Average Questions in Gujarati

(C) $12$ મહિનામાં કુલ ખર્ચ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
કુલ ખર્ચ $= (269.47 \times 7) + (281.05 \times 5)$
કુલ ખર્ચ $= 1886.29 + 1405.25 = 3291.54 \text{ Rs.}$
કુલ આવક એ કુલ ખર્ચ અને કુલ બચતનો સરવાળો છે:
કુલ આવક $= 3291.54 + 308.46 = 3600.00 \text{ Rs.}$
માસિક પગાર એ કુલ વાર્ષિક આવકને $12$ મહિના વડે ભાગતા મળે છે:
માસિક પગાર $= 3600 / 12 = 300 \text{ Rs.}$

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે,જ્યાં $x$ એ નાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે બે સંખ્યાઓની સરેરાશ $62$ છે,તેથી:
$\frac{x+y}{2} = 62 \Rightarrow x+y = 124$ --- (સમીકરણ $1$)
પ્રશ્ન મુજબ,જો નાની સંખ્યા $x$ માં $2$ ઉમેરવામાં આવે,તો ગુણોત્તર $1:2$ થાય છે:
$\frac{x+2}{y} = \frac{1}{2}$
$2(x+2) = y$
$y = 2x + 4$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી $y$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$x + (2x + 4) = 124$
$3x + 4 = 124$
$3x = 120$
$x = 40$
આમ,નાની સંખ્યા $40$ છે.

(A) પ્રતિ વૃક્ષ સરેરાશ ઉપજ એ કુલ નાળિયેરની સંખ્યાને કુલ વૃક્ષોની સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે.
કુલ નાળિયેરની સંખ્યા = $(x+2) \times 60 + x \times 120 + (x-2) \times 180$
કુલ વૃક્ષોની સંખ્યા = $(x+2) + x + (x-2) = 3x$
આપેલ છે કે સરેરાશ ઉપજ $100$ છે,તેથી આપણે સમીકરણ બનાવીએ:
$\frac{(x+2) \times 60 + x \times 120 + (x-2) \times 180}{3x} = 100$
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$(60x + 120) + 120x + (180x - 360) = 100 \times 3x$
$360x - 240 = 300x$
$360x - 300x = 240$
$60x = 240$
$x = 4$

(D) ધારો કે $4^{th} \, \text{દિવસનું}$ તાપમાન $x^{\circ} \text{C}$ છે。
પ્રથમ $4 \, \text{દિવસોના}$ તાપમાનનો સરવાળો $= 4 \times 38.6 = 154.4^{\circ} \text{C}$.
છેલ્લા $4 \, \text{દિવસોના}$ તાપમાનનો સરવાળો $= 4 \times 40.3 = 161.2^{\circ} \text{C}$.
આખા અઠવાડિયા $(7 \, \text{દિવસો})$ ના તાપમાનનો સરવાળો $= 7 \times 39.1 = 273.7^{\circ} \text{C}$.
$4^{th} \, \text{દિવસ}$ પ્રથમ $4 \, \text{દિવસો}$ અને છેલ્લા $4 \, \text{દિવસો}$ બંનેમાં ગણાય છે, તેથી:
$(154.4 + 161.2) - x = 273.7$
$315.6 - x = 273.7$
$x = 315.6 - 273.7 = 41.9^{\circ} \text{C}$.
તેથી, $4^{th} \, \text{દિવસનું}$ તાપમાન $41.9^{\circ} \text{C}$ છે.

(C) ધારો કે $C$ ની દૈનિક મજૂરી $x$ છે.
તેથી,$A$ ની દૈનિક મજૂરી $= 2x$ થશે.
અને,$B$ ની દૈનિક મજૂરી $= x + 40$ થશે.
$A, B$ અને $C$ ની સરેરાશ દૈનિક મજૂરી $\frac{A + B + C}{3} = 120$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2x + (x + 40) + x}{3} = 120$.
$\frac{4x + 40}{3} = 120$.
$4x + 40 = 360$.
$4x = 320$.
$x = 80$.
તેથી,$A$ ની દૈનિક મજૂરી $= 2x = 2 \times 80 = Rs. 160$ થાય.

(C) ધારો કે મુસાફરીનું કુલ અંતર $x \, km$ છે.
$40 \, km/h$ ની ઝડપે લાગતો સમય $t_1 = \frac{x}{40} \, \text{hours}$ છે.
$35 \, km/h$ ની ઝડપે લાગતો સમય $t_2 = \frac{x}{35} \, \text{hours}$ છે.
સમયનો તફાવત $15 \, \text{minutes}$ છે,જે $\frac{15}{60} = \frac{1}{4} \, \text{hours}$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ: $\frac{x}{35} - \frac{x}{40} = \frac{1}{4}$.
લસાઅ લેતા: $\frac{40x - 35x}{35 \times 40} = \frac{1}{4}$.
$\frac{5x}{1400} = \frac{1}{4}$.
$x = \frac{1400}{5 \times 4} = \frac{1400}{20} = 70 \, km$.
આમ,કુલ મુસાફરી $70 \, km$ છે.

(C) ધારો કે ઉમેદવારોની કુલ સંખ્યા $x$ છે.
શરૂઆતમાં,બધા ઉમેદવારો દ્વારા મેળવેલા કુલ ગુણ $= 45x$.
જ્યારે $90$ ઉમેદવારોના ગુણ $80$ થી બદલીને $50$ કરવામાં આવ્યા,ત્યારે દરેક ઉમેદવાર માટે ગુણમાં ઘટાડો $80 - 50 = 30$ થયો.
$90$ ઉમેદવારો માટે કુલ ઘટાડો $= 90 \times 30 = 2700$.
નવા કુલ ગુણ $= 45x - 2700$.
નવી સરેરાશ $40$ આપવામાં આવી છે.
તેથી,$\frac{45x - 2700}{x} = 40$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $45x - 2700 = 40x$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$45x - 40x = 2700$.
$5x = 2700$.
$x = \frac{2700}{5} = 540$.
આમ,ઉમેદવારોની કુલ સંખ્યા $540$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ,બીજા અને ત્રીજા દિવસે મુલાકાતીઓની સંખ્યા અનુક્રમે $2x, 5x$ અને $13x$ છે.
મુલાકાતીઓની કુલ સંખ્યા $= 2x + 5x + 13x = 20x$.
એકત્રિત થયેલ કુલ રકમ $= (2x \times 15) + (5x \times 7.50) + (13x \times 2.50)$.
કુલ રકમ $= 30x + 37.5x + 32.5x = 100x$.
મુલાકાતી દીઠ સરેરાશ ચાર્જ $= \frac{\text{કુલ રકમ}}{\text{કુલ મુલાકાતીઓ}} = \frac{100x}{20x} = 5$.
આમ,મુલાકાતી દીઠ સરેરાશ ચાર્જ $Rs. 5$ છે.

(D) $30$ દિવસ માટે કુલ નફો $= 30 \times 350 = Rs. 10500$.
પ્રથમ $15$ દિવસ માટે નફો $= 15 \times 275 = Rs. 4125$.
છેલ્લા $15$ દિવસ માટે નફો $= 10500 - 4125 = Rs. 6375$.
તેથી,છેલ્લા $15$ દિવસ માટે સરેરાશ નફો $= \frac{6375}{15} = Rs. 425$.

(A) ધારો કે છેલ્લી મેચ પહેલા લીધેલી વિકેટની સંખ્યા $x$ છે.
છેલ્લી મેચ પહેલા આપેલા કુલ રન $= 12.4x$ થાય.
છેલ્લી મેચમાં,તેણે $26$ રન આપીને $5$ વિકેટ લીધી.
છેલ્લી મેચ પછી કુલ વિકેટ $= x + 5$ થાય.
છેલ્લી મેચ પછી કુલ રન $= 12.4x + 26$ થાય.
નવી સરેરાશ $12.4 - 0.4 = 12.0$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી સરેરાશ $\frac{12.4x + 26}{x + 5} = 12$ છે.
બંને બાજુ $(x + 5)$ વડે ગુણતા,આપણને $12.4x + 26 = 12(x + 5)$ મળે છે.
$12.4x + 26 = 12x + 60$.
$12.4x - 12x = 60 - 26$.
$0.4x = 34$.
$x = \frac{34}{0.4} = \frac{340}{4} = 85$.
તેથી,છેલ્લી મેચ પહેલા લીધેલી વિકેટની સંખ્યા $85$ છે.

(A) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $x, y,$ અને $z$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$x = 2y$ અને $x = \frac{1}{2}z$,જેનો અર્થ છે કે $z = 2x = 2(2y) = 4y$.
તેથી,સંખ્યાઓ $2y, y,$ અને $4y$ છે.
ત્રણેય સંખ્યાઓની સરેરાશ $56$ આપેલી છે.
$\frac{2y + y + 4y}{3} = 56$
$\frac{7y}{3} = 56$
$7y = 56 \times 3$
$y = \frac{168}{7} = 24$.
હવે,સંખ્યાઓની ગણતરી કરતા:
પ્રથમ સંખ્યા $= 2y = 2 \times 24 = 48$.
બીજી સંખ્યા $= y = 24$.
ત્રીજી સંખ્યા $= 4y = 4 \times 24 = 96$.
આમ,ક્રમમાં સંખ્યાઓ $48, 24, 96$ છે.

(B) ધારો કે શરૂઆતનો સરેરાશ ખર્ચ $Rs. x$ છે.
તેથી,શરૂઆતનો કુલ ખર્ચ $= 35x$.
જ્યારે $7$ વધુ વિદ્યાર્થીઓ જોડાય છે,ત્યારે વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $35 + 7 = 42$ થાય છે.
નવો કુલ ખર્ચ $35x + 42$ થાય છે.
નવો સરેરાશ ખર્ચ $\frac{35x + 42}{42}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી સરેરાશ $x - 1$ છે.
તેથી,$\frac{35x + 42}{42} = x - 1$.
$35x + 42 = 42(x - 1)$.
$35x + 42 = 42x - 42$.
$42x - 35x = 42 + 42$.
$7x = 84$.
$x = 12$.
મેસનો વાસ્તવિક (શરૂઆતનો) ખર્ચ $= 35 \times 12 = Rs. 420$.

(A) $50$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $50 \times 38 = 1900$ થાય છે.
જ્યારે બે સંખ્યાઓ,$45$ અને $55$ ને દૂર કરવામાં આવે,ત્યારે બાકી રહેલી $48$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $1900 - (45 + 55) = 1900 - 100 = 1800$ થાય છે.
બાકી રહેલી $48$ સંખ્યાઓનો સરેરાશ $\frac{1800}{48} = 37.5$ છે.

(D) ધારો કે $11$ છોકરાઓનું પ્રારંભિક સરેરાશ વજન $A \,kg$ છે.
ટીમનું કુલ વજન $= 11A \,kg$ થાય.
જ્યારે $42 \,kg$ વજન ધરાવતા ખેલાડીને બદલે $W \,kg$ વજન ધરાવતો નવો ખેલાડી આવે છે,ત્યારે નવું કુલ વજન $(11A - 42 + W) \,kg$ થાય છે.
નવું સરેરાશ વજન $(A + 0.1) \,kg$ થાય છે (કારણ કે $100 \,g = 0.1 \,kg$).
તેથી,નવું કુલ વજન $11(A + 0.1) \,kg$ થાય.
નવા કુલ વજન માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$11A - 42 + W = 11A + 1.1$
$W - 42 = 1.1$
$W = 42 + 1.1 = 43.1 \,kg$.
આમ,નવા ખેલાડીનું વજન $43.1 \,kg$ છે.

(C) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક સંખ્યાઓ $n-1, n,$ અને $n+1$ છે. તેમની સરેરાશ $\frac{(n-1) + n + (n+1)}{3} = \frac{3n}{3} = n$ છે.
પછીની બે ક્રમિક સંખ્યાઓ $n+2$ અને $n+3$ છે.
હવે,આ પાંચ સંખ્યાઓનો સરવાળો $(n-1) + n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 5n + 5$ થાય છે.
પાંચ સંખ્યાઓની નવી સરેરાશ $\frac{5n + 5}{5} = n + 1$ છે.
તેથી,સરેરાશમાં $(n + 1) - n = 1$ નો વધારો થાય છે.

(D) $20$ કામદારોનો કુલ માસિક પગાર $= 20 \times 1900 = Rs. 38000$.
$21$ વ્યક્તિઓનો કુલ માસિક પગાર (મેનેજર સહિત) $= 21 \times 2000 = Rs. 42000$.
મેનેજરનો માસિક પગાર $= 42000 - 38000 = Rs. 4000$.
મેનેજરનો વાર્ષિક પગાર $= 4000 \times 12 = Rs. 48000$.

(D) ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $x$ છે અને છોકરીઓની સંખ્યા $y$ છે.
છોકરાઓની ઉંમરનો સરવાળો $= 16.4x$.
છોકરીઓની ઉંમરનો સરવાળો $= 15.4y$.
બધા વિદ્યાર્થીઓની સરેરાશ ઉંમર કુલ ઉંમરના સરવાળાને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે:
$\frac{16.4x + 15.4y}{x + y} = 15.8$.
બંને બાજુ $(x + y)$ વડે ગુણતા:
$16.4x + 15.4y = 15.8(x + y)$.
$16.4x + 15.4y = 15.8x + 15.8y$.
$x$ અને $y$ વાળા પદોને એક બાજુ લાવતા:
$16.4x - 15.8x = 15.8y - 15.4y$.
$0.6x = 0.4y$.
તેથી, છોકરાઓ અને છોકરીઓનો ગુણોત્તર $\frac{x}{y} = \frac{0.4}{0.6} = \frac{2}{3}$ થાય.
આમ, ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(A) પ્રથમ પાંચ મહિનાનો કુલ ખર્ચ $= 5 \times 3600 = Rs.\, 18000$.
પછીના સાત મહિનાનો કુલ ખર્ચ $= 7 \times 3900 = Rs.\, 27300$.
બચત $= Rs.\, 8700$.
વર્ષ દરમિયાન કુલ આવક $= 18000 + 27300 + 8700 = Rs.\, 54000$.
$\therefore$ દર મહિને સરેરાશ આવક $= \frac{54000}{12} = Rs.\, 4500$.

(C) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $x, y,$ અને $z$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજી સંખ્યા $y$ એ પ્રથમ સંખ્યા $x$ કરતા બમણી છે,તેથી $y = 2x$.
બીજી સંખ્યા $y$ એ ત્રીજી સંખ્યા $z$ કરતા ત્રણ ગણી છે,તેથી $y = 3z$,જેનો અર્થ છે કે $z = y/3 = 2x/3$.
ત્રણ સંખ્યાઓ $x, 2x,$ અને $2x/3$ છે.
આ ત્રણ સંખ્યાઓની સરેરાશ $44$ આપેલી છે,તેથી:
$(x + 2x + 2x/3) / 3 = 44$
$(3x + 2x/3) / 3 = 44$
$(9x + 2x) / 9 = 44$
$11x / 9 = 44$
$x = (44 \times 9) / 11 = 36$.
તેથી સંખ્યાઓ $x = 36$,$y = 2(36) = 72$,અને $z = 72/3 = 24$ છે.
$36, 72,$ અને $24$ માં સૌથી મોટી સંખ્યા $72$ છે.

(B) સમિતિની શરૂઆતની કુલ ઉંમર = $8 \times 40 = 320 \text{ વર્ષ}$.
જ્યારે $55 \text{ વર્ષ}$ની ઉંમરનો સભ્ય નિવૃત્ત થાય અને તેના સ્થાને $39 \text{ વર્ષ}$ની ઉંમરનો સભ્ય આવે,ત્યારે કુલ ઉંમરમાં થતો ફેરફાર = $39 - 55 = -16 \text{ વર્ષ}$.
સમિતિની નવી કુલ ઉંમર = $320 - 16 = 304 \text{ વર્ષ}$.
નવી સરેરાશ ઉંમર = $\frac{304}{8} = 38 \text{ વર્ષ}$.

(D) $100$ અને $200$ ની વચ્ચે $13$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ અને અંતિમ ગુણક શોધીએ છીએ.
$100$ થી મોટી $13$ ની પ્રથમ ગુણક સંખ્યા $13 \times 8 = 104$ છે.
$200$ થી નાની $13$ ની છેલ્લી ગુણક સંખ્યા $13 \times 15 = 195$ છે.
આ સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે,તેથી સરેરાશ પ્રથમ અને અંતિમ પદના સરવાળાને $2$ વડે ભાગવાથી મળે છે.
સરેરાશ $= \frac{104 + 195}{2} = \frac{299}{2} = 149.5$.

(D) $7$ ના પ્રથમ $7$ ગુણકો નીચે મુજબ છે: $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49$.
આ સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે, જેમાં સામાન્ય તફાવત $7$ છે, તેથી સરેરાશ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\text{સરેરાશ} = \frac{\text{પ્રથમ પદ} + \text{અંતિમ પદ}}{2}$.
અહીં, પ્રથમ પદ $7$ છે અને અંતિમ પદ ($7$મો ગુણક) $7 \times 7 = 49$ છે.
તેથી, $\text{સરેરાશ} = \frac{7 + 49}{2} = \frac{56}{2} = 28$.

(B) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ $x$,$x+2$,અને $x+4$ છે.
આ સંખ્યાઓની સરેરાશ $\frac{x + (x+2) + (x+4)}{3} = \frac{3x+6}{3} = x+2$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,સરેરાશ એ સૌથી મોટી સંખ્યા $(x+4)$ ના $\frac{1}{3}$ ભાગ કરતા $52$ વધારે છે:
$x+2 = \frac{1}{3}(x+4) + 52$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$3(x+2) = (x+4) + 52 \times 3$
$3x + 6 = x + 4 + 156$
$3x + 6 = x + 160$
$2x = 154$
$x = 77$
આમ,સૌથી નાની સંખ્યા $77$ છે.

(A) $n$ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓના સમૂહ માટે,સરેરાશ એ મધ્યમ પદ જેટલી હોય છે.
અહીં $41$ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ હોવાથી,સરેરાશ એ $21$ મું પદ છે.
આપેલ છે કે સરેરાશ $49$ છે,તેથી $21$ મું પદ $49$ છે.
સૌથી મોટી સંખ્યા ($41$ મું પદ) શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદમાં $20$ ગાળા ઉમેરવા પડે,જ્યાં દરેક ગાળો $2$ નો છે.
$\text{સૌથી મોટી સંખ્યા} = 49 + (41 - 1) = 49 + 40 = 89$.

(D) ધારો કે વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n = 50$ છે.
પ્રારંભિક સરેરાશ $= 65$.
ગુણનો પ્રારંભિક સરવાળો $= n \times \text{સરેરાશ} = 50 \times 65 = 3250$.
ગુણ $38$ ને બદલે ભૂલથી $83$ નોંધાયા હતા, તેથી તફાવત $83 - 38 = 45$ છે.
ગુણનો સાચો સરવાળો $= 3250 - 45 = 3205$.
સાચી સરેરાશ $= \frac{\text{સાચો સરવાળો}}{\text{વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}} = \frac{3205}{50} = 64.1$.

(D) ધારો કે $16$મી મેચ સુધી બેટ્સમેનની સરેરાશ રન સંખ્યા $x$ છે.
$16$ મેચમાં બનાવેલા કુલ રન = $16x$.
$17$મી મેચમાં $98$ રન બનાવ્યા પછી,નવા કુલ રન = $16x + 98$.
$17$ મેચ પછીની નવી સરેરાશ = $\frac{16x + 98}{17}$.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી સરેરાશ $x + 2.5$ છે.
તેથી,$\frac{16x + 98}{17} = x + 2.5$.
બંને બાજુ $17$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $16x + 98 = 17(x + 2.5)$.
$16x + 98 = 17x + 42.5$.
પદોની ગોઠવણી કરતા: $x = 98 - 42.5$.
$x = 55.5$.
તેથી,$17$મી મેચ પહેલા તેની સરેરાશ $55.5$ હતી.

(A) ધારો કે $20$ મેચ સુધીની સરેરાશ રન સંખ્યા $x$ છે.
$20$ મેચમાં બનાવેલા કુલ રન $20x$ થાય.
$21$મી મેચમાં તે $87$ રન બનાવે છે,તેથી $21$ મેચ પછીના કુલ રન $20x + 87$ થાય.
$21$ મેચ પછીની નવી સરેરાશ $x + 2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{20x + 87}{21} = x + 2$
બંને બાજુ $21$ વડે ગુણતા:
$20x + 87 = 21(x + 2)$
$20x + 87 = 21x + 42$
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$87 - 42 = 21x - 20x$
$x = 45$
તેથી,$21$મી મેચ પહેલા તેની સરેરાશ $45$ હતી.

(D) $3$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 22 \times 3 = 66$ છે.
ધારો કે બીજી અને ત્રીજી સંખ્યાનો સરવાળો $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ સંખ્યા $\frac{3}{8}x$ છે.
તેથી,ત્રણેય સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{3}{8}x + x = 66$ થાય.
$8$ વડે ગુણતા,$3x + 8x = 66 \times 8$ મળે.
$11x = 528$.
$x = \frac{528}{11} = 48$.
તેથી,પ્રથમ સંખ્યા $\frac{3}{8} \times 48 = 18$ છે.

(B) ધારો કે ટીમનો વાસ્તવિક કુલ સ્કોર $x$ છે.
જ્યારે શ્રેષ્ઠ નિશાનબાજ $85$ ને બદલે $92$ પોઈન્ટ મેળવે છે, ત્યારે કુલ સ્કોરમાં $(92 - 85) = 7$ નો વધારો થાય છે.
નવો કુલ સ્કોર $(x + 7)$ થાય છે.
$8$ વ્યક્તિઓ માટે નવી સરેરાશ $84$ આપવામાં આવી છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{સરેરાશ} = \frac{\text{કુલ સરવાળો}}{\text{વ્યક્તિઓની સંખ્યા}}$
$84 = \frac{x + 7}{8}$
$x + 7 = 84 \times 8$
$x + 7 = 672$
$x = 672 - 7$
$x = 665$
તેથી, ટીમે વાસ્તવમાં મેળવેલા કુલ પોઈન્ટ $665$ છે.

(A) પ્રથમ $20$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $20 \times 30 = 600$ છે.
અન્ય $30$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $30 \times 50 = 1500$ છે.
બધી $50$ સંખ્યાઓનો કુલ સરવાળો $600 + 1500 = 2100$ છે.
સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $20 + 30 = 50$ છે.
બધી સંખ્યાઓની સરેરાશ $\frac{\text{કુલ સરવાળો}}{\text{કુલ સંખ્યા}} = \frac{2100}{50} = 42$ થાય.

(B) $1$ અને $20$ ની વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ છે.
આવી કુલ $8$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
આ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો $2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 = 77$ થાય છે.
સરેરાશ એ સંખ્યાઓનો સરવાળો ભાગ્યા કુલ સંખ્યાઓ છે.
સરેરાશ $= \frac{77}{8} = 9 \frac{5}{8}$.

(D) ધોરણ $X$ ના ત્રણેય વિભાગો માટે ગુણનો મધ્યક સંયુક્ત મધ્યકના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
સંયુક્ત મધ્યક = $\frac{\sum (n_i \times \bar{x}_i)}{\sum n_i}$
આપેલ છે:
વિભાગ $A$: $n_1 = 50$,$\bar{x}_1 = 61$
વિભાગ $B$: $n_2 = 25$,$\bar{x}_2 = 57$
વિભાગ $C$: $n_3 = 50$,$\bar{x}_3 = 55$
ગુણનો કુલ સરવાળો = $(50 \times 61) + (25 \times 57) + (50 \times 55)$
$= 3050 + 1425 + 2750 = 7225$
વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા = $50 + 25 + 50 = 125$
મધ્યક = $\frac{7225}{125} = 57.8$

(A) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $x$,$y$,અને $z$ છે,જ્યાં $z = 16$ એ સૌથી મોટી સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે સૌથી નાની સંખ્યા એ સૌથી મોટી સંખ્યાની અડધી છે,તેથી સૌથી નાની સંખ્યા $\frac{16}{2} = 8$ થશે.
ધારો કે બાકી રહેલી સંખ્યા $x$ છે.
ત્રણ સંખ્યાઓનો સરેરાશ $\frac{x + 8 + 16}{3} = 12$ છે.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,આપણને $x + 24 = 36$ મળે છે.
બંને બાજુથી $24$ બાદ કરતા,આપણને $x = 36 - 24 = 12$ મળે છે.
તેથી,બાકી રહેલી સંખ્યા $12$ છે.

(B) ધારો કે નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $(180 - x)$ થશે.
બધા વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા મેળવેલ કુલ ગુણ $180 \times 50 = 9000$ છે.
પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓના કુલ ગુણ $(180 - x) \times 80$ છે.
નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓના કુલ ગુણ $x \times 40$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$(180 - x) \times 80 + 40x = 9000$
$14400 - 80x + 40x = 9000$
$14400 - 40x = 9000$
$40x = 14400 - 9000$
$40x = 5400$
$x = \frac{5400}{40} = 135$.
તેથી,પરીક્ષામાં નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $135$ છે.

(C) ધારો કે પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $(150 - x)$ થશે.
બધા વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા મેળવેલ કુલ ગુણ $150 \times 40 = 6000$ છે.
પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓના કુલ ગુણ $60x$ છે.
નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓના કુલ ગુણ $20(150 - x)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પાસ થયેલા અને નાપાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓના ગુણનો સરવાળો કુલ ગુણ જેટલો થાય છે:
$60x + 20(150 - x) = 6000$
$60x + 3000 - 20x = 6000$
$40x = 3000$
$x = \frac{3000}{40} = 75$.
તેથી,પરીક્ષામાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $75$ છે.

(C) ધારો કે જૂથમાં છોકરાઓની સંખ્યા $x$ છે.
શરૂઆતમાં છોકરાઓના વજનનો સરવાળો $36x$ છે.
જ્યારે $42 \,kg$ વજનનો છોકરો જૂથ છોડી દે છે અને $30 \,kg$ વજનનો છોકરો જોડાય છે,ત્યારે વજનનો નવો સરવાળો $36x - 42 + 30 = 36x - 12$ થાય છે.
નવી સરેરાશ $35.7 \,kg$ આપેલી છે. છોકરાઓની સંખ્યા $x$ જ રહેતી હોવાથી:
$\frac{36x - 12}{x} = 35.7$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$36x - 12 = 35.7x$
$x$ માટે ઉકેલવા પદોને ગોઠવતા:
$36x - 35.7x = 12$
$0.3x = 12$
$x = \frac{12}{0.3} = 40$
તેથી,જૂથમાં કુલ $40$ છોકરાઓ છે.

(B) ધારો કે $50$ મા વિદ્યાર્થીનું વજન $x\, kg$ છે.
$100$ વિદ્યાર્થીઓનું કુલ વજન $100 \times 32 = 3200\, kg$ થાય.
પ્રથમ $49$ વિદ્યાર્થીઓના વજનનો સરવાળો $49 \times 30 = 1470\, kg$ થાય.
છેલ્લા $50$ વિદ્યાર્થીઓના વજનનો સરવાળો $50 \times 34 = 1700\, kg$ થાય.
કુલ વજન = (પ્રથમ $49$ નો સરવાળો) + ($50$ મા વિદ્યાર્થીનું વજન) + (છેલ્લા $50$ વિદ્યાર્થીઓનો સરવાળો).
$3200 = 1470 + x + 1700$
$3200 = 3170 + x$
$x = 3200 - 3170 = 30\, kg$.

(C) $8$ અને $74$ ની વચ્ચે $7$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70$.
અહીં કુલ $n = 9$ સંખ્યાઓ છે.
સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,સરેરાશ એ મધ્યમ પદ છે.
મધ્યમ પદ એ $5$ મું પદ છે,જે $42$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સરેરાશની ગણતરી $\frac{\text{પ્રથમ પદ} + \text{અંતિમ પદ}}{2} = \frac{14 + 70}{2} = \frac{84}{2} = 42$ તરીકે કરી શકાય છે.

(A) $n$ ક્રમિક એકી પૂર્ણાંકોની શ્રેણી માટે,જ્યારે $n$ એકી સંખ્યા હોય ત્યારે સરેરાશ એ મધ્યમ પદ બરાબર હોય છે.
અહીં $25$ ક્રમિક એકી પૂર્ણાંકો હોવાથી,સરેરાશ એ $13$ મું પદ છે.
આપેલ છે કે સરેરાશ $55$ છે,તેથી $13$ મું પદ $55$ છે.
સૌથી મોટી સંખ્યા ($25$ મું પદ) શોધવા માટે,આપણે $13$ માં પદમાં $2$ ના $12$ ગાળા ઉમેરવા પડશે.
$\text{સૌથી મોટી સંખ્યા} = 55 + (25 - 13) \times 2 = 55 + 12 \times 2 = 55 + 24 = 79$.

(C) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર: $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ છે.
$n = 19$ માટે,સરવાળો $S_{19} = \frac{19(19+1)(2 \times 19 + 1)}{6} = \frac{19 \times 20 \times 39}{6}$ થાય.
સરેરાશ એટલે કુલ સરવાળાને પદોની સંખ્યા $(n)$ વડે ભાગતા મળતી કિંમત:
સરેરાશ $= \frac{S_n}{n} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
$n = 19$ મૂકતા:
સરેરાશ $= \frac{(19+1)(2 \times 19 + 1)}{6} = \frac{20 \times 39}{6} = \frac{780}{6} = 130$.

(C) ધારો કે પાંચ ક્રમિક એકી પૂર્ણાંકો $x, x+2, x+4, x+6,$ અને $x+8$ છે.
આ સંખ્યાઓની સરેરાશ $\frac{x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8)}{5} = 27$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{5x + 20}{5} = 27$.
$x + 4 = 27$,જેનો અર્થ છે કે $x = 23$.
તેથી,પાંચ ક્રમિક એકી પૂર્ણાંકો $23, 25, 27, 29,$ અને $31$ છે.
પ્રથમ સંખ્યા $23$ છે અને છેલ્લી સંખ્યા $31$ છે.
પ્રથમ અને છેલ્લી સંખ્યાનો ગુણાકાર $23 \times 31 = 713$ થાય છે.

(C) ધારો કે ચાર ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ $x, x+2, x+4,$ અને $x+6$ છે.
આ સંખ્યાઓની સરેરાશ તેમના સરવાળાને સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે:
$\frac{x + (x+2) + (x+4) + (x+6)}{4} = 40$
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{4x + 12}{4} = 40$
$4$ વડે ભાગતા:
$x + 3 = 40$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = 37$
તેથી ચાર સંખ્યાઓ $37, 39, 41,$ અને $43$ છે.
સૌથી મોટી સંખ્યા $43$ છે.

(D) પ્રથમ $10$ બેકી સંખ્યાઓ $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20$ છે.
પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $n(n+1)$ છે.
અહીં $n = 10$ હોવાથી,સરવાળો $= 10(10+1) = 10 \times 11 = 110$ થાય.
સરેરાશ $= \frac{\text{પદોનો સરવાળો}}{\text{પદોની સંખ્યા}} = \frac{110}{10} = 11$ મળે.
વૈકલ્પિક રીતે,પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓની સરેરાશ $n+1$ થાય છે. તેથી,$10+1 = 11$.

(B) વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા = $40$.
શરૂઆતની સરેરાશ = $25$.
શરૂઆતનો કુલ સરવાળો = $40 \times 25 = 1000$.
એક વિદ્યાર્થીના ગુણ $37$ ને બદલે ભૂલથી $73$ નોંધાયા હોવાથી,આપણે ખોટા ગુણ બાદ કરીને સાચા ગુણ ઉમેરવા પડશે.
સાચો કુલ સરવાળો = $1000 - 73 + 37 = 964$.
સાચી સરેરાશ = $\frac{\text{સાચો કુલ સરવાળો}}{\text{વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા}} = \frac{964}{40} = 24.1$.

(C) પ્રથમ $30$ ઓવરમાં બનાવેલા કુલ રન $= 30 \times 5.2 = 156 \text{ રન}$.
લક્ષ્યાંક રન $= 280$.
બાકીની $20$ ઓવરમાં જરૂરી રન $= 280 - 156 = 124 \text{ રન}$.
બાકીની $20$ ઓવર માટે જરૂરી રન રેટ $= \frac{\text{જરૂરી રન}}{\text{બાકીની ઓવર}} = \frac{124}{20} = 6.2 \text{ રન/ઓવર}$.

(C) $5$ ખેલાડીઓ દ્વારા બનાવવામાં આવેલા રનનો સરેરાશ $= 49$.
$5$ ખેલાડીઓ દ્વારા બનાવવામાં આવેલા કુલ રન $= 5 \times 49 = 245$.
આપેલા $4$ ખેલાડીઓ દ્વારા બનાવવામાં આવેલા કુલ રન $= 75 + 30 + 63 + 21 = 189$.
પાંચમા ખેલાડી દ્વારા બનાવવામાં આવેલા રન $= 245 - 189 = 56$.
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલા વિકલ્પો મુજબ,જો સરવાળો $188$ ગણવામાં આવે તો જવાબ $57$ આવે છે,તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો ગણવામાં આવે છે.

(D) ધારો કે $15$ મેચ સુધીની સરેરાશ સ્કોર $x$ છે.
$15$ મેચ પછીના કુલ રન $= 15x$.
$16$ મેચ પછીના કુલ રન $= 15x + 81$.
પ્રશ્ન મુજબ,$16$ મેચ પછીની નવી સરેરાશ $x + 3$ છે.
તેથી,$\frac{15x + 81}{16} = x + 3$.
$15x + 81 = 16(x + 3)$.
$15x + 81 = 16x + 48$.
$x = 81 - 48 = 33$.
$16$ મી મેચ પછીની સરેરાશ $x + 3 = 33 + 3 = 36$ છે.

(B) ધારો કે પિતાની હાલની ઉંમર $F$ અને પુત્રની ઉંમર $S$ છે.
આપેલ છે: $F + S = 33 \Rightarrow F = 33 - S$.
બે વર્ષ પહેલાં, તેમની ઉંમર $(F - 2)$ અને $(S - 2)$ હતી.
આપેલ છે: $(F - 2)(S - 2) = 28$.
સમીકરણમાં $F = 33 - S$ મૂકતા:
$(33 - S - 2)(S - 2) = 28$
$(31 - S)(S - 2) = 28$
$31S - 62 - S^2 + 2S = 28$
$-S^2 + 33S - 62 = 28$
$-S^2 + 33S - 90 = 0$
$S^2 - 33S + 90 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(S - 30)(S - 3) = 0$
તેથી, $S = 30$ અથવા $S = 3$.
પુત્રની ઉંમર $30$ વર્ષ ન હોઈ શકે કારણ કે સરવાળો $33$ છે, તેથી $S = 3$ લેતા.
તેથી, $F = 33 - 3 = 30$.
આમ, પિતાની ઉંમર $30$ વર્ષ અને પુત્રની ઉંમર $3$ વર્ષ છે.

(C) નિવૃત્તિની ઉંમર $= 60 \text{ વર્ષ}$.
નોકરીનો સમયગાળો $= \frac{3}{5} \times 60 = 36 \text{ વર્ષ}$.
તેણે જે ઉંમરે નોકરી શરૂ કરી તે ઉંમર $= \text{નિવૃત્તિની ઉંમર} - \text{નોકરીનો સમયગાળો}$.
તેણે જે ઉંમરે નોકરી શરૂ કરી તે ઉંમર $= 60 - 36 = 24 \text{ વર્ષ}$.
આમ,તેણે $24$ વર્ષની ઉંમરે નોકરી શરૂ કરી હતી.

(A) પરિવારના $4$ સભ્યોની ઉંમરનો પ્રારંભિક સરવાળો $4 \times 32 = 128$ વર્ષ છે.
મહેમાનને ઉમેર્યા પછી નવી સરેરાશ ઉંમર $32 + (32 \text{ ના } 12.5 \% ) = 32 + (0.125 \times 32) = 32 + 4 = 36$ વર્ષ થાય છે.
ધારો કે મહેમાનની ઉંમર $G$ છે. હવે કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $5$ છે.
નવી સરેરાશ $\frac{128 + G}{5} = 36$ દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા,આપણને $128 + G = 180$ મળે છે.
$G$ માટે ઉકેલતા,$G = 180 - 128 = 52$ વર્ષ મળે છે.