अतिपरवलय (hyperbola) का मानक रूप में समीकरण ( | vedclass

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Question

(C) अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभिलंब की लंबाई = $\frac{2b^2}{a} = 9$,अतः $2b^2 = 9a$ ... $(i)$. उत्केंद्रता

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$\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1$

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(C) अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभिलंब की लंबाई = $\frac{2b^2}{a} = 9$,अतः $2b^2 = 9a$ ... $(i)$. उत्केंद्रता $e = \frac{5}{4}$ है। हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$. $e = \frac{5}{4}$ रखने पर,$b^2 = a^2(\frac{25}{16} - 1) = a^2(\frac{9}{16}) = \frac{9a^2}{16}$ ... $(ii)$. $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $2(\frac{9a^2}{16}) = 9a$. $\frac{9a^2}{8} = 9a \implies a = 8$. अब,$b^2 = \frac{9(8^2)}{16} = 36$. अतः,समीकरण $\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1$ है।

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माना कि $P(x_0, y_0)$ अतिपरवलय $3x^2 - 4y^2 = 36$ पर स्थित वह बिंदु है जो रेखा $3x + 2y = 1$ के सबसे निकट है। तब $\sqrt{2}(y_0 - x_0)$ का मान ज्ञात कीजिए:

उत्केंद्रता $e = 3/2$ और नाभियों $(\pm 2, 0)$ वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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