2 h} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ होगा।
दिए गए अनुपात का मान रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$.
अतः,उनके आयतन का अनुपात $16:25$ है।

(A) हम जानते हैं कि $1 \, m = 100 \, cm$ होता है।
इसलिए,$1 \, m^3 = (100 \, cm) \times (100 \, cm) \times (100 \, cm) = 1,000,000 \, cm^3$।
चूंकि $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{लीटर}$ होता है,इसलिए हम $1 \, cm^3 = \frac{1}{1000} \, \text{लीटर}$ लिख सकते हैं।
अतः,$1,000,000 \, cm^3 = \frac{1,000,000}{1000} \, \text{लीटर} = 1000 \, \text{लीटर}$।
इसलिए,$1 \, m^3 = 1000 \, \text{लीटर}$।

(B) हम जानते हैं कि $1 \text{ litre}$ को $10 \text{ cm}$ भुजा वाले घन के आयतन के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि घन का आयतन $(\text{भुजा})^3$ होता है,इसलिए:
$1 \text{ litre} = (10 \text{ cm})^3 = 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} = 1000 \text{ cm}^3$.
अतः,$1 \text{ litre} = 1000 \text{ cm}^3$ होता है।

(C) माना कि दो बेलनों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं,और उनकी ऊँचाइयाँ $h_1$ और $h_2$ हैं।
दिया गया है कि $r_1:r_2 = 3:2$ और $h_1:h_2 = 8:11$ है।
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
दोनों बेलनों के आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \times \left(\frac{8}{11}\right) = \frac{9}{4} \times \frac{8}{11}$ प्राप्त होता है।
परिणाम की गणना करने पर: $\frac{9 \times 8}{4 \times 11} = \frac{72}{44} = \frac{18}{11}$।
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $18:11$ है।

(A) दिया गया है,ठोस अर्धगोले का व्यास $d = 21 \, cm$ है।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{21}{2} \, cm = 10.5 \, cm$ है।
अर्धगोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ है।
मान रखने पर,$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (10.5)^3$ प्राप्त होता है।
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \times 10.5$.
$V = \frac{44}{21} \times 1157.625$.
$V = 2425.5 \, cm^3$।

(B) मान लीजिए कि घन की भुजा की लंबाई $x \ cm$ है।
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 6x^2 \ cm^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
घन का आयतन $V = x^3 \ cm^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के संख्यात्मक मान समान हैं:
$6x^2 = x^3$
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर (चूंकि $x \neq 0$):
$6 = x$
अतः,घन की भुजा की लंबाई $6 \ cm$ है।

(A) एक घन में $6$ समान वर्गाकार फलक होते हैं।
यदि घन के प्रत्येक किनारे की लंबाई $a$ है,तो एक फलक का क्षेत्रफल $a \times a = a^{2}$ होगा।
चूंकि ऐसे $6$ फलक होते हैं,इसलिए घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $6 \times a^{2} = 6 a^{2}$ होगा।

(B) एक घनाभ में $6$ आयताकार फलक होते हैं।
माना लंबाई $l$,चौड़ाई $b$ और ऊँचाई $h$ है।
विपरीत फलकों का क्षेत्रफल $(l \times b)$,$(b \times h)$ और $(h \times l)$ होता है।
चूँकि प्रत्येक फलक दो बार आता है,इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(lb + bh + hl)$ होता है।

(D) एक घन में कुल $6$ फलक होते हैं। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का अर्थ है ऊपरी और निचले फलकों को छोड़कर शेष चार फलकों का क्षेत्रफल। यदि घन की भुजा की लंबाई $a$ है,तो एक फलक का क्षेत्रफल $a^{2}$ होता है। अतः,पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \times a^{2} = 4 a^{2}$ होगा।

(A) एक बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफल और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग होता है।
दो वृत्ताकार आधारों का क्षेत्रफल $= 2 \times (\pi r^2) = 2 \pi r^2$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi rh$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^2 + 2 \pi rh$.
$2 \pi r$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें $2 \pi r(r + h)$ या $2 \pi r(h + r)$ प्राप्त होता है।

(D) घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल उसकी चार ऊर्ध्वाधर फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है (ऊपरी और निचली सतह को छोड़कर)।
एक घनाभ जिसकी लंबाई $l$,चौड़ाई $b$ और ऊँचाई $h$ है,के लिए चार ऊर्ध्वाधर फलकों का क्षेत्रफल आधार के परिमाप और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= (2l + 2b) \times h = 2h(l + b)$.

(B) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके आधार की परिधि $(2 \pi r)$ को उसकी ऊँचाई $(h)$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
अतः,बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2 \pi r h$ है।

(D) हम जानते हैं कि $1 \, m = 100 \, cm$ होता है।
इसलिए,$1 \, m^{2} = 1 \, m \times 1 \, m$।
$1 \, m$ का मान सेंटीमीटर में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 \, m^{2} = (100 \, cm) \times (100 \, cm) = 10000 \, cm^{2}$।
अतः,$1 \, m^{2} = 10000 \, cm^{2}$।

(B) हम जानते हैं कि $1\, m = 100\, cm$ होता है।
इसलिए,$1\, m^{3} = (1\, m) \times (1\, m) \times (1\, m)$।
$1\, m$ का मान सेंटीमीटर में रखने पर: $1\, m^{3} = (100\, cm) \times (100\, cm) \times (100\, cm)$।
$1\, m^{3} = 100 \times 100 \times 100\, cm^{3}$।
$1\, m^{3} = 1000000\, cm^{3}$।