Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(C) माना कि घन की भुजा $x \, m$ है।
चूंकि घन का आयतन $x^3$ होता है,इसलिए $x^3 = 15.625 \, m^3$ है।
घनमूल लेने पर,$x = \sqrt[3]{15.625} = 2.5 \, m$ प्राप्त होता है।
टंकी की कुल क्षमता $15.625 \, m^3$ है और इसकी ऊंचाई $2.5 \, m$ है।
टंकी में वर्तमान में $1.3 \, m$ गहराई वाले पानी का आयतन: $\text{आयतन} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{गहराई} = 2.5 \times 2.5 \times 1.3 = 8.125 \, m^3$ है।
उपयोग किए जा चुके पानी का आयतन कुल क्षमता और वर्तमान पानी के आयतन का अंतर है: $15.625 \, m^3 - 8.125 \, m^3 = 7.5 \, m^3$।

$(C)$ बेलनाकार गिलास की त्रिज्या $r = \text{व्यास} \div 2 = 7 \div 2 = 3.5 \, cm$ है।
गिलास में दूध की ऊँचाई $h = 12 \, cm$ है।
एक गिलास में दूध का आयतन $V = \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 12$ है।
$V = \frac{22}{7} \times 12.25 \times 12 = 22 \times 1.75 \times 12 = 462 \, cm^3$ है।
चूँकि $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{लीटर}$, इसलिए एक गिलास में दूध की मात्रा $462 \div 1000 = 0.462 \, \text{लीटर}$ है।
$1600$ छात्रों के लिए आवश्यक कुल दूध $= 1600 \times 0.462 \, \text{लीटर} = 739.2 \, \text{लीटर}$ है।

(A) बेलनाकार रोलर की लंबाई (ऊंचाई) $h = 2.5\, m$ है और त्रिज्या $r = 1.75\, m$ है।
एक चक्कर में रोलर द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 2.5$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{175}{100} \times 2.5 = 2 \times 22 \times 0.25 \times 2.5 = 44 \times 0.625 = 27.5\, m^{2}$.
सड़क पर तय किया गया कुल क्षेत्रफल $5500\, m^{2}$ है।
चक्करों की संख्या $= \frac{\text{कुल तय किया गया क्षेत्रफल}}{\text{एक चक्कर में तय किया गया क्षेत्रफल}}$.
चक्करों की संख्या $= \frac{5500}{27.5} = 200$ चक्कर।

(B) ओवरहेड टंकी का आयतन $V = 40 \, m \times 25 \, m \times 15 \, m = 15,000 \, m^3$ है।
चूँकि $1 \, m^3 = 1,000$ लीटर होता है,इसलिए लीटर में टंकी की कुल क्षमता $15,000 \times 1,000 = 15,000,000$ लीटर है।
गाँव के लिए दैनिक पानी की आवश्यकता $5,000 \times 75 = 375,000$ लीटर है।
टंकी का पानी कितने दिनों तक चलेगा,यह ज्ञात करने के लिए कुल क्षमता को दैनिक आवश्यकता से विभाजित करने पर:
$\text{दिनों की संख्या} = \frac{15,000,000}{375,000} = \frac{15,000}{375} = 40$ दिन।

(A) आयताकार सतह की लंबाई $= 6\, m = 600\, cm$.
आयताकार सतह की चौड़ाई $= 4\, m = 400\, cm$.
वर्षा की गहराई $= 1\, cm$.
एकत्रित वर्षा के जल का आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{गहराई} = 600 \times 400 \times 1 = 240,000\, cm^3$.
माना बेलनाकार बर्तन में पानी की ऊंचाई $h\, cm$ है।
बेलनाकार बर्तन की आंतरिक त्रिज्या $r = 20\, cm$.
बेलनाकार बर्तन में पानी का आयतन $= \pi r^2 h = 3.14 \times (20)^2 \times h = 3.14 \times 400 \times h = 1256h\, cm^3$.
आयतन की तुलना करने पर: $1256h = 240,000$.
$h = \frac{240,000}{1256} \approx 191.08\, cm$.
निकटतम पूर्णांक में,ऊंचाई $191\, cm$ होगी।

(B) यह नली एक खोखला बेलन है।
बाहरी व्यास $= 16 \, cm$, इसलिए बाहरी त्रिज्या $(R) = 16 / 2 = 8 \, cm$.
लोहे की शीट की मोटाई $= 2 \, cm$.
आंतरिक त्रिज्या $(r) = R - \text{मोटाई} = 8 \, cm - 2 \, cm = 6 \, cm$.
बेलन की लंबाई (ऊंचाई) $(h) = 100 \, cm$.
उपयोग किए गए लोहे का आयतन बेलन के बाहरी आयतन और आंतरिक आयतन के बीच का अंतर है।
आयतन $= \pi (R^2 - r^2) h$
आयतन $= \frac{22}{7} \times (8^2 - 6^2) \times 100$
आयतन $= \frac{22}{7} \times (64 - 36) \times 100$
आयतन $= \frac{22}{7} \times 28 \times 100$
आयतन $= 22 \times 4 \times 100 = 8800 \, cm^3$.

(A) $(i)$ तंबू द्वारा घेरी गई जमीन का क्षेत्रफल आधार का क्षेत्रफल है:
क्षेत्रफल $= \pi r^{2} = \frac{22}{7} \times 5^{2} = \frac{550}{7} \, m^{2}$.
छात्रों की संख्या $= \frac{\text{कुल जमीन का क्षेत्रफल}}{\text{प्रति छात्र क्षेत्रफल}} = \frac{550/7}{5/7} = \frac{550}{5} = 110$.
$(ii)$ शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $165 \, m^{2}$ है।
$\pi r l = 165 \Rightarrow \frac{22}{7} \times 5 \times l = 165$.
$l = \frac{165 \times 7}{110} = 10.5 \, m$.
$l^{2} = r^{2} + h^{2}$ का उपयोग करके,हम ऊँचाई $h$ ज्ञात करते हैं:
$h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{(10.5)^{2} - 5^{2}} = \sqrt{110.25 - 25} = \sqrt{85.25} \approx 9.233 \, m$.
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 9.233 \approx 242.1 \, m^{3}$.

(B) दी गई त्रिज्या $r = 21\, cm$ है।
$(i)$ अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $2\pi r^2$ है।
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21\, cm^2$
$= 2 \times 22 \times 3 \times 21\, cm^2 = 2772\, cm^2$.
$(ii)$ अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $3\pi r^2$ है।
$= 3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21\, cm^2$
$= 3 \times 22 \times 3 \times 21\, cm^2 = 4158\, cm^2$.

(C) अर्धगोले की त्रिज्या $(r) = 10 \, cm$ है।
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल का योग होता है।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल}$
$= 2 \pi r^2 + \pi r^2 = 3 \pi r^2$
मान रखने पर:
$= 3 \times 3.14 \times (10)^2 \, cm^2$
$= 3 \times 3.14 \times 100 \, cm^2$
$= 3 \times 314 \, cm^2$
$= 942 \, cm^2$
अतः,अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $942 \, cm^2$ है।

(A) अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास $(d) = 10.5 \, cm$.
त्रिज्या $(r) = \frac{d}{2} = \frac{10.5}{2} \, cm = 5.25 \, cm = \frac{21}{4} \, cm$.
अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^2$.
क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{21}{4}\right)^2 \, cm^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \, cm^2$.
क्षेत्रफल $= 11 \times 3 \times \frac{21}{4} \, cm^2 = \frac{693}{4} \, cm^2 = 173.25 \, cm^2$.
कलई कराने की दर $= Rs. 16$ प्रति $100 \, cm^2$.
कुल व्यय $= \left(\frac{173.25}{100}\right) \times 16 = 1.7325 \times 16 = Rs. 27.72$.

(N/A) $(i)$ गोले के लिए:
त्रिज्या $= r$
$\therefore$ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4 \pi r^{2}$
$(ii)$ लंबवृत्तीय बेलन के लिए:
चूंकि बेलन गोले को ठीक परिबद्ध करता है,इसलिए बेलन की त्रिज्या गोले की त्रिज्या के बराबर है।
$\therefore$ बेलन की त्रिज्या $= r$
बेलन की ऊँचाई गोले के व्यास के बराबर है।
$\Rightarrow$ बेलन की ऊँचाई $(h) = 2r$
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi rh = 2 \pi r(2r) = 4 \pi r^{2}$
$(iii)$ $(i)$ और $(ii)$ में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{\text{गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{\text{बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}} = \frac{4 \pi r^{2}}{4 \pi r^{2}} = \frac{1}{1}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $1:1$ है।

(B) दीवार एक घनाभ है। सबसे पहले,सभी आयामों को सेंटीमीटर में बदलें:
दीवार की लंबाई $= 10\, m = 1000\, cm$.
दीवार की मोटाई $= 24\, cm$.
दीवार की ऊँचाई $= 4\, m = 400\, cm$.
दीवार का आयतन $= 1000\, cm \times 24\, cm \times 400\, cm = 9,600,000\, cm^3$.
एक ईंट का आयतन $= 24\, cm \times 12\, cm \times 8\, cm = 2304\, cm^3$.
आवश्यक ईंटों की संख्या $= \frac{\text{दीवार का आयतन}}{\text{एक ईंट का आयतन}} = \frac{9,600,000}{2304} \approx 4166.67$.
चूंकि हम ईंट का एक अंश नहीं ले सकते,इसलिए हम इसे निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकित करते हैं,जो $4167$ ईंटें हैं।

(C) एक घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र है: $V = \text{भुजा} \times \text{भुजा} \times \text{भुजा}$.
यहाँ भुजा की लंबाई $3 \, cm$ दी गई है, इसलिए एक घन का आयतन $3 \, cm \times 3 \, cm \times 3 \, cm = 27 \, cm^3$ होगा।
चित्र में दी गई संरचना का अवलोकन करने पर, हम कुल घनों की संख्या गिन सकते हैं:
- स्तंभ $1$ (सबसे बाईं ओर): $5$ घन
- स्तंभ $2$: $4$ घन
- स्तंभ $3$: $3$ घन
- स्तंभ $4$: $2$ घन
- स्तंभ $5$ (सबसे दाईं ओर): $1$ घन
कुल घनों की संख्या $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ घन।
संरचना का कुल आयतन घनों की संख्या और एक घन के आयतन का गुणनफल है:
कुल आयतन $= 15 \times 27 \, cm^3 = 405 \, cm^3$।

(D) माचिस की डिब्बी (घनाभ) की विमाएँ $l = 4 \,cm$,$b = 2.5 \,cm$ और $h = 1.5 \,cm$ हैं।
एक माचिस की डिब्बी का आयतन सूत्र $V = l \times b \times h$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$V = 4 \,cm \times 2.5 \,cm \times 1.5 \,cm = 15 \,cm^3$.
ऐसी $12$ डिब्बियों वाले एक पैकेट का कुल आयतन $= 12 \times V$ होगा।
आयतन $= 12 \times 15 \,cm^3 = 180 \,cm^3$.

(A) दिया गया है: लंबाई $(l) = 6 \,m$,चौड़ाई $(b) = 5 \,m$,गहराई $(h) = 4.5 \,m$.
घनाभाकार टंकी की धारिता (आयतन) का सूत्र है: $\text{आयतन} = l \times b \times h$.
$\text{आयतन} = 6 \,m \times 5 \,m \times 4.5 \,m = 135 \,m^3$.
हम जानते हैं कि $1 \,m^3 = 1000 \,l$.
अतः,लीटर में धारिता $135 \times 1000 \,l = 135000 \,l$ होगी।
इस प्रकार,टंकी में $135000 \,l$ पानी आ सकता है।

(B) दिया गया है: लंबाई $(l) = 10 \, m$,चौड़ाई $(b) = 8 \, m$,आयतन $(V) = 380 \, m^3$ है।
माना घनाभाकार बर्तन की ऊँचाई $h$ है।
हम जानते हैं कि घनाभ का आयतन निकालने का सूत्र: $V = l \times b \times h$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $380 = 10 \times 8 \times h$।
$380 = 80 \times h$।
$h = \frac{380}{80} = \frac{38}{8} = 4.75 \, m$।
अतः,$380 \, m^3$ तरल रखने के लिए बर्तन की ऊँचाई $4.75 \, m$ होनी चाहिए।

(C) लंबाई $(l) = 8 \, m$; चौड़ाई $(b) = 6 \, m$; गहराई $(h) = 3 \, m$.
$\therefore$ घनाभाकार गड्ढे का आयतन $= l \times b \times h = 8 \times 6 \times 3 \, m^3 = 144 \, m^3$.
चूंकि गड्ढा खोदने की दर $Rs. 30$ प्रति $m^3$ है,
$\therefore$ खुदाई का कुल खर्च $= 30 \times 144 = Rs. 4320$.

(D) दिया गया है: टंकी की लंबाई $(l) = 2.5\, m$,टंकी की गहराई $(h) = 10\, m$.
टंकी की क्षमता $= 50000\, l$.
चूंकि $1000\, l = 1\, m^3$,इसलिए घन मीटर में क्षमता $= 50000 / 1000 = 50\, m^3$ है।
माना टंकी की चौड़ाई $b\, m$ है।
घनाभाकार टंकी का आयतन $V = l \times b \times h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $50 = 2.5 \times b \times 10$.
$50 = 25 \times b$.
$b = 50 / 25 = 2\, m$.
अतः,टंकी की चौड़ाई $2\, m$ है।

(A) टंकी की लंबाई $(l) = 20 \,m$.
टंकी की चौड़ाई $(b) = 15 \,m$.
टंकी की ऊँचाई $(h) = 6 \,m$.
टंकी का आयतन $= l \times b \times h = 20 \times 15 \times 6 \,m^3 = 1800 \,m^3$.
चूँकि $1 \,m^3 = 1000 \,l$,इसलिए टंकी की क्षमता $= 1800 \times 1000 \,l = 1,800,000 \,l$.
गाँव की जनसंख्या $= 4000$.
प्रति व्यक्ति प्रतिदिन आवश्यक पानी $= 150 \,l$.
प्रतिदिन आवश्यक कुल पानी $= 4000 \times 150 \,l = 600,000 \,l$.
माना कि पानी $x$ दिनों तक चलेगा।
$x$ दिनों के लिए आवश्यक कुल पानी $= 600,000 \times x$.
टंकी की कुल क्षमता और आवश्यक पानी की तुलना करने पर: $600,000 \times x = 1,800,000$.
$x = \frac{1,800,000}{600,000} = 3$.
अतः,टंकी का पानी $3$ दिनों तक चलेगा।

(B) गोदाम का आयतन $= 60 \,m \times 25 \,m \times 10 \,m = 15000 \,m^3$ (यह मानते हुए कि ऊँचाई $10 \,m$ है)।
एक क्रेट का आयतन $= 1.5 \,m \times 1.25 \,m \times 0.5 \,m = 0.9375 \,m^3$.
माना क्रेटों की संख्या $n$ है।
$n = \frac{\text{गोदाम का आयतन}}{\text{एक क्रेट का आयतन}} = \frac{60 \times 25 \times 10}{1.5 \times 1.25 \times 0.5} = \frac{15000}{0.9375} = 16000$.
अतः,गोदाम में $16000$ क्रेट रखे जा सकते हैं।

(A) दिए गए घन की भुजा $= 12 \, cm$ है।
दिए गए घन का आयतन $= (12)^3 = 1728 \, cm^3$ है।
माना प्रत्येक नए छोटे घन की भुजा $n \, cm$ है।
$8$ छोटे घनों का आयतन $= 8 \times n^3$ है।
चूंकि आयतन समान रहता है,इसलिए $8n^3 = 1728$ है।
$n^3 = \frac{1728}{8} = 216$ है।
$n = \sqrt[3]{216} = 6 \, cm$ है।
नए घन की भुजा $6 \, cm$ है।
दिए गए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times (12)^2 = 6 \times 144 = 864 \, cm^2$ है।
$8$ छोटे घनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 8 \times (6 \times 6^2) = 8 \times 216 = 1728 \, cm^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $= \frac{864}{1728} = \frac{1}{2} = 1:2$ है।

(D) नदी में बहते पानी को एक घनाभ के रूप में माना जा सकता है।
दिया है:
गहराई $(h) = 3 \,m$
चौड़ाई $(b) = 40 \,m$
प्रवाह की दर ($1$ घंटे में लंबाई) $(l) = 2 \,km = 2000 \,m$
$1$ घंटे ($60$ मिनट) में बहने वाले पानी का आयतन = $l \times b \times h$
$= 2000 \,m \times 40 \,m \times 3 \,m = 240000 \,m^3$
$1$ मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी का आयतन = $\frac{60 \text{ मिनट में बहने वाला आयतन}}{60}$
$= \frac{240000 \,m^3}{60} = 4000 \,m^3$

(A) चूँकि स्तंभों को बनाने के लिए उपयोग किया जाने वाला कंक्रीट मिश्रण स्तंभ के पूरे स्थान को घेरता है,इसलिए हमें बेलनों का आयतन ज्ञात करने की आवश्यकता है।
बेलन के आधार की त्रिज्या $(r)$ $= 20\, cm = 0.2\, m$.
बेलनाकार स्तंभ की ऊँचाई $(h)$ $= 10\, m$.
एक बेलनाकार स्तंभ का आयतन $= \pi r^2 h$
$= \frac{22}{7} \times (0.2)^2 \times 10\, m^3$
$= \frac{22}{7} \times 0.04 \times 10\, m^3$
$= \frac{8.8}{7}\, m^3$.
ऐसे $14$ स्तंभों का कुल आयतन $= 14 \times \text{एक स्तंभ का आयतन}$
$= 14 \times \frac{8.8}{7}\, m^3$
$= 2 \times 8.8\, m^3$
$= 17.6\, m^3$.
अतः,ऐसे $14$ स्तंभों को बनाने के लिए $17.6\, m^3$ कंक्रीट मिश्रण की आवश्यकता होगी।

(B) बड़े बर्तन में रस का आयतन बेलन के आयतन के सूत्र $V = \pi R^2 H$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,त्रिज्या $R = 15 \, cm$ और ऊंचाई $H = 32 \, cm$ है।
अतः,रस का कुल आयतन $= \pi \times 15 \times 15 \times 32 \, cm^3$.
प्रत्येक छोटे गिलास में रस का आयतन $v = \pi r^2 h$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,त्रिज्या $r = 3 \, cm$ और ऊंचाई $h = 8 \, cm$ है।
अतः,प्रत्येक गिलास का आयतन $= \pi \times 3 \times 3 \times 8 \, cm^3$.
भरे जा सकने वाले गिलासों की संख्या रस के कुल आयतन और एक गिलास के आयतन का अनुपात है:
गिलासों की संख्या $= \frac{\pi \times 15 \times 15 \times 32}{\pi \times 3 \times 3 \times 8} = \frac{225 \times 32}{9 \times 8} = \frac{7200}{72} = 100$.
चूंकि प्रत्येक गिलास $Rs. 15$ में बेचा जाता है,इसलिए स्टॉल कीपर द्वारा प्राप्त कुल राशि है:
कुल राशि $= 100 \times 15 = Rs. 1500$.

(C) माना बेलनाकार बर्तन के आधार की त्रिज्या $r \,cm$ है।
आधार की परिधि $2 \pi r$ द्वारा दी जाती है।
$2 \pi r = 132$
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 132$
$r = \frac{132 \times 7}{2 \times 22} = 21 \,cm$.
बर्तन की ऊँचाई $h = 25 \,cm$ है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$V = \frac{22}{7} \times (21)^2 \times 25$
$V = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 25 = 22 \times 3 \times 21 \times 25 = 34650 \,cm^3$.
चूँकि $1000 \,cm^3 = 1 \,l$,इसलिए लीटर में धारिता $\frac{34650}{1000} = 34.65 \,l$ होगी।
अतः,बर्तन में $34.65 \,l$ पानी आ सकता है।

(D) दिया है:
आंतरिक व्यास $= 24 \, cm$,इसलिए आंतरिक त्रिज्या $(r) = 12 \, cm$.
बाहरी व्यास $= 28 \, cm$,इसलिए बाहरी त्रिज्या $(R) = 14 \, cm$.
पाइप की लंबाई $(h) = 35 \, cm$.
पाइप में लकड़ी का आयतन बाहरी आयतन और आंतरिक आयतन का अंतर है:
$V = \pi R^2 h - \pi r^2 h = \pi h (R^2 - r^2) = \pi h (R + r)(R - r)$.
मान रखने पर:
$V = \frac{22}{7} \times 35 \times (14 + 12) \times (14 - 12) \, cm^3$.
$V = 22 \times 5 \times 26 \times 2 = 5720 \, cm^3$.
लकड़ी का द्रव्यमान $= \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = 5720 \, cm^3 \times 0.6 \, g/cm^3$.
द्रव्यमान $= 3432 \, g$.
किलोग्राम में बदलने पर: $3432 \, g = 3.432 \, kg$.

(A) आयताकार पैक के लिए:
लंबाई $(l) = 5 \, cm$,चौड़ाई $(b) = 4 \, cm$,ऊंचाई $(h) = 15 \, cm$.
आयतन $= l \times b \times h = 5 \times 4 \times 15 = 300 \, cm^3$.
आयताकार पैक की धारिता $= 300 \, cm^3$.
बेलनाकार पैक के लिए:
आधार का व्यास $= 7 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $(r) = \frac{7}{2} = 3.5 \, cm$.
ऊंचाई $(h) = 10 \, cm$.
आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 10 = \frac{22}{7} \times 12.25 \times 10 = 385 \, cm^3$.
बेलनाकार पैक की धारिता $= 385 \, cm^3$.
दोनों की तुलना करने पर:
$385 \, cm^3 - 300 \, cm^3 = 85 \, cm^3$.
अतः,बेलनाकार पैक की धारिता $85 \, cm^3$ अधिक है।

(B) दिया है: बेलन की ऊँचाई $(h) = 5 \, cm$.
बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 94.2 \, cm^2$.
माना आधार की त्रिज्या $r$ है।
बेलन के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $2 \pi rh$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर ($\pi = 3.14$ लेने पर):
$2 \times 3.14 \times r \times 5 = 94.2$
$31.4 \times r = 94.2$
$r = \frac{94.2}{31.4}$
$r = 3 \, cm$.
अतः,आधार की त्रिज्या $3 \, cm$ है।

(C) बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \pi r h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A = 94.2 \, cm^2$,$h = 5 \, cm$,और $\pi = 3.14$।
$94.2 = 2 \times 3.14 \times r \times 5$
$94.2 = 31.4 \times r$
$r = \frac{94.2}{31.4} = 3 \, cm$।
अब,बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$V = 3.14 \times (3)^2 \times 5$
$V = 3.14 \times 9 \times 5$
$V = 3.14 \times 45 = 141.3 \, cm^3$।
अतः,अभीष्ट आयतन $141.3 \, cm^3$ है।

(D) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम कुल लागत,दर और क्षेत्रफल के बीच के संबंध का उपयोग करते हैं।
पेंटिंग की कुल लागत $= Rs. 2200$.
पेंटिंग की दर $= Rs. 20$ प्रति $m^2$.
चूंकि,$\text{कुल लागत} = \text{क्षेत्रफल} \times \text{दर}$,इसलिए:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\text{कुल लागत}}{\text{दर}} = \frac{2200}{20} = 110 \, m^2$.
अतः,बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $110 \, m^2$ है।

(A) दिया गया है:
पेंटिंग की कुल लागत $= Rs. 2200$
पेंटिंग की दर $= Rs. 20 \, \text{प्रति} \, m^2$
बर्तन की गहराई (ऊंचाई) $(h)$ $= 10 \, m$
सबसे पहले, बेलनाकार बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करें:
$CSA = \frac{\text{कुल लागत}}{\text{दर}} = \frac{2200}{20} = 110 \, m^2$
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $CSA = 2 \pi rh$ होता है।
ज्ञात मानों को रखने पर:
$110 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 10$
$r$ के लिए हल करने पर:
$110 = \frac{440}{7} \times r$
$r = \frac{110 \times 7}{440}$
$r = \frac{7}{4} = 1.75 \, m$
अतः, आधार की त्रिज्या $1.75 \, m$ है।

(B) दिया गया है: बेलनाकार बर्तन की गहराई $(h) = 10\, m$. पेंटिंग का कुल खर्च = $Rs. 2200$. पेंटिंग की दर = $Rs. 20/m^2$.
सबसे पहले,बर्तन की आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ ज्ञात करें:
$CSA = \frac{\text{कुल खर्च}}{\text{दर}} = \frac{2200}{20} = 110\, m^2$.
बेलन के $CSA$ का सूत्र $2\pi rh = 110$ है।
$2 \times \frac{22}{7} \times r \times 10 = 110$.
$r = \frac{110 \times 7}{2 \times 22 \times 10} = \frac{770}{440} = 1.75\, m$ या $\frac{7}{4}\, m$.
अब,बर्तन की धारिता (आयतन) ज्ञात करें:
$V = \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (\frac{7}{4})^2 \times 10$.
$V = \frac{22}{7} \times \frac{49}{16} \times 10 = \frac{22 \times 7 \times 10}{16} = \frac{1540}{16} = 96.25\, m^3$.
चूंकि $1\, m^3 = 1\, kl$,इसलिए बर्तन की धारिता $96.25\, kl$ है।

(C) बेलनाकार बर्तन की धारिता $= 15.4 \, l$.
चूँकि $1 \, l = 1000 \, cm^{3}$,धारिता $= 15.4 \times 1000 \, cm^{3} = 15400 \, cm^{3}$.
घन मीटर में बदलने पर: $15400 \, cm^{3} = \frac{15400}{1000000} \, m^{3} = 0.0154 \, m^{3}$.
बेलन का आयतन $= \pi r^{2} h$,जहाँ $h = 1 \, m$.
$0.0154 = \frac{22}{7} \times r^{2} \times 1$.
$r^{2} = \frac{0.0154 \times 7}{22} = 0.0007 \times 7 = 0.0049$.
$r = \sqrt{0.0049} = 0.07 \, m$.
बंद बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r (h + r)$.
$= 2 \times \frac{22}{7} \times 0.07 \times (1 + 0.07) \, m^{2}$.
$= 2 \times 22 \times 0.01 \times 1.07 \, m^{2}$.
$= 0.44 \times 1.07 \, m^{2} = 0.4708 \, m^{2}$.

(D) दिया गया है कि,$10 \,mm = 1 \,cm$,इसलिए $1 \,mm = 0.1 \,cm$.
ग्रेफाइट बेलन के लिए:
व्यास $= 1 \,mm = 0.1 \,cm$.
त्रिज्या $(r) = \frac{0.1}{2} \,cm = 0.05 \,cm$.
लंबाई $(h) = 14 \,cm$.
ग्रेफाइट का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (0.05)^2 \times 14 \,cm^3 = 22 \times 0.0025 \times 2 \,cm^3 = 0.11 \,cm^3$.
पेंसिल के लिए:
व्यास $= 7 \,mm = 0.7 \,cm$.
त्रिज्या $(R) = \frac{0.7}{2} \,cm = 0.35 \,cm$.
लंबाई $(h) = 14 \,cm$.
पेंसिल का आयतन $= \pi R^2 h = \frac{22}{7} \times (0.35)^2 \times 14 \,cm^3 = 22 \times 0.1225 \times 2 \,cm^3 = 5.39 \,cm^3$.
लकड़ी का आयतन = पेंसिल का आयतन - ग्रेफाइट का आयतन
$= 5.39 \,cm^3 - 0.11 \,cm^3 = 5.28 \,cm^3$.
अतः,ग्रेफाइट का आयतन $0.11 \,cm^3$ है और लकड़ी का आयतन $5.28 \,cm^3$ है।

$(A)$ कटोरा बेलनाकार है।
आधार का व्यास $= 7 \, cm$.
आधार की त्रिज्या $(r) = \frac{7}{2} \, cm = 3.5 \, cm$.
ऊंचाई $(h) = 4 \, cm$.
एक कटोरे में सूप का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 4 \, cm^3$.
आयतन $= \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 4 \, cm^3 = 11 \times 7 \times 2 \, cm^3 = 154 \, cm^3$.
$250$ मरीजों के लिए सूप का कुल आयतन $= 250 \times 154 \, cm^3 = 38500 \, cm^3$.
चूंकि $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{लीटर}$, इसलिए लीटर में कुल आयतन $= \frac{38500}{1000} \, \text{लीटर} = 38.5 \, \text{लीटर}$.
अतः, अस्पताल को प्रतिदिन $38.5 \, \text{लीटर}$ सूप तैयार करने की आवश्यकता है।

(C) कैनवास का कुल क्षेत्रफल $551 \, m^2$ है। चूंकि $1 \, m^2$ बर्बादी में चला जाता है,इसलिए तंबू बनाने के लिए उपलब्ध क्षेत्रफल $551 \, m^2 - 1 \, m^2 = 550 \, m^2$ है।
शंक्वाकार तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi rl$ होता है। चूंकि आधार कैनवास से ढका नहीं है,इसलिए $\pi rl = 550 \, m^2$ है।
त्रिज्या $r = 7 \, m$ दी गई है,इसलिए $\frac{22}{7} \times 7 \times l = 550$।
$l$ के लिए हल करने पर,$22l = 550$,इसलिए $l = \frac{550}{22} = 25 \, m$।
संबंध $l^2 = r^2 + h^2$ का उपयोग करके,हम ऊंचाई $h$ ज्ञात करते हैं: $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 \, m$।
शंक्वाकार तंबू का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^2 \times 24 = \frac{1}{3} \times 22 \times 7 \times 24 = 22 \times 7 \times 8 = 1232 \, m^3$।

(A) दिया है: शंकु का आयतन $(V) = 9856 \, cm^3$ और आधार का व्यास $= 28 \, cm$.
आधार की त्रिज्या $(r) = \frac{28}{2} = 14 \, cm$.
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
मान रखने पर: $9856 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (14)^2 \times h$.
$9856 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 196 \times h$.
$9856 = \frac{1}{3} \times 22 \times 28 \times h$.
$h = \frac{9856 \times 3}{22 \times 28} = \frac{29568}{616} = 48 \, cm$.
अब,तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{196 + 2304} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r l$ द्वारा दिया जाता है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 14 \times 50 = 22 \times 2 \times 50 = 2200 \, cm^2$.

(D) दिया है: शंक्वाकार ढेर का व्यास $= 10.5\, m$,अतः त्रिज्या $(r) = \frac{10.5}{2} = 5.25\, m$. ऊँचाई $(h) = 3\, m$.
$1$. ढेर का आयतन:
आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5.25)^2 \times 3 = \frac{22}{7} \times 27.5625 = 86.625\, m^3$.
$2$. कैनवास का क्षेत्रफल:
आवश्यक कैनवास का क्षेत्रफल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है,जो $\pi rl$ है।
सबसे पहले,तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(5.25)^2 + 3^2} = \sqrt{27.5625 + 9} = \sqrt{36.5625} = 6.0467\, m$ (लगभग $6.05\, m$).
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi rl = \frac{22}{7} \times 5.25 \times 6.0467 = 99.825\, m^2$.
अतः,आवश्यक कैनवास का क्षेत्रफल $99.825\, m^2$ है।

(C) आंतरिक त्रिज्या $(r) = 1 \,m$.
मोटाई $= 1 \,cm = 0.01 \,m$.
बाह्य त्रिज्या $(R) = 1 \,m + 0.01 \,m = 1.01 \,m$.
प्रयुक्त लोहे का आयतन अर्धगोलाकार खोल के बाह्य आयतन और आंतरिक आयतन का अंतर है।
लोहे का आयतन $= \frac{2}{3} \pi R^3 - \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi (R^3 - r^3)$.
आयतन $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times ((1.01)^3 - (1)^3) \,m^3$.
आयतन $= \frac{44}{21} \times (1.030301 - 1) \,m^3$.
आयतन $= \frac{44}{21} \times 0.030301 \,m^3 \approx 0.06348 \,m^3$.

(D) माना गोले की त्रिज्या $r$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \pi r^2$ होता है।
दिया गया है,$4 \pi r^2 = 154$.
$r^2 = \frac{154}{4 \pi} = \frac{154 \times 7}{4 \times 22} = \frac{7 \times 7}{4} = \left(\frac{7}{2}\right)^2$.
अतः,$r = \frac{7}{2} \, cm$.
अब,गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{7}{2}\right)^3 \, cm^3$.
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \, cm^3$.
$V = \frac{11 \times 7 \times 7}{3} \, cm^3 = \frac{539}{3} \, cm^3 = 179 \frac{2}{3} \, cm^3$.
इस प्रकार,गोले का अभीष्ट आयतन $179 \frac{2}{3} \, cm^3$ है।

(A) सफेदी की कुल लागत $= Rs. 4989.60$
सफेदी की दर $= Rs. 20$ प्रति $m^2$
हम जानते हैं कि,$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\text{कुल लागत}}{\text{दर}}$
$\text{आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \frac{4989.60}{20} = 249.48 \, m^2$
अतः,गुंबद का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $249.48 \, m^2$ है।

(B) सफेदी कराने का कुल खर्च $= Rs. 4989.60$; सफेदी कराने की दर $= Rs. 20$ प्रति $m^2$.
$\therefore \text{आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \frac{\text{कुल खर्च}}{\text{दर}} = \frac{4989.60}{20} = 249.48 \, m^2$.
माना अर्धगोलाकार गुंबद की त्रिज्या $r$ है।
$\therefore$ आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r^2 = 249.48$.
$2 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 249.48 \Rightarrow r^2 = \frac{249.48 \times 7}{2 \times 22} = 39.69$.
$r = \sqrt{39.69} = 6.3 \, m$.
गुंबद के अंदर हवा का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (6.3)^3$.
$= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 6.3 \times 6.3 \times 6.3 = 523.908 \, m^3$.
अतः,गुंबद के अंदर हवा का आयतन लगभग $523.9 \, m^3$ है।

(A) $1$. पॉलिश की जाने वाली बाहरी सतह का क्षेत्रफल:
बाहरी आयाम: $H = 110\, cm, B = 85\, cm, D = 25\, cm$.
बाहरी सतह का क्षेत्रफल (सामने के हिस्से को छोड़कर) $= 2(H \times D) + (B \times D) + 2(H \times B) = 2(110 \times 25) + (85 \times 25) + 2(110 \times 85) = 5500 + 2125 + 18700 = 26325\, cm^2$.
सामने की सतह का क्षेत्रफल (ओपनिंग को छोड़कर) $= 2(110 \times 25) + (85 \times 25) + 2(110 \times 85) - 3(100 \times 75) = 3825\, cm^2$.
$2$. पेंट की जाने वाली आंतरिक सतह का क्षेत्रफल:
प्रत्येक शेल्फ के आंतरिक आयाम: $H' = 30\, cm, B' = 75\, cm, D' = 20\, cm$.
$3$ शेल्फ का क्षेत्रफल $= 3 \times [2(H' \times D') + (B' \times D') + 2(H' \times B')] = 3 \times [2(30 \times 20) + (75 \times 20) + 2(30 \times 75)] = 3 \times [1200 + 1500 + 4500] = 3 \times 7200 = 21600\, cm^2$.
$3$. कुल खर्च:
पॉलिश करने का खर्च $= 3825 \times 0.20 = ₹ 765$.
पेंट करने का खर्च $= 21600 \times 0.10 = ₹ 2160$.
कुल खर्च $= 765 + 2160 = ₹ 2925$.

(N/A) $1$. गोलों के लिए:
प्रत्येक गोले का व्यास = $21 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 10.5 \, cm$ है।
एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $4 \pi r^2 = 4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 = 1386 \, cm^2$ है।
हालाँकि,गोले का एक छोटा हिस्सा आधार द्वारा ढका हुआ है। आधार $1.5 \, cm$ त्रिज्या वाला एक बेलन है। गोले पर ढके हुए वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi \times (1.5)^2 = \frac{22}{7} \times 2.25 \approx 7.07 \, cm^2$ है।
प्रति गोला सिल्वर रंगने योग्य क्षेत्रफल = $1386 - 7.07 = 1378.93 \, cm^2$ है।
$8$ गोलों के लिए,कुल सिल्वर क्षेत्रफल = $8 \times 1378.93 = 11031.44 \, cm^2$ है।
सिल्वर पेंट की लागत = $11031.44 \times 0.25 = ₹ 2757.86$ है।
$2$. आधारों के लिए:
प्रत्येक आधार $r = 1.5 \, cm$ त्रिज्या और $h = 7 \, cm$ ऊंचाई वाला एक बेलन है।
एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2 \pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.5 \times 7 = 66 \, cm^2$ है।
$8$ आधारों के लिए काला रंगने योग्य कुल क्षेत्रफल = $8 \times 66 = 528 \, cm^2$ है।
काले पेंट की लागत = $528 \times 0.05 = ₹ 26.40$ है।
कुल लागत = $2757.86 + 26.40 = ₹ 2784.26$ है।

(A) माना दो गोलों के आयतन $V_{1}$ और $V_{2}$ हैं।
$\therefore \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{64}{27}$
$\Rightarrow \frac{\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}} = \frac{64}{27}$
$\Rightarrow \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}} = \frac{64}{27}$
$\Rightarrow \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3} = \left(\frac{4}{3}\right)^{3}$
$\Rightarrow \frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{4}{3} \quad ...(1)$
अब,माना दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफल $SA_{1}$ और $SA_{2}$ हैं।
$\therefore \frac{SA_{1}}{SA_{2}} = \frac{4 \pi r_{1}^{2}}{4 \pi r_{2}^{2}}$
$\Rightarrow \frac{SA_{1}}{SA_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}$
$\Rightarrow \frac{SA_{1}}{SA_{2}} = \left(\frac{4}{3}\right)^{2} \quad [(1) \text{ का उपयोग करने पर}]$
$\Rightarrow \frac{SA_{1}}{SA_{2}} = \frac{16}{9}$
$\therefore SA_{1} : SA_{2} = 16 : 9$
अतः,दोनों गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $16 : 9$ है।

(B) घन की भुजा $a = 4 \, cm$ है।
घन का आयतन $V_{cube} = a^3 = (4)^3 = 64 \, cm^3$ है।
चूँकि गोला घन की भुजाओं को स्पर्श करता है,इसलिए गोले का व्यास घन की भुजा के बराबर होगा,$d = 4 \, cm$।
गोले की त्रिज्या $r = d / 2 = 4 / 2 = 2 \, cm$ है।
गोले का आयतन $V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2)^3$ है।
$V_{sphere} = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 8 = \frac{704}{21} \approx 33.52 \, cm^3$।
बीच के रिक्त स्थान का आयतन = $V_{cube} - V_{sphere} = 64 - 33.52 = 30.48 \, cm^3$।

(C) गोले का आयतन $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
लंबवृत्तीय बेलन का आयतन $V_c = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि आयतन बराबर हैं,इसलिए $\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi r^2 h$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $h = \frac{4}{3} r$ प्राप्त होता है।
बेलन का व्यास $d = 2r$ है।
व्यास और ऊँचाई के बीच का अंतर $d - h = 2r - \frac{4}{3} r = \frac{2}{3} r$ है।
व्यास ऊँचाई से कितने प्रतिशत अधिक है,यह ज्ञात करने के लिए: $\frac{d - h}{h} \times 100 = \frac{\frac{2}{3} r}{\frac{4}{3} r} \times 100 = \frac{2}{4} \times 100 = 50 \%$.

(N/A) एक वृत्ताकार प्लेट की त्रिज्या $(r)$ $= 14\,cm$.
एक वृत्ताकार प्लेट की मोटाई $= 3\,cm$.
चूंकि प्लेटों को एक के ऊपर एक रखा गया है,इसलिए $30$ प्लेटों द्वारा निर्मित बेलन की ऊँचाई $(h)$ $= 30 \times 3 = 90\,cm$.
$(i)$ बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi r(r + h) = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times (14 + 90) = 44 \times 2 \times 104 = 88 \times 104 = 9152\,cm^2$.
$(ii)$ बेलन का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 90 = 22 \times 2 \times 14 \times 90 = 44 \times 1260 = 55440\,cm^3$.

(A) सिंधु घाटी सभ्यता में,निर्माण कार्य के लिए उपयोग की जाने वाली ईंटों के आयामों का अनुपात मानकीकृत था।
पुरातात्विक उत्खनन से पता चलता है कि इन ईंटों की लंबाई,चौड़ाई और ऊंचाई का अनुपात $4: 2: 1$ था।

(A) दिए गए घनाभाकार बक्से के लिए:
लंबाई $(l) = 25 \, cm$
चौड़ाई $(b) = 20 \, cm$
ऊँचाई $(h) = 10 \, cm$
घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है:
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(lb + bh + hl)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2(25 \times 20 + 20 \times 10 + 10 \times 25) \, cm^2$
$= 2(500 + 200 + 250) \, cm^2$
$= 2(950) \, cm^2$
$= 1900 \, cm^2$
अतः,घनाभाकार बक्से का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $1900 \, cm^2$ है।