Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(D) घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $6a^2$ होता है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
दिया गया है,$a = 7\, cm$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (7)^2$
$= 6 \times 49$
$= 294\, cm^2$.

(A) घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = a^3$ है,जहाँ $a$ घन की भुजा की लंबाई है।
दिया गया है,घन की भुजा $a = 12 \, cm$ है।
अतः,आयतन $V = (12 \, cm)^3 = 12 \times 12 \times 12 \, cm^3$ होगा।
$V = 144 \times 12 \, cm^3 = 1728 \, cm^3$।
इस प्रकार,घन का आयतन $1728 \, cm^3$ है।

(B) घनाभाकार बक्से की विमाएँ लंबाई $(l)$ = $25 \, cm$,चौड़ाई $(b)$ = $15 \, cm$ और ऊँचाई $(h)$ = $8 \, cm$ हैं।
घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2(lb + bh + lh)$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(25 \times 15 + 15 \times 8 + 25 \times 8)$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(375 + 120 + 200)$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2(695)$
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $1390 \, cm^2$.

(A) दिया गया है: आधार का व्यास $(d)$ = $7 \,cm$।
त्रिज्या $(r)$ = $d / 2 = 7 / 2 = 3.5 \,cm$।
ऊँचाई $(h)$ = $12 \,cm$।
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2 \pi r h$ है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \times (22 / 7) \times 3.5 \times 12$।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \times (22 / 7) \times (7 / 2) \times 12$।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $22 \times 12 = 264 \,cm^2$।

(B) अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $TSA = 3 \pi r^2$ है।
यहाँ त्रिज्या $r = 42 \, cm$ दी गई है।
मान रखने पर:
$TSA = 3 \times \frac{22}{7} \times 42 \times 42$
$TSA = 3 \times 22 \times 6 \times 42$
$TSA = 66 \times 252$
$TSA = 16632 \, cm^2$.

(D) घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $2h(l + b)$ है।
यहाँ,लंबाई $(l)$ = $30 \, cm$,चौड़ाई $(b)$ = $20 \, cm$ और ऊँचाई $(h)$ = $8 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \times 8 \times (30 + 20)$
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $16 \times 50$
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $800 \, cm^2$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है,अर्धगोले का व्यास $d = 42\, cm$ है।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{42}{2} = 21\, cm$ है।
अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ का सूत्र $2\pi r^2$ होता है।
मान रखने पर:
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times (21)^2$
$CSA = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21$
$CSA = 2 \times 22 \times 3 \times 21$
$CSA = 44 \times 63 = 2772\, cm^2$.
अतः,अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2772\, cm^2$ है।

(A) $15\, cm$ भुजा वाले घन का आयतन $V_{cube} = a^3 = 15^3 = 3375\, cm^3$ होता है।
घनाभ का आयतन $V_{cuboid} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} = l \times b \times h$ होता है।
यहाँ $l = 25\, cm$ और $b = 15\, cm$ दिया गया है,और $V_{cuboid} = V_{cube}$ होने के कारण:
$25 \times 15 \times h = 3375$
$375 \times h = 3375$
$h = \frac{3375}{375} = 9\, cm$.
अतः,घनाभ की ऊँचाई $9\, cm$ है।

(B) दिया गया है कि बेलन की त्रिज्या $(r_c)$ और गोले की त्रिज्या $(r_s)$ समान हैं,इसलिए $r_c = r_s = 9 \, cm$.
माना बेलन की ऊँचाई $h$ है।
बेलन का आयतन $V_c = \pi r_c^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
गोले का आयतन $V_s = \frac{4}{3} \pi r_s^3$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,आयतन बराबर हैं: $V_c = V_s$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\pi r_c^2 h = \frac{4}{3} \pi r_s^3$.
चूँकि $r_c = r_s = 9$,हम दोनों पक्षों से $\pi$ और $r^2$ को काट सकते हैं:
$h = \frac{4}{3} r_s = \frac{4}{3} \times 9$.
$h = 4 \times 3 = 12 \, cm$.
अतः,बेलन की ऊँचाई $12 \, cm$ है।