Volume of a Combination of Solids Questions in Hindi

(B) शेड के अंदर हवा का आयतन (जब कोई व्यक्ति या मशीनरी न हो) घनाभ और अर्ध-बेलन के आयतन के योग के बराबर होता है।
घनाभ के आयाम $\text{लंबाई }= 15\,m,$ $\text{चौड़ाई }= 7\,m,$ और $\text{ऊँचाई }= 8\,m$ हैं।
घनाभ का आयतन $= \text{लंबाई }\times \text{चौड़ाई }\times \text{ऊँचाई }= 15 \times 7 \times 8 = 840\,m^3.$
अर्ध-बेलन का व्यास $7\,m$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = 3.5\,m = \frac{7}{2}\,m$ है। बेलन की लंबाई $15\,m$ है।
अर्ध-बेलन का आयतन $= \frac{1}{2} \times (\pi r^2 h) = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 15 = 288.75\,m^3.$
शेड का कुल आयतन $= 840 + 288.75 = 1128.75\,m^3.$
मशीनरी द्वारा घेरा गया स्थान $= 300\,m^3.$
$20$ कर्मचारियों द्वारा घेरा गया स्थान $= 20 \times 0.08 = 1.6\,m^3.$
घेरा गया कुल स्थान $= 300 + 1.6 = 301.6\,m^3.$
शेड में हवा का आयतन $= 1128.75 - 301.6 = 827.15\,m^3.$

(C) दिया गया है,बेलनाकार गिलास का आंतरिक व्यास $= 5 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 2.5 \, cm$ है। ऊँचाई $h = 10 \, cm$ है।
गिलास की आभासी क्षमता बेलन का आयतन है:
आभासी क्षमता $= \pi r^2 h = 3.14 \times (2.5)^2 \times 10 = 3.14 \times 6.25 \times 10 = 196.25 \, cm^3$.
वास्तविक क्षमता गिलास के आधार पर अर्धगोलाकार उभरे हुए भाग के आयतन से कम हो जाती है:
अर्धगोले का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times (2.5)^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times 15.625 = 32.70833... \approx 32.71 \, cm^3$.
वास्तविक क्षमता $= \text{आभासी क्षमता} - \text{अर्धगोले का आयतन} = 196.25 - 32.71 = 163.54 \, cm^3$.

(D) माना $BPC$ अर्धगोला है और $ABC$ अर्धगोले के आधार पर स्थित शंकु है।
अर्धगोले (तथा शंकु) की त्रिज्या $BO = \frac{1}{2} \times 4 \, cm = 2 \, cm$ है।
अतः,खिलौने का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^3 + \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$= \left[ \frac{2}{3} \times 3.14 \times (2)^3 + \frac{1}{3} \times 3.14 \times (2)^2 \times 2 \right] \, cm^3 = 25.12 \, cm^3$ है।
अब,माना लंबवृत्तीय बेलन $EFGH$ दिए गए ठोस को परिबद्ध करता है। लंबवृत्तीय बेलन के आधार की त्रिज्या $= HP = BO = 2 \, cm$,और इसकी ऊँचाई $EH = AO + OP = (2 + 2) \, cm = 4 \, cm$ है।
अतः,आवश्यक आयतन का अंतर $=$ लंबवृत्तीय बेलन का आयतन $-$ खिलौने का आयतन।
$= (3.14 \times 2^2 \times 4 - 25.12) \, cm^3$ है।
$= (50.24 - 25.12) \, cm^3 = 25.12 \, cm^3$ है।
अतः,दोनों आयतनों का आवश्यक अंतर $= 25.12 \, cm^3$ है।

(N/A) दिया गया है कि,
शंकु के आकार के भाग की ऊँचाई $(h)$ $=$ शंकु के आकार के भाग की त्रिज्या $(r)$ $= 1\, cm$.
अर्धगोलीय भाग की त्रिज्या $(r)$ $=$ शंकु के आकार के भाग की त्रिज्या $(r)$ $= 1\, cm$.
ठोस का आयतन $=$ शंकु के आकार के भाग का आयतन $+$ अर्धगोलीय भाग का आयतन।
ठोस का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3$.
मान रखने पर:
ठोस का आयतन $= \frac{1}{3} \pi (1)^2 (1) + \frac{2}{3} \pi (1)^3$.
ठोस का आयतन $= \frac{1}{3} \pi + \frac{2}{3} \pi = \frac{3}{3} \pi = \pi\, cm^3$.

(B) आकृति से यह देखा जा सकता है कि:
प्रत्येक शंक्वाकार भाग की ऊँचाई $(h_1) = 2\, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h_2) = 12 - (2 \times \text{शंकु की ऊँचाई}) = 12 - (2 \times 2) = 12 - 4 = 8\, cm$.
बेलनाकार भाग की त्रिज्या $(r) =$ शंक्वाकार भाग की त्रिज्या $= \frac{3}{2} = 1.5\, cm$.
मॉडल में मौजूद हवा का आयतन $=$ बेलन का आयतन $+ 2 \times$ शंकु का आयतन।
आयतन $= \pi r^2 h_2 + 2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h_1)$.
आयतन $= \pi r^2 (h_2 + \frac{2}{3} h_1) = \pi \times (\frac{3}{2})^2 \times (8 + \frac{2}{3} \times 2)$.
आयतन $= \pi \times \frac{9}{4} \times (8 + \frac{4}{3}) = \pi \times \frac{9}{4} \times (\frac{24+4}{3}) = \pi \times \frac{9}{4} \times \frac{28}{3}$.
आयतन $= \pi \times 3 \times 7 = 21 \pi$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,आयतन $= 21 \times \frac{22}{7} = 3 \times 22 = 66\, cm^3$.

(C) यहाँ देखा जा सकता है कि:
बेलनाकार भाग की त्रिज्या $(r) =$ अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या $(r) = \frac{2.8}{2} = 1.4\,cm$.
प्रत्येक अर्धगोलाकार भाग की लंबाई $=$ अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या $= 1.4\,cm$.
बेलनाकार भाग की लंबाई $(h) = 5 - 2 \times$ (अर्धगोलाकार भाग की लंबाई) $= 5 - 2 \times 1.4 = 2.2\,cm$.
एक गुलाब जामुन का आयतन $=$ बेलनाकार भाग का आयतन $+ 2 \times$ अर्धगोलाकार भाग का आयतन
$= \pi r^2 h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^3) = \pi r^2 h + \frac{4}{3} \pi r^3$
$= \frac{22}{7} \times (1.4)^2 \times 2.2 + \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.4)^3$
$= 13.552 + 11.49866... \approx 25.05\,cm^3$.
$45$ गुलाब जामुनों का कुल आयतन $= 45 \times 25.05 = 1127.25\,cm^3$.
चीनी की चाशनी का आयतन $= 30\%$ कुल आयतन का
$= \frac{30}{100} \times 1127.25 = 338.175\,cm^3$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,चाशनी का आयतन लगभग $338\,cm^3$ होगा।

(D) लकड़ी के स्टैंड का आयतन घनाभ के आयतन में से चार शंक्वाकार गड्ढों के आयतन को घटाने पर प्राप्त होता है।
घनाभ की विमाएँ: लंबाई $(l) = 15 \, cm$,चौड़ाई $(b) = 10 \, cm$,ऊँचाई $(H) = 3.5 \, cm$.
घनाभ का आयतन $= l \times b \times H = 15 \times 10 \times 3.5 = 525 \, cm^3$.
प्रत्येक शंक्वाकार गड्ढे की विमाएँ: त्रिज्या $(r) = 0.5 \, cm$,गहराई $(h) = 1.4 \, cm$.
एक शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.5)^2 \times 1.4$.
चार शंकुओं का आयतन $= 4 \times \left( \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times 1.4 \right) = 4 \times \left( \frac{1}{3} \times 22 \times 0.25 \times 0.2 \right) = 4 \times \left( \frac{1.1}{3} \right) = \frac{4.4}{3} \approx 1.4667 \, cm^3$.
लकड़ी का आयतन $= 525 - 1.4667 = 523.5333 \, cm^3$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,आयतन $523.53 \, cm^3$ है।

(A) शंक्वाकार बर्तन की ऊँचाई $(h)$ $= 8 \, cm$.
शंक्वाकार बर्तन की त्रिज्या $(r_1)$ $= 5 \, cm$.
प्रत्येक सीसे की गोली की त्रिज्या $(r_2)$ $= 0.5 \, cm$.
माना बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या $n$ है।
प्रश्न के अनुसार,बाहर निकले पानी का आयतन डाली गई सीसे की गोलियों के कुल आयतन के बराबर है।
बाहर निकला पानी $= \frac{1}{4} \times$ शंकु का आयतन।
$\frac{1}{4} \times (\frac{1}{3} \pi r_1^2 h) = n \times (\frac{4}{3} \pi r_2^3)$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{3} \pi$ को हटाने पर:
$\frac{1}{4} r_1^2 h = 4 n r_2^3$.
$r_1^2 h = 16 n r_2^3$.
मान रखने पर:
$5^2 \times 8 = 16 \times n \times (0.5)^3$.
$25 \times 8 = 16 \times n \times (\frac{1}{2})^3$.
$200 = 16 \times n \times \frac{1}{8}$.
$200 = 2n$.
$n = 100$.
अतः,बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या $100$ है।

(B) आकृति से यह देखा जा सकता है कि:
बड़े बेलन की ऊँचाई $(h_1) = 220 \,cm$
बड़े बेलन की त्रिज्या $(r_1) = \frac{24}{2} = 12 \,cm$
छोटे बेलन की ऊँचाई $(h_2) = 60 \,cm$
छोटे बेलन की त्रिज्या $(r_2) = 8 \,cm$
खंभे का कुल आयतन $=$ बड़े बेलन का आयतन $+$ छोटे बेलन का आयतन
$= \pi r_1^2 h_1 + \pi r_2^2 h_2$
$= \pi(12)^2 \times 220 + \pi(8)^2 \times 60$
$= \pi(144 \times 220 + 64 \times 60)$
$= 3.14 \times (31680 + 3840)$
$= 3.14 \times 35520 = 111532.8 \,cm^3$
$1 \,cm^3$ लोहे का द्रव्यमान $= 8 \,g$
खंभे का कुल द्रव्यमान $= 111532.8 \times 8 = 892262.4 \,g$
चूँकि $1 \,kg = 1000 \,g$,इसलिए $kg$ में द्रव्यमान $= \frac{892262.4}{1000} = 892.2624 \,kg \approx 892.262 \,kg$.

(C) अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या $(r)$ = शंक्वाकार भाग की त्रिज्या $(r)$ = $60\, cm$.
ठोस के शंक्वाकार भाग की ऊँचाई $(h_2)$ = $120\, cm$.
बेलन की ऊँचाई $(h_1)$ = $180\, cm$.
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $60\, cm$.
बेलन में शेष बचे पानी का आयतन = बेलन का आयतन - ठोस का आयतन।
ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन = $\frac{1}{3}\pi r^2 h_2 + \frac{2}{3}\pi r^3$.
शेष बचे पानी का आयतन = $\pi r^2 h_1 - (\frac{1}{3}\pi r^2 h_2 + \frac{2}{3}\pi r^3)$.
मान रखने पर: $\pi(60)^2(180) - (\frac{1}{3}\pi(60)^2 \times 120 + \frac{2}{3}\pi(60)^3)$.
$= \pi(60)^2 [180 - (40 + 40)] = \pi(3600)(100) = 360,000\pi\, cm^3$.
$\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर,आयतन $\approx 360,000 \times 3.14159 = 1,130,973.36\, cm^3$.
चूँकि $1\, m^3 = 1,000,000\, cm^3$,इसलिए $m^3$ में आयतन $\approx 1.131\, m^3$ है।

(D) बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h) = 8 \, cm$.
बेलनाकार भाग की त्रिज्या $(r_{2}) = \frac{2}{2} = 1 \, cm$.
गोलाकार भाग की त्रिज्या $(r_{1}) = \frac{8.5}{2} = 4.25 \, cm$.
बर्तन का आयतन $=$ गोले का आयतन $+$ बेलन का आयतन।
आयतन $= \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} + \pi r_{2}^{2} h$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times 3.14 \times (4.25)^{3} + 3.14 \times (1)^{2} \times 8$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times 3.14 \times 76.765625 + 3.14 \times 8$.
आयतन $= 321.392 + 25.12 = 346.512 \, cm^{3}$.
चूँकि परिकलित आयतन $346.512 \, cm^{3}$ है,इसलिए बच्चे द्वारा मापा गया $345 \, cm^{3}$ गलत है।

(A) शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
दिए गए मान $r = 6\, cm$ और $h = 24\, cm$ रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 24 = \frac{1}{3} \times \pi \times 36 \times 24 = 288\pi\, cm^3$.
मान लीजिए गोले की त्रिज्या $R$ है। गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ है।
चूंकि आकार बदलने के बाद मिट्टी का आयतन समान रहता है,इसलिए हम दोनों आयतनों की तुलना करते हैं:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 288\pi$.
दोनों पक्षों को $\pi$ से विभाजित करने और $\frac{3}{4}$ से गुणा करने पर:
$R^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 72 \times 3 = 216$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$R = \sqrt[3]{216} = 6\, cm$.
अतः,गोले की त्रिज्या $6\, cm$ है।

(D) ओवरहेड टैंक में पानी का आयतन,संप से निकाले गए पानी के आयतन के बराबर होता है।
ओवरहेड टैंक (बेलन) का आयतन $= \pi r^2 h = 3.14 \times 0.6 \, m \times 0.6 \, m \times 0.95 \, m = 1.07388 \, m^3$.
संप (घनाभ) का आयतन $= l \times b \times h = 1.57 \, m \times 1.44 \, m \times 0.95 \, m = 2.14776 \, m^3$.
संप में बचे पानी का आयतन $= 2.14776 \, m^3 - 1.07388 \, m^3 = 1.07388 \, m^3$.
माना संप में बचे पानी की ऊंचाई $H$ है। चूंकि संप के आधार का क्षेत्रफल स्थिर रहता है,इसलिए $l \times b \times H = 1.07388 \, m^3$.
$1.57 \, m \times 1.44 \, m \times H = 1.07388 \, m^3$.
$2.2608 \, m^2 \times H = 1.07388 \, m^3$.
$H = \frac{1.07388}{2.2608} \, m = 0.475 \, m = 47.5 \, cm$.
क्षमताओं का अनुपात $= \frac{\text{टैंक की क्षमता}}{\text{संप की क्षमता}} = \frac{1.07388}{2.14776} = \frac{1}{2}$.
अतः,टैंक की क्षमता संप की क्षमता की आधी है।

(A) तांबे की छड़ का आयतन बेलन के आयतन के सूत्र $V = \pi r^2 h$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया व्यास $= 1 \,cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.5 \,cm$. लंबाई $h = 8 \,cm$.
आयतन $= \pi \times (0.5)^2 \times 8 = \pi \times 0.25 \times 8 = 2\pi \,cm^3$.
जब छड़ को खींचकर तार बनाया जाता है,तो आयतन समान रहता है।
नए तार की लंबाई $18 \,m = 1800 \,cm$ है।
माना तार की त्रिज्या $r_w$ है। तार का आयतन $\pi \times r_w^2 \times 1800$ होगा।
दोनों आयतनों की तुलना करने पर: $\pi \times r_w^2 \times 1800 = 2\pi$.
$r_w^2 = \frac{2\pi}{1800\pi} = \frac{1}{900}$.
$r_w = \sqrt{\frac{1}{900}} = \frac{1}{30} \,cm$.
तार की मोटाई (व्यास) $= 2 \times r_w = 2 \times \frac{1}{30} = \frac{1}{15} \,cm$.
$\frac{1}{15} \,cm \approx 0.0667 \,cm = 0.67 \,mm$.

(16.5) अर्धगोलाकार टंकी की त्रिज्या $r = \frac{3}{2} \, m = 1.5 \, m$ है।
अर्धगोलाकार टंकी का कुल आयतन $V = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.5)^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{27}{8} = \frac{99}{14} \, m^3$ है।
चूंकि $1 \, m^3 = 1000 \, \text{लीटर}$,इसलिए कुल आयतन $\frac{99}{14} \times 1000 = \frac{99000}{14} \, \text{लीटर}$ है।
हमें टंकी का आधा भाग खाली करना है,इसलिए खाली किए जाने वाले पानी का आयतन $\frac{1}{2} \times \frac{99000}{14} = \frac{99000}{28} \, \text{लीटर}$ होगा।
पानी खाली करने की दर $3 \frac{4}{7} = \frac{25}{7} \, \text{लीटर}/\text{सेकंड}$ है।
सेकंड में लगा समय $= \frac{\text{आयतन}}{\text{दर}} = \frac{99000}{28} \div \frac{25}{7} = \frac{99000}{28} \times \frac{7}{25} = \frac{99000}{100} = 990 \, \text{सेकंड}$ है।
मिनटों में बदलने के लिए,$60$ से भाग देने पर: $990 \div 60 = 16.5 \, \text{मिनट}$।

(A) गोले की त्रिज्या $(r_1) = 4.2 \, cm$ है।
बेलन की त्रिज्या $(r_2) = 6 \, cm$ है।
माना बेलन की ऊँचाई $h$ है।
चूँकि गोले को पिघलाकर बेलन बनाया गया है,इसलिए उनके आयतन समान रहेंगे।
गोले का आयतन = बेलन का आयतन
$\frac{4}{3} \pi r_1^3 = \pi r_2^2 h$
$\frac{4}{3} \times (4.2)^3 = (6)^2 \times h$
$\frac{4}{3} \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2 = 36 \times h$
$h = \frac{4 \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2}{3 \times 36}$
$h = \frac{4 \times 74.088}{108}$
$h = \frac{296.352}{108} = 2.744 \, cm$।
अतः,बेलन की ऊँचाई $2.744 \, cm$ होगी।

(B) माना कि तीन धात्विक गोलों की त्रिज्याएँ $r_1 = 6 \, cm$,$r_2 = 8 \, cm$ और $r_3 = 10 \, cm$ हैं।
माना कि नए ठोस गोले की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि गोलों को पिघलाकर एक नया गोला बनाया गया है,इसलिए नए गोले का आयतन तीनों गोलों के आयतन के योग के बराबर होगा।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
अतः,$\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 + \frac{4}{3} \pi r_2^3 + \frac{4}{3} \pi r_3^3$.
दोनों पक्षों को $\frac{4}{3} \pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $r^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$.
मान रखने पर: $r^3 = 6^3 + 8^3 + 10^3$.
$r^3 = 216 + 512 + 1000 = 1728$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $r = \sqrt[3]{1728} = 12 \, cm$.
अतः,परिणामी गोले की त्रिज्या $12 \, cm$ है।

(C) कुएं का आकार बेलनाकार है।
कुएं की गहराई $(h) = 20\, m$.
कुएं के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r) = \frac{7}{2}\, m = 3.5\, m$.
चबूतरे का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 22\, m \times 14\, m = 308\, m^2$.
माना चबूतरे की ऊँचाई $H$ है।
चूंकि कुएं से खोदी गई मिट्टी का आयतन चबूतरे पर फैलाई गई मिट्टी के आयतन के बराबर होता है:
कुएं से निकली मिट्टी का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 20 = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 20 = 22 \times 7 \times 5 = 770\, m^3$.
चबूतरे पर मिट्टी का आयतन $= \text{चबूतरे का क्षेत्रफल} \times H = 308 \times H$.
आयतन की तुलना करने पर: $308 \times H = 770$.
$H = \frac{770}{308} = 2.5\, m$.
अतः,चबूतरे की ऊँचाई $2.5\, m$ होगी।

(D) कुएँ का आकार बेलनाकार है।
कुएँ की गहराई $(h_1) = 14 \, m$.
कुएँ की त्रिज्या $(r_1) = \frac{3}{2} \, m = 1.5 \, m$.
चबूतरे की चौड़ाई $= 4 \, m$.
चबूतरा एक खोखले बेलन (वृत्ताकार वलय) के आकार में है,जिसकी आंतरिक त्रिज्या $r_1 = 1.5 \, m$ और बाहरी त्रिज्या $r_2 = r_1 + \text{चौड़ाई} = 1.5 + 4 = 5.5 \, m = \frac{11}{2} \, m$ है।
माना चबूतरे की ऊँचाई $h_2$ है।
कुएँ से खोदी गई मिट्टी का आयतन = चबूतरा बनाने के लिए प्रयुक्त मिट्टी का आयतन।
$\pi \times r_1^2 \times h_1 = \pi \times (r_2^2 - r_1^2) \times h_2$
$\pi \times (1.5)^2 \times 14 = \pi \times ((5.5)^2 - (1.5)^2) \times h_2$
$2.25 \times 14 = (30.25 - 2.25) \times h_2$
$31.5 = 28 \times h_2$
$h_2 = \frac{31.5}{28} = 1.125 \, m$.
अतः,चबूतरे की ऊँचाई $1.125 \, m$ होगी।

(A) बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई $(h_1) = 15 \, cm$ है।
बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या $(r_1) = \frac{12}{2} = 6 \, cm$ है।
बेलनाकार बर्तन का आयतन $= \pi r_1^2 h_1 = \pi \times (6)^2 \times 15 = 540\pi \, cm^3$ है।
आइसक्रीम कोन के लिए,त्रिज्या $(r_2) = \frac{6}{2} = 3 \, cm$ और ऊँचाई $(h_2) = 12 \, cm$ है।
कोन के ऊपर समान त्रिज्या $(r_2 = 3 \, cm)$ वाला एक अर्धगोला है।
एक आइसक्रीम कोन का आयतन $= \text{शंकु का आयतन} + \text{अर्धगोले का आयतन} = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 + \frac{2}{3} \pi r_2^3$ है।
एक आइसक्रीम कोन का आयतन $= \frac{1}{3} \pi (3)^2 (12) + \frac{2}{3} \pi (3)^3 = 36\pi + 18\pi = 54\pi \, cm^3$ है।
माना कि भरे जा सकने वाले कोनों की संख्या $n$ है।
$n = \frac{\text{बेलन का आयतन}}{\text{एक आइसक्रीम कोन का आयतन}} = \frac{540\pi}{54\pi} = 10$ है।
अतः,$10$ आइसक्रीम कोन भरे जा सकते हैं।

(B) सिक्के बेलनाकार आकार के होते हैं।
बेलनाकार सिक्कों की ऊँचाई $(h_1) = 2 \,mm = 0.2 \,cm$ है।
सिक्कों के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या $(r) = \frac{1.75}{2} = 0.875 \,cm$ है।
माना कि आवश्यक घनाभ बनाने के लिए $n$ सिक्कों को पिघलाया जाता है।
$n$ सिक्कों का आयतन $=$ घनाभ का आयतन
$n \times \pi \times r^2 \times h_1 = l \times b \times h$
$n \times \frac{22}{7} \times (0.875)^2 \times 0.2 = 5.5 \times 10 \times 3.5$
$n = \frac{5.5 \times 10 \times 3.5 \times 7}{22 \times (0.875)^2 \times 0.2}$
$n = \frac{192.5 \times 7}{22 \times 0.765625 \times 0.2} = \frac{1347.5}{3.36875} = 400$.
अतः,ऐसे घनाभ को बनाने के लिए पिघलाए गए सिक्कों की संख्या $400$ है।

(N/A) बेलनाकार बाल्टी की ऊँचाई $(h_1) = 32 \, cm$ है।
बाल्टी के आधार की त्रिज्या $(r_1) = 18 \, cm$ है।
शंक्वाकार ढेर की ऊँचाई $(h_2) = 24 \, cm$ है।
माना शंक्वाकार ढेर के आधार की त्रिज्या $r_2$ है।
चूँकि रेत का आयतन समान रहता है:
बेलनाकार बाल्टी में रेत का आयतन $=$ शंक्वाकार ढेर में रेत का आयतन।
$\pi \times r_1^2 \times h_1 = \frac{1}{3} \pi \times r_2^2 \times h_2$
$\pi \times 18^2 \times 32 = \frac{1}{3} \pi \times r_2^2 \times 24$
$18^2 \times 32 = r_2^2 \times 8$
$r_2^2 = \frac{324 \times 32}{8} = 324 \times 4 = 1296$
$r_2 = \sqrt{1296} = 36 \, cm$ है।
अब,शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r_2^2 + h_2^2}$ द्वारा दी जाती है।
$l = \sqrt{36^2 + 24^2} = \sqrt{1296 + 576} = \sqrt{1872}$ है।
$l = \sqrt{144 \times 13} = 12\sqrt{13} \, cm$ है।
अतः,ढेर की त्रिज्या $36 \, cm$ और तिर्यक ऊँचाई $12\sqrt{13} \, cm$ है।

(N/A) नहर के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $6 \, m \times 1.5 \, m = 9 \, m^2$ है।
पानी की गति $10 \, km/h = \frac{10000 \, m}{60 \, min} = \frac{500}{3} \, m/min$ है।
$30 \, \text{minutes}$ में नहर से बहने वाले पानी का आयतन:
$V = \text{क्षेत्रफल} \times \text{गति} \times \text{समय} = 9 \, m^2 \times \frac{500}{3} \, m/min \times 30 \, min = 45000 \, m^3$.
माना सिंचित क्षेत्रफल $A$ है। सिंचाई के लिए आवश्यक पानी का आयतन $A \times \text{गहराई}$ होगा।
दी गई गहराई $= 8 \, cm = 0.08 \, m$.
आयतन की तुलना करने पर:
$A \times 0.08 \, m = 45000 \, m^3$
$A = \frac{45000}{0.08} \, m^2 = 562500 \, m^2$.
अतः,$30 \, \text{minutes}$ में सिंचित क्षेत्रफल $562500 \, m^2$ है।

(A) पाइप की त्रिज्या $(r_1) = \frac{20 \,cm}{2} = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
पाइप के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $= \pi r_1^2 = \pi \times (0.1)^2 = 0.01 \pi \,m^2$.
पानी की गति $= 3 \,km/h = \frac{3000 \,m}{60 \,min} = 50 \,m/min$.
$1 \,\text{मिनट}$ में पाइप से बहने वाले पानी का आयतन $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{गति} = 0.01 \pi \times 50 = 0.5 \pi \,m^3$.
बेलनाकार टंकी की त्रिज्या $(r_2) = \frac{10 \,m}{2} = 5 \,m$.
बेलनाकार टंकी की गहराई $(h_2) = 2 \,m$.
बेलनाकार टंकी का आयतन $= \pi r_2^2 h_2 = \pi \times (5)^2 \times 2 = 50 \pi \,m^3$.
माना टंकी को भरने में लगा समय $t \,\text{मिनट}$ है।
$t \,\text{मिनट}$ में टंकी में भरे पानी का आयतन $= t \times 0.5 \pi \,m^3$.
आयतन की तुलना करने पर: $t \times 0.5 \pi = 50 \pi$.
$t = \frac{50}{0.5} = 100 \,\text{मिनट}$.
अतः,टंकी $100 \,\text{मिनट}$ में भर जाएगी।

(C) सांचे का आकार शंकु के छिन्नक जैसा है।
दिया गया है: वृत्ताकार फलकों के व्यास $d_1 = 35 \,cm$ और $d_2 = 30 \,cm$ हैं।
त्रिज्याएं $r_1 = \frac{35}{2} = 17.5 \,cm$ और $r_2 = \frac{30}{2} = 15 \,cm$ हैं।
ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h = 14 \,cm$ है।
शंकु के छिन्नक का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times (17.5^2 + 15^2 + 17.5 \times 15) \,cm^3$.
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times (306.25 + 225 + 262.5) \,cm^3$.
$V = \frac{44}{3} \times 793.75 \,cm^3 = 11641.67 \,cm^3$.
दिया गया है कि $1 \,cm^3$ गुड़ का द्रव्यमान $1.2 \,g$ है।
कुल द्रव्यमान $= 11641.67 \times 1.2 \,g = 13970.004 \,g$.
$kg$ में बदलने पर: $13970.004 \div 1000 = 13.97 \,kg$.
निकटतम मान लेने पर,द्रव्यमान लगभग $14 \,kg$ है।

(B) जब किसी वस्तु को पानी से पूरी तरह भरे हुए बर्तन में डुबोया जाता है,तो बाहर निकलने वाले पानी का आयतन डूबी हुई वस्तु के आयतन के बराबर होता है।
यहाँ,वस्तु एक गोलाकार कंचा है जिसकी त्रिज्या $r = 2.1 \, cm$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3$.
$V = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1$.
$V = 4 \times 22 \times 0.1 \times 2.1 \times 2.1$.
$V = 88 \times 0.1 \times 4.41$.
$V = 8.8 \times 4.41 = 38.808 \, cm^3$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,बाहर निकलने वाले पानी का आयतन $38.8 \, cm^3$ है।

(C) घनाकार आइसक्रीम ईंट का आयतन $V_{cube} = a^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a = 22 \, cm$ है।
$V_{cube} = 22 \times 22 \times 22 = 10648 \, cm^3$.
एक आइसक्रीम शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 2 \, cm$ और $h = 7 \, cm$ है।
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$V_{cone} = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 2^2 \times 7 = \frac{1}{3} \times 22 \times 4 = \frac{88}{3} \, cm^3$.
आइसक्रीम प्राप्त करने वाले बच्चों की संख्या ईंट का कुल आयतन बटा एक शंकु का आयतन है।
बच्चों की संख्या $= \frac{V_{cube}}{V_{cone}} = \frac{10648}{88/3} = \frac{10648 \times 3}{88}$.
$10648 \div 88 = 121$.
बच्चों की संख्या $= 121 \times 3 = 363$.

(D) शंकु का छिन्नक तब बनता है जब एक शंकु को उसके आधार के समानांतर एक तल द्वारा काटा जाता है।
माना छिन्नक की ऊँचाई $h$ है और दो वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ $r_{1}$ और $r_{2}$ हैं।
शंकु के छिन्नक के आयतन $V$ का सूत्र मूल बड़े शंकु और ऊपर से हटाए गए छोटे शंकु के आयतन के अंतर से प्राप्त किया जाता है।
शंकु के छिन्नक के आयतन का मानक सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1} r_{2})$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) घन से काटे जा सकने वाले सबसे बड़े लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात करने के लिए,शंकु के आधार का व्यास घन की भुजा के बराबर और शंकु की ऊँचाई घन की भुजा के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है घन की भुजा,$a = 4.2 \,cm$.
अतः,शंकु की त्रिज्या,$r = \frac{a}{2} = \frac{4.2}{2} = 2.1 \,cm$.
शंकु की ऊँचाई,$h = a = 4.2 \,cm$.
शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^2 \times 4.2$.
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.41 \times 4.2$.
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 0.63 \times 4.2$.
$V = 22 \times 0.21 \times 4.2$.
$V = 4.62 \times 4.2 = 19.404 \,cm^3$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $19.4 \,cm^3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,घन का किनारा $= 22 \, cm$ है।
घन का आयतन $= (22)^3 = 10648 \, cm^3$ है।
चूंकि $\frac{1}{8}$ भाग खाली रहता है,कंचों द्वारा भरा गया स्थान $= 10648 \times (1 - \frac{1}{8}) = 10648 \times \frac{7}{8} = 9317 \, cm^3$ है।
कंचे का व्यास $= 0.5 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.25 \, cm$ है।
एक गोलाकार कंचे का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.25)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{1}{64} = \frac{11}{168} \approx 0.065476 \, cm^3$ है।
कंचों की संख्या $= \frac{\text{भरा हुआ आयतन}}{\text{एक कंचे का आयतन}} = \frac{9317}{11/168} = \frac{9317 \times 168}{11} = 142296$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $142244$ है।

(B) दिया है,गोलीय कोश का आंतरिक व्यास $= 4 \, cm$ और बाह्य व्यास $= 8 \, cm$ है।
गोलीय कोश की आंतरिक त्रिज्या,$r_1 = \frac{4}{2} = 2 \, cm$ है।
गोलीय कोश की बाह्य त्रिज्या,$r_2 = \frac{8}{2} = 4 \, cm$ है।
गोलीय कोश का आयतन $= \frac{4}{3} \pi (r_2^3 - r_1^3) = \frac{4}{3} \pi (4^3 - 2^3) = \frac{4}{3} \pi (64 - 8) = \frac{4}{3} \pi (56) = \frac{224}{3} \pi \, cm^3$ है।
माना शंकु की ऊँचाई $h \, cm$ है और आधार की त्रिज्या $R = \frac{8}{2} = 4 \, cm$ है।
चूँकि कोश को पिघलाकर शंकु बनाया गया है,इसलिए उनके आयतन समान होंगे:
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (4)^2 h = \frac{16}{3} \pi h$ है।
आयतन की तुलना करने पर: $\frac{16}{3} \pi h = \frac{224}{3} \pi$ है।
$16h = 224$ है।
$h = \frac{224}{16} = 14 \, cm$ है।
अतः,शंकु की ऊँचाई $14 \, cm$ है।

(C) दिया है,घनाभ की विमाएँ $= 49 \, cm \times 33 \, cm \times 24 \, cm$ हैं।
घनाभ का आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} = 49 \times 33 \times 24 = 38808 \, cm^3$ है।
माना गोले की त्रिज्या $r$ है।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
चूँकि घनाभ को पिघलाकर गोला बनाया गया है,इसलिए उनके आयतन बराबर होंगे:
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 38808$
$\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times r^3 = 38808$
$r^3 = \frac{38808 \times 3 \times 7}{4 \times 22}$
$r^3 = 441 \times 21 = 9261$
$r = \sqrt[3]{9261} = 21 \, cm$ है।
अतः,गोले की त्रिज्या $21 \, cm$ है।

(D) दीवार का आयतन $= 270 \times 300 \times 350 = 28,350,000 \,cm^3$.
चूंकि दीवार के कुल आयतन का $\frac{1}{8}$ भाग मसाले द्वारा घेरा गया है,इसलिए ईंटों द्वारा घेरा गया आयतन कुल आयतन का $\frac{7}{8}$ भाग होगा।
ईंटों द्वारा घेरा गया आयतन $= 28,350,000 \times \frac{7}{8} = 24,806,250 \,cm^3$.
एक ईंट का आयतन $= 22.5 \times 11.25 \times 8.75 = 2,214.84375 \,cm^3$.
ईंटों की संख्या $= \frac{\text{ईंटों द्वारा घेरा गया आयतन}}{\text{एक ईंट का आयतन}} = \frac{24,806,250}{2,214.84375} = 11,200$.
अतः,दीवार बनाने में प्रयुक्त ईंटों की संख्या $11,200$ है।

(A) दिया गया है,बेलन का व्यास $= 2 \, cm$.
अतः,बेलन की त्रिज्या $(R) = 1 \, cm$ और ऊंचाई $(h) = 16 \, cm$.
बेलन का आयतन $= \pi R^2 h = \pi \times (1)^2 \times 16 = 16 \pi \, cm^3$.
माना प्रत्येक ठोस गोले की त्रिज्या $r \, cm$ है।
एक गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
चूंकि बेलन से $12$ गोले बनाए जाते हैं,इसलिए $12$ गोलों का कुल आयतन बेलन के आयतन के बराबर होगा।
$12 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = 16 \pi$.
$16 \pi r^3 = 16 \pi$.
$r^3 = 1$,जिसका अर्थ है $r = 1 \, cm$.
प्रत्येक गोले का व्यास $= 2r = 2 \times 1 = 2 \, cm$.

(C) दिया है,बेलन का व्यास $=$ अर्धगोले का व्यास $= 0.5\, cm$ (चूंकि दोनों अर्धगोले बेलन से जुड़े हैं)।
$\therefore$ बेलन की त्रिज्या $(r) =$ अर्धगोले की त्रिज्या $(r) = \frac{0.5}{2} = 0.25\, cm$ (चूंकि व्यास $= 2 \times$ त्रिज्या)।
कैप्सूल की कुल लंबाई $= 2\, cm$.
कैप्सूल के बेलनाकार भाग की लंबाई $(h) = \text{कुल लंबाई} - (\text{बाएं अर्धगोले की त्रिज्या} + \text{दाएं अर्धगोले की त्रिज्या})$।
$h = 2 - (0.25 + 0.25) = 2 - 0.5 = 1.5\, cm$.
अब,कैप्सूल की धारिता $=$ बेलनाकार भाग का आयतन $+ 2 \times$ अर्धगोले का आयतन।
धारिता $= \pi r^2 h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^3) = \pi r^2 (h + \frac{4}{3} r)$।
मान रखने पर:
धारिता $= \frac{22}{7} \times (0.25)^2 \times (1.5 + \frac{4}{3} \times 0.25)$।
धारिता $= \frac{22}{7} \times 0.0625 \times (1.5 + 0.3333) = \frac{22}{7} \times 0.0625 \times 1.8333 \approx 0.36\, cm^3$।
अतः,कैप्सूल की धारिता $0.36\, cm^3$ है।

(B) जब किसी ठोस वस्तु को एक आकार से दूसरे आकार में बदला जाता है,तो उपयोग की गई सामग्री की कुल मात्रा समान रहती है। इसलिए,नए आकार का आयतन अपरिवर्तित रहता है।

(C) दिया गया है,बाल्टी के ऊपरी सिरे का व्यास $D = 44 \, cm$,अतः त्रिज्या $R = 22 \, cm$ है।
बाल्टी के निचले सिरे का व्यास $d = 24 \, cm$,अतः त्रिज्या $r = 12 \, cm$ है।
बाल्टी की ऊँचाई $h = 35 \, cm$ है।
बाल्टी का आकार शंकु के छिन्नक (frustum) के समान है।
बाल्टी की धारिता (आयतन) का सूत्र: $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 35 \times (22^2 + 12^2 + 22 \times 12)$.
$V = \frac{1}{3} \times 22 \times 5 \times (484 + 144 + 264)$.
$V = \frac{110}{3} \times 892$.
$V = \frac{98120}{3} \approx 32706.67 \, cm^3$.
चूँकि $1000 \, cm^3 = 1 \, L$,इसलिए धारिता $32706.67 / 1000 \approx 32.7 \, L$ है।

(B) False (असत्य)।
मान लीजिए कि मूल स्टील की गेंद की त्रिज्या $r$ है और पिघलने के बाद बनी प्रत्येक नई गेंद की त्रिज्या $r_{1}$ है।
मूल गेंद का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ है।
आठ नई गेंदों का कुल आयतन $8 \times V_{1} = 8 \times \left( \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} \right)$ है।
चूंकि पिघलने के दौरान आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $\frac{4}{3} \pi r^{3} = 8 \times \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}$ होगा।
दोनों पक्षों को $\frac{4}{3} \pi$ से विभाजित करने पर,हमें $r^{3} = 8 r_{1}^{3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $r = 2 r_{1}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r_{1} = \frac{r}{2}$।
अतः,प्रत्येक नई गेंद की त्रिज्या मूल त्रिज्या की $\frac{1}{2}$ गुनी है,न कि $\frac{1}{8}$ गुनी।

(A) सत्य।
बर्तन की वास्तविक क्षमता को उसके अंदर उपलब्ध उस खाली स्थान के कुल आयतन के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे किसी पदार्थ से भरा जा सकता है। दी गई आकृति में,बेलन के आधार से एक अर्धगोलाकार भाग काटकर निकाला गया है। इसलिए,बर्तन के अंदर उपलब्ध स्थान का आयतन,बेलन के आयतन में से अर्धगोले के आयतन को घटाने पर प्राप्त होता है।

(B) असत्य (False)।
चूंकि ठोस गेंद $a$ भुजा वाले घनाकार बक्से में ठीक फिट बैठती है,इसलिए गेंद का व्यास घन की भुजा $a$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,गेंद की त्रिज्या $r = \frac{a}{2}$ होगी।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है।
इस सूत्र में $r = \frac{a}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{a}{2} \right)^{3} = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{a^{3}}{8} \right) = \frac{1}{6} \pi a^{3}$।
चूंकि $\frac{1}{6} \pi a^{3} \neq \frac{4}{3} \pi a^{3}$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।

(B) असत्य (False)।
शंकु के छिन्नक के आयतन का सही सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi h(r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$ है,जहाँ $h$ छिन्नक की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है और $r_{1}, r_{2}$ वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ हैं। दी गई अभिव्यक्ति में $r_{1}r_{2}$ पद के लिए धनात्मक चिह्न के स्थान पर ऋणात्मक चिह्न का उपयोग किया गया है।

(TRUE) सत्य।
हम जानते हैं कि बेलनाकार बर्तन की धारिता (आयतन) $V_{cylinder} = \pi r^{2} h$ होती है।
अर्धगोले की धारिता (आयतन) $V_{hemisphere} = \frac{2}{3} \pi r^{3}$ होती है।
चित्र से,अर्धगोलीय भाग नीचे की ओर से ऊपर की ओर उभरा हुआ है,जिसका अर्थ है कि यह बेलन के अंदर स्थान घेरता है। इसलिए,बर्तन की धारिता बेलन के आयतन में से अर्धगोले के आयतन को घटाने पर प्राप्त होती है।
बर्तन की धारिता = $V_{cylinder} - V_{hemisphere}$
$= \pi r^{2} h - \frac{2}{3} \pi r^{3}$
$= \pi r^{2} (h - \frac{2}{3} r)$
$= \frac{\pi r^{2}}{3} (3h - 2r)$.

(D) ठोस धात्विक गोले का आयतन $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 10.5 \, cm$ है।
$V_s = \frac{4}{3} \pi (10.5)^3 \, cm^3$.
एक शंकु का आयतन $V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 3.5 \, cm$ और $h = 3 \, cm$ है।
$V_c = \frac{1}{3} \pi (3.5)^2 \times 3 \, cm^3 = \pi (3.5)^2 \, cm^3$.
बने हुए शंकुओं की संख्या गोले के कुल आयतन को एक शंकु के आयतन से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
$\text{शंकुओं की संख्या} = \frac{V_s}{V_c} = \frac{\frac{4}{3} \pi (10.5)^3}{\pi (3.5)^2} = \frac{4 \times 10.5 \times 10.5 \times 10.5}{3 \times 3.5 \times 3.5} = 4 \times 3 \times 3 \times 3.5 = 126$.

(N/A) गिलास के ऊपरी आधार की त्रिज्या $(r_1) = \frac{4}{2} = 2 \, cm$ है।
गिलास के निचले आधार की त्रिज्या $(r_2) = \frac{2}{2} = 1 \, cm$ है।
गिलास की ऊँचाई $(h) = 14 \, cm$ है।
गिलास की धारिता $=$ शंकु के छिन्नक का आयतन
$= \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times (2^2 + 1^2 + 2 \times 1)$
$= \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times (4 + 1 + 2)$
$= \frac{44}{3} \times 7 = \frac{308}{3} \, cm^3 = 102 \frac{2}{3} \, cm^3$ है।
अतः,गिलास की धारिता $102 \frac{2}{3} \, cm^3$ है।

(B) यह देखा जा सकता है कि तार का $1$ चक्कर बेलन की $3 \,mm$ $(0.3 \,cm)$ ऊंचाई को कवर करेगा।
चक्करों की संख्या $= \frac{\text{बेलन की ऊंचाई}}{\text{तार का व्यास}} = \frac{12 \,cm}{0.3 \,cm} = 40$ चक्कर।
$1$ चक्कर में आवश्यक तार की लंबाई $=$ बेलन के आधार की परिधि $= 2 \pi r = 2 \pi \times 5 = 10 \pi \,cm$.
$40$ चक्करों में तार की कुल लंबाई $= 40 \times 10 \pi = 400 \pi \,cm \approx 1256.64 \,cm$.
तार की त्रिज्या $= \frac{0.3 \,cm}{2} = 0.15 \,cm$.
तार का आयतन $=$ तार के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $\times$ तार की कुल लंबाई $= \pi (0.15)^2 \times 1256.64 \approx 88.826 \,cm^3$.
तार का द्रव्यमान $=$ आयतन $\times$ घनत्व $= 88.826 \,cm^3 \times 8.88 \,g/cm^3 \approx 788.77 \,g$.
गणना के लिए $\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर: लंबाई $= 400 \times \frac{22}{7} = \frac{8800}{7} \approx 1257.14 \,cm$. आयतन $= \pi \times (0.15)^2 \times \frac{8800}{7} \approx 88.93 \,cm^3$. द्रव्यमान $= 88.93 \times 8.88 \approx 789.7 \,g$। निकटतम विकल्प $789.41 \,g$ है।

(D) टंकी का कुल आयतन $V_{cistern} = 150 \times 120 \times 110 = 1980000 \,cm^3$ है।
टंकी में पहले से मौजूद पानी का आयतन $129600 \,cm^3$ है।
भरने के लिए शेष आयतन $V_{fill} = 1980000 - 129600 = 1850400 \,cm^3$ है।
मान लीजिए ईंटों की संख्या $n$ है। एक ईंट का आयतन $V_{brick} = 22.5 \times 7.5 \times 6.5 = 1096.875 \,cm^3$ है।
प्रत्येक ईंट अपने आयतन का $\frac{1}{17}$ भाग सोख लेती है,इसलिए पानी में एक ईंट द्वारा घेरा गया प्रभावी आयतन $V_{eff} = V_{brick} - \frac{1}{17} V_{brick} = \frac{16}{17} V_{brick}$ होगा।
टंकी को भरने के लिए,$n$ ईंटों का कुल प्रभावी आयतन भरने योग्य आयतन के बराबर होना चाहिए: $n \times V_{eff} = V_{fill}$.
$n \times \frac{16}{17} \times 1096.875 = 1850400$.
$n \times \frac{16}{17} \times \frac{8775}{8} = 1850400$.
$n \times \frac{2 \times 8775}{17} = 1850400$.
$n = \frac{1850400 \times 17}{17550} = 1792$.

(N/A) घाटी का क्षेत्रफल $= 7280 \, km^2 = 7280 \times (1000 \, m)^2 = 7.28 \times 10^9 \, m^2$.
वर्षा की गहराई $= 10 \, cm = 0.1 \, m$.
कुल वर्षा का आयतन $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{गहराई} = 7.28 \times 10^9 \, m^2 \times 0.1 \, m = 7.28 \times 10^8 \, m^3$.
एक नदी का आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{गहराई} = 1072 \, km \times 75 \, m \times 3 \, m = 1072000 \, m \times 75 \, m \times 3 \, m = 2.412 \times 10^8 \, m^3$.
ऐसी तीन नदियों का कुल आयतन $= 3 \times 2.412 \times 10^8 \, m^3 = 7.236 \times 10^8 \, m^3$.
चूंकि $7.28 \times 10^8 \, m^3 \approx 7.236 \times 10^8 \, m^3$,अतः कुल वर्षा ऐसी तीन नदियों के आयतन के लगभग बराबर है।

(N/A) माना $ABC$ एक शंकु है। इसके आधार के समानांतर एक समतल द्वारा काटने पर एक छिन्नक $DECB$ प्राप्त होता है।
माना शंकु के छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएँ $r_{1}$ और $r_{2}$ हैं और छिन्नक की ऊँचाई $h$ है।
$\triangle ABG$ और $\triangle ADF$ में,$DF \parallel BG$ है।
$\therefore \triangle ABG \sim \triangle ADF.$
$\frac{DF}{BG} = \frac{AF}{AG} = \frac{AD}{AB}.$
$\frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{h_{1}-h}{h_{1}} = 1 - \frac{h}{h_{1}}.$
$\frac{h}{h_{1}} = 1 - \frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{r_{1}-r_{2}}{r_{1}}.$
$h_{1} = \frac{r_{1}h}{r_{1}-r_{2}}.$
शंकु के छिन्नक का आयतन $=$ शंकु $ABC$ का आयतन $-$ शंकु $ADE$ का आयतन।
$= \frac{1}{3} \pi r_{1}^{2} h_{1} - \frac{1}{3} \pi r_{2}^{2}(h_{1}-h).$
$= \frac{\pi}{3} [r_{1}^{2} h_{1} - r_{2}^{2}(h_{1}-h)].$
$= \frac{\pi}{3} [r_{1}^{2} (\frac{r_{1}h}{r_{1}-r_{2}}) - r_{2}^{2} (\frac{r_{1}h}{r_{1}-r_{2}} - h)].$
$= \frac{\pi}{3} [\frac{r_{1}^{3}h}{r_{1}-r_{2}} - r_{2}^{2} (\frac{r_{1}h - r_{1}h + r_{2}h}{r_{1}-r_{2}})].$
$= \frac{\pi}{3} [\frac{r_{1}^{3}h - r_{2}^{3}h}{r_{1}-r_{2}}].$
$= \frac{\pi h}{3} [\frac{r_{1}^{3} - r_{2}^{3}}{r_{1}-r_{2}}].$
$= \frac{\pi h}{3} [\frac{(r_{1}-r_{2})(r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})}{r_{1}-r_{2}}].$
$= \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2}).$

(A) सबसे पहले,सभी मापों को मीटर में बदलें: चौड़ाई $= 300 \,cm = 3 \,m$,गहराई $= 120 \,cm = 1.2 \,m$,गति $= 20 \,km/h = 20000 \,m/h$.
$1 \,\text{घंटे}$ में नहर से बहने वाले पानी का आयतन $= \text{चौड़ाई} \times \text{गहराई} \times \text{गति} = 3 \times 1.2 \times 20000 = 72000 \,m^3$.
$20 \,\text{मिनट}$ में बहने वाले पानी का आयतन $= \frac{72000 \times 20}{60} = 24000 \,m^3$.
माना कि सिंचित होने वाला क्षेत्र $A \,m^2$ है। सिंचाई के लिए आवश्यक पानी का आयतन $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{पानी की गहराई}$.
दी गई गहराई $= 8 \,cm = 0.08 \,m$.
अतः,$A \times 0.08 = 24000$.
$A = \frac{24000}{0.08} = 300000 \,m^2$.
चूंकि $1 \,\text{हेक्टेयर }= 10000 \,m^2$ होता है,इसलिए हेक्टेयर में क्षेत्रफल $= \frac{300000}{10000} = 30 \,\text{हेक्टेयर}$.

(B) माना कि दिए गए शंकु की ऊँचाई $h$ है। शंकु को उसकी अक्ष के मध्य बिंदु से और आधार के समानांतर एक समतल द्वारा दो भागों में विभाजित करने पर,हमें ऊपर एक छोटा शंकु और नीचे एक शंकु का छिन्नक प्राप्त होता है।
दो समरूप त्रिभुजों में,संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है। माना छोटे शंकु की त्रिज्या $r$ है। त्रिभुजों की समरूपता से,हमें प्राप्त होता है $\frac{r}{4} = \frac{h/2}{h} = \frac{1}{2}$.
अतः,$r = 2 \, cm$.
छोटे शंकु का आयतन $(V_1)$ = $\frac{1}{3} \pi r^2 (h/2) = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (h/2) = \frac{2}{3} \pi h$.
मूल शंकु का आयतन $(V)$ = $\frac{1}{3} \pi (4)^2 h = \frac{16}{3} \pi h$.
शंकु के छिन्नक का आयतन $(V_2)$ = $V - V_1 = \frac{16}{3} \pi h - \frac{2}{3} \pi h = \frac{14}{3} \pi h$.
छोटे शंकु के आयतन और छिन्नक के आयतन का अनुपात = $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{2}{3} \pi h}{\frac{14}{3} \pi h} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.
अतः,अनुपात $1:7$ है।