माना P left(frac{2 sqrt{3}}{sqrt{7}}, frac{6} | vedclass

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Question

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ है। चूंकि $PQ$ और $RS$ मूल बिंदु से गुजरने वाली जीवाएं हैं,$O, PQ$ और $RS$ का मध्य बिंदु

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$157$

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(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ है। चूंकि $PQ$ और $RS$ मूल बिंदु से गुजरने वाली जीवाएं हैं,$O, PQ$ और $RS$ का मध्य बिंदु है। अतः,$PQ = 2OP$ और $RS = 2OR$। $\frac{1}{(PQ)^2} + \frac{1}{(RS)^2} = \frac{1}{4(OP)^2} + \frac{1}{4(OR)^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{(OP)^2} + \frac{1}{(OR)^2} ight)$। माना $P = (2 \cos \alpha, 3 \sin \alpha)$ और $R = (2 \cos 	heta, 3 \sin 	heta)$। $OP \perp OR$ होने के कारण,उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है: $\left( \frac{3 \sin \alpha}{2 \cos \alpha} ight) \left( \frac{3 \sin 	heta}{2 \cos 	heta} ight) = -1$ $\Rightarrow 	an \alpha 	an 	heta = -\frac{4}{9}$। $P = \left( \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{6}{\sqrt{7}} ight)$ दिया गया है,अतः $	an \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}$। अतः $	an 	heta = -\frac{2 \sqrt{3}}{9}$। $(OP)^2 = \frac{48}{7}$ और $(OR)^2 = \frac{144}{31}$ प्राप्त होता है। मान रखने पर: $\frac{1}{4} \left( \frac{7}{48} + \frac{31}{144} ight) = \frac{13}{144}$। अतः $p=13, q=144$,इसलिए $p+q = 157$।

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