यदि e और e' क्रमशः एक अतिपरवलय और उसके संयुग् | vedclass

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Question

(A) माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(i)$ है।इसका संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ $(ii)$ है।अतिपरवलय

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$(\frac{1}{e})^2 + (\frac{1}{e'})^2 = 1$

Vedclass · Answer

(A) माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(i)$ है।इसका संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ $(ii)$ है।अतिपरवलय $(i)$ के लिए,उत्केंद्रता $e$,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2}$।अतः,$\frac{1}{e^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2}$ $(iii)$।संयुग्मी अतिपरवलय $(ii)$ के लिए,उत्केंद्रता $e'$,$a^2 = b^2(e'^2 - 1)$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $e'^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{b^2}$।अतः,$\frac{1}{e'^2} = \frac{b^2}{a^2 + b^2}$ $(iv)$।$(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर,हमें $\frac{1}{e^2} + \frac{1}{e'^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2} + \frac{b^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1$ प्राप्त होता है।

यदि $e$ और $e'$ क्रमशः एक अतिपरवलय और उसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रताएँ हैं,तो:

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