समतल का समीकरण जो रेखाओं frac{x - 1}{2} = fra | vedclass

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Question

(B) रेखाएं बिंदुओं $A(1, -1, 0)$ और $B(-1, -1, 0)$ से गुजरती हैं। दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = 5\hat{i

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$y \pm z + 1 = 0$

Vedclass · Answer

(B) रेखाएं बिंदुओं $A(1, -1, 0)$ और $B(-1, -1, 0)$ से गुजरती हैं। दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ हैं।चूंकि रेखाएं एक ही समतल में हैं, सदिश $\vec{AB} = -2\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$, $\vec{v_1}$ और $\vec{v_2}$ के साथ समतलीय होना चाहिए। अतः, अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{AB}, \vec{v_1}, \vec{v_2}] = 0$ है।$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 0 \ 2 & \lambda & 2 \ 5 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = -2(\lambda^2 - 4) = 0 \implies \lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2$.समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{v_1} 	imes \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & \lambda & 2 \ 5 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda^2 - 4)\hat{i} - (2\lambda - 10)\hat{j} + (4 - 5\lambda)\hat{k}$ है।$\lambda = 2$ के लिए, $\vec{n} = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k} = 6(\hat{j} - \hat{k})$। समतल $0(x-1) + 1(y+1) - 1(z-0) = 0 \implies y - z + 1 = 0$ है।$\lambda = -2$ के लिए, $\vec{n} = 0\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k} = 14(\hat{j} + \hat{k})$। समतल $0(x-1) + 1(y+1) + 1(z-0) = 0 \implies y + z + 1 = 0$ है।इन्हें मिलाने पर, समीकरण $y \pm z + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

समतल का समीकरण जो रेखाओं $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{\lambda} = \frac{z}{2}$ और $\frac{x + 1}{5} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{\lambda}$ को समाहित करता है, है

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यदि रेखाएँ $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{-k}$ और $\frac{x - 1}{k} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z - 5}{1}$ समतलीय हैं,तो $k$ के मान हो सकते हैं:

रेखा $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ और समतल $\bar{r} \cdot (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=4$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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