રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+5}{4}$ એ સમતલ $2x+4y-z=3$ ને જે બિંદુએ મળે છે,તે બિંદુના યામ શોધો.

બિંદુ $\left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ થી સમતલ $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ અને લંબપાદ શોધો.

સમતલો $2x - 5y + z = 3$ અને $x + y + 4z = 5$ ના છેદમાંથી પસાર થતા અને સમતલ $x + 3y + 6z = 1$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $x + 3y + 6z = k$ છે,જ્યાં $k$ ની કિંમત શું છે?

ધારો કે $L_1$ એ $2x+3y+z=4$ અને $x+2y+z=5$ સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવેલા સમતલોની છેદરેખા છે. ધારો કે $L_2$ એ બિંદુ $P(2,-1,3)$ માંથી પસાર થતી અને $L_1$ ને સમાંતર રેખા છે. ધારો કે $M$ એ $2x+y-2z=6$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવેલ સમતલ છે. ધારો કે રેખા $L_2$ એ સમતલ $M$ ને બિંદુ $Q$ માં મળે છે. ધારો કે $R$ એ $P$ માંથી સમતલ $M$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન (વિધાનો) સાચું છે?
$(A)$ રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ $9\sqrt{3}$ છે
$(B)$ રેખાખંડ $QR$ ની લંબાઈ $15$ છે
$(C)$ $\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{3}{2}\sqrt{234}$ છે
$(D)$ રેખાખંડ $PQ$ અને $PR$ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$ છે

ધારો કે $\bar{A}$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલો $P_1$ અને $P_2$ ની છેદરેખાને સમાંતર સદિશ છે. $P_1$ એ સદિશો $2 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $4 \hat{j}-3 \hat{k}$ ને સમાંતર છે અને $P_2$ એ $\hat{j}-\hat{k}$ અને $3 \hat{i}+3 \hat{j}$ ને સમાંતર છે,તો $\bar{A}$ અને $2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે $Q$ એ સમતલ $S: x + y + z = 5$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P(1, 0, 1)$ નું પ્રતિબિંબ છે. જો $(1, -1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $PQ$ ને સમાંતર રેખા $L$ એ સમતલ $S$ ને $R$ માં મળે,તો $QR^{2}$ ની કિંમત શોધો.