Average Questions in Gujarati

(C) જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ $d$ જેટલું અંતર $v_1$ ઝડપે કાપે છે અને તેટલું જ અંતર $d$ પાછા ફરતી વખતે $v_2$ ઝડપે કાપે છે,ત્યારે સમગ્ર મુસાફરી માટે સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર હાર્મોનિક મીન (harmonic mean) મુજબ છે: $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$.
અહીં $v_1 = 40 \, km/h$ અને $v_2 = 50 \, km/h$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2 \times 40 \times 50}{40 + 50} \, km/h$.
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{4000}{90} \, km/h$.
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{400}{9} \, km/h$.

(A) ક્રિકેટ ટીમમાં $11$ ખેલાડીઓ હોય છે.
ધારો કે ટીમની શરૂઆતની સરેરાશ ઉંમર $x$ છે.
ટીમની કુલ ઉંમર $11x$ છે.
જ્યારે $32$ અને $30$ વર્ષના બે ખેલાડીઓને બદલે $y$ ઉંમરના બે નવા ખેલાડીઓ આવે છે,ત્યારે નવી કુલ ઉંમર $11x - 32 - 30 + 2y$ થાય છે.
નવી સરેરાશ ઉંમર $(x - 2)$ થાય છે.
તેથી,નવી કુલ ઉંમર $11(x - 2)$ થાય છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$11x - 62 + 2y = 11x - 22$
બંને બાજુથી $11x$ બાદ કરતા:
$-62 + 2y = -22$
$2y = 62 - 22$
$2y = 40$
$y = 20$
આમ,દરેક યુવાન ખેલાડીની ઉંમર $20$ વર્ષ છે.

(C) શરૂઆતના $20$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઊંચાઈ $= 20 \times 105 = 2100 \, cm$ છે.
નવા $10$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઊંચાઈ $= 10 \times 120 = 1200 \, cm$ છે.
હવે વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $= 20 + 10 = 30$ છે.
બધા $30$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઊંચાઈ $= 2100 + 1200 = 3300 \, cm$ છે.
વર્ગની નવી સરેરાશ ઊંચાઈ $= \frac{3300}{30} = 110 \, cm$ થશે.

(B) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
સરેરાશ શોધવા માટે,આપણે સરવાળાને $n$ વડે ભાગીએ છીએ: $\text{સરેરાશ} = \frac{S_n}{n} = \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$.
અહીં $n = 46$ આપેલ છે,તેથી સરેરાશ $\frac{46+1}{2} = \frac{47}{2} = 23.5$ થાય.

(D) $13$ પરિણામોનો સરવાળો $= 13 \times 50 = 650$.
પ્રથમ $7$ પરિણામોનો સરવાળો $= 7 \times 52 = 364$.
છેલ્લા $7$ પરિણામોનો સરવાળો $= 7 \times 49 = 343$.
જ્યારે આપણે પ્રથમ $7$ પરિણામો અને છેલ્લા $7$ પરિણામોના સરવાળાનો સરવાળો કરીએ છીએ,ત્યારે $7$મું પરિણામ બે વાર ગણાય છે.
તેથી,$7$મું પરિણામ $= (364 + 343) - 650$.
$= 707 - 650 = 57$.

(B) $18$ વ્યક્તિઓની સરેરાશ ઉંમર $32.5$ વર્ષ છે.
$18$ વ્યક્તિઓની કુલ ઉંમર $= 18 \times 32.5 = 585$ વર્ષ.
સમૂહ છોડી જનાર ત્રણ વ્યક્તિઓની કુલ ઉંમર $= (65 \times 2) + 50 = 130 + 50 = 180$ વર્ષ.
બાકી રહેલી $15$ વ્યક્તિઓની કુલ ઉંમર $= 585 - 180 = 405$ વર્ષ.
બાકી રહેલી $15$ વ્યક્તિઓની સરેરાશ ઉંમર $= \frac{405}{15} = 27$ વર્ષ.

(D) $3$ વિષયો (ભૌતિકવિજ્ઞાન,રસાયણવિજ્ઞાન,જીવવિજ્ઞાન) ના સરેરાશ ગુણ $70$ છે.
$3$ વિષયોના કુલ ગુણ $= 3 \times 70 = 210.$
ગણિતમાં મેળવેલા ગુણ $= 90.$
$4$ વિષયોના કુલ ગુણ $= 210 + 90 = 300.$
$4$ વિષયોની નવી સરેરાશ $= \frac{300}{4} = 75.$

(D) $3$ વ્યક્તિઓનું સરેરાશ વજન $= 65 \, kg$.
$3$ વ્યક્તિઓનું કુલ વજન $= 65 \times 3 = 195 \, kg$.
ચોથી વ્યક્તિનું વજન $= 45 \, kg$.
$4$ વ્યક્તિઓનું કુલ વજન $= 195 + 45 = 240 \, kg$.
નવા જૂથનું સરેરાશ વજન $= \frac{\text{કુલ વજન}}{\text{વ્યક્તિઓની સંખ્યા}} = \frac{240}{4} = 60 \, kg$.

(C) ધારો કે મુસાફરીનું કુલ અંતર $3d$ છે.
મુસાફરીનો દરેક ભાગ $d$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{80}$.
બીજા ભાગ માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{60}$.
ત્રીજા ભાગ માટે લાગતો સમય $t_3 = \frac{d}{30}$.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 + t_3 = d(\frac{1}{80} + \frac{1}{60} + \frac{1}{30})$.
$T = d(\frac{3 + 4 + 8}{240}) = d(\frac{15}{240}) = \frac{d}{16}$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{3d}{d/16} = 3 \times 16 = 48\, km/h$.

(D) ધારો કે $6$ વ્યક્તિઓનું શરૂઆતનું સરેરાશ વજન $A \, kg$ છે.
$6$ વ્યક્તિઓનું કુલ વજન = $6A \, kg$.
જ્યારે $40 \, kg$ વજન ધરાવતી વ્યક્તિને બદલે $W$ વજન ધરાવતો નવો માણસ આવે છે,ત્યારે નવું કુલ વજન $(6A - 40 + W) \, kg$ થાય છે.
નવું સરેરાશ વજન $(A + 5) \, kg$ થાય છે.
તેથી,નવું કુલ વજન $6(A + 5) \, kg$ થાય.
કુલ વજન માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$6A - 40 + W = 6(A + 5)$
$6A - 40 + W = 6A + 30$
$W = 30 + 40 = 70 \, kg$.
વૈકલ્પિક રીતે,ટૂંકી રીતનો ઉપયોગ કરતા:
નવા માણસનું વજન = બદલાયેલી વ્યક્તિનું વજન + (સરેરાશમાં વધારો $\times$ વ્યક્તિઓની સંખ્યા)
$= 40 + (5 \times 6) = 40 + 30 = 70 \, kg$.

(D) શરૂઆતના વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 9$.
શરૂઆતની સરેરાશ ઉંમર $= 20$ વર્ષ.
$9$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $= 9 \times 20 = 180$ વર્ષ.
નવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 9 + 6 = 15$.
નવી સરેરાશ ઉંમર $= 20 - 2 = 18$ વર્ષ.
$15$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $= 15 \times 18 = 270$ વર્ષ.
$6$ નવા વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $= 270 - 180 = 90$ વર્ષ.
$6$ નવા વિદ્યાર્થીઓની સરેરાશ ઉંમર $= \frac{90}{6} = 15$ વર્ષ.

(B) કુલ સરેરાશ સ્કોર તમામ વિદ્યાર્થીઓના કુલ ગુણને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા વડે ભાગીને મેળવવામાં આવે છે.
પ્રથમ જૂથના કુલ ગુણ $= 60 \times 50 = 3000$.
બીજા જૂથના કુલ ગુણ $= 40 \times 45 = 1800$.
બંને જૂથના કુલ ગુણ $= 3000 + 1800 = 4800$.
વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $= 60 + 40 = 100$.
કુલ સરેરાશ સ્કોર $= \frac{4800}{100} = 48$.

(C) જ્યારે મુસાફરી કરેલ અંતર બંને મુસાફરી માટે સમાન હોય ત્યારે સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $\text{Average Speed} = \frac{2xy}{x+y}$ છે,જ્યાં $x$ અને $y$ એ બે મુસાફરીની ઝડપ છે.
અહીં,$x = 60 \, km/h$ અને $y = 20 \, km/h$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{Average Speed} = \frac{2 \times 60 \times 20}{60 + 20}$
$\text{Average Speed} = \frac{2400}{80}$
$\text{Average Speed} = 30 \, km/h$.

(C) ધારો કે વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $100$ છે.
તેથી,બધા વિદ્યાર્થીઓના કુલ ગુણ $= 52 \times 100 = 5200$ થાય.
સૌથી તેજસ્વી $20\%$ વિદ્યાર્થીઓના કુલ ગુણ $= 20 \times 80 = 1600$ થાય.
સૌથી નબળા $25\%$ વિદ્યાર્થીઓના કુલ ગુણ $= 25 \times 31 = 775$ થાય.
બાકીના $55\%$ વિદ્યાર્થીઓના કુલ ગુણ $= 5200 - 1600 - 775 = 2825$ થાય.
તેથી,બાકીના $55\%$ વિદ્યાર્થીઓનો સરેરાશ સ્કોર $= \frac{2825}{55} \approx 51.36$,જે આશરે $51.4$ છે.

(C) $10$ વર્ષ પહેલાં $4$ સભ્યોની સરેરાશ ઉંમર $24$ વર્ષ હતી.
તેથી,$10$ વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમરનો સરવાળો $24 \times 4 = 96$ વર્ષ હતો.
વર્તમાનમાં,$4$ સભ્યોમાંથી દરેકની ઉંમરમાં $10$ વર્ષનો વધારો થયો છે,તેથી તેમની વર્તમાન ઉંમરનો સરવાળો $96 + (4 \times 10) = 96 + 40 = 136$ વર્ષ છે.
ધારો કે બે બાળકોની ઉંમર $x$ અને $x+2$ વર્ષ છે,જ્યાં $x$ એ સૌથી નાના બાળકની ઉંમર છે.
હવે પરિવારના કુલ સભ્યોની સંખ્યા $4 + 2 = 6$ છે.
પરિવારની વર્તમાન સરેરાશ ઉંમર $24$ વર્ષ આપેલી છે.
તેથી,$6$ સભ્યોની ઉંમરનો સરવાળો $24 \times 6 = 144$ વર્ષ થાય.
આપણે સમીકરણ લખી શકીએ: $136 + x + (x + 2) = 144$.
$138 + 2x = 144$.
$2x = 144 - 138$.
$2x = 6$.
$x = 3$.
તેથી,સૌથી નાના બાળકની વર્તમાન ઉંમર $3$ વર્ષ છે.

(C) $A, B$ અને $C$ નું સરેરાશ વજન $= 84 \, kg$.
$A, B, C$ ના વજનનો સરવાળો $= 84 \times 3 = 252 \, kg$ $(1)$.
જ્યારે $D$ જોડાય છે,ત્યારે $4$ પુરુષોનું સરેરાશ વજન $80 \, kg$ થાય છે.
$A, B, C, D$ ના વજનનો સરવાળો $= 80 \times 4 = 320 \, kg$ $(2)$.
$D$ નું વજન $= (2) - (1) = 320 - 252 = 68 \, kg$.
$E$ નું વજન $= D + 3 = 68 + 3 = 71 \, kg$.
જ્યારે $E$ એ $A$ નું સ્થાન લે છે,ત્યારે નવું જૂથ $B, C, D, E$ બને છે જેની સરેરાશ $79 \, kg$ છે.
$B, C, D, E$ ના વજનનો સરવાળો $= 79 \times 4 = 316 \, kg$.
$B + C + D + E = 316 \implies B + C + 68 + 71 = 316$.
$B + C + 139 = 316 \implies B + C = 316 - 139 = 177 \, kg$.
$(1)$ પરથી,$A + B + C = 252$.
$A + 177 = 252$.
$A = 252 - 177 = 75 \, kg$.

(A) ધારો કે ક્રિકેટરની $10$ ઇનિંગ્સની સરેરાશ $x$ છે.
$10$ ઇનિંગ્સમાં બનાવેલા કુલ રન $= 10x$.
$11$મી ઇનિંગમાં તેણે $108$ રન બનાવ્યા.
$11$ ઇનિંગ્સ પછીના કુલ રન $= 10x + 108$.
$11$ ઇનિંગ્સ પછીની નવી સરેરાશ $= x + 6$.
પ્રશ્ન મુજબ,$11$ ઇનિંગ્સ પછીની સરેરાશ $\frac{10x + 108}{11} = x + 6$ છે.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$10x + 108 = 11(x + 6)$
$10x + 108 = 11x + 66$
$11x - 10x = 108 - 66$
$x = 42$.
નવી સરેરાશ $x + 6 = 42 + 6 = 48$ રન છે.

(D) ધારો કે $8$ પુરુષોની શરૂઆતની સરેરાશ ઉંમર $x$ છે.
$8$ પુરુષોની કુલ ઉંમર $= 8x$.
ધારો કે બે નવા પુરુષોની ઉંમર $a$ અને $b$ છે. તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(a + b)$ છે.
જ્યારે $21$ અને $23$ વર્ષની ઉંમરના બે પુરુષોને બદલે બે નવા પુરુષો આવે છે, ત્યારે નવી કુલ ઉંમર $(8x - 21 - 23 + a + b)$ થાય છે.
નવી સરેરાશ $(x + 2)$ આપવામાં આવી છે.
તેથી, $\frac{8x - 44 + (a + b)}{8} = x + 2$.
$8x - 44 + (a + b) = 8(x + 2)$.
$8x - 44 + (a + b) = 8x + 16$.
$(a + b) = 16 + 44 = 60$.
બે નવા પુરુષોની સરેરાશ ઉંમર $\frac{a + b}{2} = \frac{60}{2} = 30\, \text{વર્ષ}$ છે.

(C) $45$ વિદ્યાર્થીઓનું શરૂઆતનું સરેરાશ વજન $= 52 \, kg$ છે.
$45$ વિદ્યાર્થીઓનું કુલ વજન $= 45 \times 52 = 2340 \, kg$ થાય.
વર્ગ છોડીને જનાર $5$ વિદ્યાર્થીઓનું વજન $= 5 \times 48 = 240 \, kg$ થાય.
વર્ગમાં નવા જોડાયેલા $5$ વિદ્યાર્થીઓનું વજન $= 5 \times 54 = 270 \, kg$ થાય.
નવું કુલ વજન $= 2340 - 240 + 270 = 2370 \, kg$ થાય.
વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $45$ જ રહેતી હોવાથી,નવું સરેરાશ વજન $= \frac{2370}{45} = \frac{474}{9} = \frac{158}{3} = 52 \frac{2}{3} \, kg$ થાય.

(C) $36$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $= 36 \times 14 = 504$ વર્ષ.
જ્યારે શિક્ષકની ઉંમર ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $36 + 1 = 37$ થાય છે.
નવી સરેરાશ ઉંમર $14 + 1 = 15$ વર્ષ થાય છે.
$37$ વ્યક્તિઓની કુલ ઉંમર $= 37 \times 15 = 555$ વર્ષ.
શિક્ષકની ઉંમર $= (\text{37 વ્યક્તિઓની કુલ ઉંમર}) - (\text{36 વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર})$.
શિક્ષકની ઉંમર $= 555 - 504 = 51$ વર્ષ.

(D) $A, B$ અને $C$ ના વજનનો સરવાળો $3 \times 54 \frac{1}{3} = 3 \times \frac{163}{3} = 163 \, kg$ છે.
$B, D$ અને $E$ ના વજનનો સરવાળો $3 \times 53 = 159 \, kg$ છે.
આ બંને સરવાળાનો ઉમેરો કરતા $(A + B + C) + (B + D + E) = 163 + 159 = 322 \, kg$ મળે છે.
આ સમીકરણ $A + 2B + C + D + E = 322 \, kg$ તરીકે લખી શકાય.
$A, B, C, D$ અને $E$ ની સરેરાશ શોધવા માટે,આપણે $(A + B + C + D + E)$ નો સરવાળો જાણવો જરૂરી છે.
અહીં $B$ ની કિંમત અજ્ઞાત હોવાથી,આપણે કુલ સરવાળો $(A + B + C + D + E) = 322 - B$ નક્કી કરી શકતા નથી.
તેથી,આપેલી માહિતી પરથી સરેરાશ વજનની ગણતરી કરી શકાય તેમ નથી.

(C) આપેલ છે કે $50$ અવલોકનોનો મધ્યક $36$ છે.
$50$ અવલોકનોનો સરવાળો $= 50 \times 36 = 1800$.
માલૂમ પડ્યું કે એક અવલોકન $48$ ને ભૂલથી $23$ તરીકે લેવામાં આવ્યું હતું.
સુધારેલો સરવાળો $= 1800 - 23 + 48 = 1825$.
સુધારેલો નવો મધ્યક $= \frac{1825}{50} = 36.5$.

(C) ધારો કે ત્રીજી સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,બીજી સંખ્યા $= 2x$ થાય.
પ્રથમ સંખ્યા $= 2 \times (2x) = 4x$ થાય.
આ સંખ્યાઓના વ્યસ્ત $\frac{1}{4x}, \frac{1}{2x}, \text{ અને } \frac{1}{x}$ છે.
તેમના વ્યસ્તનો સરેરાશ $\frac{1}{3} \left( \frac{1}{4x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{x} \right) = \frac{7}{72}$ છે.
કૌંસમાં રહેલા પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1+2+4}{4x} = \frac{7}{4x}$.
તેથી,$\frac{1}{3} \times \frac{7}{4x} = \frac{7}{12x} = \frac{7}{72}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$12x = 72$,જેનો અર્થ છે કે $x = 6$.
આમ,સંખ્યાઓ $4x = 24$,$2x = 12$,અને $x = 6$ છે.

(A) પ્રથમ $10$ ઓવરમાં બનાવેલા રન $= 3.2 \times 10 = 32$ રન.
$282$ રનનો લક્ષ્યાંક પ્રાપ્ત કરવા માટે,બાકી રહેલા જરૂરી રન $= 282 - 32 = 250$ રન.
બાકી રહેલી ઓવર $= 40$ ઓવર.
તેથી,બાકીની $40$ ઓવર માટે જરૂરી રન રેટ $= \frac{250}{40} = 6.25$ રન પ્રતિ ઓવર.

(B) $6$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 3.95 \times 6 = 23.70$.
પ્રથમ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 3.4 \times 2 = 6.8$.
બીજી બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 3.85 \times 2 = 7.7$.
બાકીની બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 23.70 - (6.8 + 7.7) = 23.70 - 14.50 = 9.20$.
બાકીની બે સંખ્યાઓની સરેરાશ $= \frac{9.20}{2} = 4.60$.

(C) ધારો કે જૂથ $B$ ના સરેરાશ ગુણ $x$ છે.
તમામ $16$ બાળકોના કુલ ગુણ $= 16 \times 76 = 1216$.
જૂથ $A$ ના કુલ ગુણ $= 10 \times 75 = 750$.
જૂથ $B$ ના કુલ ગુણ $= 6 \times x = 6x$.
જૂથ $A$ અને જૂથ $B$ ના કુલ ગુણ એ તમામ $16$ બાળકોના કુલ ગુણ જેટલા હોવાથી:
$750 + 6x = 1216$.
$6x = 1216 - 750 = 466$.
$x = \frac{466}{6} = \frac{233}{3} = 77 \frac{2}{3} \%$.

(D) $5$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $27 \times 5 = 135$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
જ્યારે એક સંખ્યા બાકાત રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સંખ્યાઓની સંખ્યા $4$ થઈ જાય છે અને નવી સરેરાશ $25$ થાય છે.
બાકી રહેલી $4$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $25 \times 4 = 100$ છે.
બાકાત રાખેલી સંખ્યા એ મૂળ સરવાળા અને નવા સરવાળા વચ્ચેનો તફાવત છે:
બાકાત રાખેલી સંખ્યા $= 135 - 100 = 35$.

(C) ધારો કે $9$ વ્યક્તિઓ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ ખર્ચ $x$ છે.
બધી $9$ વ્યક્તિઓનો સરેરાશ ખર્ચ $\frac{x}{9}$ છે.
પ્રથમ $8$ વ્યક્તિઓનો ખર્ચ $8 \times 30 = 240$ છે.
નવમી વ્યક્તિનો ખર્ચ $\frac{x}{9} + 20$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તમામ $9$ વ્યક્તિઓના ખર્ચનો સરવાળો કુલ ખર્ચ $x$ જેટલો થાય છે:
$240 + (\frac{x}{9} + 20) = x$
$260 + \frac{x}{9} = x$
$260 = x - \frac{x}{9}$
$260 = \frac{8x}{9}$
$x = \frac{260 \times 9}{8}$
$x = 32.5 \times 9 = 292.5$
આમ,તે બધા દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ ખર્ચ $Rs. 292.50$ છે.

(B) પરિવારમાં $2$ દાદા-દાદી,$2$ માતા-પિતા અને $3$ પૌત્ર-પૌત્રીઓ છે,આમ કુલ સભ્યોની સંખ્યા $2 + 2 + 3 = 7$ છે.
દાદા-દાદીની કુલ ઉંમર $= 2 \times 67 = 134 \text{ વર્ષ}$.
માતા-પિતાની કુલ ઉંમર $= 2 \times 35 = 70 \text{ વર્ષ}$.
પૌત્ર-પૌત્રીઓની કુલ ઉંમર $= 3 \times 6 = 18 \text{ વર્ષ}$.
પરિવારની કુલ ઉંમર $= 134 + 70 + 18 = 222 \text{ વર્ષ}$.
પરિવારની સરેરાશ ઉંમર $= \frac{\text{કુલ ઉંમર}}{\text{કુલ સભ્યોની સંખ્યા}} = \frac{222}{7} = 31 \frac{5}{7} \text{ વર્ષ}$.

(B) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ $(x-2)$,$x$,અને $(x+2)$ છે.
આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $(x-2) + x + (x+2) = 3x$ થાય છે.
આ સંખ્યાઓની સરેરાશ $\frac{3x}{3} = x$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સરવાળો એ સરેરાશ કરતાં $38$ વધારે છે:
$3x = x + 38$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા:
$2x = 38$
$2$ વડે ભાગતા:
$x = 19$.
પ્રથમ સંખ્યા $(x-2) = 19 - 2 = 17$ છે.

(C) ધારો કે $7$ ક્રમિક સંખ્યાઓ $x, (x+1), (x+2), (x+3), (x+4), (x+5),$ અને $(x+6)$ છે.
આ સંખ્યાઓની સરેરાશ તેમના સરવાળાને કુલ સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે:
$\text{સરેરાશ} = \frac{x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) + (x+5) + (x+6)}{7} = \frac{7x + 21}{7} = x + 3$.
આપેલ છે કે સરેરાશ $20$ છે,તેથી:
$x + 3 = 20$
$x = 20 - 3 = 17$.
સૌથી મોટી સંખ્યા $(x + 6)$ છે.
$x = 17$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\text{સૌથી મોટી સંખ્યા} = 17 + 6 = 23$.

(C) બે અંકની સંખ્યા $xy$ (જ્યાં $x$ દશકનો અંક છે અને $y$ એકમનો અંક છે) તેના અંકોની અદલાબદલી કરવા છતાં સમાન રહે છે જો $x = y$ હોય.
આવી સંખ્યાઓ $11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99$ છે.
કુલ $9$ આવી સંખ્યાઓ છે.
આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + 88 + 99 = 11(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)$ થાય.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $11 \times \frac{9(10)}{2} = 11 \times 45 = 495$ મળે છે.
સરેરાશ $= \frac{\text{સરવાળો}}{\text{સંખ્યા}} = \frac{495}{9} = 55$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ નો મધ્યક $M$ છે,તેથી $\frac{a+b+c}{3} = M$,જેનો અર્થ છે કે $a+b+c = 3M$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(a+b+c)^2 = (3M)^2 = 9M^2$ મળે છે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 9M^2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $ab + bc + ca = 0$,તેથી સમીકરણ $a^2 + b^2 + c^2 = 9M^2$ માં પરિણમે છે.
$a^2, b^2, c^2$ નો મધ્યક $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3}$ છે.
કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{9M^2}{3} = 3M^2$ મળે છે.

(C) પ્રથમ નવ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ અને $23$ છે.
આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 = 100$ થાય છે.
સરેરાશ એ સંખ્યાઓનો સરવાળો ભાગ્યા કુલ સંખ્યાઓ છે.
સરેરાશ $= \frac{100}{9} = 11 \frac{1}{9}$.

(B) $6$ અને $34$ ની વચ્ચેની $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $10, 15, 20, 25$ અને $30$ છે.
સરેરાશ શોધવા માટે,આપણે આ સંખ્યાઓનો સરવાળો કરીશું અને તેને કુલ સંખ્યા વડે ભાગીશું:
સરવાળો $= 10 + 15 + 20 + 25 + 30 = 100$.
કુલ સંખ્યા $= 5$.
સરેરાશ $= \frac{\text{સરવાળો}}{\text{કુલ સંખ્યા}} = \frac{100}{5} = 20$.

(B) સરેરાશ શોધવાનું સૂત્ર $\text{સરેરાશ} = \frac{\text{અવલોકનોનો સરવાળો}}{\text{અવલોકનોની સંખ્યા}}$ છે.
અહીં કુલ $12$ સંખ્યાઓ છે અને તેમની સરેરાશ $12$ આપેલી છે.
તેથી,આ $12$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $12 \times 12 = 144$ થાય.
આપેલ $11$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $3 + 11 + 7 + 9 + 15 + 13 + 8 + 19 + 17 + 21 + 14 = 137$ થાય છે.
ધારો કે અજ્ઞાત સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,$137 + x = 144$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 144 - 137 = 7$ મળે છે.

(B) $5$ અવલોકનોનો મધ્યક એ અવલોકનોના સરવાળાને અવલોકનોની સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે.
$\frac{x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8)}{5} = 11$
$\frac{5x + 20}{5} = 11$
$x + 4 = 11$
$x = 11 - 4 = 7$
છેલ્લા ત્રણ અવલોકનો $(x+4), (x+6)$ અને $(x+8)$ છે.
છેલ્લા ત્રણ અવલોકનોનો મધ્યક $= \frac{(x+4) + (x+6) + (x+8)}{3} = \frac{3x + 18}{3} = x + 6.$
$x = 7$ મૂકતા,આપણને $7 + 6 = 13$ મળે છે.

(A) ધારો કે શૂન્યતર સંખ્યા $x$ છે.
સંખ્યા $x$ અને તેના વર્ગ $x^2$ ની સરેરાશ $\frac{x + x^2}{2}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ સરેરાશ તે સંખ્યાના $5$ ગણી છે:
$\frac{x + x^2}{2} = 5x$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$x + x^2 = 10x$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$x^2 - 9x = 0$
$x$ સામાન્ય લેતા:
$x(x - 9) = 0$
આપેલ છે કે સંખ્યા શૂન્યતર છે $(x \neq 0)$,તેથી:
$x - 9 = 0$
$x = 9$
આમ,તે સંખ્યા $9$ છે.

(D) આખા વર્ગની સરેરાશ ઉંમર નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $\text{સરેરાશ} = \frac{\text{ઉંમરનો કુલ સરવાળો}}{\text{વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા}}$.
ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $n_b$ છે અને છોકરીઓની સંખ્યા $n_g$ છે.
છોકરાઓની કુલ ઉંમર $16 \times n_b$ છે અને છોકરીઓની કુલ ઉંમર $15 \times n_g$ છે.
આખા વર્ગની સરેરાશ ઉંમર $\frac{16n_b + 15n_g}{n_b + n_g}$ થાય.
છોકરાઓ અને છોકરીઓની સંખ્યા કે તેમનો ગુણોત્તર આપેલ ન હોવાથી,ભારિત સરેરાશ (weighted average) નક્કી કરી શકાતી નથી.
તેથી,જવાબ એ છે કે તેને આપેલી માહિતી પરથી ગણી શકાય નહીં.

(D) રવિવારથી શરૂ થતા $30$ દિવસના મહિનામાં,રવિવાર $1, 8, 15, 22$ અને $29$ તારીખે આવશે. આમ,કુલ $5$ રવિવાર અને $30 - 5 = 25$ અન્ય દિવસો છે.
મહિનામાં મુલાકાતીઓની કુલ સંખ્યા $= (5 \times 510) + (25 \times 240)$ છે.
કુલ મુલાકાતીઓ $= 2550 + 6000 = 8550$.
પ્રતિ દિવસ મુલાકાતીઓની સરેરાશ સંખ્યા $= \frac{8550}{30} = 285$ થાય.

(D) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $55 + 60 + 45 = 160$ છે.
બધા વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા મેળવેલા કુલ ગુણ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
કુલ ગુણ $= (55 \times 50) + (60 \times 55) + (45 \times 60)$
$= 2750 + 3300 + 2700 = 8750$.
બધા વિદ્યાર્થીઓના સરેરાશ ગુણ આ મુજબ મળે:
સરેરાશ $= \frac{\text{કુલ ગુણ}}{\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓ}} = \frac{8750}{160} = \frac{875}{16} = 54.6875$.

(A) પ્રથમ વર્ષમાં વપરાયેલ પેટ્રોલ $= \frac{4000}{7.5}$ લિટર.
બીજા વર્ષમાં વપરાયેલ પેટ્રોલ $= \frac{4000}{8}$ લિટર.
ત્રીજા વર્ષમાં વપરાયેલ પેટ્રોલ $= \frac{4000}{8.5}$ લિટર.
કુલ ખર્ચ $= 4000 + 4000 + 4000 = 12000$ Rs.
કુલ વપરાયેલ પેટ્રોલ $= 4000 \times (\frac{1}{7.5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8.5})$ લિટર.
સરેરાશ ભાવ પ્રતિ લિટર $= \frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{કુલ પેટ્રોલ}} = \frac{12000}{4000 \times (\frac{1}{7.5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8.5})} = \frac{3}{\frac{1}{7.5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8.5}}$.
છેદની ગણતરી કરતા: $\frac{1}{7.5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8.5} \approx 0.1333 + 0.125 + 0.1176 = 0.3759$.
સરેરાશ ભાવ $= \frac{3}{0.3759} \approx 7.98$ Rs./લિટર.

(D) $50$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $50 \times 30 = 1500$ થાય છે.
જ્યારે બે સંખ્યાઓ,$35$ અને $40$ ને દૂર કરવામાં આવે,ત્યારે નવો સરવાળો $1500 - (35 + 40) = 1500 - 75 = 1425$ થાય છે.
બાકી રહેલી સંખ્યાઓનો કુલ જથ્થો $50 - 2 = 48$ છે.
બાકી રહેલી $48$ સંખ્યાઓનો સરેરાશ $\frac{1425}{48} = 29.6875$ થાય છે.
આને બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને આશરે $29.69$ મળે છે,જે $29.68$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) $35$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $= 35 \times 16 = 560$ વર્ષ.
$21$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $= 21 \times 14 = 294$ વર્ષ.
બાકીના $14$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $= 560 - 294 = 266$ વર્ષ.
બાકીના $14$ વિદ્યાર્થીઓની સરેરાશ ઉંમર $= \frac{266}{14} = 19$ વર્ષ.

(C) $20$ કર્મચારીઓનો સરેરાશ માસિક પગાર $Rs. 1500$ છે.
$20$ કર્મચારીઓનો કુલ પગાર $= 20 \times 1500 = Rs. 30,000$.
ધારો કે મેનેજરનો પગાર $x$ છે.
મેનેજરને ઉમેર્યા પછી, કર્મચારીઓની કુલ સંખ્યા $20 + 1 = 21$ થાય છે.
નવી સરેરાશમાં $Rs. 100$ નો વધારો થાય છે, તેથી નવી સરેરાશ $= 1500 + 100 = Rs. 1600$ થાય.
$21$ કર્મચારીઓનો કુલ પગાર $= 21 \times 1600 = Rs. 33,600$.
મેનેજરનો પગાર $x = (21 \text{ કર્મચારીઓનો કુલ પગાર}) - (20 \text{ કર્મચારીઓનો કુલ પગાર})$.
$x = 33,600 - 30,000 = Rs. 3,600$.

(B) ધારો કે $P$,$Q$,અને $R$ એ ત્રણ વ્યક્તિઓની માસિક આવક છે.
આપેલ છે:
$P + Q = 2 \times 5050 = 10100$ ....$(1)$
$Q + R = 2 \times 6250 = 12500$ ....$(2)$
$P + R = 2 \times 5200 = 10400$ ....$(3)$
સમીકરણ $(1)$,$(2)$,અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(P + Q + R) = 10100 + 12500 + 10400 = 33000$
$P + Q + R = 16500$ ....$(4)$
$P$ ની માસિક આવક શોધવા માટે,સમીકરણ $(4)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરો:
$P = (P + Q + R) - (Q + R)$
$P = 16500 - 12500 = 4000$
આમ,$P$ ની માસિક આવક $Rs. 4000$ છે.

(A) $15$ વિદ્યાર્થીઓની કુલ ઉંમર $= 15 \times 15 = 225 \text{ વર્ષ}$.
$5$ વિદ્યાર્થીઓની ઉંમરનો સરવાળો $= 5 \times 14 = 70 \text{ વર્ષ}$.
$9$ વિદ્યાર્થીઓની ઉંમરનો સરવાળો $= 9 \times 16 = 144 \text{ વર્ષ}$.
$15$ મા વિદ્યાર્થીની ઉંમર $= \text{કુલ ઉંમર} - (5 \text{ વિદ્યાર્થીઓની ઉંમરનો સરવાળો} + 9 \text{ વિદ્યાર્થીઓની ઉંમરનો સરવાળો})$.
$15$ મા વિદ્યાર્થીની ઉંમર $= 225 - (70 + 144) = 225 - 214 = 11 \text{ વર્ષ}$.

(D) આપેલ છે કે $A, B$ અને $C$ નું સરેરાશ વજન $45\, kg$ છે.
$A + B + C$ નું કુલ વજન $= 45 \times 3 = 135\, kg$ .....$(1)$
$A$ અને $B$ નું સરેરાશ વજન $40\, kg$ છે.
$A + B$ નું કુલ વજન $= 40 \times 2 = 80\, kg$ .....$(2)$
$B$ અને $C$ નું સરેરાશ વજન $43\, kg$ છે.
$B + C$ નું કુલ વજન $= 43 \times 2 = 86\, kg$ .....$(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(A + B) + (B + C) = 80 + 86 = 166\, kg$
$A + 2B + C = 166\, kg$ .....$(4)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(A + 2B + C) - (A + B + C) = 166 - 135$
$B = 31\, kg$
તેથી,$B$ નું વજન $31\, kg$ છે.

(C) $8$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 8 \times 20 = 160$ ....$(1)$
પ્રથમ $2$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 2 \times 15 \frac{1}{2} = 31$ ....$(2)$
પછીની $3$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 3 \times 21 \frac{1}{3} = 64$ ....$(3)$
ધારો કે છઠ્ઠી સંખ્યા $x$ છે.
તો,સાતમી સંખ્યા $= x + 4$ અને આઠમી સંખ્યા $= x + 7$ થાય.
છેલ્લી $3$ સંખ્યાઓનો સરવાળો (છઠ્ઠી,સાતમી અને આઠમી) $= 160 - (31 + 64) = 160 - 95 = 65$.
તેથી,$x + (x + 4) + (x + 7) = 65$.
$3x + 11 = 65$.
$3x = 54$.
$x = 18$.
આઠમી સંખ્યા $= x + 7 = 18 + 7 = 25$.

(D) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $x, y$ અને $z$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ અને બીજી સંખ્યાની સરેરાશ,બીજી અને ત્રીજી સંખ્યાની સરેરાશ કરતાં $15$ વધારે છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{x+y}{2} = \frac{y+z}{2} + 15$.
બંને બાજુથી $\frac{y}{2}$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{x}{2} = \frac{z}{2} + 15$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{x}{2} - \frac{z}{2} = 15$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $x - z = 30$.
આમ,પ્રથમ અને ત્રીજી સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત $30$ છે.