$\frac{1}{1!(n - 1)!} + \frac{1}{3!(n - 3)!} + \frac{1}{5!(n - 5)!} + \dots = $

સરવાળા $\left({ }^{n} C_{1}\right)^{2}+\left({ }^{n} C_{2}\right)^{2}+\left({ }^{n} C_{3}\right)^{2}+\ldots+\left({ }^{n} C_{n}\right)^{2}$ નું મૂલ્ય છે

$^{4n}C_0 + ^{4n}C_4 + ^{4n}C_8 + ... + ^{4n}C_{4n}$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $S = \frac{1}{25!} + \frac{1}{3!23!} + \frac{1}{5!21!} + \dots$ $13$ પદો સુધી છે. જો $13S = \frac{2^{k}}{n!}$ જ્યાં $k \in N$ હોય, તો $n + k$ ની કિંમત શોધો.

જો ${}^n C_0, {}^n C_1, {}^n C_2, \ldots, {}^n C_n$ એ $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં દ્વિપદી સહગુણકો હોય,તો $n=10$ માટે,$\sum_{r=1}^{10} {}^n C_r \cdot r(r-4)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\sum\limits_{k=1}^{31} \binom{31}{k} \binom{31}{k-1} - \sum\limits_{k=1}^{30} \binom{30}{k} \binom{30}{k-1} = \frac{\alpha(60!)}{(30!)(31!)}$,જ્યાં $\alpha \in R$,તો $16\alpha$ ની કિંમત કેટલી થાય?