Mix Examples - Surface Areas and Volumes Questions in Hindi

(D) जब एक शंकु को उसके आधार के समानांतर एक समतल द्वारा काटा जाता है,तो वह दो भागों में विभाजित हो जाता है: ऊपर की ओर एक छोटा शंकु और नीचे की ओर बचा हुआ भाग। बचे हुए इस भाग को,जिसमें अलग-अलग त्रिज्याओं वाले दो वृत्ताकार आधार होते हैं,शंकु का छिन्नक (frustum) कहा जाता है।

(A) माना कि दो गोलों की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
आयतन का अनुपात $V_1 : V_2 = 64 : 27$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \frac{64}{27}$
$\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{64}{27} = \left(\frac{4}{3}\right)^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{3}$
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है।
उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{4 \pi r_1^2}{4 \pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$
$\frac{r_1}{r_2}$ का मान रखने पर:
$\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$
अतः,उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $16:9$ है।

(N/A) बाह्य आयत $ABCD$ की लंबाई $L = 26 \, m$ और चौड़ाई $B = 12 \, m$ है।
बाह्य आयत का क्षेत्रफल $= L \times B = 26 \times 12 = 312 \, m^2$ है।
आंतरिक अछायांकित भाग एक आयत और दो अर्धवृत्तों से बना है।
आंतरिक आयत की चौड़ाई $12 - (4 + 4) = 4 \, m$ है। यह दोनों अर्धवृत्तों का व्यास भी है।
प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या $r = 4 / 2 = 2 \, m$ है।
आंतरिक आयत की लंबाई $26 - (3 + 3 + 2 + 2) = 16 \, m$ है ($3 \, m$ के अंतराल और दो अर्धवृत्तों की त्रिज्याओं को घटाने पर)।
आंतरिक आयत का क्षेत्रफल $= 16 \times 4 = 64 \, m^2$ है।
दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल $= 2 \times (\frac{1}{2} \pi r^2) = \pi r^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \, m^2$ है।
कुल अछायांकित क्षेत्रफल $= 64 + 4\pi \, m^2$ है।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल $=$ बाह्य आयत का क्षेत्रफल $-$ कुल अछायांकित क्षेत्रफल
$= 312 - (64 + 4\pi) = (248 - 4\pi) \, m^2$।

(C) माना शंकु $A$ का आयतन $2V$ है और शंकु $B$ का आयतन $V$ है। माना शंकु $A$ की ऊँचाई $h_1 \, cm$ है,तो शंकु $B$ की ऊँचाई $(21 - h_1) \, cm$ होगी।
दिया है,शंकु का व्यास $= 6 \, cm$.
अतः,शंकु की त्रिज्या $r = \frac{6}{2} = 3 \, cm$.
शंकु $A$ का आयतन $= 2V = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi (3)^2 h_1 = 3 \pi h_1$.
इस प्रकार,$V = \frac{3}{2} \pi h_1$ ...... $(i)$
शंकु $B$ का आयतन $= V = \frac{1}{3} \pi r^2 (21 - h_1) = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (21 - h_1) = 3 \pi (21 - h_1)$ ...... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{3}{2} \pi h_1 = 3 \pi (21 - h_1)$
$\frac{1}{2} h_1 = 21 - h_1$
$\frac{3}{2} h_1 = 21$
$h_1 = 14 \, cm$.
शंकु $A$ की ऊँचाई $= 14 \, cm$,शंकु $B$ की ऊँचाई $= 21 - 14 = 7 \, cm$.
शंकु $A$ का आयतन $= 3 \pi (14) = 3 \times \frac{22}{7} \times 14 = 132 \, cm^3$.
शंकु $B$ का आयतन $= 3 \pi (7) = 3 \times \frac{22}{7} \times 7 = 66 \, cm^3$.
बेलन का आयतन $= \pi r^2 H = \frac{22}{7} \times (3)^2 \times 21 = 22 \times 9 \times 3 = 594 \, cm^3$.
शेष भाग का आयतन $=$ बेलन का आयतन $-$ (शंकु $A$ का आयतन $+$ शंकु $B$ का आयतन)
$= 594 - (132 + 66) = 594 - 198 = 396 \, cm^3$.

(N/A) माना $r$ अर्धगोले और शंकु की त्रिज्या है और $h$ शंकु की ऊँचाई है। दिया है $h = 4\, cm$ और व्यास $d = 8\, cm$,अतः $r = 4\, cm$.
खिलौने का आयतन $=$ अर्धगोले का आयतन $+$ शंकु का आयतन
$= \frac{2}{3} \pi r^3 + \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 (2r + h)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 4^2 \times (2 \times 4 + 4) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 16 \times 12 = \frac{1408}{7} \approx 201.14\, cm^3$.
एक घन खिलौने को परिबद्ध करता है। खिलौने की ऊँचाई $h + r = 4 + 4 = 8\, cm$ है और चौड़ाई $8\, cm$ है। अतः,घन की भुजा $a = 8\, cm$ है।
घन का आयतन $= a^3 = 8^3 = 512\, cm^3$.
आयतन में अंतर $= 512 - 201.14 = 310.86\, cm^3$.
खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $+$ अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
$= \pi r l + 2 \pi r^2$,जहाँ तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\, cm$.
$= \pi r (l + 2r) = \frac{22}{7} \times 4 \times (4\sqrt{2} + 8) = \frac{88}{7} \times 4(\sqrt{2} + 2) = \frac{352}{7} (1.414 + 2) \approx 171.68\, cm^2$.

(N/A) दिया गया है कि चावल की ढेरी एक शंकु के आकार की है।
शंकु की ऊँचाई $(h) = 3.5 \, m$ है।
शंकु का व्यास $= 9 \, m$ है,इसलिए त्रिज्या $(r) = \frac{9}{2} = 4.5 \, m$ है।
चावल का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (4.5)^2 \times 3.5 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 20.25 \times 3.5 = 74.25 \, m^3$ है।
ढेरी को ढकने के लिए,हमें शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की आवश्यकता है,जो $\pi r l$ है,जहाँ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
$l = \sqrt{(4.5)^2 + (3.5)^2} = \sqrt{20.25 + 12.25} = \sqrt{32.5} \approx 5.70 \, m$ है।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 4.5 \times 5.70 \approx 80.61 \, m^2$ है।
अतः,चावल का आयतन $74.25 \, m^3$ है और आवश्यक कैनवास कपड़ा $80.61 \, m^2$ है।

(N/A) रॉकेट एक लंबवृत्तीय बेलन और एक शंकु का संयोजन है।
दिया है: बेलन का व्यास $= 6 \, cm$.
बेलन की त्रिज्या $(r) = \frac{6}{2} = 3 \, cm$.
बेलन की ऊँचाई $(H) = 12 \, cm$.
बेलन का आयतन $= \pi r^2 H = 3.14 \times (3)^2 \times 12 = 3.14 \times 9 \times 12 = 339.12 \, cm^3$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r H = 2 \times 3.14 \times 3 \times 12 = 226.08 \, cm^2$.
शंकु के लिए,तिर्यक ऊँचाई $(l) = 5 \, cm$ और त्रिज्या $(r) = 3 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $(h) = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \, cm$.
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (3)^2 \times 4 = 3.14 \times 3 \times 4 = 37.68 \, cm^3$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l = 3.14 \times 3 \times 5 = 47.1 \, cm^2$.
रॉकेट का कुल आयतन $= \text{बेलन का आयतन} + \text{शंकु का आयतन} = 339.12 + 37.68 = 376.8 \, cm^3$.
रॉकेट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{बेलन के आधार का क्षेत्रफल} = 47.1 + 226.08 + (\pi r^2) = 47.1 + 226.08 + (3.14 \times 3^2) = 47.1 + 226.08 + 28.26 = 301.44 \, cm^2$.

(C) माना इमारत की कुल ऊंचाई गुंबद के आंतरिक व्यास के बराबर है,जो $2r \, m$ है।
इसलिए,इमारत (या गुंबद) की त्रिज्या $\frac{2r}{2} = r \, m$ है।
बेलनाकार भाग की ऊंचाई $2r - r = r \, m$ है।
बेलन का आयतन $= \pi r^2 h = \pi r^2 (r) = \pi r^3 \, m^3$.
अर्धगोलाकार गुंबद का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^3 \, m^3$.
इमारत का कुल आयतन $=$ बेलन का आयतन $+$ अर्धगोलाकार गुंबद का आयतन।
कुल आयतन $= \pi r^3 + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{5}{3} \pi r^3 \, m^3$.
दिया गया है कि अंदर की हवा का आयतन $41 \frac{19}{21} \, m^3 = \frac{880}{21} \, m^3$ है।
आयतन की तुलना करने पर: $\frac{5}{3} \pi r^3 = \frac{880}{21}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$\frac{5}{3} \times \frac{22}{7} \times r^3 = \frac{880}{21}$.
$\frac{110}{21} r^3 = \frac{880}{21}$.
$r^3 = \frac{880}{110} = 8$.
$r = \sqrt[3]{8} = 2 \, m$.
इमारत की कुल ऊंचाई $= 2r = 2 \times 2 = 4 \, m$.

(D) दिया है:
घनाभ पेन स्टैंड की लंबाई $(l) = 10 \, cm$,चौड़ाई $(b) = 5 \, cm$ और ऊँचाई $(h) = 4 \, cm$ है।
घनाभ का आयतन $= l \times b \times h = 10 \times 5 \times 4 = 200 \, cm^3$ है।
प्रत्येक शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या $(r) = 0.5 \, cm$ और गहराई $(h_1) = 2.1 \, cm$ है।
एक शंक्वाकार गड्ढे का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.5)^2 \times 2.1 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times 2.1 = 0.55 \, cm^3$ है।
$4$ शंक्वाकार गड्ढों का आयतन $= 4 \times 0.55 = 2.2 \, cm^3$ है।
घनाकार गड्ढे का किनारा $(a) = 3 \, cm$ है।
घनाकार गड्ढे का आयतन $= a^3 = 3^3 = 27 \, cm^3$ है।
स्टैंड में लकड़ी का आयतन $=$ घनाभ का आयतन $-$ ($4$ शंक्वाकार गड्ढों का आयतन $+$ घनाकार गड्ढे का आयतन)
$= 200 - (2.2 + 27) = 200 - 29.2 = 170.8 \, cm^3$ है।

(N/A) दिए गए शंकु के छिन्नक के लिए,
बड़ी त्रिज्या $r_{1} = 14 \,cm$,छोटी त्रिज्या $r_{2} = 7 \,cm$ और ऊँचाई $h = 24 \,cm$ है।
शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^{2} + (r_{1} - r_{2})^{2}}$
$= \sqrt{24^{2} + (14 - 7)^{2}}$
$= \sqrt{576 + 49}$
$= \sqrt{625} = 25 \,cm$.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= \pi l(r_{1} + r_{2})$
$= \frac{22}{7} \times 25 \times (14 + 7)$
$= \frac{22}{7} \times 25 \times 21 = 22 \times 25 \times 3 = 1650 \,cm^{2}$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= \pi l(r_{1} + r_{2}) + \pi r_{1}^{2} + \pi r_{2}^{2}$
$= 1650 + \frac{22}{7} \times (14^{2} + 7^{2})$
$= 1650 + \frac{22}{7} \times (196 + 49)$
$= 1650 + \frac{22}{7} \times 245$
$= 1650 + 22 \times 35 = 1650 + 770 = 2420 \,cm^{2}$.
आयतन $= \frac{1}{3} \pi h(r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 24 \times (196 + 49 + 98)$
$= \frac{22 \times 8}{7} \times 343$
$= 22 \times 8 \times 49 = 8624 \,cm^{3}$.
अतः,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $1650 \,cm^{2}$,कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2420 \,cm^{2}$ और आयतन $8624 \,cm^{3}$ है।

(N/A) दिया गया है: $R = 35 \, cm$,$r = 21 \, cm$,$h = 48 \, cm$.
सबसे पहले,तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{48^2 + (35 - 21)^2} = \sqrt{2304 + 196} = \sqrt{2500} = 50 \, cm$.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= \pi(R + r)l = \frac{22}{7} \times (35 + 21) \times 50 = \frac{22}{7} \times 56 \times 50 = 22 \times 8 \times 50 = 8800 \, cm^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= \pi l(R + r) + \pi R^2 + \pi r^2 = 8800 + \frac{22}{7} \times (35^2 + 21^2) = 8800 + \frac{22}{7} \times (1225 + 441) = 8800 + \frac{22}{7} \times 1666 = 8800 + 22 \times 238 = 8800 + 5236 = 14036 \, cm^2$.
आयतन $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 48 \times (35^2 + 21^2 + 35 \times 21) = \frac{22 \times 16}{7} \times (1225 + 441 + 735) = \frac{352}{7} \times 2401 = 352 \times 343 = 120736 \, cm^3$.

(A) दिया गया है: बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $8 \, cm$,बेलन की ऊँचाई $(h_1)$ = $9 \, cm$,शंकु की ऊँचाई $(h_2)$ = $15 \, cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $\sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \, cm$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन के आधार का क्षेत्रफल।
$= 2\pi rh_1 + \pi rl + \pi r^2 = \pi r(2h_1 + l + r) = \frac{22}{7} \times 8 \times (2 \times 9 + 17 + 8) = \frac{176}{7} \times 43 \approx 1081.14 \, cm^2$.
आयतन = बेलन का आयतन + शंकु का आयतन = $\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \pi r^2 (h_1 + \frac{h_2}{3}) = \frac{22}{7} \times 8^2 \times (9 + \frac{15}{3}) = \frac{22}{7} \times 64 \times 14 = 22 \times 64 \times 2 = 2816 \, cm^3$.

(N/A) $1$. पात्र का आयतन: पात्र एक बेलन और एक शंकु से बना है। त्रिज्या $r = 35 \,cm$,बेलन की ऊँचाई $h_1 = 52 \,cm$,और शंकु की ऊँचाई $h_2 = 12 \,cm$ है।
बेलन का आयतन $V_1 = \pi r^2 h_1 = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 \times 52 = 200,200 \,cm^3$.
शंकु का आयतन $V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 35 \times 35 \times 12 = 15,400 \,cm^3$.
कुल आयतन $V = V_1 + V_2 = 200,200 + 15,400 = 215,600 \,cm^3$.
चूँकि $1,000 \,cm^3 = 1 \,\text{लीटर}$,इसलिए आयतन $215.6 \,\text{लीटर}$ है।
$2$. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: पृष्ठीय क्षेत्रफल में बेलन का आधार,बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल शामिल है।
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{35^2 + 12^2} = \sqrt{1225 + 144} = \sqrt{1369} = 37 \,cm$.
बेलन के आधार का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 35 \times 35 = 3,850 \,cm^2$.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \pi r h_1 = 2 \times \frac{22}{7} \times 35 \times 52 = 11,440 \,cm^2$.
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 35 \times 37 = 4,070 \,cm^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 3,850 + 11,440 + 4,070 = 19,360 \,cm^2$.

(N/A) $1$. शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l)$: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29 \, cm$.
$2$. शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$: $CSA_{cone} = \pi rl = \frac{22}{7} \times 21 \times 29 = 22 \times 3 \times 29 = 1914 \, cm^2$.
$3$. अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$: $CSA_{hemi} = 2\pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 3 \times 21 = 2772 \, cm^2$.
$4$. कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल: $1914 + 2772 = 4686 \, cm^2$.
$5$. शंकु का आयतन $(V_{cone})$: $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 20 = 22 \times 21 \times 20 = 9240 \, cm^3$.
$6$. अर्धगोले का आयतन $(V_{hemi})$: $V_{hemi} = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 21 = 2 \times 22 \times 21 \times 21 = 19404 \, cm^3$.
$7$. कुल आयतन: $9240 + 19404 = 28644 \, cm^3$.

(B) दिए गए भागों का मिलान करने के लिए,हम पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्रों की पहचान करते हैं:
$1$. बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $2\pi rh$ होता है। अतः,$1-b$ है।
$2$. गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $4\pi r^2$ होता है। अतः,$2-c$ है।
$3$. शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $\pi rl$ होता है। अतः,$3-d$ है।
$4$. अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $3\pi r^2$ होता है। अतः,$4-a$ है।
इसलिए,सही मिलान $(1-b), (2-c), (3-d), (4-a)$ है।