Average Questions in Gujarati

(A) ધારો કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સરેરાશ $P$ છે અને વિભાજ્ય સંખ્યાઓની સરેરાશ $C$ છે. ધારો કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા $x$ છે,તો વિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા $2x$ થશે.
બધી સંખ્યાઓની સરેરાશ: $\frac{Px + C(2x)}{x + 2x} = 9 \Rightarrow \frac{Px + 2Cx}{3x} = 9 \Rightarrow P + 2C = 27$ (સમીકરણ $i$).
જો સંખ્યાઓની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા $2x$ અને વિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા $x$ થાય છે. નવી સરેરાશ $9 + 2 = 11$ છે:
$\frac{P(2x) + Cx}{2x + x} = 11 \Rightarrow \frac{2Px + Cx}{3x} = 11 \Rightarrow 2P + C = 33$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણો ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$P = 27 - 2C$.
(ii) માં મૂકતા: $2(27 - 2C) + C = 33 \Rightarrow 54 - 4C + C = 33 \Rightarrow 3C = 21 \Rightarrow C = 7$.
$C = 7$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $P + 2(7) = 27 \Rightarrow P + 14 = 27 \Rightarrow P = 13$.
વિભાજ્ય સંખ્યાઓની સરેરાશ અને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સરેરાશનો ગુણોત્તર $\frac{C}{P} = \frac{7}{13}$ છે.

(C) ધારો કે શરૂઆતમાં વિષયોની સંખ્યા $n$ છે અને સરેરાશ ગુણ $x$ છે. શરૂઆતના કુલ ગુણ $= nx.$
જ્યારે $40$ ગુણવાળા એક વિષયને બદલે $23$ અને $25$ ગુણવાળા બે વિષયો ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે વિષયોની નવી સંખ્યા $(n+1)$ થાય છે અને નવી સરેરાશ $(x-1)$ થાય છે.
તેથી,$(n+1)(x-1) = nx - 40 + 23 + 25.$
$nx - n + x - 1 = nx + 8 \Rightarrow x - n = 9$ (સમીકરણ $I$).
ત્યારબાદ,જ્યારે કોમ્પ્યુટર સાયન્સના $57$ ગુણ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે વિષયોની કુલ સંખ્યા $(n+2)$ થાય છે અને સરેરાશ $(x-1) + 2 = x+1$ થાય છે.
તેથી,$(n+2)(x+1) = (nx - 40 + 23 + 25) + 57.$
$nx + n + 2x + 2 = nx + 65 \Rightarrow n + 2x = 63$ (સમીકરણ $II$).
સમીકરણ $I$ પરથી,$x = n + 9.$ આ કિંમત સમીકરણ $II$ માં મૂકતા:
$n + 2(n + 9) = 63 \Rightarrow n + 2n + 18 = 63 \Rightarrow 3n = 45 \Rightarrow n = 15.$
આમ,શરૂઆતમાં $15$ વિષયો હતા.

(A) ધારો કે $H$ ડોનાલ્ડની ઉંમર છે,$W$ તેની પત્નીની ઉંમર છે,$D$ તેની પુત્રીની ઉંમર છે અને $S$ તેના પુત્રની ઉંમર છે.
પરિવારના $4$ સભ્યોની સરેરાશ ઉંમર $23 \text{ વર્ષ}$ છે,તેથી તેમની ઉંમરનો સરવાળો $H + W + D + S = 23 \times 4 = 92 \text{ વર્ષ}$ થાય.
આપેલ છે: $H = W + 4$.
ધારો કે પુત્રના જન્મ પછી $x$ વર્ષ વીતી ગયા છે. તે સમયે,$H = 32$,$W = 28$,$D = 4$,અને $S = 0$ હતા. તેમની ઉંમરનો સરવાળો $32 + 28 + 4 + 0 = 64$ હતો.
કારણ કે $92 - 64 = 28$ વર્ષ આખા પરિવાર માટે વીતી ગયા છે,અને $4$ સભ્યો હોવાથી,પુત્રના જન્મ પછી વીતેલો સમય $28 / 4 = 7 \text{ વર્ષ}$ છે.
વર્તમાન ઉંમર:
$H = 32 + 7 = 39 \text{ વર્ષ}$.
$W = 28 + 7 = 35 \text{ વર્ષ}$.
$D = 4 + 7 = 11 \text{ વર્ષ}$.
$S = 0 + 7 = 7 \text{ વર્ષ}$.
ચકાસણી: $39 + 35 + 11 + 7 = 92$. આ કુલ સરવાળા સાથે મેળ ખાય છે.
ડોનાલ્ડ $(39)$ અને તેની પુત્રી $(11)$ ની સરેરાશ ઉંમર $(39 + 11) / 2 = 50 / 2 = 25 \text{ વર્ષ}$ છે.

(B) ધારો કે $6$ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ $(a-5), (a-3), (a-1), (a+1), (a+3), (a+5)$ છે.
તમામ $6$ સંખ્યાઓની સરેરાશ $\frac{(a-5)+(a-3)+(a-1)+(a+1)+(a+3)+(a+5)}{6} = a$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ અને છેલ્લા ઘટકના વર્ગોનો સરવાળો $178$ છે:
$(a-5)^2 + (a+5)^2 = 178$
$(a^2 - 10a + 25) + (a^2 + 10a + 25) = 178$
$2a^2 + 50 = 178$
$2a^2 = 128$
$a^2 = 64$
$a = 8$ (કારણ કે સંખ્યાઓ ધન છે).
પ્રથમ શરત સાથે ચકાસણી:
પ્રથમ $4$ સંખ્યાઓના વર્ગોની સરેરાશ: $\frac{(a-5)^2 + (a-3)^2 + (a-1)^2 + (a+1)^2}{4} = \frac{(3)^2 + (5)^2 + (7)^2 + (9)^2}{4} = \frac{9 + 25 + 49 + 81}{4} = \frac{164}{4} = 41$.
છેલ્લી $4$ સંખ્યાઓના વર્ગોની સરેરાશ: $\frac{(a-1)^2 + (a+1)^2 + (a+3)^2 + (a+5)^2}{4} = \frac{(7)^2 + (9)^2 + (11)^2 + (13)^2}{4} = \frac{49 + 81 + 121 + 169}{4} = \frac{420}{4} = 105$.
તફાવત: $105 - 41 = 64$. આ આપેલી શરત સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,તમામ $6$ સંખ્યાઓની સરેરાશ $a = 8$ છે.

(A) ધારો કે $10$ ડિરેક્ટર્સની કુલ ઉંમર $T_1 = 10 \times 48 = 480$ વર્ષ છે.
ધારો કે મૃત્યુ પામેલા ડિરેક્ટરની ઉંમર $x$ વર્ષ છે.
જ્યારે $53$ વર્ષના એક ડિરેક્ટરે રાજીનામું આપ્યું અને $x$ વર્ષના એક ડિરેક્ટરનું અવસાન થયું,અને $34$ વર્ષના નવા ડિરેક્ટર જોડાયા,ત્યારે ડિરેક્ટર્સની સંખ્યા $9$ થઈ.
તે સમયે આ $9$ ડિરેક્ટર્સની કુલ ઉંમર $T_2 = 480 - 53 - x + 34 = 461 - x$ હતી.
એક વર્ષ પછી,દરેક $9$ ડિરેક્ટર્સની ઉંમરમાં $1$ વર્ષનો વધારો થયો,તેથી કુલ ઉંમરમાં $9 \times 1 = 9$ વર્ષનો વધારો થયો.
નવી કુલ ઉંમર $T_3 = (461 - x) + 9 = 470 - x$ છે.
આપણને આપવામાં આવ્યું છે કે એક વર્ષ પછી આ $9$ ડિરેક્ટર્સની સરેરાશ ઉંમર $46$ વર્ષ છે.
તેથી,$T_3 = 9 \times 46 = 414$.
$T_3$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $470 - x = 414$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = 470 - 414 = 56$.
આમ,મૃત્યુ પામેલા ડિરેક્ટરની ઉંમર $56$ વર્ષ હતી.

(D) $6$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 6 \times 20 = 120$ છે.
એક સંખ્યા દૂર કર્યા પછી, સંખ્યાઓની સંખ્યા $5$ થાય છે અને નવી સરેરાશ $15$ છે.
બાકી રહેલી $5$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 5 \times 15 = 75$ છે.
દૂર કરેલી સંખ્યા $= (\text{6 સંખ્યાઓનો સરવાળો}) - (\text{5 સંખ્યાઓનો સરવાળો})$.
દૂર કરેલી સંખ્યા $= 120 - 75 = 45$.

(D) ધારો કે $3$ વર્ષ પહેલાં $5$ સભ્યોની ઉંમરનો સરવાળો $S$ હતો.
તો,$3$ વર્ષ પહેલાં સરેરાશ ઉંમર $\frac{S}{5}$ હતી.
તે જ $5$ સભ્યોની હાલની ઉંમરનો સરવાળો (બદલ્યા વગર) $S + (5 \times 3) = S + 15$ થશે.
ધારો કે જૂના સભ્યની ઉંમર $X$ છે અને નવા સભ્યની ઉંમર $Y$ છે.
જૂના સભ્યને નવા સભ્ય સાથે બદલ્યા પછી,ઉંમરનો નવો સરવાળો $(S + 15) - X + Y$ થાય છે.
નવી સરેરાશ ઉંમર $\frac{S + 15 - X + Y}{5}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ નવી સરેરાશ $3$ વર્ષ પહેલાંની સરેરાશ ઉંમર એટલે કે $\frac{S}{5}$ જેટલી છે.
તેથી,$\frac{S + 15 - X + Y}{5} = \frac{S}{5}$.
$S + 15 - X + Y = S$.
$15 - X + Y = 0$.
$X - Y = 15$.
આમ,બદલાયેલ સભ્ય અને નવા સભ્યની ઉંમર વચ્ચેનો તફાવત $15$ વર્ષ છે.

(D) પ્રથમ $25$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 25 \times 10 = 250$.
પછીની $25$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 25 \times 12 = 300$.
તમામ $50$ સંખ્યાઓનો કુલ સરવાળો $= 250 + 300 = 550$.
તમામ $50$ સંખ્યાઓની સરેરાશ $= \frac{\text{કુલ સરવાળો}}{\text{કુલ સંખ્યા}} = \frac{550}{50} = 11$.

(B) $m$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $m \times n^{2} = mn^{2}$ થાય છે.
$n$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $n \times m^{2} = nm^{2}$ થાય છે.
$(m + n)$ સંખ્યાઓનો કુલ સરવાળો $mn^{2} + nm^{2}$ થાય છે.
$(m + n)$ સંખ્યાઓની સરેરાશ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{સરેરાશ} = \frac{\text{કુલ સરવાળો}}{\text{કુલ સંખ્યા}} = \frac{mn^{2} + nm^{2}}{m + n}$.
અંશમાંથી $mn$ સામાન્ય લેતા:
$\text{સરેરાશ} = \frac{mn(n + m)}{m + n}$.
કારણ કે $(n + m) = (m + n)$,તેથી તે ઉડી જશે:
$\text{સરેરાશ} = mn$.

(B) $3$ ના પ્રથમ $9$ પૂર્ણાંક ગુણકો એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $3, 6, 9, \dots, 27$.
અહીં, પ્રથમ પદ $a = 3$, સામાન્ય તફાવત $d = 3$, અને પદોની સંખ્યા $n = 9$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S_9 = \frac{9}{2}[2(3) + (9 - 1)3] = \frac{9}{2}[6 + 24] = \frac{9}{2} \times 30 = 9 \times 15 = 135$.
સરેરાશ = $\frac{\text{પદોનો સરવાળો}}{\text{પદોની સંખ્યા}} = \frac{135}{9} = 15$.
વૈકલ્પિક રીતે, સમાંતર શ્રેણી માટે, સરેરાશ એ મધ્યમ પદ છે: $\frac{a + l}{2} = \frac{3 + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

(B) બધી $11$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 35 \times 11 = 385$.
પ્રથમ $6$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 32 \times 6 = 192$.
છેલ્લી $6$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 37 \times 6 = 222$.
છઠ્ઠી સંખ્યા પ્રથમ $6$ અને છેલ્લી $6$ બંને સંખ્યાઓમાં ગણવામાં આવે છે.
તેથી, છઠ્ઠી સંખ્યા $= (\text{પ્રથમ } 6 \text{ સંખ્યાઓનો સરવાળો} + \text{છેલ્લી } 6 \text{ સંખ્યાઓનો સરવાળો}) - \text{બધી } 11 \text{ સંખ્યાઓનો સરવાળો}$.
છઠ્ઠી સંખ્યા $= 192 + 222 - 385 = 414 - 385 = 29$.

(A) $m$ થી શરૂ થતા $5$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો $m, m + 1, m + 2, m + 3, m + 4$ છે.
તેમની સરેરાશ: $\frac{m + (m + 1) + (m + 2) + (m + 3) + (m + 4)}{5} = n$ થાય.
અંશનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{5m + 10}{5} = n$,તેથી $m + 2 = n$ મળે.
હવે,$(m + 2)$ થી શરૂ થતા $6$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો: $(m + 2), (m + 3), (m + 4), (m + 5), (m + 6), (m + 7)$ છે.
તેમની સરેરાશ: $\frac{(m + 2) + (m + 3) + (m + 4) + (m + 5) + (m + 6) + (m + 7)}{6}$ થાય.
સરવાળો કરતા: $\frac{6m + 27}{6} = m + \frac{27}{6} = m + 4.5$ મળે.
અહીં $m = n - 2$ હોવાથી,કિંમત મૂકતા: $(n - 2) + 4.5 = n + 2.5$ મળે.
અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં: $n + \frac{5}{2} = \frac{2n + 5}{2}$ થાય.

(B) $100$ વસ્તુઓનો પ્રારંભિક સરવાળો $= 46 \times 100 = 4600$ છે.
ભૂલથી વાંચેલી વસ્તુઓને સુધારતા: વસ્તુ $16$ ને $61$ તરીકે વાંચવામાં આવી હતી (તેથી $61$ બાદ કરો અને $16$ ઉમેરો) અને $43$ ને $34$ તરીકે વાંચવામાં આવી હતી (તેથી $34$ બાદ કરો અને $43$ ઉમેરો).
સાચો સરવાળો $= 4600 - 61 + 16 - 34 + 43 = 4564$ થાય.
વસ્તુઓની વાસ્તવિક સંખ્યા $90$ હોવાથી,સાચો મધ્યક $= \frac{4564}{90} = 50.711... \approx 50.7$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $x$ અને $\frac{1}{x}$ ની સરેરાશ $M$ છે.
$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} = M$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$x + \frac{1}{x} = 2M$
હવે,આપણે $x^{2}$ અને $\frac{1}{x^{2}}$ ની સરેરાશ શોધવાની છે,જે નીચે મુજબ છે:
$\text{સરેરાશ} = \frac{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}}{2}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2(x)(\frac{1}{x}) = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$
$(x + \frac{1}{x}) = 2M$ ની કિંમત મૂકતા:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (2M)^{2} - 2 = 4M^{2} - 2$
તેથી,માંગેલ સરેરાશ:
$\frac{4M^{2} - 2}{2} = 2M^{2} - 1$

(B) $n$ સંખ્યાઓ $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ ની સરેરાશ $\bar{x}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{n}$
આનો અર્થ એ છે કે $\sum_{i=1}^{n} x_{i} = n\bar{x}$ .....$(i)$
હવે,આપણે $\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે:
$\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} - \sum_{i=1}^{n} \bar{x}$
કારણ કે $\bar{x}$ એ અચળ છે,તેથી $\sum_{i=1}^{n} \bar{x} = n\bar{x}$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી કિંમત મૂકતા:
$\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x}) = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$
તેથી,અવલોકનોના તેમના મધ્યકથી વિચલનોનો સરવાળો હંમેશા $0$ થાય છે.

(C) છ સંખ્યાઓનો કુલ સરવાળો $32 \times 6 = 192$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ ત્રણ સંખ્યાઓમાં દરેકને $2$ નો વધારો કરતા,સરવાળામાં કુલ $3 \times 2 = 6$ નો વધારો થાય છે.
બાકીની ત્રણ સંખ્યાઓમાં દરેકને $4$ નો ઘટાડો કરતા,સરવાળામાં કુલ $3 \times 4 = 12$ નો ઘટાડો થાય છે.
તેથી,સંખ્યાઓનો નવો સરવાળો $192 + 6 - 12 = 186$ થાય છે.
નવી સરેરાશ એ નવા સરવાળાને કુલ સંખ્યા વડે ભાગતા મળે છે: $\frac{186}{6} = 31$.

(B) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $A, B,$ અને $C$ છે,જ્યાં $A$ સૌથી મોટી સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે ત્રણ સંખ્યાઓની સરેરાશ $135$ છે,તેથી તેમનો સરવાળો $135 \times 3 = 405$ થાય.
સૌથી મોટી સંખ્યા $A = 195$ હોવાથી,બાકીની બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $B + C = 405 - 195 = 210$ $(i)$ થશે.
આપણને એ પણ આપેલ છે કે બાકીની બે સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત $20$ છે,તેથી $B - C = 20$ $(ii)$ થશે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(B + C) + (B - C) = 210 + 20$
$2B = 230$
$B = 115$.
સમીકરણ $(i)$ માં $B = 115$ મૂકતા:
$115 + C = 210$
$C = 210 - 115 = 95$.
આમ,ત્રણ સંખ્યાઓ $195, 115,$ અને $95$ છે. તેથી,સૌથી નાની સંખ્યા $95$ છે.

(A) ધારો કે દસ સંખ્યાઓ $x_1, x_2, ..., x_{10}$ છે.
સાચી સરેરાશ $A = \frac{\sum x_i}{10}$ છે.
ધારો કે અંકોની અદલાબદલી વાળી સંખ્યા $N = 10a + b$ છે. મૂળ સંખ્યા $M = 10b + a$ હતી.
સંખ્યાઓના સરવાળામાં થયેલો ફેરફાર $M - N = (10b + a) - (10a + b) = 9(b - a)$ છે.
આપેલ છે કે સરેરાશ $1.8$ ઘટે છે,તેથી કુલ સરવાળો $1.8 \times 10 = 18$ જેટલો ઘટે છે.
તેથી,$9(b - a) = 18$.
$9$ વડે ભાગતા,આપણને $b - a = 2$ મળે છે.
આમ,સંખ્યાના અંકો વચ્ચેનો તફાવત $2$ છે.

(D) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોની સરેરાશ એટલે સરવાળાને $n$ વડે ભાગતા:
$\text{સરેરાશ} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
પ્રથમ $10$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે,સૂત્રમાં $n = 10$ મૂકતા:
$\text{સરેરાશ} = \frac{(10+1)(2 \times 10 + 1)}{6} = \frac{11 \times 21}{6}$.
$\text{સરેરાશ} = \frac{231}{6} = 38.5$.

(D) બધી $30$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 30 \times 12 = 360$.
પ્રથમ $20$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 20 \times 11 = 220$.
પછીની $9$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 9 \times 10 = 90$.
પ્રથમ $29$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 220 + 90 = 310$.
છેલ્લી સંખ્યા $= (\text{બધી } 30 \text{ સંખ્યાઓનો સરવાળો}) - (\text{પ્રથમ } 29 \text{ સંખ્યાઓનો સરવાળો})$.
છેલ્લી સંખ્યા $= 360 - 310 = 50$.

(B) ધારો કે ત્રીજી સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, બીજી સંખ્યા ત્રીજી સંખ્યા કરતા ત્રણ ગણી છે, તેથી બીજી સંખ્યા $= 3x$ થાય.
બીજી સંખ્યા પ્રથમ સંખ્યા કરતા બમણી પણ છે, તેથી $2 \times (\text{પ્રથમ સંખ્યા}) = 3x$, જેનો અર્થ છે કે પ્રથમ સંખ્યા $= \frac{3x}{2}$ થાય.
ત્રણેય સંખ્યાઓની સરેરાશ $44$ આપેલી છે, તેથી તેમનો સરવાળો $44 \times 3 = 132$ થાય.
તેથી, $x + 3x + \frac{3x}{2} = 132$.
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $2$ વડે ગુણતા: $2x + 6x + 3x = 264$.
$11x = 264$, જે આપણને $x = 24$ આપે છે.
ત્રણ સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
પ્રથમ સંખ્યા $= \frac{3(24)}{2} = 36$.
બીજી સંખ્યા $= 3(24) = 72$.
ત્રીજી સંખ્યા $= 24$.
સૌથી મોટી સંખ્યા $72$ છે.

(D) $30$ સંખ્યાઓનો સરવાળો આ મુજબ ગણવામાં આવે છે: $30 \times 15 = 450$.
પ્રથમ $18$ સંખ્યાઓનો સરવાળો: $18 \times 10 = 180$ છે.
પછીની $11$ સંખ્યાઓનો સરવાળો: $11 \times 20 = 220$ છે.
પ્રથમ $29$ સંખ્યાઓનો કુલ સરવાળો: $180 + 220 = 400$ છે.
છેલ્લી સંખ્યા એ કુલ સરવાળા અને પ્રથમ $29$ સંખ્યાઓના સરવાળા વચ્ચેનો તફાવત છે: $450 - 400 = 50$.

(D) પ્રથમ $9$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,$ અને $23$ છે.
સરેરાશ શોધવા માટે,આપણે આ સંખ્યાઓનો સરવાળો કરીએ છીએ:
સરવાળો $= 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 = 100$.
કુલ સંખ્યાઓ $9$ છે.
સરેરાશ $= \frac{\text{સંખ્યાઓનો સરવાળો}}{\text{કુલ સંખ્યા}} = \frac{100}{9} = 11 \frac{1}{9}$.

(C) પ્રથમ ચાર મહિના માટે કુલ ખર્ચ $= 1800 \times 4 = Rs. 7200$.
પછીના આઠ મહિના માટે કુલ ખર્ચ $= 2000 \times 8 = Rs. 16000$.
વર્ષ દરમિયાન કુલ બચત $= Rs. 5600$.
કુલ વાર્ષિક આવક $=$ કુલ ખર્ચ $+$ કુલ બચત.
કુલ વાર્ષિક આવક $= 7200 + 16000 + 5600 = Rs. 28800$.
સરેરાશ માસિક આવક $= \frac{\text{કુલ વાર્ષિક આવક}}{12} = \frac{28800}{12} = Rs. 2400$.

(B) બાળકોની કુલ સંખ્યા = $16$.
બધા $16$ બાળકોના ગુણનો સરવાળો = $16 \times 76 = 1216$.
જૂથ $A$ ($10$ બાળકો) દ્વારા મેળવેલ ગુણનો સરવાળો = $10 \times 75 = 750$.
જૂથ $B$ ($6$ બાળકો) દ્વારા મેળવેલ ગુણનો સરવાળો = $1216 - 750 = 466$.
જૂથ $B$ ના સરેરાશ ગુણ = $\frac{466}{6} = \frac{233}{3} = 77 \frac{2}{3}$.

(B) પાંચ વ્યક્તિઓનું કુલ વજન $= 5 \times 38 = 190\, kg$.
હોડી અને પાંચ વ્યક્તિઓનું કુલ વજન (કુલ $6$ એકમો) $= 6 \times 52 = 312\, kg$.
હોડીનું વજન $= (\text{હોડી અને વ્યક્તિઓનું કુલ વજન}) - (\text{વ્યક્તિઓનું કુલ વજન})$.
હોડીનું વજન $= 312 - 190 = 122\, kg$.

(A) ધારો કે $A, B$ અને $C$ ના કુલ ખિસ્સા ખર્ચ $T_p$ છે.
આપેલ છે કે સરેરાશ ખિસ્સા ખર્ચ $Rs. 80$ છે,તેથી $T_p = 80 \times 3 = 240$.
ધારો કે કુલ ન વપરાયેલ રકમ $T_u$ છે.
આપેલ છે કે ન વપરાયેલ રકમની સરેરાશ $Rs. 60$ છે,તેથી $T_u = 60 \times 3 = 180$.
ત્રણેય મિત્રો દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ ખર્ચ $T_p - T_u = 240 - 180 = 60$ છે.
ધારો કે $A$ એ $Rs. x$ ખર્ચ કરે છે. તો $B$ એ $Rs. 2x$ અને $C$ એ $Rs. 3x$ ખર્ચ કરે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમના ખર્ચનો સરવાળો $x + 2x + 3x = 60$ છે.
$6x = 60 \Rightarrow x = 10$.
તેથી,$A$ એ $Rs. 10$ ખર્ચ કરે છે.

(C) જીતવા માટે જરૂરી કુલ રન $= 20 \times 7.2 = 144$.
$15^{th}$ ઓવરના અંતે બનાવેલા કુલ રન $= 15 \times 6 = 90$.
બાકી રહેલા જરૂરી રન $= 144 - 90 = 54$.
બાકી રહેલી ઓવર $= 20 - 15 = 5$.
બાકીની $5$ ઓવર માટે જરૂરી રન રેટ $= \frac{54}{5} = 10.8$.

(C) ધારો કે નવે-નવ વ્યક્તિઓનો સરેરાશ ખર્ચ $x$ છે.
આઠ વ્યક્તિઓનો કુલ ખર્ચ $8 \times 30 = 240$ છે.
નવમી વ્યક્તિનો ખર્ચ $x + 20$ છે.
નવે-નવ વ્યક્તિઓનો કુલ ખર્ચ $240 + (x + 20) = x + 260$ થાય.
સરેરાશ $x$ હોવાથી,આપણી પાસે સમીકરણ છે:
$x = \frac{x + 260}{9}$
બંને બાજુ $9$ વડે ગુણતા:
$9x = x + 260$
$8x = 260$
$x = \frac{260}{8} = 32.5$
તેથી,કુલ ખર્ચ $9x = 9 \times 32.5 = 292.5$ થાય.

(D) ધારો કે $H$ એ સર્વોચ્ચ સ્કોર છે અને $L$ એ સૌથી ઓછો સ્કોર છે.
$64$ ઇનિંગ્સ માટે કુલ રન $= 64 \times 62 = 3968$.
બે ઇનિંગ્સને બાકાત રાખ્યા પછી,બાકી રહેલી ઇનિંગ્સની સંખ્યા $64 - 2 = 62$ છે.
બાકીની $62$ ઇનિંગ્સ માટે કુલ રન $= 62 \times 60 = 3720$.
સર્વોચ્ચ અને સૌથી ઓછા સ્કોરનો સરવાળો $H + L = 3968 - 3720 = 248$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $H - L = 180$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(H + L) + (H - L) = 248 + 180$.
$2H = 428$.
$H = 214$.
આમ,સર્વોચ્ચ સ્કોર $214$ રન છે.

(D) $20$ છોકરાઓના વજનનો પ્રારંભિક સરવાળો $= 89.4 \times 20 = 1788 \, kg$ છે.
સાચા વજન અને ખોટા વંચાયેલા વજન વચ્ચેનો તફાવત $87 - 78 = 9 \, kg$ છે.
તેથી,વજનનો સાચો સરવાળો $= 1788 + 9 = 1797 \, kg$ થાય.
સાચું સરેરાશ વજન $= \frac{1797}{20} = 89.85 \, kg$ મળે.

(D) $75$ પેન્સિલની કુલ કિંમત $= 75 \times 2 = Rs. \, 150$ છે.
$30$ પેનની કુલ કિંમત $= 510 - 150 = Rs. \, 360$ છે.
$30$ પેનની સરેરાશ કિંમત $= \frac{360}{30} = Rs. \, 12$ છે.

(C) ધારો કે છેલ્લી મેચ પહેલા ક્રિકેટર દ્વારા લેવામાં આવેલી વિકેટની સંખ્યા $x$ છે.
છેલ્લી મેચ પહેલા આપેલા કુલ રન $= 12.4x$ થાય.
છેલ્લી મેચમાં તેણે $26$ રન આપીને $5$ વિકેટ લીધી.
નવી કુલ વિકેટ $= x + 5$ થાય.
નવા કુલ રન $= 12.4x + 26$ થાય.
નવી બોલિંગ એવરેજ $12.4 - 0.2 = 12.2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$\frac{12.4x + 26}{x + 5} = 12.2$
$12.4x + 26 = 12.2(x + 5)$
$12.4x + 26 = 12.2x + 61$
$12.4x - 12.2x = 61 - 26$
$0.2x = 35$
$x = \frac{35}{0.2} = 175$.
તેથી,છેલ્લી મેચ પહેલા લીધેલી વિકેટની સંખ્યા $175$ હતી.

(B) ધારો કે $64$ ઇનિંગ્સ માટે ક્રિકેટરની સરેરાશ રન $x$ છે.
$64$ ઇનિંગ્સમાં બનાવેલા કુલ રન $= 64x$.
$65$મી ઇનિંગમાં,તે $0$ રન બનાવે છે.
$65$ ઇનિંગ્સ પછી કુલ રન $= 64x + 0 = 64x$.
$65$ ઇનિંગ્સ પછી નવી સરેરાશ $(x - 2)$ આપવામાં આવી છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ છે: $\frac{64x}{65} = x - 2$.
બંને બાજુ $65$ વડે ગુણતા: $64x = 65(x - 2)$.
$64x = 65x - 130$.
$x = 130$.
નવી સરેરાશ $x - 2 = 130 - 2 = 128$ છે.

(C) પિતા અને માતાની ઉંમરનો સરવાળો $= 38 \times 2 = 76 \text{ વર્ષ}$.
પિતા,માતા અને પુત્રીની ઉંમરનો સરવાળો $= 28 \times 3 = 84 \text{ વર્ષ}$.
પુત્રીની ઉંમર $= 84 - 76 = 8 \text{ વર્ષ}$.

(B) $28$ વિદ્યાર્થીઓના કુલ ગુણ $= 28 \times 50 = 1400$.
$8$ વિદ્યાર્થીઓ ગયા પછી,બાકી રહેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 28 - 8 = 20$.
$20$ વિદ્યાર્થીઓની નવી સરેરાશ $= 50 + 5 = 55$.
$20$ વિદ્યાર્થીઓના કુલ ગુણ $= 20 \times 55 = 1100$.
શાળા છોડી ગયેલા $8$ વિદ્યાર્થીઓના કુલ ગુણ $= 1400 - 1100 = 300$.
$8$ વિદ્યાર્થીઓના ગુણની સરેરાશ $= \frac{300}{8} = 37.5$.

(D) ધારો કે $25$ વ્યક્તિઓનું પ્રારંભિક સરેરાશ વજન $A \, kg$ છે.
કુલ પ્રારંભિક વજન $= 25 \times A = 25A \, kg$ થાય.
જ્યારે $60 \, kg$ વજન ધરાવતી વ્યક્તિના સ્થાને $W$ વજન ધરાવતી નવી વ્યક્તિ આવે છે,ત્યારે નવું કુલ વજન $25A - 60 + W$ થાય છે.
નવું સરેરાશ વજન $A + 1 \, kg$ થાય છે.
તેથી,નવું કુલ વજન $25(A + 1) = 25A + 25$ થાય.
નવા કુલ વજન માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$25A - 60 + W = 25A + 25$.
$W - 60 = 25$.
$W = 60 + 25 = 85 \, kg$.
આમ,નવી વ્યક્તિનું વજન $85 \, kg$ છે.

(C) આપેલ છે કે,માપની સંખ્યા $n = 20$ અને પ્રારંભિક સરેરાશ $= 56 \, cm$ છે.
માપનો પ્રારંભિક સરવાળો $= 56 \times 20 = 1120 \, cm$ થાય.
એક માપ $61 \, cm$ ને બદલે $64 \, cm$ તરીકે નોંધાયું હતું,તેથી આપણે સરવાળામાં સુધારો કરવો પડશે.
સાચો સરવાળો $= 1120 - 64 + 61 = 1117 \, cm$ થાય.
સાચી સરેરાશ $= \frac{\text{સાચો સરવાળો}}{n} = \frac{1117}{20} = 55.85 \, cm$ થાય.

(A) $15$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $= 15 \times 15 = 225 \text{ વર્ષ}$.
પ્રથમ $5$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $= 5 \times 14 = 70 \text{ વર્ષ}$.
બાકીના $9$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $= 9 \times 16 = 144 \text{ વર્ષ}$.
$15$ મા વિદ્યાર્થીની ઉંમર $= 15$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $- (5$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $+ 9$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર$)$.
$15$ મા વિદ્યાર્થીની ઉંમર $= 225 - (70 + 144) = 225 - 214 = 11 \text{ વર્ષ}$.

(A) ધારો કે પાસ થયેલા ઉમેદવારોની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,નાપાસ થયેલા ઉમેદવારોની સંખ્યા $120 - x$ થશે.
બધા ઉમેદવારો દ્વારા મેળવેલા કુલ ગુણ $120 \times 35 = 4200$ છે.
પાસ થયેલા ઉમેદવારો દ્વારા મેળવેલા કુલ ગુણ $39x$ છે.
નાપાસ થયેલા ઉમેદવારો દ્વારા મેળવેલા કુલ ગુણ $15(120 - x)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પાસ અને નાપાસ થયેલા ઉમેદવારોના ગુણનો સરવાળો કુલ ગુણ જેટલો થાય છે:
$39x + 15(120 - x) = 4200$
$39x + 1800 - 15x = 4200$
$24x = 4200 - 1800$
$24x = 2400$
$x = 100$
તેથી,પરીક્ષામાં પાસ થયેલા ઉમેદવારોની સંખ્યા $100$ છે.

(A) ચાર ભાઈઓની ઉંમરનો સરવાળો $= 4 \times 12 = 48 \, \text{વર્ષ}$.
જ્યારે માતાની ઉંમર ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $5$ થાય છે અને નવી સરેરાશ $12 + 5 = 17 \, \text{વર્ષ}$ થાય છે.
પાંચ વ્યક્તિઓની ઉંમરનો સરવાળો (ચાર ભાઈઓ + માતા) $= 5 \times 17 = 85 \, \text{વર્ષ}$.
તેથી, માતાની ઉંમર $= 85 - 48 = 37 \, \text{વર્ષ}$.

(D) ધારો કે વિદ્યાર્થી દીઠ શરૂઆતનો સરેરાશ ખર્ચ $x$ છે.
શરૂઆતનો કુલ ખર્ચ = $35x$.
વિદ્યાર્થીઓની નવી સંખ્યા = $35 + 7 = 42$.
વિદ્યાર્થી દીઠ નવો સરેરાશ ખર્ચ = $x - 1$.
નવો કુલ ખર્ચ = $42(x - 1)$.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ ખર્ચમાં $Rs. \,42$ નો વધારો થાય છે:
$42(x - 1) = 35x + 42$.
$42x - 42 = 35x + 42$.
$42x - 35x = 42 + 42$.
$7x = 84$.
$x = 12$.
શરૂઆતનો કુલ ખર્ચ = $35 \times 12 = Rs. \,420$.

(D) $34$ વિદ્યાર્થીઓનું કુલ વજન $= 34 \times 42 = 1428 \, kg$ છે.
શિક્ષકને ઉમેર્યા પછી,કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $34 + 1 = 35$ થાય છે.
નવું સરેરાશ વજન $= 42 \, kg + 400 \, g = 42 \, kg + 0.4 \, kg = 42.4 \, kg$ છે.
$35$ વ્યક્તિઓનું કુલ વજન $= 35 \times 42.4 = 1484 \, kg$ છે.
શિક્ષકનું વજન $=$ ($35$ વ્યક્તિઓનું કુલ વજન) $-$ ($34$ વિદ્યાર્થીઓનું કુલ વજન).
શિક્ષકનું વજન $= 1484 - 1428 = 56 \, kg$ છે.

(B) $100$ સુધીની એકી સંખ્યાઓ $1, 3, 5, \dots, 99$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$, અંતિમ પદ $l = 99$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
પદોની સંખ્યા $n$ ની ગણતરી $l = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા કરી શકાય છે, તેથી $99 = 1 + (n - 1)2$, જે આપે છે $98 = 2(n - 1)$, એટલે કે $n - 1 = 49$, અને $n = 50$.
સમાંતર શ્રેણીની સરેરાશ શોધવાનું સૂત્ર $\text{સરેરાશ} = \frac{\text{પ્રથમ પદ} + \text{અંતિમ પદ}}{2}$ છે.
$\text{સરેરાશ} = \frac{1 + 99}{2} = \frac{100}{2} = 50$.

(D) ધારો કે સાત સંખ્યાઓ $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ છે.
પ્રથમ ચાર સંખ્યાઓની સરેરાશ $4$ આપેલ છે,તેથી $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) / 4 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16$.
છેલ્લી ચાર સંખ્યાઓની સરેરાશ $4$ આપેલ છે,તેથી $(x_4 + x_5 + x_6 + x_7) / 4 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 16$.
બધી સાત સંખ્યાઓની સરેરાશ $3$ આપેલ છે,તેથી $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7) / 7 = 3$,જેનો અર્થ છે કે સાતેય સંખ્યાઓનો સરવાળો $21$ છે.
પ્રથમ ચાર અને છેલ્લી ચાર સંખ્યાઓના સરવાળાનો સરવાળો કરતા: $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) + (x_4 + x_5 + x_6 + x_7) = 16 + 16 = 32$.
આ સરવાળામાં ચોથી સંખ્યા $(x_4)$ બે વાર આવે છે. તેથી,સાતેય સંખ્યાઓનો સરવાળો અને ચોથી સંખ્યાનો સરવાળો $32$ થાય છે.
$x_4 = (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7) - (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7) = 32 - 21 = 11$.
આમ,ચોથી સંખ્યા $11$ છે.

(C) ધારો કે ઉમેદવારોની કુલ સંખ્યા $n$ છે.
શરૂઆતના કુલ ગુણ = $60n$.
જ્યારે $80$ ઉમેદવારોના ગુણ $95$ થી બદલીને $70$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ઉમેદવારના ગુણમાં ઘટાડો $(95 - 70) = 25$ થાય છે.
$80$ ઉમેદવારો માટે કુલ ઘટાડો $80 \times 25 = 2000$ થાય છે.
નવા કુલ ગુણ = $60n - 2000$.
આપેલ છે કે નવી સરેરાશ $55$ છે,તેથી નવા કુલ ગુણ = $55n$.
નવા કુલ ગુણ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$60n - 2000 = 55n$
$60n - 55n = 2000$
$5n = 2000$
$n = 400$.
તેથી,ઉમેદવારોની કુલ સંખ્યા $400$ છે.

(C) શરૂઆતમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 15$.
શરૂઆતની સરેરાશ ઉંમર $= 10$ વર્ષ.
$15$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $= 15 \times 10 = 150$ વર્ષ.
જ્યારે $5$ વધુ વિદ્યાર્થીઓ જોડાય છે,ત્યારે કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $15 + 5 = 20$ થાય છે.
નવી સરેરાશ ઉંમર $10 + 1 = 11$ વર્ષ થાય છે.
$20$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $= 20 \times 11 = 220$ વર્ષ.
$5$ નવા વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $= 220 - 150 = 70$ વર્ષ.
$5$ નવા વિદ્યાર્થીઓની સરેરાશ ઉંમર $(x)$ $= \frac{70}{5} = 14$ વર્ષ.

(C) ધારો કે મુસાફરીનું કુલ અંતર $S$ છે.
મુસાફરીના પ્રથમ $\frac{1}{3}$ ભાગ માટે $60\, km/h$ ની ઝડપે લાગતો સમય $t_1 = \frac{S/3}{60} = \frac{S}{180}$ કલાક છે.
મુસાફરીના બીજા $\frac{1}{3}$ ભાગ માટે $30\, km/h$ ની ઝડપે લાગતો સમય $t_2 = \frac{S/3}{30} = \frac{S}{90}$ કલાક છે.
મુસાફરીના બાકીના $\frac{1}{3}$ ભાગ માટે $10\, km/h$ ની ઝડપે લાગતો સમય $t_3 = \frac{S/3}{10} = \frac{S}{30}$ કલાક છે.
કુલ લાગતો સમય $T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{180} + \frac{S}{90} + \frac{S}{30}$.
$180, 90, 30$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $180$ લેતા:
$T = \frac{S + 2S + 6S}{180} = \frac{9S}{180} = \frac{S}{20}$ કલાક.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{S}{S/20} = 20\, km/h$.

(C) ધારો કે પરત મુસાફરીની ઝડપ $v_r = x\, \text{km/h}$ છે.
તેથી,આગળની મુસાફરીની ઝડપ $v_o = 0.75x = \frac{3}{4}x\, \text{km/h}$ થશે.
કુલ અંતર $800\, \text{km}$ છે,તેથી એક તરફનું અંતર $400\, \text{km}$ છે.
કુલ સમય $17\, \text{hours}$ છે,જેમાં $1\, \text{hour}$ રોકાણનો સમય છે,તેથી મુસાફરીનો સમય $16\, \text{hours}$ છે.
આગળની મુસાફરીનો સમય $t_o = \frac{400}{3x/4} = \frac{1600}{3x}$.
પરત મુસાફરીનો સમય $t_r = \frac{400}{x}$.
$t_o + t_r = 16 \implies \frac{1600}{3x} + \frac{1200}{3x} = 16 \implies \frac{2800}{3x} = 16 \implies 48x = 2800 \implies x = 58.33\, \text{km/h}$.
આગળની મુસાફરીની ઝડપ $v_o = \frac{3}{4} \times 58.33 = 43.75\, \text{km/h}$.

(B) આપેલ છે કે $X_{1}, X_{2}$ અને $X_{3}$ ની સરેરાશ $14$ છે.
તેથી,સરવાળો $X_{1} + X_{2} + X_{3} = 14 \times 3 = 42$ ......$(1)$
આપેલ છે કે $X_{2}$ અને $X_{3}$ ના સરવાળાના બમણા $30$ છે,જેનો અર્થ છે કે $2(X_{2} + X_{3}) = 30$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $X_{2} + X_{3} = 15$ મળે છે ......$(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા,આપણને $X_{1} = 42 - 15 = 27$ મળે છે.
આમ,$X_{1}$ નું મૂલ્ય $27$ છે.