Mix Examples - Areas Related to Circles Questions in Gujarati

(A) પૈડાંનો વ્યાસ $= 80\, cm$.
પૈડાંની ત્રિજ્યા $(r) = 40\, cm$.
પૈડાંનો પરિઘ $= 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 40 = \frac{1760}{7}\, cm$.
કારની ઝડપ $= 66\, km/h = \frac{66 \times 100000\, cm}{60\, min} = 110000\, cm/min$.
$10\, \text{મિનિટમાં}$ કાપેલું અંતર $= 110000 \times 10 = 1100000\, cm$.
ધારો કે પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$ છે.
$n \times \text{પરિઘ} = \text{કુલ અંતર}$.
$n \times \frac{1760}{7} = 1100000$.
$n = \frac{1100000 \times 7}{1760} = \frac{110000 \times 7}{176} = 4375$.
આમ,દરેક પૈડું $4375$ પૂર્ણ પરિભ્રમણ કરશે.

(A) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ચોરસની બાજુ $a$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,વર્તુળનો પરિઘ અને ચોરસની પરિમિતિ સમાન છે:
$2 \pi r = 4a$
$\pi r = 2a$
$a = \frac{\pi r}{2}$
હવે,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = a^2 = (\frac{\pi r}{2})^2 = \frac{\pi^2 r^2}{4}$ છે.
$A_1$ અને $A_2$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi r^2}{\frac{\pi^2 r^2}{4}} = \frac{4}{\pi}$.
કારણ કે $\pi \approx 3.14$,તેથી $\frac{4}{3.14} > 1$.
આમ,$A_1 > A_2$,જેનો અર્થ છે કે વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ચોરસના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે છે.

(B) અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત સૌથી મોટા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે ત્રિકોણનો પાયો અર્ધવર્તુળના વ્યાસ જેટલો લઈએ છીએ.
ધારો કે વ્યાસ $AB = 2r$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય તે માટે,તેની ઊંચાઈ મહત્તમ હોવી જોઈએ,જે અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ જેટલી હોય છે.
ધારો કે $C$ એ પરિઘ પરનું શિરોબિંદુ છે જેથી વેધ $CD$ એ $AB$ ને લંબ હોય. અહીં,$CD = r$ છે.
આમ,ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (2r) \times r = r^{2}$ ચોરસ એકમ.

(C) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ચોરસની બાજુ $a$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,
વર્તુળની પરિમિતિ = ચોરસની પરિમિતિ
$2 \pi r = 4a \Rightarrow a = \frac{\pi r}{2}$ ...............$(i)$
હવે,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{\text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{\pi r^2}{a^2} = \frac{\pi r^2}{(\frac{\pi r}{2})^2}$ [સમીકરણ $(i)$ પરથી]
$= \frac{\pi r^2}{\frac{\pi^2 r^2}{4}} = \frac{4}{\pi} = \frac{4}{\frac{22}{7}} = \frac{4 \times 7}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}$
આમ,તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $14: 11$ છે.

(B) આપેલ છે કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = OC = 8 \, cm$ છે.
તેથી,વર્તુળનો વ્યાસ $AC = 2 \times OC = 2 \times 8 = 16 \, cm$ થાય.
આ વ્યાસ ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ જેટલો છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુનું માપ $x$ છે.
કાટકોણ $\triangle ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ થાય.
$(16)^2 = x^2 + x^2$.
$256 = 2x^2$.
$x^2 = 128$.
તેથી,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $x^2 = 128 \, cm^2$ થાય.

(C) ધારો કે પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ $d_1 = 36 \, cm$ અને બીજા વર્તુળનો વ્યાસ $d_2 = 20 \, cm$ છે.
પ્રથમ વર્તુળનો પરિઘ $C_1 = \pi d_1 = 36 \pi \, cm$.
બીજા વર્તુળનો પરિઘ $C_2 = \pi d_2 = 20 \pi \, cm$.
ધારો કે નવા વર્તુળનો વ્યાસ $D$ છે અને તેનો પરિઘ $C$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$C = C_1 + C_2$.
$\pi D = 36 \pi + 20 \pi$.
$\pi D = 56 \pi$.
$D = 56 \, cm$.
નવા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{D}{2} = \frac{56}{2} = 28 \, cm$ થાય.

(A) હા,આ વિધાન સત્ય છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a = 5 \, cm$ છે.
અંદરના વર્તુળનો વ્યાસ ચોરસની બાજુ જેટલો છે,તેથી $d_{inner} = a = 5 \, cm$. ત્રિજ્યા $r = \frac{5}{2} \, cm$ થશે.
અંદરના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_{inner} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25\pi}{4} \, cm^2$ છે.
બહારના વર્તુળનો વ્યાસ ચોરસના વિકર્ણ જેટલો છે,તેથી $d_{outer} = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \, cm$. ત્રિજ્યા $R = \frac{5\sqrt{2}}{2} \, cm$ થશે.
બહારના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_{outer} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{25 \times 2}{4}\right) = \frac{50\pi}{4} = \frac{25\pi}{2} \, cm^2$ છે.
બંને ક્ષેત્રફળોની સરખામણી કરતા: $\frac{A_{outer}}{A_{inner}} = \frac{25\pi / 2}{25\pi / 4} = \frac{4}{2} = 2$.
આમ,બહારના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ખરેખર અંદરના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું છે.

(N/A) ખોટું.
ધારો કે $ABCD$ એ $a$ બાજુવાળો એક ચોરસ છે.
વર્તુળ ચોરસમાં અંતઃસ્થિત છે,તેથી તેનો વ્યાસ ચોરસની બાજુ જેટલો થાય.
$\therefore \text{વર્તુળનો વ્યાસ} = a \, cm$.
$\therefore \text{વર્તુળની ત્રિજ્યા} (r) = \frac{a}{2} \, cm$.
હવે,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\pi r^2$ છે.
$\therefore \text{ક્ષેત્રફળ} = \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \pi \left( \frac{a^2}{4} \right) = \frac{\pi a^2}{4} \, cm^2$.
અહીં $\frac{\pi a^2}{4} \neq \pi a^2$ હોવાથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) સત્ય.
આપેલ છે કે,વર્તુળની ત્રિજ્યા,$r = a \, cm$.
તેથી,વર્તુળનો વ્યાસ,$d = 2 \times \text{ત્રિજ્યા} = 2a \, cm$.
ચોરસ વર્તુળને પરિગત હોવાથી,ચોરસની બાજુનું માપ વર્તુળના વ્યાસ જેટલું થાય.
તેથી,ચોરસની બાજુ $= 2a \, cm$.
હવે,ચોરસની પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુ} = 4 \times 2a = 8a \, cm$.
આમ,તે સત્ય છે કે ચોરસની પરિમિતિ $8a \, cm$ છે.

(N/A) આ વિધાન ખોટું છે.
આપેલ છે કે વર્તુળનો વ્યાસ $d$ છે.
$1$. વર્તુળમાં અંતર્ગત ચોરસ માટે,ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે.
વિકર્ણ $= d$.
ધારો કે અંદરના ચોરસની બાજુ $x$ છે.
ચોરસના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,વિકર્ણ $= \sqrt{2} \times \text{બાજુ}$.
તેથી,$\sqrt{2}x = d \Rightarrow x = \frac{d}{\sqrt{2}}$.
અંદરના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= x^2 = (\frac{d}{\sqrt{2}})^2 = \frac{d^2}{2}$.
$2$. વર્તુળને પરિગત બહારના ચોરસ માટે,ચોરસની બાજુ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલી હોય છે.
બાજુ $= d$.
બહારના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= d^2$.
$3$. ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરતા:
ગુણોત્તર $= \frac{\text{બહારના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{અંદરના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{d^2}{d^2/2} = 2$.
આમ,બહારના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ અંદરના ચોરસના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું છે,ચાર ગણું નથી.

(B) ખોટું.
ગોળાકાર પૈડાં દ્વારા એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર તેના પરિઘ જેટલું હોય છે.
$d$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળનો પરિઘ $\pi d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $d = 2r$ (જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે),તેથી પરિઘ $\pi(2r) = 2 \pi r$ થાય.
તેથી,એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર $\pi d$ છે,$2 \pi d$ નથી.

(A) આ વિધાન સત્ય છે.
એક પરિભ્રમણમાં પૈડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર તેના પરિઘ જેટલું હોય છે,જેનું સૂત્ર $2 \pi r$ મીટર છે.
$s$ મીટર અંતર કાપવા માટે કરવામાં આવેલા કુલ પરિભ્રમણની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ અંતરને એક પરિભ્રમણમાં કાપેલા અંતર વડે ભાગીએ છીએ:
$\text{પરિભ્રમણની સંખ્યા} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર}} = \frac{s}{2 \pi r}$.

(A) હા, તે જરૂરી છે કે તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય.
ધારો કે બે વર્તુળોના પરિઘ $C_1$ અને $C_2$ છે, અને તેમની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
આપેલ છે કે $C_1 = C_2$, તેથી $2\pi r_1 = 2\pi r_2$.
બંને બાજુ $2\pi$ વડે ભાગતા, આપણને $r_1 = r_2$ મળે છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $r_1 = r_2$, તેથી $\pi r_1^2 = \pi r_2^2$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $A_1 = A_2$.
તેથી, જો બે વર્તુળોના પરિઘ સમાન હોય, તો તેમના ક્ષેત્રફળ પણ સમાન હોવા જોઈએ.

(A) હા,તે જરૂરી છે કે તેમના પરિઘ સમાન હોય.
ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ સમાન છે,તેથી $\pi r_1^2 = \pi r_2^2$ થાય.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા,આપણને $r_1^2 = r_2^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r_1 = r_2$ (કારણ કે ત્રિજ્યા હંમેશા ધન હોય છે).
વર્તુળનો પરિઘ શોધવાનું સૂત્ર $C = 2\pi r$ છે.
જેથી $r_1 = r_2$ હોવાથી,$2\pi r_1 = 2\pi r_2$ થાય.
તેથી,બંને વર્તુળોના પરિઘ સમાન હોવા જોઈએ.

(A) આપેલ છે કે,પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ $d_{1} = 20 \, cm$,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_{1} = \frac{20}{2} = 10 \, cm$.
બીજા વર્તુળનો વ્યાસ $d_{2} = 48 \, cm$,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_{2} = \frac{48}{2} = 24 \, cm$.
બંને વર્તુળોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $= \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2} = \pi(10)^{2} + \pi(24)^{2} = \pi(100 + 576) = 676\pi \, cm^{2}$.
ધારો કે નવા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\pi r^{2} = 676\pi$.
$r^{2} = 676$.
$r = \sqrt{676} = 26 \, cm$.
તેથી,નવા વર્તુળનો વ્યાસ $= 2r = 2 \times 26 = 52 \, cm$.

(C) વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2$
$= 3.14 \times (7.5)^2 \, cm^2$
$= 3.14 \times 56.25 \, cm^2 = 176.625 \, cm^2$
સ્પષ્ટ છે કે, ચોરસની બાજુ $=$ વર્તુળનો વ્યાસ $= 2 \times 7.5 \, cm = 15 \, cm$.
તેથી, ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= (\text{બાજુ})^2 = 15^2 \, cm^2 = 225 \, cm^2$.
તેથી, છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $=$ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $-$ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ
$= 225 \, cm^2 - 176.625 \, cm^2 = 48.375 \, cm^2$.

(N/A) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે અને વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે,ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ $= 8\, cm$.
ચોરસનો વિકર્ણ $= a\sqrt{2}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$a\sqrt{2} = 8$
$a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\, cm$.
જ્યારે ચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોય,ત્યારે ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે.
તેથી,વર્તુળનો વ્યાસ $= 8\, cm$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{8}{2} = 4\, cm$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi(4)^2 = 16\pi\, cm^2$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32\, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને ચોરસના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત છે:
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $= \text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ} - \text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ}$
$= (16\pi - 32)\, cm^2$.
આમ,છાયાંકિત પ્રદેશનું જરૂરી ક્ષેત્રફળ $(16\pi - 32)\, cm^2$ છે.

(D) આપેલ છે,પૈડાની ત્રિજ્યા $r = 35 \, cm$.
પૈડાનો પરિઘ $C = 2 \pi r$ દ્વારા મળે છે.
$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 35 = 220 \, cm$.
મોટરસાયકલની ઝડપ $66 \, km/h$ છે. આપણે તેને $cm/min$ માં ફેરવવાની જરૂર છે:
$66 \, km/h = \frac{66 \times 1000 \, m}{60 \, min} = 1100 \, m/min$.
$1 \, m = 100 \, cm$ હોવાથી,ઝડપ $1100 \times 100 = 110000 \, cm/min$ થશે.
પ્રતિ મિનિટ પરિભ્રમણની સંખ્યા શોધવા માટે,એક મિનિટમાં કાપેલ કુલ અંતરને પૈડાના પરિઘ વડે ભાગતા:
$\text{પરિભ્રમણની સંખ્યા} = \frac{\text{પ્રતિ મિનિટ કુલ અંતર}}{\text{પરિઘ}} = \frac{110000}{220} = 500$.
તેથી,પૈડાએ પ્રતિ મિનિટ $500$ પરિભ્રમણ કરવા જોઈએ.

(N/A) ફૂલનો ક્યારો એક મધ્યવર્તી લંબચોરસ ભાગ અને બે અર્ધવર્તુળાકાર છેડાઓનો બનેલો છે.
લંબચોરસ ભાગની લંબાઈ $38 \, cm$ અને તેની પહોળાઈ $10 \, cm$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 38 \times 10 = 380 \, cm^2$.
બે અર્ધવર્તુળાકાર છેડાઓ મળીને $10 \, cm$ વ્યાસ ધરાવતું એક સંપૂર્ણ વર્તુળ બનાવે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{10}{2} = 5 \, cm$.
બે અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi \times (5)^2 = 25 \pi \, cm^2$.
ફૂલના ક્યારાનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} + \text{બે અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ} = (380 + 25 \pi) \, cm^2$.

(C) આપેલ છે કે,$AC = 6 \, cm$ અને $BC = 8 \, cm$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધવર્તુળમાં આવેલો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે. તેથી,$\angle C = 90^{\circ}$.
કાટકોણ $\triangle ACB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10 \, cm$ (કારણ કે લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે).
$\triangle ACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \, cm^2$.
વર્તુળનો વ્યાસ $AB = 10 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{10}{2} = 5 \, cm$ થાય.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = 3.14 \times (5)^2 = 3.14 \times 25 = 78.5 \, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ - $\triangle ACB$ નું ક્ષેત્રફળ
$= 78.5 - 24 = 54.5 \, cm^2$.

(N/A) આપેલ આકૃતિમાં,$DE$ ને જોડો.
આકૃતિ પરથી,અર્ધવર્તુળ $DFE$ નો વ્યાસ $6 - 4 = 2 \, m$ છે. તેથી,ત્રિજ્યા $r = 2 / 2 = 1 \, m$ થાય.
હવે,લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= BC \times AB = 8 \times 4 = 32 \, m^2$ છે.
અર્ધવર્તુળ $DFE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\pi r^2}{2} = \frac{\pi}{2}(1)^2 = 0.5 \pi \, m^2$ છે.
તેથી,છાયાંકિત પ્રદેશનું કુલ ક્ષેત્રફળ = લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ + અર્ધવર્તુળ $DFE$ નું ક્ષેત્રફળ.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= (32 + 0.5 \pi) \, m^2$.

(B) શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ પરના ત્રણ વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\angle A}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle B}{360^{\circ}} \times \pi r^2 + \frac{\angle C}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
$= \frac{(\angle A + \angle B + \angle C)}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,ત્રણ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ:
$= \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times 3.14 \times (5)^2 = 0.5 \times 3.14 \times 25 = 39.25 \, cm^2$
હવે,આપણે $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધીએ. અહીં $14^2 + 48^2 = 196 + 2304 = 2500 = 50^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં પાયો $48 \, cm$ અને વેધ $14 \, cm$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 48 \times 14 = 336 \, cm^2$
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રણ વૃત્તાંશના ક્ષેત્રફળને બાદ કરવાથી મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= 336 - 39.25 = 296.75 \, cm^2$

(A) આપેલ છે કે,આગળના પૈડાનો વ્યાસ $d_{1} = 80 \,cm$.
પાછળના પૈડાનો વ્યાસ $d_{2} = 2 \,m = 200 \,cm$.
આગળના પૈડાનો પરિઘ $C_{1} = \pi d_{1} = 80\pi \,cm$.
પાછળના પૈડાનો પરિઘ $C_{2} = \pi d_{2} = 200\pi \,cm$.
આગળના પૈડા દ્વારા $1400$ પરિભ્રમણમાં કાપેલું કુલ અંતર $D = 1400 \times C_{1} = 1400 \times 80\pi \,cm$.
ધારો કે પાછળના પૈડા દ્વારા કરવામાં આવતા પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$ છે.
તેથી,$n \times C_{2} = D$.
$n \times 200\pi = 1400 \times 80\pi$.
$n = \frac{1400 \times 80\pi}{200\pi} = 7 \times 80 = 560$.
આમ,પાછળનું પૈડું $560$ પરિભ્રમણ કરશે.

(A) આપેલ છે કે,એક ત્રિકોણાકાર ખેતરની બાજુઓ $a = 15 \, m$,$b = 16 \, m$ અને $c = 17 \, m$ છે.
દરેક પ્રાણીને એક ખૂણા પર $r = 7 \, m$ લંબાઈના દોરડા સાથે બાંધવામાં આવ્યું છે. દરેક પ્રાણી તેના ખૂણા પર એક વૃતાંશ (sector) જેટલો ભાગ ચરે છે.
ત્રણેય વૃતાંશના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો:
ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $= \frac{\angle A}{360^{\circ}} \pi r^2 + \frac{\angle B}{360^{\circ}} \pi r^2 + \frac{\angle C}{360^{\circ}} \pi r^2 = \frac{(\angle A + \angle B + \angle C)}{360^{\circ}} \pi r^2$
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $= \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi \times (7)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 49 = 77 \, m^2$.
હવે,હેરોનનું સૂત્ર વાપરીને ત્રિકોણાકાર ખેતરનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{15 + 16 + 17}{2} = \frac{48}{2} = 24 \, m$.
ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{24(24-15)(24-16)(24-17)} = \sqrt{24 \times 9 \times 8 \times 7} = 24\sqrt{21} \, m^2$.
જે ભાગ ચરી શકાતો નથી તે કુલ ક્ષેત્રફળ અને ચરેલા ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે:
ન ચરાયેલ ભાગ $= (24\sqrt{21} - 77) \, m^2$.

(D) આપેલ છે કે,એક વર્તુળાકાર તળાવની આસપાસ $2 \, m$ પહોળો રસ્તો છે.
વર્તુળાકાર તળાવનો વ્યાસ $= 17.5 \, m$.
વર્તુળાકાર તળાવની ત્રિજ્યા $(r_i) = \frac{17.5}{2} = 8.75 \, m$.
રસ્તાની પહોળાઈ $= 2 \, m$.
રસ્તા સાથેના બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_e) = 8.75 + 2 = 10.75 \, m$.
વર્તુળાકાર રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r_e^2 - \pi r_i^2 = \pi(r_e^2 - r_i^2) = \pi(r_e + r_i)(r_e - r_i)$.
ક્ષેત્રફળ $= 3.14 \times (10.75 + 8.75) \times (10.75 - 8.75) = 3.14 \times 19.5 \times 2 = 122.46 \, m^2$.
રસ્તો બનાવવાનો ખર્ચ $= \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{દર} = 122.46 \times 25 = Rs. \, 3061.50$.

(B) આપેલ છે કે,ત્રણ વર્તુળો એવી રીતે દોરવામાં આવ્યા છે કે દરેક વર્તુળ બાકીના બે વર્તુળોને સ્પર્શે છે.
ધારો કે ત્રણ વર્તુળોના કેન્દ્રો $A, B$ અને $C$ છે. દરેક વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 3.5\, cm$ હોવાથી,કોઈપણ બે સ્પર્શતા વર્તુળોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $2r = 2 \times 3.5 = 7\, cm$ થાય.
આમ,$AB = BC = CA = 7\, cm$. આથી $7\, cm$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ બને છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (7)^{2} = \frac{49\sqrt{3}}{4} \approx \frac{49 \times 1.732}{4} \approx 21.2176\, cm^{2}$.
ત્રણ વર્તુળો વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળમાંથી ત્રિકોણની અંદર આવેલા ત્રણ વૃતાંશના ક્ષેત્રફળને બાદ કરવાથી મળે છે. સમબાજુ ત્રિકોણનો દરેક ખૂણો $60^{\circ}$ હોય છે.
ત્રણ વૃતાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 3 \times \left( \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2} \right) = 3 \times \frac{1}{6} \times \pi \times (3.5)^{2} = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = 11 \times 0.5 \times 3.5 = 19.25\, cm^{2}$.
તેથી,વર્તુળો વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $= \triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ - ત્રણ વૃતાંશનું કુલ ક્ષેત્રફળ
$= 21.2176 - 19.25 = 1.9676\, cm^{2}$.
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $1.967\, cm^{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે, ચોરસ શીટનું ક્ષેત્રફળ $= 784 \, cm^{2}$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= (\text{બાજુ})^{2}$ હોવાથી, $(\text{બાજુ})^{2} = 784$.
તેથી, બાજુ $= \sqrt{784} = 28 \, cm$.
ચાર એકરૂપ વર્તુળાકાર પ્લેટો એવી રીતે મૂકવામાં આવી છે કે દરેક પ્લેટ અન્ય બે પ્લેટોને અને ચોરસની બાજુઓને સ્પર્શે છે, તેથી દરેક વર્તુળાકાર પ્લેટનો વ્યાસ ચોરસની બાજુના અડધા જેટલો થાય.
દરેક વર્તુળાકાર પ્લેટનો વ્યાસ $= 28 / 2 = 14 \, cm$.
દરેક વર્તુળાકાર પ્લેટની ત્રિજ્યા $(r) = 14 / 2 = 7 \, cm$.
એક વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^{2} = \frac{22}{7} \times (7)^{2} = 22 \times 7 = 154 \, cm^{2}$.
ચાર વર્તુળાકાર પ્લેટોનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times 154 = 616 \, cm^{2}$.
વર્તુળાકાર પ્લેટો દ્વારા આવરી ન લેવાયેલ ચોરસ શીટનું ક્ષેત્રફળ $= \text{ચોરસનું ક્ષેત્રફળ} - \text{ચાર વર્તુળાકાર પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ}$.
$= 784 - 616 = 168 \, cm^{2}$.

(B) આપેલ છે કે,રૂમનું ભોંયતળિયું વર્તુળાકાર લાદીઓથી ઢંકાયેલું છે.
ભોંયતળિયાની લંબાઈ $(l) = 5 \, m$.
ભોંયતળિયાની પહોળાઈ $(b) = 4 \, m$.
ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ $= l \times b = 5 \times 4 = 20 \, m^2$.
દરેક વર્તુળાકાર લાદીનો વ્યાસ $= 50 \, cm = 0.5 \, m$.
દરેક વર્તુળાકાર લાદીની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{0.5}{2} = 0.25 \, m = \frac{1}{4} \, m$.
એક વર્તુળાકાર લાદીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = 3.14 \times (0.25)^2 = 3.14 \times 0.0625 = 0.19625 \, m^2$.
આકૃતિ પરથી,લંબાઈ પર લાદીઓની સંખ્યા $= \frac{5 \, m}{0.5 \, m} = 10$ લાદી.
પહોળાઈ પર લાદીઓની સંખ્યા $= \frac{4 \, m}{0.5 \, m} = 8$ લાદી.
લાદીઓની કુલ સંખ્યા $= 10 \times 8 = 80$ લાદી.
$80$ લાદીઓ દ્વારા આવરી લેવાયેલ કુલ ક્ષેત્રફળ $= 80 \times 0.19625 = 15.7 \, m^2$.
લાદીઓથી ન ઢંકાયેલ ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ $=$ ભોંયતળિયાનું કુલ ક્ષેત્રફળ $-$ લાદીઓનું કુલ ક્ષેત્રફળ.
ન ઢંકાયેલ ક્ષેત્રફળ $= 20 - 15.7 = 4.3 \, m^2$.

(C) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે,વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= 1256 \, cm^{2}$.
$\pi r^{2} = 1256$
$r^{2} = \frac{1256}{3.14} = 400$
$r = \sqrt{400} = 20 \, cm$.
જ્યારે સમબાજુ ચતુષ્કોણના બધા શિરોબિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા હોય,ત્યારે તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ ચોરસ બને છે કારણ કે તેના વિકર્ણો વર્તુળના વ્યાસ છે અને તેઓ એકબીજાને $90^{\circ}$ પર દુભાગે છે.
આમ,વિકર્ણો $d_{1}$ અને $d_{2}$ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલા થાય છે.
$d_{1} = d_{2} = 2 \times r = 2 \times 20 = 40 \, cm$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times d_{1} \times d_{2}$
$= \frac{1}{2} \times 40 \times 40$
$= 20 \times 40 = 800 \, cm^{2}$.
આમ,સમબાજુ ચતુષ્કોણનું જરૂરી ક્ષેત્રફળ $800 \, cm^{2}$ છે.

(A) વર્તુળના પરિઘનું સૂત્ર $C = \pi d$ છે,જ્યાં $C$ એ પરિઘ છે અને $d$ એ વ્યાસ છે.
અહીં $C = 251.2 \, cm$ અને $\pi = 3.14$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $251.2 = 3.14 \times d$.
વ્યાસ $d$ શોધવા માટે,પરિઘને $\pi$ વડે ભાગતા: $d = \frac{251.2}{3.14}$.
$d = 80 \, cm$.
આમ,વર્તુળનો વ્યાસ $80 \, cm$ છે.

(D) $1$ પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર એ પૈડાના પરિઘ જેટલું હોય છે.
પરિઘ $= 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 = 132 \, cm$.
$1$ મિનિટમાં કાપેલું અંતર $= 800 \times 132 \, cm = 105600 \, cm$.
$1$ કલાક ($60$ મિનિટ) માં કાપેલું અંતર $= 105600 \times 60 \, cm = 6336000 \, cm$.
સેન્ટિમીટરને કિલોમીટરમાં ફેરવવા માટે,આપણે $100$ વડે ભાગીશું (મીટર મેળવવા માટે) અને પછી $1000$ વડે ભાગીશું (કિલોમીટર મેળવવા માટે).
ઝડપ $= \frac{6336000}{100 \times 1000} \, km/h = 63.36 \, km/h$.
આમ,કારની ઝડપ $63.36 \, km/h$ છે.

(A) આપેલ છે: વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = 12 \, cm$ અને $\pi = 3.14$.
વર્તુળનો પરિઘ $= 2 \pi r = 2 \times 3.14 \times 12 = 75.36 \, cm$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = 3.14 \times (12)^2 = 3.14 \times 144 = 452.16 \, cm^2$.
આમ,વર્તુળનો પરિઘ $75.36 \, cm$ અને ક્ષેત્રફળ $452.16 \, cm^2$ છે.

(N/A) $1$. વાડ કરવાનો ખર્ચ: વર્તુળાકાર મેદાનની સીમા એટલે તેનો પરિઘ,જે $C = 2 \pi r$ દ્વારા મળે છે.
$r = 63 \, m$ અને $\pi = 22/7$ લેતા,$C = 2 \times (22/7) \times 63 = 2 \times 22 \times 9 = 396 \, m$.
વાડ કરવાનો ખર્ચ $396 \, m \times ₹ 50/m = ₹ 19,800$ થાય.
$2$. સમતલ કરવાનો ખર્ચ: વર્તુળાકાર મેદાનનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
$A = (22/7) \times 63 \times 63 = 22 \times 9 \times 63 = 12,474 \, m^2$.
સમતલ કરવાનો ખર્ચ $12,474 \, m^2 \times ₹ 40/m^2 = ₹ 4,98,960$ થાય.

(D) વર્તુળાકાર શીટનું ક્ષેત્રફળ $A_{circle} = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386\, cm^2$ છે.
$a = 21\, cm$ બાજુ ધરાવતો નિયમિત ષટ્કોણ $6$ સમબાજુ ત્રિકોણનો બનેલો છે.
નિયમિત ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $A_{hexagon} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times (21)^2$ થાય.
$\sqrt{3} = 1.73$ અને $a = 21$ મુકતા:
$A_{hexagon} = \frac{3 \times 1.73}{2} \times 441 = 1.5 \times 1.73 \times 441 = 2.595 \times 441 = 1144.395\, cm^2$.
બાકી રહેલી શીટનું ક્ષેત્રફળ $A_{remaining} = A_{circle} - A_{hexagon} = 1386 - 1144.395 = 241.605\, cm^2$ થાય.

(A) $1$. લંબચોરસ $ABCD$ નો વિકર્ણ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$2$. $\triangle ABC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,વિકર્ણ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, cm$.
$3$. વર્તુળનો વ્યાસ $10 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm$ થાય.
$4$. વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = 3.14 \times 5^2 = 3.14 \times 25 = 78.5 \, cm^2$ છે.
$5$. લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $AB \times BC = 8 \times 6 = 48 \, cm^2$ છે.
$6$. છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરતા મળે છે: $78.5 - 48 = 30.5 \, cm^2$.

(C) $1$. લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 20 \times 14 = 280 \, cm^2$.
$2$. $BC = 14 \, cm$ વ્યાસ ધરાવતા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ (ત્રિજ્યા $r = 7 \, cm$): $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 77 \, cm^2$.
$3$. $A$ કેન્દ્ર અને $AD = 14 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ (ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$): $\frac{90}{360} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 154 \, cm^2$.
$4$. બાકી રહેલી શીટનું ક્ષેત્રફળ = લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ - (અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ + વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ) = $280 - (77 + 154) = 280 - 231 = 49 \, cm^2$.

(C) આપેલ છે: $AB = BC = 14 \text{ cm}$ અને $\angle B = 90^{\circ}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કર્ણ $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 14^2 + 14^2 = 196 + 196 = 392$.
$AC = \sqrt{392} = 14\sqrt{2} \text{ cm}$.
વ્યાસ $AC$ વાળા અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \text{ cm}$ છે.
વ્યાસ $AC$ વાળા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (7\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 98 = 11 \times 14 = 154 \text{ cm}^2$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 14 \times 14 = 98 \text{ cm}^2$.
વર્તુળના વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ (જીવા $AC$ અને ચાપ $APC$ દ્વારા ઘેરાયેલ) = વૃત્તાંશ $BAPC$ નું ક્ષેત્રફળ - $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ.
વૃત્તાંશ $BAPC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{90}{360} \times \pi \times (14)^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 196 = 154 \text{ cm}^2$.
વૃત્તખંડ $APC$ નું ક્ષેત્રફળ = $154 - 98 = 56 \text{ cm}^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ અર્ધવર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી વૃત્તખંડ $APC$ નું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = $154 - 56 = 98 \text{ cm}^2$.

(B) આપેલ છે: મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 7\, cm$.
નાના વર્તુળનો વ્યાસ $OD = R = 7\, cm$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = 3.5\, cm$ થાય.
નાના છાયાંકિત વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = 38.5\, cm^2$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times\text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times OC = \frac{1}{2} \times 14 \times 7 = 49\, cm^2$.
અર્ધવર્તુળ $ACB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 77\, cm^2$.
છાયાંકિત વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ (નાના વર્તુળ સિવાય) = અર્ધવર્તુળ $ACB$ નું ક્ષેત્રફળ - $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $77 - 49 = 28\, cm^2$.
કુલ છાયાંકિત ક્ષેત્રફળ = નાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ + છાયાંકિત વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = $38.5 + 28 = 66.5\, cm^2$.

(D) ચોરસ $ABCD$ ની બાજુની લંબાઈ $s = 35 \, cm$ છે.
ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= s^2 = 35^2 = 1225 \, cm^2$.
અહીં બાજુઓ $\overline{AB}$ અને $\overline{CD}$ પર બે અર્ધવર્તુળો દોરેલા છે જેનો વ્યાસ $d = 35 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{35}{2} = 17.5 \, cm$ થાય.
બે અર્ધવર્તુળોનું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 17.5 \times 17.5 = 22 \times 2.5 \times 17.5 = 962.5 \, cm^2$.
છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = (ચોરસનું ક્ષેત્રફળ) - (બે અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ) = $1225 - 962.5 = 262.5 \, cm^2$.

(A) દરેક વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 21\, cm$ છે.
દરેક વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 21 = 42\, cm$ છે.
ચોરસની દરેક બાજુ પર $3$ વર્તુળો હોવાથી,ચોરસની બાજુની લંબાઈ $S = 3 \times d = 3 \times 42 = 126\, cm$ થાય.
ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ = $S^2 = 126^2 = 15876\, cm^2$.
એક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 22 \times 3 \times 21 = 1386\, cm^2$.
$9$ વર્તુળોનું કુલ ક્ષેત્રફળ = $9 \times 1386 = 12474\, cm^2$.
ડિઝાઈન વગરના ભાગનું ક્ષેત્રફળ = ચોરસનું ક્ષેત્રફળ - $9$ વર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ.
ક્ષેત્રફળ = $15876 - 12474 = 3402\, cm^2$.

(B) આ આકૃતિમાં એક મોટું અર્ધવર્તુળ જેનો વ્યાસ $AB$ છે અને બે નાના અર્ધવર્તુળો જેમના વ્યાસ $OA$ અને $OB$ છે,તેનો સમાવેશ થાય છે.
આપેલ છે કે $OA = 70\, cm$ અને $OB = 70\, cm$,તેથી મોટા અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ $AB = OA + OB = 70 + 70 = 140\, cm$ થાય.
મોટા અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 140 / 2 = 70\, cm$ છે.
દરેક નાના અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 70 / 2 = 35\, cm$ છે.
મોટા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 70 \times 70 = 11 \times 10 \times 70 = 7700\, cm^2$ થાય.
બે નાના અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ $2 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 = 22 \times 5 \times 35 = 3850\, cm^2$ થાય.
આકૃતિનું કુલ ક્ષેત્રફળ એ મોટા અર્ધવર્તુળ અને બે નાના અર્ધવર્તુળોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે: $7700 + 3850 = 11550\, cm^2$.

(A) ધારો કે વર્તુળની પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ છે. પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2$ છે.
જો ત્રિજ્યામાં $10 \%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $r' = r + 0.10r = 1.1r$ થાય.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (1.1r)^2 = \pi (1.21r^2) = 1.21 \pi r^2$ થાય.
ક્ષેત્રફળમાં થયેલ વધારો $A_2 - A_1 = 1.21 \pi r^2 - \pi r^2 = 0.21 \pi r^2$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{0.21 \pi r^2}{\pi r^2} \times 100 \% = 21 \%$ છે.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે અને વિકર્ણ $d$ છે.
ચોરસના વિકર્ણનું સૂત્ર $d = a\sqrt{2}$ છે.
આપેલ છે કે $d = 10$,તેથી $a\sqrt{2} = 10$.
તેથી,$a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $Area = a^2$ દ્વારા મળે છે.
$Area = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50$.
વૈકલ્પિક રીતે,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ વિકર્ણનો ઉપયોગ કરીને $Area = \frac{1}{2} \times d^2$ તરીકે ગણી શકાય છે.
$Area = \frac{1}{2} \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 100 = 50$.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $d = a \sqrt{2}$ છે.
અહીં વિકર્ણ $d = 8 \sqrt{2}$ આપેલ છે.
બંનેને સરખાવતા,$a \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,બાજુની લંબાઈ $a = 8$ મળે છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = a^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,$\text{Area} = 8^2 = 64$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ વિકર્ણ $d$ નો ઉપયોગ કરીને $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d^2$ દ્વારા પણ શોધી શકાય છે.
$d = 8 \sqrt{2}$ મૂકતા,$\text{Area} = \frac{1}{2} \times (8 \sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times (64 \times 2) = \frac{1}{2} \times 128 = 64$ થાય છે.

(D) ચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી તેના વિકર્ણ $d$ ની લંબાઈનો ઉપયોગ કરીને આ સૂત્ર દ્વારા કરી શકાય છે: $\text{Area} = \frac{d^2}{2}$.
અહીં વિકર્ણની લંબાઈ $d = 6$ આપેલી છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$.

(C) $r$ ત્રિજ્યા અને $\theta$ (અંશમાં) કેન્દ્રિય ખૂણા ધરાવતા વર્તુળના લઘુચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $l_{minor} = \frac{\theta}{360} \times 2 \pi r = \frac{\pi r \theta}{180}$ છે.
વર્તુળનો કુલ પરિઘ $2 \pi r$ હોવાથી,ગુરુચાપની લંબાઈ એ કુલ પરિઘમાંથી લઘુચાપની લંબાઈ બાદ કરવાથી મળે છે.
તેથી,ગુરુચાપની લંબાઈ $l_{major} = 2 \pi r - \frac{\pi r \theta}{180}$ થાય.

(D) વર્તુળાકાર મેદાન માટે,વ્યાસ $d = 105 \, m$ છે.
વાડની લંબાઈ એ વર્તુળાકાર મેદાનના પરિઘ જેટલી હોય છે.
પરિઘ $= \pi d = \frac{22}{7} \times 105$.
$= 22 \times 15 = 330 \, m$.
તેથી,વાડની લંબાઈ $330 \, m$ છે.

(D) અર્ધવર્તુળાકાર બગીચાની પરિમિતિ એ તેની અર્ધ-પરિઘ અને તેના વ્યાસનો સરવાળો છે.
પરિમિતિ $= \pi r + 2r$
આપેલ ત્રિજ્યા $r = 35 \, m$.
પરિમિતિ $= \frac{22}{7} \times 35 + 2 \times 35$
પરિમિતિ $= 22 \times 5 + 70$
પરિમિતિ $= 110 + 70$
પરિમિતિ $= 180 \, m$.
તેથી,બગીચાનો એક સંપૂર્ણ આંટો મારવા માટે $180 \, m$ અંતર કાપવું પડે.

(C) વર્તુળના પરિઘનું સૂત્ર $C = 2\pi r$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 8.4\,cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$C = 2 \times \frac{22}{7} \times 8.4$ મળે.
$C = 2 \times 22 \times 1.2$.
$C = 44 \times 1.2 = 52.8\,cm$.

(C) એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર $= 440 \, cm$.
$250$ પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર $= 440 \times 250 \, cm$.
પૈડું પ્રતિ મિનિટ $250$ પરિભ્રમણ કરે છે,તેથી $1$ મિનિટમાં કાપેલું અંતર $= 440 \times 250 \, cm$.
$1$ કલાક ($60$ મિનિટ) માં કાપેલું અંતર $= 440 \times 250 \times 60 \, cm$.
આ અંતરને કિલોમીટરમાં ફેરવવા માટે,આપણે $100$ વડે ભાગીશું ($cm$ ને $m$ માં ફેરવવા) અને ત્યારબાદ $1000$ વડે ભાગીશું ($m$ ને $km$ માં ફેરવવા):
$km$ માં અંતર $= \frac{440 \times 250 \times 60}{100 \times 1000} \, km$.
$= \frac{6,600,000}{100,000} \, km = 66 \, km$.
તેથી,ટ્રકની ઝડપ $66 \, km/h$ છે.