Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Gujarati

(D) જ્યારે શંકુને તેના પાયાને સમાંતર સમતલ દ્વારા કાપવામાં આવે છે,ત્યારે તે બે ભાગમાં વહેંચાય છે: ઉપરના ભાગમાં એક નાનો શંકુ અને નીચેના ભાગમાં બાકી રહેલો ભાગ. બાકી રહેલા આ ભાગને,જેમાં અલગ-અલગ ત્રિજ્યાના બે વર્તુળાકાર પાયા હોય છે,તેને શંકુનો આડછેદ (frustum) કહેવામાં આવે છે.

(A) ધારો કે બે ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
ગોળાના ઘનફળનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
આપેલ ઘનફળનો ગુણોત્તર $V_1 : V_2 = 64 : 27$ હોવાથી:
$\frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \frac{64}{27}$
$\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{64}{27} = \left(\frac{4}{3}\right)^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{3}$
ગોળાની સપાટીના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = 4 \pi r^2$ છે.
તેમની સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{4 \pi r_1^2}{4 \pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$
$\frac{r_1}{r_2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$
આમ,તેમની સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $16:9$ છે.

(N/A) બાહ્ય લંબચોરસ $ABCD$ ની લંબાઈ $L = 26 \, m$ અને પહોળાઈ $B = 12 \, m$ છે.
બાહ્ય લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= L \times B = 26 \times 12 = 312 \, m^2$ થાય.
અંદરનો અછાયાંકિત ભાગ એક લંબચોરસ અને બે અર્ધવર્તુળોનો બનેલો છે.
અંદરના લંબચોરસની પહોળાઈ $12 - (4 + 4) = 4 \, m$ છે. આ બે અર્ધવર્તુળોનો વ્યાસ પણ છે.
દરેક અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 4 / 2 = 2 \, m$ થાય.
અંદરના લંબચોરસની લંબાઈ $26 - (3 + 3 + 2 + 2) = 16 \, m$ છે ($3 \, m$ ની જગ્યા અને બે અર્ધવર્તુળોની ત્રિજ્યા બાદ કરતાં).
અંદરના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= 16 \times 4 = 64 \, m^2$ થાય.
બે અર્ધવર્તુળોનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = \pi r^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \, m^2$ થાય.
કુલ અછાયાંકિત ક્ષેત્રફળ $= 64 + 4\pi \, m^2$ થાય.
છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ $=$ બાહ્ય લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $-$ કુલ અછાયાંકિત ક્ષેત્રફળ
$= 312 - (64 + 4\pi) = (248 - 4\pi) \, m^2$.

(C) ધારો કે શંકુ $A$ નું ઘનફળ $2V$ છે અને શંકુ $B$ નું ઘનફળ $V$ છે. ધારો કે શંકુ $A$ ની ઊંચાઈ $h_1 \, cm$ છે,તો શંકુ $B$ ની ઊંચાઈ $(21 - h_1) \, cm$ થશે.
આપેલ છે,શંકુનો વ્યાસ $= 6 \, cm$.
તેથી,શંકુની ત્રિજ્યા $r = \frac{6}{2} = 3 \, cm$.
શંકુ $A$ નું ઘનફળ $= 2V = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi (3)^2 h_1 = 3 \pi h_1$.
આમ,$V = \frac{3}{2} \pi h_1$ ...... $(i)$
શંકુ $B$ નું ઘનફળ $= V = \frac{1}{3} \pi r^2 (21 - h_1) = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (21 - h_1) = 3 \pi (21 - h_1)$ ...... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{3}{2} \pi h_1 = 3 \pi (21 - h_1)$
$\frac{1}{2} h_1 = 21 - h_1$
$\frac{3}{2} h_1 = 21$
$h_1 = 14 \, cm$.
શંકુ $A$ ની ઊંચાઈ $= 14 \, cm$,શંકુ $B$ ની ઊંચાઈ $= 21 - 14 = 7 \, cm$.
શંકુ $A$ નું ઘનફળ $= 3 \pi (14) = 3 \times \frac{22}{7} \times 14 = 132 \, cm^3$.
શંકુ $B$ નું ઘનફળ $= 3 \pi (7) = 3 \times \frac{22}{7} \times 7 = 66 \, cm^3$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^2 H = \frac{22}{7} \times (3)^2 \times 21 = 22 \times 9 \times 3 = 594 \, cm^3$.
બાકીના ભાગનું ઘનફળ $=$ નળાકારનું ઘનફળ $-$ (શંકુ $A$ નું ઘનફળ $+$ શંકુ $B$ નું ઘનફળ)
$= 594 - (132 + 66) = 594 - 198 = 396 \, cm^3$.

(N/A) ધારો કે $r$ એ અર્ધગોલક અને શંકુની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ શંકુની ઊંચાઈ છે. આપેલ છે કે $h = 4\, cm$ અને વ્યાસ $d = 8\, cm$,તેથી $r = 4\, cm$.
રમકડાનું ઘનફળ $=$ અર્ધગોલકનું ઘનફળ $+$ શંકુનું ઘનફળ
$= \frac{2}{3} \pi r^3 + \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 (2r + h)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 4^2 \times (2 \times 4 + 4) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 16 \times 12 = \frac{1408}{7} \approx 201.14\, cm^3$.
એક સમઘન રમકડાને પરિબદ્ધ કરે છે. રમકડાની ઊંચાઈ $h + r = 4 + 4 = 8\, cm$ છે અને પહોળાઈ $8\, cm$ છે. તેથી,સમઘનની ધાર $a = 8\, cm$ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $= a^3 = 8^3 = 512\, cm^3$.
ઘનફળનો તફાવત $= 512 - 201.14 = 310.86\, cm^3$.
રમકડાની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $=$ શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $+$ અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ
$= \pi r l + 2 \pi r^2$,જ્યાં તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\, cm$.
$= \pi r (l + 2r) = \frac{22}{7} \times 4 \times (4\sqrt{2} + 8) = \frac{88}{7} \times 4(\sqrt{2} + 2) = \frac{352}{7} (1.414 + 2) \approx 171.68\, cm^2$.

(N/A) આપેલ છે કે,ચોખાનો ઢગલો શંકુ આકારનો છે.
શંકુની ઊંચાઈ $(h) = 3.5 \, m$.
શંકુનો વ્યાસ $= 9 \, m$,તેથી ત્રિજ્યા $(r) = \frac{9}{2} = 4.5 \, m$.
ચોખાનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (4.5)^2 \times 3.5 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 20.25 \times 3.5 = 74.25 \, m^3$.
ઢગલાને ઢાંકવા માટે,આપણે શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવું પડશે,જે $\pi r l$ છે,જ્યાં $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.
$l = \sqrt{(4.5)^2 + (3.5)^2} = \sqrt{20.25 + 12.25} = \sqrt{32.5} \approx 5.70 \, m$.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{22}{7} \times 4.5 \times 5.70 \approx 80.61 \, m^2$.
આમ,ચોખાનું ઘનફળ $74.25 \, m^3$ છે અને જરૂરી કેનવાસ કાપડ $80.61 \, m^2$ છે.

(N/A) રોકેટ એ લંબવૃત્તીય નળાકાર અને શંકુનું મિશ્રણ છે.
આપેલ છે: નળાકારનો વ્યાસ $= 6 \, cm$.
નળાકારની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{6}{2} = 3 \, cm$.
નળાકારની ઊંચાઈ $(H) = 12 \, cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^2 H = 3.14 \times (3)^2 \times 12 = 3.14 \times 9 \times 12 = 339.12 \, cm^3$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r H = 2 \times 3.14 \times 3 \times 12 = 226.08 \, cm^2$.
શંકુ માટે,તિર્યક ઊંચાઈ $(l) = 5 \, cm$ અને ત્રિજ્યા $(r) = 3 \, cm$.
શંકુની ઊંચાઈ $(h) = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \, cm$.
શંકુનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (3)^2 \times 4 = 3.14 \times 3 \times 4 = 37.68 \, cm^3$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r l = 3.14 \times 3 \times 5 = 47.1 \, cm^2$.
રોકેટનું કુલ ઘનફળ $= \text{નળાકારનું ઘનફળ} + \text{શંકુનું ઘનફળ} = 339.12 + 37.68 = 376.8 \, cm^3$.
રોકેટનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= \text{શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ} = 47.1 + 226.08 + (\pi r^2) = 47.1 + 226.08 + (3.14 \times 3^2) = 47.1 + 226.08 + 28.26 = 301.44 \, cm^2$.

(C) ધારો કે ઇમારતની કુલ ઊંચાઈ ગુંબજના આંતરિક વ્યાસ જેટલી છે,જે $2r \, m$ છે.
તેથી,ઇમારત (અથવા ગુંબજ) ની ત્રિજ્યા $\frac{2r}{2} = r \, m$ છે.
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ $2r - r = r \, m$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $= \pi r^2 h = \pi r^2 (r) = \pi r^3 \, m^3$.
અર્ધગોળાકાર ગુંબજનું ઘનફળ $= \frac{2}{3} \pi r^3 \, m^3$.
ઇમારતનું કુલ ઘનફળ $=$ નળાકારનું ઘનફળ $+$ અર્ધગોળાકાર ગુંબજનું ઘનફળ.
કુલ ઘનફળ $= \pi r^3 + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{5}{3} \pi r^3 \, m^3$.
આપેલ છે કે અંદરની હવાનું ઘનફળ $41 \frac{19}{21} \, m^3 = \frac{880}{21} \, m^3$ છે.
ઘનફળને સરખાવતા: $\frac{5}{3} \pi r^3 = \frac{880}{21}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,$\frac{5}{3} \times \frac{22}{7} \times r^3 = \frac{880}{21}$.
$\frac{110}{21} r^3 = \frac{880}{21}$.
$r^3 = \frac{880}{110} = 8$.
$r = \sqrt[3]{8} = 2 \, m$.
ઇમારતની કુલ ઊંચાઈ $= 2r = 2 \times 2 = 4 \, m$.

(D) આપેલ છે:
લંબઘન પેન સ્ટેન્ડની લંબાઈ $(l) = 10 \, cm$,પહોળાઈ $(b) = 5 \, cm$ અને ઊંચાઈ $(h) = 4 \, cm$.
લંબઘનનું ઘનફળ $= l \times b \times h = 10 \times 5 \times 4 = 200 \, cm^3$.
દરેક શંકુ આકારના ખાડાની ત્રિજ્યા $(r) = 0.5 \, cm$ અને ઊંડાઈ $(h_1) = 2.1 \, cm$.
એક શંકુ આકારના ખાડાનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.5)^2 \times 2.1 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times 2.1 = 0.55 \, cm^3$.
$4$ શંકુ આકારના ખાડાઓનું ઘનફળ $= 4 \times 0.55 = 2.2 \, cm^3$.
સમઘન આકારના ખાડાની ધાર $(a) = 3 \, cm$.
સમઘન આકારના ખાડાનું ઘનફળ $= a^3 = 3^3 = 27 \, cm^3$.
સ્ટેન્ડમાં વપરાયેલા લાકડાનું ઘનફળ $=$ લંબઘનનું ઘનફળ $-$ ($4$ શંકુ આકારના ખાડાઓનું ઘનફળ $+$ સમઘન આકારના ખાડાનું ઘનફળ)
$= 200 - (2.2 + 27) = 200 - 29.2 = 170.8 \, cm^3$.

(N/A) આપેલ શંકુના આડછેદ માટે,
મોટી ત્રિજ્યા $r_{1} = 14 \,cm$,નાની ત્રિજ્યા $r_{2} = 7 \,cm$ અને ઊંચાઈ $h = 24 \,cm$.
શંકુના આડછેદની તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} - r_{2})^{2}}$
$= \sqrt{24^{2} + (14 - 7)^{2}}$
$= \sqrt{576 + 49}$
$= \sqrt{625} = 25 \,cm$.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= \pi l(r_{1} + r_{2})$
$= \frac{22}{7} \times 25 \times (14 + 7)$
$= \frac{22}{7} \times 25 \times 21 = 22 \times 25 \times 3 = 1650 \,cm^{2}$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $= \pi l(r_{1} + r_{2}) + \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$
$= 1650 + \frac{22}{7} \times (14^{2} + 7^{2})$
$= 1650 + \frac{22}{7} \times (196 + 49)$
$= 1650 + \frac{22}{7} \times 245$
$= 1650 + 22 \times 35 = 1650 + 770 = 2420 \,cm^{2}$.
ઘનફળ $= \frac{1}{3} \pi h(r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 24 \times (196 + 49 + 98)$
$= \frac{22 \times 8}{7} \times 343$
$= 22 \times 8 \times 49 = 8624 \,cm^{3}$.
આમ,વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $1650 \,cm^{2}$,કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2420 \,cm^{2}$ અને ઘનફળ $8624 \,cm^{3}$ છે.

(N/A) આપેલ છે: $R = 35 \, cm$,$r = 21 \, cm$,$h = 48 \, cm$.
પ્રથમ,તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{48^2 + (35 - 21)^2} = \sqrt{2304 + 196} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $= \pi(R + r)l = \frac{22}{7} \times (35 + 21) \times 50 = \frac{22}{7} \times 56 \times 50 = 22 \times 8 \times 50 = 8800 \, cm^2$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $= \pi l(R + r) + \pi R^2 + \pi r^2 = 8800 + \frac{22}{7} \times (35^2 + 21^2) = 8800 + \frac{22}{7} \times (1225 + 441) = 8800 + \frac{22}{7} \times 1666 = 8800 + 22 \times 238 = 8800 + 5236 = 14036 \, cm^2$.
ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 48 \times (35^2 + 21^2 + 35 \times 21) = \frac{22 \times 16}{7} \times (1225 + 441 + 735) = \frac{352}{7} \times 2401 = 352 \times 343 = 120736 \, cm^3$.

(A) આપેલ છે: નળાકારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $8 \, cm$,નળાકારની ઊંચાઈ $(h_1)$ = $9 \, cm$,શંકુની ઊંચાઈ $(h_2)$ = $15 \, cm$.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \, cm$.
કુલ પૃષ્ઠફળ = નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ.
$= 2\pi rh_1 + \pi rl + \pi r^2 = \pi r(2h_1 + l + r) = \frac{22}{7} \times 8 \times (2 \times 9 + 17 + 8) = \frac{176}{7} \times 43 \approx 1081.14 \, cm^2$.
ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ + શંકુનું ઘનફળ = $\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \pi r^2 (h_1 + \frac{h_2}{3}) = \frac{22}{7} \times 8^2 \times (9 + \frac{15}{3}) = \frac{22}{7} \times 64 \times 14 = 22 \times 64 \times 2 = 2816 \, cm^3$.

(N/A) $1$. પાત્રનું ઘનફળ: પાત્ર નળાકાર અને શંકુનું બનેલું છે. ત્રિજ્યા $r = 35 \,cm$,નળાકારની ઊંચાઈ $h_1 = 52 \,cm$,અને શંકુની ઊંચાઈ $h_2 = 12 \,cm$.
નળાકારનું ઘનફળ $V_1 = \pi r^2 h_1 = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 \times 52 = 200,200 \,cm^3$.
શંકુનું ઘનફળ $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 35 \times 35 \times 12 = 15,400 \,cm^3$.
કુલ ઘનફળ $V = V_1 + V_2 = 200,200 + 15,400 = 215,600 \,cm^3$.
$1,000 \,cm^3 = 1 \,\text{લિટર}$ હોવાથી,ઘનફળ $215.6 \,\text{લિટર}$ થાય.
$2$. કુલ પૃષ્ઠફળ: પૃષ્ઠફળમાં નળાકારનો પાયો,નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળનો સમાવેશ થાય છે.
શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = \sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{35^2 + 12^2} = \sqrt{1225 + 144} = \sqrt{1369} = 37 \,cm$.
નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 = 3,850 \,cm^2$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= 2 \pi r h_1 = 2 \times \frac{22}{7} \times 35 \times 52 = 11,440 \,cm^2$.
શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 35 \times 37 = 4,070 \,cm^2$.
કુલ પૃષ્ઠફળ $= 3,850 + 11,440 + 4,070 = 19,360 \,cm^2$.

(N/A) $1$. શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $(l)$: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29 \, cm$.
$2$. શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$: $CSA_{cone} = \pi rl = \frac{22}{7} \times 21 \times 29 = 22 \times 3 \times 29 = 1914 \, cm^2$.
$3$. અર્ધગોળાની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$: $CSA_{hemi} = 2\pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 3 \times 21 = 2772 \, cm^2$.
$4$. કુલ વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ: $1914 + 2772 = 4686 \, cm^2$.
$5$. શંકુનું ઘનફળ $(V_{cone})$: $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 20 = 22 \times 21 \times 20 = 9240 \, cm^3$.
$6$. અર્ધગોળાનું ઘનફળ $(V_{hemi})$: $V_{hemi} = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 21 \times 21 = 19404 \, cm^3$.
$7$. કુલ ઘનફળ: $9240 + 19404 = 28644 \, cm^3$.

(B) આપેલા ભાગોને જોડવા માટે,આપણે પૃષ્ઠફળના સૂત્રોને ઓળખીએ છીએ:
$1$. નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $2\pi rh$ છે. તેથી,$1-b$.
$2$. ગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $4\pi r^2$ છે. તેથી,$2-c$.
$3$. શંકુની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(CSA)$ $\pi rl$ છે. તેથી,$3-d$.
$4$. અર્ધગોલકની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(TSA)$ $3\pi r^2$ છે. તેથી,$4-a$.
તેથી,સાચી જોડ $(1-b), (2-c), (3-d), (4-a)$ છે.