Universal Law of Gravitation Questions in Hindi

(N/A) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम यह बताता है कि ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को एक बल से आकर्षित करती है जिसे गुरुत्वाकर्षण बल कहा जाता है।
दो वस्तुओं के बीच कार्य करने वाला बल उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
$m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं और उनके बीच की दूरी $r$ के लिए,उनके बीच कार्य करने वाला आकर्षण बल $(F)$ गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$
जहाँ,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और इसका मान $6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2 \text{ kg}^{-2}$ है।

(N/A) मान लीजिए कि $M_E$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $m$ पृथ्वी की सतह पर स्थित किसी वस्तु का द्रव्यमान है। यदि $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है,तो गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,पृथ्वी और वस्तु के बीच कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $(F)$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{G M_E m}{R^2}$
जहाँ:
$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,
$M_E$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,
$m$ वस्तु का द्रव्यमान है,
$R$ पृथ्वी के केंद्र और वस्तु के बीच की दूरी है (जो पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर है)।

(D) गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,दो वस्तुओं के बीच कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $(F)$ उनके बीच की दूरी $(r)$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात:
$F = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
यदि दूरी $r$ को घटाकर $r/2$ कर दिया जाए,तो नया गुरुत्वाकर्षण बल $(F')$ होगा:
$F' = G \frac{m_{1} m_{2}}{(r/2)^{2}}$
$F' = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}/4}$
$F' = 4 \times (G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}})$
$F' = 4F$
अतः,यदि दूरी को आधा कर दिया जाए,तो गुरुत्वाकर्षण बल मूल मान का चार गुना हो जाता है।

(C) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को एक ऐसे बल से आकर्षित करती है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यह बल पारस्परिक होता है। इसलिए,पृथ्वी चंद्रमा को उसी बल से आकर्षित करती है जिस बल से चंद्रमा पृथ्वी को आकर्षित करता है। यह न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार है,जो बताता है कि प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,दो वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M m}{r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$(i)$ $F$ वस्तुओं के द्रव्यमान के सीधे समानुपाती होता है। यदि एक वस्तु का द्रव्यमान दोगुना कर दिया जाए,तो गुरुत्वाकर्षण बल भी दोगुना हो जाएगा।
$(ii)$ $F$ वस्तुओं के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यदि दूरी दोगुनी कर दी जाए,तो गुरुत्वाकर्षण बल अपने मूल मान का एक-चौथाई $(1/4)$ हो जाता है। इसी प्रकार,यदि दूरी तीन गुनी कर दी जाए,तो गुरुत्वाकर्षण बल अपने मूल मान का नौवां हिस्सा $(1/9)$ हो जाता है।
$(iii)$ $F$ वस्तुओं के द्रव्यमान के गुणनफल के सीधे समानुपाती होता है। यदि दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान दोगुने कर दिए जाएं,तो नया बल $F' = \frac{G(2M)(2m)}{r^{2}} = 4 \times \frac{G M m}{r^{2}} = 4F$ होगा। अतः,गुरुत्वाकर्षण बल मूल मान का चार गुना हो जाता है।

(C) गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,पृथ्वी और सूर्य के बीच आकर्षण बल निम्न प्रकार है:
$F = \frac{G \times M_{\text{Sun}} \times M_{\text{Earth}}}{R^2}$
जहाँ:
$M_{\text{Sun}} = 2 \times 10^{30} \, kg$
$M_{\text{Earth}} = 6 \times 10^{24} \, kg$
$R = 1.5 \times 10^{11} \, m$
$G = 6.7 \times 10^{-11} \, Nm^2 \, kg^{-2}$
मान रखने पर:
$F = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times 2 \times 10^{30} \times 6 \times 10^{24}}{(1.5 \times 10^{11})^2}$
$F = \frac{80.4 \times 10^{43}}{2.25 \times 10^{22}}$
$F = 35.73 \times 10^{21} \, N = 3.57 \times 10^{22} \, N$
अतः,पृथ्वी और सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $3.57 \times 10^{22} \, N$ है।

(D) मान लीजिए कि दोनों पत्थर $t$ समय के बाद मिलते हैं।
टॉवर से गिराए गए पत्थर के लिए:
प्रारंभिक वेग,$u = 0\, m/s$।
मान लीजिए कि $t$ समय में टॉवर के शीर्ष से पत्थर का विस्थापन $s$ है।
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8\, m/s^2$।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$s = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$s = 4.9t^2$ ............. $(1)$
ऊपर की ओर फेंके गए पत्थर के लिए:
प्रारंभिक वेग,$u = 25\, m/s$।
मान लीजिए कि $t$ समय में जमीन से पत्थर का विस्थापन $s'$ है।
गुरुत्वीय त्वरण,$g = -9.8\, m/s^2$।
गति के समीकरण $s' = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$s' = 25t - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$s' = 25t - 4.9t^2$ ............. $(2)$
मिलन बिंदु पर दोनों पत्थरों के विस्थापन का योग टॉवर की कुल ऊँचाई $100\, m$ के बराबर है:
$s + s' = 100$
$4.9t^2 + 25t - 4.9t^2 = 100$
$25t = 100$
$t = 4\, s$
$4\, s$ में,ऊपर से नीचे गिरते हुए पत्थर द्वारा तय की गई दूरी है:
$s = 4.9 \times (4)^2 = 4.9 \times 16 = 78.4\, m$।
अतः,पत्थर $4\, s$ के बाद जमीन से $(100 - 78.4) = 20.6\, m$ की ऊँचाई पर मिलेंगे।

(C) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच,जो $r$ दूरी पर स्थित हैं,बल $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
जब दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान को आधा कर दिया जाता है,तो नए द्रव्यमान $m_1' = \frac{m_1}{2}$ और $m_2' = \frac{m_2}{2}$ हो जाते हैं।
नया गुरुत्वाकर्षण बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' = G \frac{(\frac{m_1}{2})(\frac{m_2}{2})}{r^2} = G \frac{m_1 m_2}{4r^2} = \frac{1}{4} F$।
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल $F/4$ हो जाएगा।

(B) संबंध $F = G \frac{Mm}{d^2}$ न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को दर्शाता है।
इस सूत्र में,$G$ को सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक के रूप में जाना जाता है।
इसे 'सार्वत्रिक' इसलिए कहा जाता है क्योंकि इसका मान पूरे ब्रह्मांड में स्थिर रहता है,चाहे स्थान,द्रव्यमान की प्रकृति या उनके बीच का माध्यम कुछ भी हो।
इसका मान हर जगह लगभग $6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ होता है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही कथन है।

(C) न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम बताता है कि ब्रह्मांड का प्रत्येक कण दूसरे कण को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $F$ गुरुत्वाकर्षण बल है,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$m_1$ और $m_2$ दो पिंडों के द्रव्यमान हैं,और $r$ उनके बीच की दूरी है।
चूंकि यह नियम द्रव्यमान वाले सभी वस्तुओं पर लागू होता है,इसलिए यह ब्रह्मांड में द्रव्यमान रखने वाले किन्हीं भी दो पिंडों के बीच के गुरुत्वाकर्षण बल का वर्णन करता है।

(D) $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक को दर्शाता है।
परिभाषा के अनुसार,एक सार्वत्रिक नियतांक का मान पूरे ब्रह्मांड में समान रहता है,चाहे स्थान कोई भी हो,वस्तुओं का द्रव्यमान कुछ भी हो या उनके बीच की दूरी कुछ भी हो।
इसलिए,$G$ का मान पृथ्वी के द्रव्यमान और त्रिज्या से स्वतंत्र है।

(A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच का बल $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि प्रत्येक कण का द्रव्यमान दोगुना कर दिया जाए,तो नए द्रव्यमान $m_1' = 2m_1$ और $m_2' = 2m_2$ हो जाते हैं।
नया गुरुत्वाकर्षण बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' = G \frac{(2m_1)(2m_2)}{r^2} = 4 \times (G \frac{m_1 m_2}{r^2}) = 4F$.
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल मूल मान का $4$ गुना हो जाएगा।

(B) वायुमंडल पृथ्वी के चारों ओर गैसों की एक परत है।
इन गैस के अणुओं में द्रव्यमान होता है और ये पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के अधीन होते हैं।
गुरुत्वाकर्षण उस बल के रूप में कार्य करता है जो इन गैसों को पृथ्वी की सतह के करीब रखता है,जिससे उन्हें बाहरी अंतरिक्ष में जाने से रोका जा सके।
इसलिए,वायुमंडल पृथ्वी से गुरुत्वाकर्षण द्वारा जुड़ा हुआ है।

(C) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच बल $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
यदि $m_1 = 1 \text{ इकाई}$,$m_2 = 1 \text{ इकाई}$,और $r = 1 \text{ इकाई}$ है,तो $F = G \frac{1 \times 1}{1^2} = G$ होगा।
अतः,इकाई दूरी से अलग दो इकाई बिंदु द्रव्यमानों के बीच आकर्षण बल संख्यात्मक रूप से सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ के बराबर होता है।

(N/A) किसी ग्रह को सूर्य के चारों ओर घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल का स्रोत सूर्य द्वारा ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल है।
न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,यह बल $F$ सूत्र $F = G \frac{M \times m}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ सूर्य का द्रव्यमान है,$m$ ग्रह का द्रव्यमान है,$r$ उनके बीच की दूरी है और $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
अतः,यह बल ग्रह और सूर्य के द्रव्यमानों के गुणनफल $(M \times m)$ पर निर्भर करता है और उनके बीच की दूरी के वर्ग $(r^2)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(C) सूर्य का गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी को उसकी कक्षा में बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
यह बल पृथ्वी के वेग के लंबवत कार्य करता है,जो वृत्ताकार पथ को बनाए रखने के लिए इसकी दिशा को लगातार बदलता रहता है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण खिंचाव वृत्ताकार गति की आवश्यकताओं द्वारा पूरी तरह से संतुलित होता है,इसलिए पृथ्वी न तो सूर्य में गिरती है और न ही अंतरिक्ष में दूर जाती है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम यह बताता है कि ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को एक ऐसे बल से आकर्षित करती है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल $(M_1 \times M_2)$ के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी $(r^2)$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से, इसे $F = G \frac{M_1 M_2}{r^2}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $F$ गुरुत्वाकर्षण बल है, $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है, $M_1$ और $M_2$ दो वस्तुओं के द्रव्यमान हैं, और $r$ उनके बीच की दूरी है।

(A) हाँ,गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गति के तीसरे नियम का पालन करते हैं।
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
गुरुत्वाकर्षण के मामले में,यदि वस्तु $A$ वस्तु $B$ पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाती है,तो वस्तु $B$ भी उसी समय वस्तु $A$ पर उतना ही और विपरीत दिशा में गुरुत्वाकर्षण बल लगाती है।

(A) $r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह बल केवल वस्तुओं के द्रव्यमान और उनके बीच की दूरी पर निर्भर करता है।
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ एक सार्वत्रिक नियतांक है और यह पिंडों के बीच के माध्यम पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,गुरुत्वाकर्षण बल समान रहता है चाहे वस्तुएं हवा में हों या किसी अन्य माध्यम में।
अतः,हवा में बल और किसी अन्य माध्यम में बल का अनुपात $1: 1$ है।

(C) नहीं,किसी पिंड को गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से सुरक्षित (shield) करना संभव नहीं है।
इसका कारण यह है कि गुरुत्वाकर्षण बल एक मौलिक अंतःक्रिया है जो ब्रह्मांड के सभी द्रव्यमानों के बीच कार्य करती है।
विद्युत या चुंबकीय क्षेत्रों के विपरीत,जिन्हें कुछ सामग्रियों द्वारा अवरुद्ध किया जा सकता है (जैसे विद्युत क्षेत्र के लिए फैराडे केज),गुरुत्वाकर्षण बल दो पिंडों के बीच मौजूद माध्यम की प्रकृति से स्वतंत्र होता है।
इसलिए,कोई भी पदार्थ गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध कवच (shield) के रूप में कार्य नहीं कर सकता है।

(N/A) सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम से संबंधित एक सामान्य घटना सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति है। न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,ब्रह्मांड का प्रत्येक कण दूसरे कण को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यह गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है जो ग्रहों को सूर्य के चारों ओर उनकी कक्षाओं में बनाए रखता है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम बताता है कि ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को एक ऐसे बल से आकर्षित करती है,जो उनके द्रव्यमानों ($M_1$ और $M_2$) के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी $(d^2)$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $F = G \frac{M_1 M_2}{d^2}$,जहाँ $F$ गुरुत्वाकर्षण बल है और $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।

(C) यदि गुरुत्वाकर्षण बल अचानक समाप्त हो जाता है,तो सभी वस्तुएं पृथ्वी के चारों ओर अपनी वृत्ताकार गति को बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल (centripetal force) खो देंगी। न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,वस्तुएं उस बिंदु से जहां गुरुत्वाकर्षण समाप्त हुआ,अपने वर्तमान पथ की स्पर्शरेखा (tangent) में एक सीधी रेखा में गति करना जारी रखेंगी।

(N/A) $(i)$ न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को एक ऐसे बल से आकर्षित करती है जो उनके द्रव्यमान के गुणनफल के समानुपाती होता है।
$(ii)$ पृथ्वी पत्थर पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाती है,जिससे वह पृथ्वी की ओर त्वरित होता है।
$(iii)$ पत्थर भी पृथ्वी पर समान और विपरीत दिशा में गुरुत्वाकर्षण बल लगाता है।
$(iv)$ हालाँकि,पत्थर की तुलना में पृथ्वी का द्रव्यमान अत्यंत अधिक होने के कारण,पृथ्वी में उत्पन्न त्वरण नगण्य होता है,जिससे पत्थर की ओर उसकी गति महसूस नहीं की जा सकती है।

(N/A) $(i)$ पत्थर पृथ्वी की ओर गिरता है क्योंकि पृथ्वी पत्थर पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाती है। गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,ब्रह्मांड की प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को आकर्षित करती है। चूंकि पृथ्वी का द्रव्यमान बहुत अधिक है,इसलिए पत्थर पर इसका गुरुत्वाकर्षण खिंचाव महत्वपूर्ण होता है,जिससे पत्थर उसकी ओर त्वरित होता है।
$(ii)$ गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के अनुसार,दो वस्तुओं के बीच आकर्षण बल उनके द्रव्यमान के गुणनफल के समानुपाती और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। चूंकि कमरे में रखी सामान्य वस्तुओं का द्रव्यमान बहुत कम होता है,इसलिए उनके बीच का गुरुत्वाकर्षण बल अत्यंत दुर्बल होता है। यह बल घर्षण बल और पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव की तुलना में नगण्य है,यही कारण है कि वे एक-दूसरे की ओर गति नहीं करती हैं।

(N/A) $1$. सूर्य द्वारा ग्रहों पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल उनकी वृत्ताकार कक्षा में गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल (centripetal force) प्रदान करता है।
$2$. इस बल की दिशा हमेशा कक्षा के केंद्र की ओर (अर्थात सूर्य की ओर) होती है।
$3$. यदि यह बल अचानक गायब हो जाए,तो ग्रह अपनी वृत्ताकार कक्षा को बनाए रखने में असमर्थ होगा और न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,उस बिंदु पर कक्षा की स्पर्शरेखा (tangent) की दिशा में एक सीधी रेखा में गति करना जारी रखेगा।

(B) गुरुत्वाकर्षण बल का सूत्र $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ है।
दिया गया है:
$m_1 = 10 \; kg$
$m_2 = 20 \; kg$
$r = 10 \; m$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \; Nm^2 kg^{-2}$
सूत्र में मान रखने पर:
$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 10 \times 20}{(10)^2} \; N$
$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 200}{100} \; N$
$F = 6.67 \times 10^{-11} \times 2 \; N$
$F = 13.34 \times 10^{-11} \; N$

(C) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,दो वस्तुओं के बीच आकर्षण बल $F = G \frac{M_1 M_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह बल पारस्परिक होता है,जिसका अर्थ है कि पृथ्वी सीसे पर बल लगाती है और सीसा पृथ्वी पर समान और विपरीत दिशा में बल लगाता है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
इसलिए,$1 \,kg$ सीसे पर पृथ्वी द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल और $1 \,kg$ सीसे द्वारा पृथ्वी पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल परिमाण में बिल्कुल बराबर होते हैं।

(N/A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,ब्रह्मांड का प्रत्येक पिंड दूसरे पिंड को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(F = G \frac{M_1 M_2}{r^2})$.
यद्यपि सभी पिंड एक-दूसरे पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाते हैं,लेकिन सामान्य आकार की वस्तुओं के लिए इस बल का परिमाण अत्यंत कम होता है क्योंकि पृथ्वी के द्रव्यमान की तुलना में उनका द्रव्यमान नगण्य होता है।
इसके विपरीत,पृथ्वी का द्रव्यमान बहुत विशाल है। इसलिए,पृथ्वी की सतह के पास किसी भी वस्तु पर पृथ्वी द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल उन वस्तुओं के बीच के आपसी गुरुत्वाकर्षण बलों की तुलना में काफी अधिक होता है।
परिणामस्वरूप,पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण बल प्रभावी हो जाता है,जिससे सभी वस्तुएं पृथ्वी के केंद्र की ओर आकर्षित होती हैं।

(N/A) $(i)$ पृथ्वी को सूर्य के चारों ओर घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल,सूर्य और पृथ्वी के बीच लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$(ii)$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,इस बल का परिमाण सूर्य के द्रव्यमान $(M)$,पृथ्वी के द्रव्यमान $(m)$ और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग $(r^2)$ पर निर्भर करता है। इसका सूत्र $F = G \frac{Mm}{r^2}$ है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।

(N/A) माना कि दो पिंडों के द्रव्यमान $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं और पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है।
माना कि पृथ्वी के केंद्र से दोनों पिंडों की दूरी $r$ है।
न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के पिंड पर पृथ्वी द्वारा लगाया गया बल $F = \frac{GMm}{r^{2}}$ होता है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
पिंड $A$ के लिए,बल $F_{1} = \frac{GMm_{1}}{r^{2}}$ है।
पिंड $B$ के लिए,बल $F_{2} = \frac{GMm_{2}}{r^{2}}$ है।
यह दिया गया है कि बल समान हैं,अर्थात $F_{1} = F_{2}$।
इसलिए,$\frac{GMm_{1}}{r^{2}} = \frac{GMm_{2}}{r^{2}}$।
दोनों पक्षों से समान पदों $\frac{GM}{r^{2}}$ को हटाने पर,हमें $m_{1} = m_{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,दोनों पिंडों के द्रव्यमान समान हैं।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम यह बताता है कि ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को एक ऐसे बल से आकर्षित करती है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,$F = G \frac{M \times m}{d^2}$,जहाँ $F$ गुरुत्वाकर्षण बल है,$M$ और $m$ दो वस्तुओं के द्रव्यमान हैं,और $d$ उनके बीच की दूरी है।
सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का $SI$ मात्रक $N \ m^2 \ kg^{-2}$ है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम बताता है कि ब्रह्मांड का प्रत्येक पिंड दूसरे पिंड को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
यदि दूरी $r$ को तीन गुना कर दिया जाए,तो नई दूरी $r' = 3r$ हो जाती है।
नया बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' = G \frac{m_1 m_2}{(3r)^2} = G \frac{m_1 m_2}{9r^2} = \frac{1}{9} F$.
अतः,बल मूल बल का $\frac{1}{9}$ गुना हो जाएगा।

(N/A) $(i)$ यह प्रकृति में सबसे दुर्बल बल है।
$(ii)$ यह सदैव आकर्षण प्रकृति का होता है और द्रव्यमान वाली किन्हीं भी दो वस्तुओं के बीच कार्य करता है।

(N/A) $(i)$ न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम ब्रह्मांड की सभी वस्तुओं पर लागू होता है,चाहे उनका आकार,द्रव्यमान या दूरी कुछ भी हो,इसलिए इसे गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम कहा जाता है।
$(ii)$ गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम महत्वपूर्ण है क्योंकि यह निम्नलिखित घटनाओं को सफलतापूर्वक समझाता है:
$(a)$ वह गुरुत्वाकर्षण बल जो हमें पृथ्वी से बांधे रखता है।
$(b)$ पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा की गति।
$(c)$ सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति।
$(d)$ चंद्रमा और सूर्य के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण समुद्र में आने वाला ज्वार-भाटा।

(N/A) $(i)$ दो वस्तुओं के बीच आकर्षण बल उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के सीधे आनुपातिक होता है, अर्थात $F \propto m_{1} m_{2}$।
दो वस्तुओं के बीच आकर्षण बल उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है, अर्थात $F \propto \frac{1}{r^{2}}$।
$(ii)$ दिया गया है:
पृथ्वी का द्रव्यमान, $M = 6 \times 10^{24} \, kg$
उपग्रह का द्रव्यमान, $m = 6.5 \times 10^{20} \, kg$
उनके बीच की दूरी, $r = 3.35 \times 10^{6} \, km = 3.35 \times 10^{9} \, m$
गुरुत्वाकर्षण नियतांक, $G = 6.7 \times 10^{-11} \, Nm^{2} kg^{-2}$
सूत्र $F = G \frac{Mm}{r^{2}}$ का उपयोग करते हुए:
$F = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 6.5 \times 10^{20}}{(3.35 \times 10^{9})^{2}}$
$F = \frac{261.3 \times 10^{33}}{11.2225 \times 10^{18}}$
$F \approx 23.28 \times 10^{15} \, N$ या $2.33 \times 10^{16} \, N$।

(N/A) दो वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ व्यंजक द्वारा दिया जाता है।
$(a)$ यदि एक वस्तु का द्रव्यमान दोगुना कर दिया जाए $(m_1' = 2m_1)$,तो नया बल $F' = \frac{G(2m_1)m_2}{r^2} = 2F$ होगा। अतः,बल दोगुना हो जाता है।
$(b)$ यदि वस्तुओं के बीच की दूरी दोगुनी कर दी जाए $(r' = 2r)$,तो नया बल $F' = \frac{G m_1 m_2}{(2r)^2} = \frac{G m_1 m_2}{4r^2} = \frac{1}{4}F$ होगा। अतः,बल मूल बल का एक-चौथाई हो जाता है।
$(c)$ यदि दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान दोगुने कर दिए जाएं ($m_1' = 2m_1$ और $m_2' = 2m_2$),तो नया बल $F' = \frac{G(2m_1)(2m_2)}{r^2} = 4 \times \frac{G m_1 m_2}{r^2} = 4F$ होगा। अतः,बल मूल बल का चार गुना हो जाता है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम यह बताता है कि ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को एक ऐसे बल से आकर्षित करती है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
$G$ का $SI$ मात्रक $N \, m^2 \, kg^{-2}$ है।
दिया गया है:
प्रारंभिक बल $F_1 = 100 \, N$
अंतिम बल $F_2 = 50 \, N$
हम जानते हैं कि गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ होता है,जिसका अर्थ है $F \propto \frac{1}{r^2}$।
अतः,$\frac{F_1}{F_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$।
मान रखने पर:
$\frac{100}{50} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$
$2 = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$
$\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{2}$
इस प्रकार,बल को $50 \, N$ करने के लिए वस्तुओं के बीच की दूरी को $\sqrt{2}$ गुना (मूल दूरी का लगभग $1.414$ गुना) बढ़ाना चाहिए।

(N/A) न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को सार्वत्रिक नियम इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह ब्रह्मांड के सभी वस्तुओं पर लागू होता है,चाहे उनका द्रव्यमान,आकार,आकृति या उनके बीच की दूरी कुछ भी हो। यह ब्रह्मांड में कहीं भी स्थित पदार्थ के किन्हीं भी दो कणों के बीच कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का वर्णन करता है।

(B) पृथ्वी की सतह पर दो छोटी वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल अत्यंत कमजोर होता है क्योंकि उनका द्रव्यमान बहुत कम होता है।
इसके विपरीत,पृथ्वी का द्रव्यमान बहुत विशाल है।
इस कारण से,किसी भी वस्तु और पृथ्वी के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल,वस्तुओं के बीच के आपसी आकर्षण की तुलना में काफी अधिक होता है।
परिणामस्वरूप,सभी वस्तुएं एक-दूसरे की ओर आकर्षित होने के बजाय पृथ्वी के केंद्र की ओर खिंची चली जाती हैं।

(C) नहीं,किसी पिंड को गुरुत्वाकर्षण प्रभावों से सुरक्षित करना संभव नहीं है।
इसका कारण यह है कि गुरुत्वाकर्षण अन्योन्यक्रिया एक मौलिक बल है जो द्रव्यमान वाली सभी वस्तुओं के बीच कार्य करता है।
विद्युत-चुंबकीय बलों के विपरीत,जिन्हें आवेशों के बीच कोई पदार्थ रखकर सुरक्षित (shield) किया जा सकता है,गुरुत्वाकर्षण बल बीच के माध्यम की प्रकृति पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,गुरुत्वाकर्षण को किसी भी ज्ञात पदार्थ द्वारा रोका या निष्प्रभावी नहीं किया जा सकता है।

(C) पृथ्वी द्वारा चंद्रमा पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल,चंद्रमा को पृथ्वी के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
यह गुरुत्वाकर्षण बल चंद्रमा के वेग की दिशा के लंबवत कार्य करता है,जो चंद्रमा की गति की दिशा को उसकी चाल बदले बिना लगातार बदलता रहता है।
परिणामस्वरूप,चंद्रमा पृथ्वी की ओर गिरने के बजाय अपनी कक्षा में परिक्रमा करता रहता है।

(A) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
पहली वस्तु का द्रव्यमान,$m_1 = 50 \, kg$.
दूसरी वस्तु का द्रव्यमान,$m_2 = 120 \, kg$.
वस्तुओं के बीच की दूरी,$r = 10 \, m$.
गुरुत्वाकर्षण नियतांक,$G = 6.673 \times 10^{-11} \, N \, m^2 \, kg^{-2}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = \frac{6.673 \times 10^{-11} \times 50 \times 120}{10^2}$
$F = \frac{6.673 \times 10^{-11} \times 6000}{100}$
$F = 6.673 \times 10^{-11} \times 60$
$F = 400.38 \times 10^{-11} \, N$
$F = 4.0038 \times 10^{-9} \, N \approx 4.0 \times 10^{-9} \, N$.

(D) दिया गया है:
बृहस्पति का द्रव्यमान,$M_1 = 1.9 \times 10^{27} \, kg$
सूर्य का द्रव्यमान,$M_2 = 1.99 \times 10^{30} \, kg$
बृहस्पति और सूर्य के बीच की दूरी,$r = 7.8 \times 10^{11} \, m$
गुरुत्वाकर्षण नियतांक,$G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}$
गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम के सूत्र $F = \frac{G M_1 M_2}{r^2}$ का उपयोग करने पर:
$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.9 \times 10^{27} \times 1.99 \times 10^{30}}{(7.8 \times 10^{11})^2}$
$F = \frac{6.67 \times 1.9 \times 1.99 \times 10^{46}}{60.84 \times 10^{22}}$
$F \approx 4.146 \times 10^{23} \, N$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,गुरुत्वाकर्षण बल $4.4 \times 10^{23} \, N$ है।

(A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,बल $F$ वस्तुओं के बीच की दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $F \propto \frac{1}{r^2}$.
दिया गया है कि प्रारंभिक बल $F_1 = 100 \, N$ और अंतिम बल $F_2 = 50 \, N$ है।
हमारे पास अनुपात है: $\frac{F_2}{F_1} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$.
मान रखने पर: $\frac{50}{100} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \implies \frac{1}{2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{r_1}{r_2}$.
अतः,$r_2 = \sqrt{2} \, r_1$.
इस प्रकार,दूरी को $\sqrt{2}$ के गुणक से बढ़ाया जाना चाहिए।

(C) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच $r$ दूरी पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
यहाँ,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि बल $F$ दो पिंडों के बीच की दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,$F \propto \frac{1}{r^2}$।

(A) न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,कोई वस्तु तब तक एक सीधी रेखा में स्थिर गति से चलती रहेगी जब तक कि उस पर कोई बाहरी बल न लगाया जाए।
चूंकि पृथ्वी सूर्य के चारों ओर लगभग वृत्ताकार कक्षा में घूमती है,इसलिए इसकी गति की दिशा हर बिंदु पर लगातार बदल रही है।
दिशा में परिवर्तन का अर्थ है वेग में परिवर्तन,जो त्वरण का गठन करता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,त्वरण के लिए एक शुद्ध बल की आवश्यकता होती है।
इसलिए,पृथ्वी का सूर्य के चारों ओर परिक्रमण इस बात का प्रमाण है कि पृथ्वी पर सूर्य की ओर निर्देशित एक अभिकेंद्र बल (गुरुत्वाकर्षण बल) कार्य कर रहा होगा।

(D) गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ एक सार्वत्रिक नियतांक है।
इसे इकाई दूरी पर स्थित दो इकाई द्रव्यमानों के बीच लगने वाले आकर्षण बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसका मान $6.674 \times 10^{-11} \ N \ m^2/kg^2$ होता है।
चूंकि यह एक सार्वत्रिक नियतांक है,इसलिए यह वस्तुओं के द्रव्यमान,उनके बीच की दूरी,माध्यम के तापमान या किसी अन्य भौतिक स्थिति पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम,जिसे $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल का वर्णन करता है।
विस्तृत वस्तुओं के लिए,यह सूत्र केवल तभी मान्य होता है जब वस्तुएं गोलाकार हों और उनका द्रव्यमान वितरण समान (गोलाकार रूप से सममित) हो।
ऐसे मामलों में,गोले के पूरे द्रव्यमान को उसके केंद्र पर केंद्रित माना जा सकता है,जिससे दूरी $r$ को दो गोलों के केंद्रों के बीच मापा जा सकता है।

(D) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच का बल $F$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$.
यहाँ,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
यदि दूरी $r$ को दोगुना कर दिया जाए,तो नई दूरी $r' = 2r$ हो जाती है।
नया गुरुत्वाकर्षण बल $F'$ होगा: $F' = G \frac{m_1 m_2}{(2r)^2} = G \frac{m_1 m_2}{4r^2}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $F' = \frac{1}{4} \times (G \frac{m_1 m_2}{r^2}) = \frac{1}{4} F$.
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल अपने मूल मान का एक-चौथाई हो जाता है।