નીચેનામાંથી કયું બુલિયન પદાવલિ $p \wedge \sim q$ ને સમાન છે?

નીચેનામાંથી કઈ વિધાન રચના એ સ્વતઃ સત્ય (tautology) છે?
$S_1 \equiv (\sim q \wedge p) \wedge q$
$S_2 \equiv [p \wedge (p$ $\rightarrow q)]$ $\rightarrow q$
$S_3 \equiv (p \wedge q) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
$S_4 \equiv (p \wedge q) \rightarrow r$

જો બુલિયન પદાવલિ $((p \vee q) \wedge (q$ $\rightarrow r) \wedge (\sim r))$ $\rightarrow (p \wedge q)$ નું સત્યતા મૂલ્ય અસત્ય (false) હોય,તો વિધાનો $p, q, r$ ના સત્યતા મૂલ્યો અનુક્રમે શું હોઈ શકે?

$p \wedge (q \rightarrow r)$ નું નિષેધ (negation) શું છે?

વિધાન પેટર્ન $(p \land \sim q) \to (q \land \sim p)$ નું દ્વૈત (dual) કોના સમકક્ષ છે?

નીચેના વિધાનનો પ્રતિવિધાન (Converse) અને પ્રતિ-નિષેધ (Contrapositive) લખો:
$p:$ એક ધન પૂર્ણાંક અવિભાજ્ય છે જો અને માત્ર જો તેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય કોઈ ભાજક ન હોય.