Volume of a Combination of Solids Questions in Hindi

(C) माना कि तीनों घनों के किनारे क्रमशः $3x, 4x$ और $5x \, \text{cm}$ हैं।
तीनों घनों का कुल आयतन $V = (3x)^3 + (4x)^3 + (5x)^3 = 27x^3 + 64x^3 + 125x^3 = 216x^3 \, \text{cm}^3$ है।
माना कि नए बने घन की भुजा $a$ है। इस नए घन का आयतन $a^3 = 216x^3$ है,जिसका अर्थ है $a = 6x$।
$a$ भुजा वाले घन का विकर्ण $d = a\sqrt{3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ विकर्ण $12\sqrt{3} \, \text{cm}$ दिया गया है,इसलिए $a\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $a = 12 \, \text{cm}$।
चूँकि $a = 6x$ है,इसलिए $6x = 12$ प्राप्त होता है,जिससे $x = 2$ मिलता है।
अतः,तीनों घनों के किनारे क्रमशः $3(2) = 6 \, \text{cm}$,$4(2) = 8 \, \text{cm}$ और $5(2) = 10 \, \text{cm}$ हैं।

(D) दिया गया है कि तीन ठोस घनों की भुजाएँ क्रमशः $3 \, cm$,$4 \, cm$ और $5 \, cm$ हैं。
घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = (\text{भुजा})^3$ है。
पहले घन का आयतन $= (3)^3 = 27 \, cm^3$.
दूसरे घन का आयतन $= (4)^3 = 64 \, cm^3$.
तीसरे घन का आयतन $= (5)^3 = 125 \, cm^3$.
तीनों घनों का कुल आयतन $= 27 + 64 + 125 = 216 \, cm^3$.
माना कि नए बने घन की भुजा $R \, cm$ है。
अतः,नए घन का आयतन $= R^3$.
चूंकि कुल आयतन समान रहता है,इसलिए $R^3 = 216$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$R = \sqrt[3]{216} = 6 \, cm$.
अतः,परिणामी घन की भुजा $6 \, cm$ है。

(A) दिया गया है,घनाभ की विमाएं $= 9 \, cm \times 11 \, cm \times 12 \, cm$।
घनाभ का आयतन $= 9 \times 11 \times 12 = 1188 \, cm^3$।
गोलाकार गोली का व्यास $= 3 \, cm$।
गोली की त्रिज्या,$r = \frac{3}{2} = 1.5 \, cm$।
एक गोलाकार गोली का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.5)^3$।
एक गोली का आयतन $= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.375 = \frac{99}{7} \approx 14.143 \, cm^3$।
गोलियों की संख्या $= \frac{\text{घनाभ का आयतन}}{\text{एक गोली का आयतन}} = \frac{1188}{99/7} = \frac{1188 \times 7}{99} = 12 \times 7 = 84$।
अतः,$84$ गोलियां बनाई जा सकती हैं।

(B) दिया गया है, छिन्नक का आयतन $= 28.49 \, \text{लीटर} = 28.49 \times 1000 \, \text{सेमी}^3 = 28490 \, \text{सेमी}^3$ (चूंकि $1 \, \text{लीटर} = 1000 \, \text{सेमी}^3$)।
ऊपरी सिरे की त्रिज्या $(r_1) = 28 \, \text{सेमी}$।
निचले सिरे की त्रिज्या $(r_2) = 21 \, \text{सेमी}$।
माना बाल्टी की ऊँचाई $h \, \text{सेमी}$ है।
शंकु के छिन्नक का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ होता है।
मान रखने पर: $28490 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times h \times (28^2 + 21^2 + 28 \times 21)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times (784 + 441 + 588)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times 1813$.
$h = \frac{28490 \times 21}{22 \times 1813}$.
$h = \frac{598290}{39886} = 15 \, \text{सेमी}$।

(C) माना शंकु $ORN$ है,जिसकी आधार त्रिज्या $r_1 = 8 \, cm$ और ऊँचाई $OM = 12 \, cm$ है।
माना $P$,$OM$ का मध्य-बिंदु है,अतः $OP = PM = \frac{12}{2} = 6 \, cm$ है।
चूँकि समतल आधार के समानांतर है,इसलिए $\triangle OPD \sim \triangle OMN$ होगा।
समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार,$\frac{OP}{OM} = \frac{PD}{MN}$ है।
$\frac{6}{12} = \frac{PD}{8} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{PD}{8} \Rightarrow PD = 4 \, cm$ है।
यह समतल शंकु को एक छोटे शंकु (ऊपरी भाग) और एक शंकु के छिन्नक (निचला भाग) में विभाजित करता है।
छोटे शंकु का आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi (PD)^2 (OP) = \frac{1}{3} \pi (4)^2 (6) = 32 \pi \, cm^3$ है।
मूल शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi (MN)^2 (OM) = \frac{1}{3} \pi (8)^2 (12) = 256 \pi \, cm^3$ है।
शंकु के छिन्नक का आयतन $V_2 = V - V_1 = 256 \pi - 32 \pi = 224 \pi \, cm^3$ है।
छोटे शंकु और छिन्नक के आयतन का अनुपात $V_1 : V_2 = 32 \pi : 224 \pi = 1 : 7$ है।

(A) दिया गया है कि,ठोस घन की भुजा $(a) = 7 \, cm$ है।
शंक्वाकार गुहा (शंकु) की ऊँचाई,$h = 7 \, cm$ है।
शंक्वाकार गुहा (शंकु) की त्रिज्या,$r = 3 \, cm$ है।
घन का आयतन $= a^3 = (7)^3 = 343 \, cm^3$ है।
शंक्वाकार गुहा (शंकु) का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (3)^2 \times 7$ है।
$= \frac{1}{3} \times 22 \times 9 = 66 \, cm^3$ है।
शेष ठोस का आयतन $=$ घन का आयतन $-$ शंक्वाकार गुहा का आयतन।
$= 343 - 66 = 277 \, cm^3$ है।
अतः,शेष ठोस का आयतन $277 \, cm^3$ है।

(D) आइसक्रीम कोन एक अर्धगोले और एक शंकु का संयोजन है।
दिया है,अर्धगोले की त्रिज्या $(r)$ $= 5 \, cm$ है।
अर्धगोले का आयतन $= \frac{2}{3} \pi r^{3} = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^{3} = \frac{5500}{21} \approx 261.90 \, cm^{3}$ है।
अब,शंकु की त्रिज्या $(r)$ $= 5 \, cm$ है।
आइसक्रीम कोन की कुल ऊँचाई $10 \, cm$ है। चूँकि अर्धगोले की त्रिज्या $5 \, cm$ है,इसलिए शंक्वाकार भाग की ऊँचाई $(h)$ $= 10 - 5 = 5 \, cm$ होगी।
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^{2} \times 5 = \frac{2750}{21} \approx 130.95 \, cm^{3}$ है।
आइसक्रीम कोन का कुल आयतन $= 261.90 + 130.95 = 392.85 \, cm^{3}$ है।
चूँकि $\frac{1}{6}$ भाग खाली रहता है,इसलिए भरी हुई आइसक्रीम का आयतन कुल आयतन का $\frac{5}{6}$ भाग होगा।
आइसक्रीम का आवश्यक आयतन $= \frac{5}{6} \times 392.85 = 5 \times 65.475 = 327.375 \approx 327.4 \, cm^{3}$ है।

(A) दिया गया है,कंचे का व्यास $= 1.4 \,cm$.
$\therefore$ कंचे की त्रिज्या $(r) = \frac{1.4}{2} = 0.7 \,cm$.
एक गोलाकार कंचे का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (0.7)^3 = \frac{4}{3} \pi (0.343) = \frac{1.372}{3} \pi \,cm^3$.
दिया गया है,बेलनाकार बीकर का व्यास $= 7 \,cm$.
$\therefore$ बीकर की त्रिज्या $(R) = \frac{7}{2} = 3.5 \,cm$.
पानी के स्तर में हुई वृद्धि $(h) = 5.6 \,cm$.
बीकर में विस्थापित (बढ़े हुए) पानी का आयतन $= \pi R^2 h = \pi (3.5)^2 (5.6) = \pi (12.25) (5.6) = 68.6 \pi \,cm^3$.
माना कंचों की संख्या $n$ है।
अतः,$n \times (\text{एक कंचे का आयतन}) = \text{बढ़े हुए पानी का आयतन}$.
$n \times \frac{1.372}{3} \pi = 68.6 \pi$.
$n = \frac{68.6 \times 3}{1.372} = \frac{205.8}{1.372} = 150$.
अतः,$150$ कंचों की आवश्यकता होगी।

(B) दिया गया है कि,ठोस आयताकार सीसे के टुकड़े से गोलाकार सीसे की गोलियाँ बनाई जाती हैं।
$\therefore$ गोलाकार सीसे की गोलियों की संख्या $= \frac{\text{ठोस आयताकार सीसे के टुकड़े का आयतन}}{\text{एक गोलाकार सीसे की गोली का आयतन}}$ ......$(i)$
गोलाकार सीसे की गोली का व्यास $= 4.2 \, cm$ है।
$\therefore$ गोलाकार सीसे की गोली की त्रिज्या,$r = \frac{4.2}{2} = 2.1 \, cm$.
गोलाकार सीसे की गोली का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1 = 38.808 \, cm^3$.
आयताकार सीसे के टुकड़े (घनाभ) का आयतन $= l \times b \times h = 66 \times 42 \times 21 = 58212 \, cm^3$.
समीकरण $(i)$ से,
गोलाकार सीसे की गोलियों की संख्या $= \frac{58212}{38.808} = 1500$.
अतः,आवश्यक गोलाकार सीसे की गोलियों की संख्या $1500$ है।

(C) दिया गया है कि,सीसे के एक ठोस घन से गोलाकार सीसे की गोलियाँ बनाई जाती हैं।
$\therefore$ गोलाकार सीसे की गोलियों की संख्या $= \frac{\text{सीसे के ठोस घन का आयतन}}{\text{एक गोलाकार सीसे की गोली का आयतन}}$ ...........$(i)$
दिया गया है कि,गोलाकार सीसे की गोली का व्यास $= 4 \,cm$.
$\Rightarrow$ गोलाकार सीसे की गोली की त्रिज्या $(r) = \frac{4}{2} = 2 \,cm$.
एक गोलाकार सीसे की गोली का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2)^3 = \frac{4 \times 22 \times 8}{3 \times 7} = \frac{704}{21} \,cm^3$.
दिया गया है कि,ठोस घन की भुजा $(a) = 44 \,cm$.
ठोस घन का आयतन $= a^3 = (44)^3 = 44 \times 44 \times 44 = 85184 \,cm^3$.
समीकरण $(i)$ से,
गोलाकार सीसे की गोलियों की संख्या $= \frac{44 \times 44 \times 44}{\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 8} = \frac{44 \times 44 \times 44 \times 3 \times 7}{4 \times 22 \times 8} = 11 \times 21 \times 11 = 2541$.
अतः,आवश्यक गोलाकार सीसे की गोलियों की संख्या $2541$ है।

(D) दिया गया है कि,दीवार ईंटों और मसाले की मदद से बनाई गई है।
ईंटों की संख्या $= \frac{\text{दीवार का कुल आयतन} - (\frac{1}{10} \text{भाग दीवार का आयतन})}{\text{एक ईंट का आयतन}}$ .........$(i)$
दीवार की लंबाई $(l) = 24 \, m$,मोटाई $(b) = 0.4 \, m$,ऊँचाई $(h) = 6 \, m$.
दीवार का कुल आयतन $= l \times b \times h = 24 \times 0.4 \times 6 = 57.6 \, m^3$.
मसाले द्वारा घेरा गया आयतन $= \frac{1}{10} \times 57.6 = 5.76 \, m^3$.
ईंटों द्वारा घेरा गया आयतन $= 57.6 - 5.76 = 51.84 \, m^3$.
ईंट की विमाएँ $= 25 \, cm \times 16 \, cm \times 10 \, cm = 0.25 \, m \times 0.16 \, m \times 0.10 \, m$.
एक ईंट का आयतन $= 0.25 \times 0.16 \times 0.10 = 0.004 \, m^3$.
ईंटों की संख्या $= \frac{51.84}{0.004} = \frac{51840}{4} = 12960$.
अतः,दीवार बनाने में प्रयुक्त ईंटों की आवश्यक संख्या $12960$ है।

(A) एक धात्विक वृत्ताकार डिस्क मूल रूप से एक पतला बेलन है।
धात्विक वृत्ताकार डिस्क के लिए:
व्यास $= 1.5\, cm$,इसलिए त्रिज्या $(r) = \frac{1.5}{2} = 0.75\, cm$.
ऊँचाई $(h) = 0.2\, cm$.
एक डिस्क का आयतन $= \pi r^2 h = \pi \times (0.75)^2 \times 0.2 = \pi \times 0.5625 \times 0.2 = 0.1125\pi\, cm^3$.
बड़े बेलन के लिए:
व्यास $= 4.5\, cm$,इसलिए त्रिज्या $(R) = \frac{4.5}{2} = 2.25\, cm$.
ऊँचाई $(H) = 10\, cm$.
बेलन का आयतन $= \pi R^2 H = \pi \times (2.25)^2 \times 10 = \pi \times 5.0625 \times 10 = 50.625\pi\, cm^3$.
आवश्यक डिस्क की संख्या $= \frac{\text{बेलन का आयतन}}{\text{एक डिस्क का आयतन}} = \frac{50.625\pi}{0.1125\pi} = \frac{506250}{1125} = 450$.
अतः,आवश्यक धात्विक वृत्ताकार डिस्क की संख्या $450$ है।

(N/A) बाल्टी की धारिता (आयतन) का सूत्र $V = \frac{\pi h}{3} [r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2]$ है।
यहाँ $h = 30 \, cm$,$r_1 = 20 \, cm$ और $r_2 = 10 \, cm$ है।
धारिता $= \frac{3.14 \times 30}{3} [20^2 + 10^2 + 20 \times 10] = 31.4 [400 + 100 + 200] = 31.4 \times 700 = 21980 \, cm^3$.
चूँकि $1000 \, cm^3 = 1 \, litre$,इसलिए धारिता $21.98 \, litres$ है।
$Rs. \, 25$ प्रति $litre$ की दर से दूध का मूल्य $21.98 \times 25 = Rs. \, 549.50$ होगा।
तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{30^2 + (20 - 10)^2} = \sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000} \approx 31.62 \, cm$.
बाल्टी का पृष्ठीय क्षेत्रफल (ऊपर से खुली) = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + आधार का क्षेत्रफल: $A = \pi l (r_1 + r_2) + \pi r_2^2$.
$A = 3.14 \times 31.62 \times (20 + 10) + 3.14 \times 10^2 = 3.14 \times 31.62 \times 30 + 314 = 2978.56 + 314 = 3292.56 \, cm^2 \approx 3292.6 \, cm^2$.

(D) माना अर्धगोलाकार गुंबद की त्रिज्या $r$ मीटर है और इमारत की कुल ऊँचाई $h$ मीटर है।
चूँकि गुंबद के आधार का व्यास कुल ऊँचाई का $\frac{2}{3}$ है,इसलिए $2r = \frac{2}{3}h$,जिसका अर्थ है $r = \frac{h}{3}$।
माना बेलनाकार भाग की ऊँचाई $H$ है। तब $H = h - r = h - \frac{h}{3} = \frac{2}{3}h$ मीटर।
इमारत के अंदर हवा का आयतन अर्धगोलाकार गुंबद के आयतन और बेलनाकार भाग के आयतन का योग है।
आयतन $= \frac{2}{3}\pi r^3 + \pi r^2 H = \frac{2}{3}\pi (\frac{h}{3})^3 + \pi (\frac{h}{3})^2 (\frac{2}{3}h) = \frac{2}{3}\pi (\frac{h^3}{27}) + \pi (\frac{h^2}{9}) (\frac{2}{3}h) = \frac{2\pi h^3}{81} + \frac{2\pi h^3}{27} = \frac{2\pi h^3 + 6\pi h^3}{81} = \frac{8\pi h^3}{81}$।
दिया गया है कि आयतन $67 \frac{1}{21} = \frac{1408}{21} \, m^3$ है।
अतः,$\frac{8}{81} \times \frac{22}{7} \times h^3 = \frac{1408}{21}$।
$h^3 = \frac{1408}{21} \times \frac{81 \times 7}{8 \times 22} = \frac{1408}{21} \times \frac{567}{176} = 8 \times 27 = 216$।
$h = \sqrt[3]{216} = 6 \, m$।

(A) माना शंकु की ऊँचाई $h \, cm$ है।
दिया है,शंकु के आधार की त्रिज्या $r = 6 \, cm$ है।
शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (6)^2 h = \frac{36 \pi h}{3} = 12 \pi h \, cm^3$ होता है।
दिया है,अर्धगोले की त्रिज्या $R = 8 \, cm$ है।
अर्धगोले का आयतन $V_{hemisphere} = \frac{2}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi (8)^3 = \frac{2}{3} \pi (512) = \frac{1024 \pi}{3} \, cm^3$ होता है।
चूँकि अर्धगोले को पिघलाकर शंकु बनाया गया है,इसलिए उनके आयतन समान होंगे:
$12 \pi h = \frac{1024 \pi}{3}$
$h = \frac{1024 \pi}{3 \times 12 \pi} = \frac{1024}{36} = \frac{256}{9} \approx 28.44 \, cm$.
अतः,शंकु की ऊँचाई $28.44 \, cm$ है।

(B) दिया गया है कि आयताकार टंकी के आधार की विमाएँ $= 11 \,m \times 6 \,m$ और पानी की ऊँचाई $= 5 \,m$ है।
आयताकार टंकी में पानी का आयतन $= 11 \times 6 \times 5 = 330 \,m^3$ है।
साथ ही,बेलनाकार टंकी की त्रिज्या $r = 3.5 \,m$ दी गई है।
माना बेलनाकार टंकी में पानी के स्तर की ऊँचाई $h$ है। बेलनाकार टंकी में पानी का आयतन सूत्र $V = \pi r^2 h$ द्वारा प्राप्त होता है।
$V = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times h = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times h = 22 \times 0.5 \times 3.5 \times h = 38.5 h \,m^3$ है।
चूँकि पानी को स्थानांतरित करने पर आयतन समान रहता है:
$38.5 h = 330$ है।
$h = \frac{330}{38.5} = \frac{3300}{385} \approx 8.571 \,m$ है।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,पानी के स्तर की ऊँचाई $8.6 \,m$ प्राप्त होती है।

(N/A) माना बाहरी लंबाई $(l) = 36 \, cm$,बाहरी चौड़ाई $(b) = 25 \, cm$ और बाहरी ऊंचाई $(h) = 16.5 \, cm$ है। लोहे की मोटाई $x = 1.5 \, cm$ है।
खुले बक्से का बाहरी आयतन $= l \times b \times h = 36 \times 25 \times 16.5 = 14850 \, cm^3$.
एक खुले बक्से के लिए,आंतरिक आयाम इस प्रकार हैं:
आंतरिक लंबाई $(l_i) = l - 2x = 36 - 2(1.5) = 36 - 3 = 33 \, cm$.
आंतरिक चौड़ाई $(b_i) = b - 2x = 25 - 2(1.5) = 25 - 3 = 22 \, cm$.
आंतरिक ऊंचाई $(h_i) = h - x = 16.5 - 1.5 = 15 \, cm$ (चूंकि यह एक खुला बक्सा है,इसलिए केवल आधार की मोटाई घटाई जाती है)।
आंतरिक आयतन $= l_i \times b_i \times h_i = 33 \times 22 \times 15 = 10890 \, cm^3$.
आवश्यक लोहे का आयतन = बाहरी आयतन - आंतरिक आयतन
$= 14850 - 10890 = 3960 \, cm^3$.
बक्से का वजन = लोहे का आयतन $\times$ घनत्व
$= 3960 \, cm^3 \times 7.5 \, g/cm^3 = 29700 \, g = 29.7 \, kg$.

(D) दिया गया है कि फाउंटेन पेन के बैरल की लंबाई $h = 7 \, cm$ है।
व्यास $d = 5 \, mm = 0.5 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.25 \, cm$ है।
बेलनाकार बैरल का आयतन $V = \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (0.25)^2 \times 7 = 22 \times 0.0625 = 1.375 \, cm^3$ है।
यह दिया गया है कि $1.375 \, cm^3$ स्याही से $3300$ शब्द लिखे जाते हैं।
बोतल में स्याही का आयतन $= \frac{1}{5} \, L = \frac{1}{5} \times 1000 \, cm^3 = 200 \, cm^3$ है।
$200 \, cm^3$ स्याही से लिखे जा सकने वाले शब्दों की संख्या $= \frac{3300}{1.375} \times 200$ है।
$= \frac{3300 \times 200}{1.375} = \frac{660000}{1.375} = 480000$ शब्द।

(A) दिया है,पानी के प्रवाह की गति $= 10 \, m/min = 1000 \, cm/min$.
पाइप की त्रिज्या $r = \frac{5 \, mm}{2} = 2.5 \, mm = 0.25 \, cm$.
पाइप के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \pi \times (0.25)^2 = 0.0625 \pi \, cm^2$.
प्रति मिनट बहने वाले पानी का आयतन $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{गति} = 0.0625 \pi \times 1000 = 62.5 \pi \, cm^3$.
शंक्वाकार बर्तन का आयतन $= \frac{1}{3} \pi R^2 H$,जहाँ $R = 20 \, cm$ और $H = 24 \, cm$.
आयतन $= \frac{1}{3} \pi \times (20)^2 \times 24 = 8 \pi \times 400 = 3200 \pi \, cm^3$.
आवश्यक समय $= \frac{\text{बर्तन का आयतन}}{\text{प्रति मिनट आयतन}} = \frac{3200 \pi}{62.5 \pi} = \frac{3200}{62.5} = 51.2 \, \text{मिनट}$.
$51.2 \, \text{मिनट }= 51 \, \text{मिनट }+ 0.2 \times 60 \, \text{सेकंड }= 51 \, \text{मिनट }\, 12 \, \text{सेकंड}$.

(D) दिया गया है: तालाब की लंबाई $= 50\, m$,तालाब की चौड़ाई $= 44\, m$.
पानी के स्तर में आवश्यक वृद्धि $= 21\, cm = 0.21\, m$.
तालाब में आवश्यक पानी का आयतन $= 50 \times 44 \times 0.21 = 462\, m^3$.
पाइप की त्रिज्या $(r) = \frac{14}{2} = 7\, cm = 0.07\, m$.
पानी की गति $= 15\, km/h = 15000\, m/h$.
$1\, h$ में पाइप से बहने वाले पानी का आयतन $= \pi r^2 \times \text{गति} = \frac{22}{7} \times (0.07)^2 \times 15000$.
$= \frac{22}{7} \times 0.0049 \times 15000 = 22 \times 0.0007 \times 15000 = 231\, m^3$.
$462\, m^3$ पानी भरने के लिए आवश्यक समय $= \frac{\text{कुल आवश्यक आयतन}}{\text{प्रति घंटा बहने वाला आयतन}} = \frac{462}{231} = 2\, h$.
अतः,आवश्यक समय $2\, h$ है.

(A) दिया गया है कि,एक ठोस लोहे के घनाभाकार ब्लॉक को एक खोखले बेलनाकार पाइप में ढाला जाता है।
घनाभाकार ब्लॉक का आयतन $= l \times b \times h = 4.4 \, m \times 2.6 \, m \times 1 \, m = 11.44 \, m^3$.
खोखले बेलनाकार पाइप की आंतरिक त्रिज्या $(r_i) = 30 \, cm = 0.3 \, m$.
पाइप की मोटाई $= 5 \, cm = 0.05 \, m$.
बाह्य त्रिज्या $(r_e) = r_i + \text{मोटाई} = 0.3 \, m + 0.05 \, m = 0.35 \, m$.
खोखले बेलनाकार पाइप का आयतन $= \pi (r_e^2 - r_i^2) h_1$,जहाँ $h_1$ पाइप की लंबाई है।
आयतन $= \frac{22}{7} \times (0.35^2 - 0.3^2) \times h_1 = \frac{22}{7} \times (0.1225 - 0.09) \times h_1 = \frac{22}{7} \times 0.0325 \times h_1$.
चूँकि आयतन समान रहता है: $11.44 = \frac{22}{7} \times 0.0325 \times h_1$.
$h_1 = \frac{11.44 \times 7}{22 \times 0.0325} = \frac{80.08}{0.715} = 112 \, m$.
अतः,पाइप की लंबाई $112 \, m$ है।

(B) माना कि जब $500$ व्यक्ति एक घनाकार तालाब में डुबकी लगाते हैं,तो जल स्तर में वृद्धि $h \, m$ होती है।
दिया गया है कि,
घनाकार तालाब की लंबाई $= 80 \, m$
घनाकार तालाब की चौड़ाई $= 50 \, m$
अब,तालाब में जल स्तर में वृद्धि का आयतन:
आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई}$
आयतन $= 80 \times 50 \times h = 4000h \, m^3$
एक व्यक्ति द्वारा पानी का औसत विस्थापन $= 0.04 \, m^3$
अतः,$500$ व्यक्तियों द्वारा पानी का कुल विस्थापन $= 500 \times 0.04 \, m^3 = 20 \, m^3$
प्रश्न के अनुसार,जल स्तर में वृद्धि का आयतन $500$ व्यक्तियों द्वारा पानी के कुल विस्थापन के बराबर है:
$4000h = 20$
$h = \frac{20}{4000} \, m$
$h = \frac{1}{200} \, m = 0.005 \, m$
ऊंचाई को सेंटीमीटर $(cm)$ में बदलने के लिए:
$h = 0.005 \times 100 \, cm = 0.5 \, cm$
अतः,तालाब में जल स्तर में आवश्यक वृद्धि $0.5 \, cm$ है।

(C) दिया गया है,घनाभाकार बक्से की विमाएँ $= 16 \,cm \times 8 \,cm \times 8 \,cm$.
घनाभाकार बक्से का आयतन $= 16 \times 8 \times 8 = 1024 \,cm^3$.
एक कांच के गोले की त्रिज्या $(r) = 2 \,cm$.
एक कांच के गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2)^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 8 = \frac{704}{21} \approx 33.524 \,cm^3$.
$16$ कांच के गोलों का कुल आयतन $= 16 \times 33.524 = 536.384 \,cm^3$.
भरे गए पानी का आयतन $= \text{घनाभाकार बक्से का आयतन} - 16 \text{ कांच के गोलों का आयतन}$.
पानी का आयतन $= 1024 - 536.384 = 487.616 \,cm^3$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,आयतन $487.6 \,cm^3$ है।

(D) दिया है: दूध के बर्तन की ऊँचाई $(h) = 16 \, cm$,निचले सिरे की त्रिज्या $(r) = 8 \, cm$ और ऊपरी सिरे की त्रिज्या $(R) = 20 \, cm$ है।
शंकु के छिन्नक का आयतन ज्ञात करने का सूत्र: $V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + r^2 + Rr)$ है।
मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 16 \times (20^2 + 8^2 + 20 \times 8)$
$V = \frac{22 \times 16}{21} \times (400 + 64 + 160)$
$V = \frac{352}{21} \times 624$
$V = \frac{219648}{21} \approx 10459.43 \, cm^3$.
चूँकि $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{लीटर}$,इसलिए लीटर में आयतन $V = \frac{10459.43}{1000} = 10.45943 \, \text{लीटर}$ होगा।
$Rs. \, 22$ प्रति लीटर की दर से दूध का मूल्य:
मूल्य $= 10.45943 \times 22 = Rs. \, 230.107 \approx Rs. \, 230.12$।

(N/A) दिया है,बेलनाकार बाल्टी के आधार की त्रिज्या $(R) = 18 \,cm$.
बाल्टी की ऊँचाई $(H) = 32 \,cm$.
बेलनाकार बाल्टी में रेत का आयतन $= \pi R^2 H = \pi \times (18)^2 \times 32 = 10368 \pi \,cm^3$.
माना शंक्वाकार ढेर की त्रिज्या $r \,cm$ और उसकी ऊँचाई $h = 24 \,cm$ है।
शंक्वाकार ढेर का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 \times 24 = 8 \pi r^2 \,cm^3$.
चूँकि रेत का आयतन समान रहता है,इसलिए $8 \pi r^2 = 10368 \pi$.
$r^2 = \frac{10368}{8} = 1296$.
$r = \sqrt{1296} = 36 \,cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ का मान $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$l = \sqrt{36^2 + 24^2} = \sqrt{1296 + 576} = \sqrt{1872}$.
$l = 12\sqrt{13} \approx 43.27 \,cm$.
अतः,ढेर की त्रिज्या $36 \,cm$ है और तिर्यक ऊँचाई लगभग $43.27 \,cm$ है।

(D) दिया गया है,अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या,$r = 9 \,cm$ है।
अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन $V_{bowl} = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 9^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 729 = 486 \pi \,cm^3$ है।
प्रत्येक बेलनाकार बोतल की त्रिज्या $R = 1.5 \,cm$ और ऊँचाई $h = 4 \,cm$ है।
एक बेलनाकार बोतल का आयतन $V_{bottle} = \pi R^2 h = \pi \times (1.5)^2 \times 4 = \pi \times 2.25 \times 4 = 9 \pi \,cm^3$ है।
आवश्यक बोतलों की संख्या $= \frac{V_{bowl}}{V_{bottle}} = \frac{486 \pi}{9 \pi} = 54$ है।
अतः,कटोरे को खाली करने के लिए $54$ बोतलों की आवश्यकता होगी।

(N/A) $(i)$ जब किसी ठोस वस्तु को पानी से भरे पात्र में डुबोया जाता है,तो विस्थापित पानी का आयतन वस्तु के डूबे हुए भाग के आयतन के बराबर होता है।
$(ii)$ बेलन में प्रारंभ में मौजूद पानी का कुल आयतन बेलन के आयतन के बराबर होता है।
$(iii)$ बेलन में शेष बचे पानी का आयतन $=$ (बेलन का कुल आयतन) $-$ (शंकु का आयतन)।
दिया है:
शंकु की ऊँचाई $(h_1)$ $= 120 \,cm$
शंकु की त्रिज्या $(r)$ $= 60 \,cm$
बेलन की ऊँचाई $(h_2)$ $= 180 \,cm$
बेलन की त्रिज्या $(r)$ $= 60 \,cm$
शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times (60)^2 \times 120 = 144000 \pi \,cm^3$.
बेलन का आयतन $= \pi r^2 h_2 = \pi \times (60)^2 \times 180 = 648000 \pi \,cm^3$.
चूँकि शंकु पूरी तरह से डूबा हुआ है,इसलिए विस्थापित पानी का आयतन शंकु के आयतन के बराबर यानी $144000 \pi \,cm^3$ होगा।
बेलन में शेष बचे पानी का आयतन $= 648000 \pi - 144000 \pi = 504000 \pi \,cm^3$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ लेने पर:
आयतन $= 504000 \times \frac{22}{7} = 72000 \times 22 = 1584000 \,cm^3$.
मीटर में बदलने पर $(1 \,m^3 = 10^6 \,cm^3)$:
आयतन $= \frac{1584000}{1000000} \,m^3 = 1.584 \,m^3$.
अतः,बेलन में शेष बचे पानी का आयतन $1.584 \,m^3$ है।

दिया गया है:
टैंक की त्रिज्या, $r_1 = 40\,cm$
माना कि आधे घंटे में टैंक में पानी के स्तर में हुई वृद्धि $h_1\,cm$ है।
बेलनाकार पाइप की आंतरिक त्रिज्या, $r_2 = 1\,cm$
पानी के प्रवाह की गति $= 80\,cm/s$
समय $= 30$ मिनट $= 30 \times 60 = 1800$ सेकंड
$1800$ सेकंड में पाइप से बाहर बहने वाले पानी के स्तंभ की लंबाई:
$h_2 = 80 \times 1800 = 144000\,cm$
\textbf{आयतन संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:}
बेलनाकार टैंक में पानी का आयतन = आधे घंटे में पाइप से बहे पानी का आयतन
$\pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2$
$40^2 \times h_1 = 1^2 \times 144000$
$1600 \times h_1 = 144000$
$h_1 = \frac{144000}{1600} = 90\,cm$
\textbf{अतः:}
आधे घंटे में टैंक में पानी का स्तर $90\,cm$ बढ़ जाएगा।

(C) दिया है,छत की लंबाई $= 22 \, m$ और छत की चौड़ाई $= 20 \, m$.
माना वर्षा का माप $a \, cm = \frac{a}{100} \, m$ है।
छत पर एकत्रित जल का आयतन $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{वर्षा की ऊँचाई} = 22 \times 20 \times \frac{a}{100} = \frac{22a}{5} \, m^3$.
बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या $r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, m$.
बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई $h = 3.5 \, m = \frac{7}{2} \, m$.
बेलनाकार बर्तन का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times (1)^2 \times \frac{7}{2} = 11 \, m^3$.
चूँकि छत से एकत्रित जल बर्तन को भर देता है,इसलिए दोनों आयतन समान हैं:
$\frac{22a}{5} = 11$.
$a = \frac{11 \times 5}{22} = 2.5 \, cm$.
अतः,वर्षा का माप $2.5 \, cm$ है।

(B) शंकु की त्रिज्या $=$ अर्धगोले की त्रिज्या $= r = 15\, cm$ और शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = 25\, cm$.
शंकु के लिए,$l^{2} = r^{2} + h^{2}$.
$\therefore h^{2} = l^{2} - r^{2} = 25^{2} - 15^{2} = 625 - 225 = 400 = (20)^{2}$.
अतः,$h = 20\, cm$.
संयुक्त ठोस का आयतन $=$ शंकु का आयतन $+$ अर्धगोले का आयतन.
आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^{2} h + \frac{2}{3} \pi r^{3} = \frac{1}{3} \pi r^{2} (h + 2r)$.
मान रखने पर: आयतन $= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 15 \times 15 \times (20 + 2 \times 15)$.
आयतन $= 3.14 \times 5 \times 15 \times (20 + 30) = 3.14 \times 75 \times 50 = 3.14 \times 3750 = 11775\, cm^{3}$.
अतः,दिए गए ठोस का आयतन $11775\, cm^{3}$ है।

(C) बेलन की त्रिज्या $=$ अर्धगोले की त्रिज्या $= r = 8.4 \,cm$.
बेलन की ऊँचाई $h =$ कुल ऊँचाई $-$ अर्धगोले की त्रिज्या।
$h = 52.8 - 8.4 = 44.4 \,cm$.
संयुक्त टंकी का आयतन $=$ बेलन का आयतन $+$ अर्धगोले का आयतन।
$V = \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 = \pi r^2 (h + \frac{2}{3} r)$.
$V = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 \times (44.4 + \frac{2}{3} \times 8.4)$.
$V = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 \times (44.4 + 5.6)$.
$V = \frac{22}{7} \times 8.4 \times 8.4 \times 50$.
$V = 22 \times 1.2 \times 8.4 \times 50 = 11088 \,cm^3$.
चूँकि $1000 \,cm^3 = 1 \,\text{लीटर}$,इसलिए लीटर में आयतन $\frac{11088}{1000} = 11.088 \,\text{लीटर}$ होगा।

(D) शंकु की त्रिज्या $=$ अर्धगोले की त्रिज्या $= r = 15 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $h = \text{कुल ऊँचाई} - \text{अर्धगोले की त्रिज्या} = 55 - 15 = 40 \, cm$.
संयुक्त ठोस का आयतन $=$ शंकु का आयतन $+$ अर्धगोले का आयतन।
आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{1}{3} \pi r^2 (h + 2r)$.
मान रखने पर: आयतन $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 15 \times 15 \times (40 + 2 \times 15)$.
आयतन $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 225 \times (40 + 30) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 225 \times 70$.
आयतन $= 22 \times 75 \times 10 = 16500 \, cm^3$.

(A) बेलन की त्रिज्या $=$ प्रत्येक अर्धगोले की त्रिज्या $= r = 2.1 \,m$.
बेलन की ऊँचाई $h =$ टैंक की कुल ऊँचाई $- 2 \times$ अर्धगोले की त्रिज्या $= 9.2 - 2 \times 2.1 = 5 \,m$.
संयुक्त टैंक का आयतन $=$ बेलन का आयतन $+ 2 \times$ अर्धगोले का आयतन
$= \pi r^{2} h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^{3}) = \pi r^{2} (h + \frac{4}{3} r)$
$= \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times (5 + \frac{4}{3} \times 2.1)$
$= \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times (5 + 2.8) = \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 7.8 = 108.108 \,m^{3}$.
चूँकि $1 \,m^{3} = 1000$ लीटर,
लीटर में आयतन $= 108.108 \times 1000 = 1,08,108$ लीटर.
अतः,टैंक में $1,08,108$ लीटर पेट्रोल आ सकता है।

(B) बेलन की त्रिज्या $=$ प्रत्येक शंकु की त्रिज्या $= r = 10 \,cm$.
बेलन की ऊँचाई $H = 40 \,cm$.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = 26 \,cm$.
शंकु के लिए,$l^2 = r^2 + h^2$,जहाँ $h$ शंकु की ऊँचाई है।
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24 \,cm$.
संयुक्त पात्र का आयतन $=$ बेलन का आयतन $+ 2 \times$ शंकु का आयतन।
आयतन $= \pi r^2 H + 2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h) = \pi r^2 (H + \frac{2}{3} h)$.
मान रखने पर: आयतन $= \frac{22}{7} \times 10^2 \times (40 + \frac{2}{3} \times 24) = \frac{22}{7} \times 100 \times (40 + 16) = \frac{22}{7} \times 100 \times 56$.
आयतन $= 22 \times 100 \times 8 = 17600 \,cm^3$.
चूँकि $1000 \,cm^3 = 1 \,\text{लीटर}$,लीटर में आयतन $\frac{17600}{1000} = 17.6 \,\text{लीटर}$ है।
अतः,मॉडल में $17.6 \,\text{लीटर}$ पानी आ सकता है।

(C) यह ठोस एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर लगे दो शंकुओं से बना है।
दिया है:
बेलन और शंकु की त्रिज्या $(r)$ = $7\, cm$.
प्रत्येक शंकु की ऊँचाई $(h_1)$ = $18\, cm$.
ठोस की कुल ऊँचाई $(H)$ = $64\, cm$.
बेलन की ऊँचाई $(h_2)$ = $H - 2 \times h_1 = 64 - 2(18) = 64 - 36 = 28\, cm$.
ठोस का आयतन = बेलन का आयतन + $2 \times$ शंकु का आयतन।
आयतन = $\pi r^2 h_2 + 2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h_1)$.
आयतन = $\pi r^2 (h_2 + \frac{2}{3} h_1)$.
आयतन = $\frac{22}{7} \times 7^2 \times (28 + \frac{2}{3} \times 18)$.
आयतन = $22 \times 7 \times (28 + 12) = 154 \times 40 = 6160\, cm^3$.

(D) ठोस का आयतन शंकु के आयतन और अर्धगोले के आयतन का योग है।
दिया गया है: त्रिज्या $r = 14 \, cm$,शंकु की ऊँचाई $h = 32 \, cm$.
शंकु का आयतन $V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 32 = \frac{1}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 32 = \frac{19712}{3} \, cm^3$.
अर्धगोले का आयतन $V_2 = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 = \frac{2}{3} \times 22 \times 2 \times 14 \times 14 = \frac{17248}{3} \, cm^3$.
कुल आयतन $V = V_1 + V_2 = \frac{19712 + 17248}{3} = \frac{36960}{3} = 12320 \, cm^3$.

(A) यह ठोस एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर स्थित दो शंकुओं से बना है।
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $21 \, cm$.
प्रत्येक शंकु की ऊंचाई $(h_{cone})$ = $30 \, cm$.
ठोस की कुल ऊंचाई = $140 \, cm$.
बेलन की ऊंचाई $(h_{cyl})$ = कुल ऊंचाई - $2 \times h_{cone} = 140 - 2(30) = 140 - 60 = 80 \, cm$.
ठोस का आयतन = बेलन का आयतन + $2 \times$ शंकु का आयतन।
बेलन का आयतन = $\pi r^2 h_{cyl} = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 80 = 22 \times 3 \times 21 \times 80 = 1,10,880 \, cm^3$.
दो शंकुओं का आयतन = $2 \times (\frac{1}{3} \pi r^2 h_{cone}) = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 30 = 2 \times 22 \times 21 \times 30 = 27,720 \, cm^3$.
कुल आयतन = $1,10,880 + 27,720 = 1,38,600 \, cm^3$.

(B) यह ठोस एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर दो अर्धगोलों से मिलकर बना है।
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $4.2 \, cm$.
ठोस की कुल ऊँचाई = $15 \, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h)$ = कुल ऊँचाई - $2 \times$ अर्धगोले की त्रिज्या = $15 - 2(4.2) = 15 - 8.4 = 6.6 \, cm$.
ठोस का आयतन = बेलन का आयतन + $2 \times$ अर्धगोले का आयतन।
आयतन = $\pi r^2 h + 2 \times (\frac{2}{3} \pi r^3) = \pi r^2 (h + \frac{4}{3} r)$.
आयतन = $\frac{22}{7} \times (4.2)^2 \times (6.6 + \frac{4}{3} \times 4.2)$.
आयतन = $\frac{22}{7} \times 17.64 \times (6.6 + 5.6) = 22 \times 2.52 \times 12.2$.
आयतन = $55.44 \times 12.2 = 676.368 \, cm^3$.

(C) लट्टू एक शंकु और एक अर्धगोले से बना है जो उनके आधार पर जुड़े हुए हैं। शंकु और अर्धगोले दोनों की त्रिज्या $r = 2.8 \, cm$ है। शंकु की ऊँचाई $h = 6.4 \, cm$ है।
शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.8)^2 \times 6.4 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7.84 \times 6.4 \approx 52.53 \, cm^3$.
अर्धगोले का आयतन $V_{hemi} = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.8)^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 21.952 \approx 46.03 \, cm^3$.
कुल आयतन $V = V_{cone} + V_{hemi} = 52.53 + 46.03 = 98.56 \, cm^3$.

(A) पात्र एक बेलन और एक अर्धगोले से बना है।
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $8.4 \,cm$।
अर्धगोले की त्रिज्या $(r)$ = $8.4 \,cm$।
पात्र की कुल ऊँचाई $(H)$ = $52.8 \,cm$।
बेलन की ऊँचाई $(h)$ = $H - r = 52.8 - 8.4 = 44.4 \,cm$।
पात्र का आयतन = बेलन का आयतन + अर्धगोले का आयतन।
आयतन = $\pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3 = \pi r^2 (h + \frac{2}{3} r)$।
आयतन = $\frac{22}{7} \times (8.4)^2 \times (44.4 + \frac{2}{3} \times 8.4)$।
आयतन = $\frac{22}{7} \times 70.56 \times (44.4 + 5.6) = \frac{22}{7} \times 70.56 \times 50$।
आयतन = $22 \times 10.08 \times 50 = 11088 \,cm^3$।
चूँकि $1000 \,cm^3 = 1 \,\text{लीटर}$,इसलिए लीटर में आयतन = $11088 / 1000 = 11.088 \,\text{लीटर}$।

(A) दिया है: शंकु की त्रिज्या $(r)$ = $15 \, cm$,तिर्यक ऊँचाई $(l)$ = $25 \, cm$.
सबसे पहले,$l^2 = r^2 + h^2$ संबंध का उपयोग करके शंकु की ऊँचाई $(h)$ ज्ञात कीजिए।
$h^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$.
$h = \sqrt{400} = 20 \, cm$.
शंकु का आयतन = $\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 15^2 \times 20 = 3.14 \times 225 \times \frac{20}{3} = 3.14 \times 75 \times 20 = 3.14 \times 1500 = 4710 \, cm^3$.
अर्धगोले का आयतन = $\frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times 15^3 = \frac{2}{3} \times 3.14 \times 3375 = 2 \times 3.14 \times 1125 = 7065 \, cm^3$.
ठोस का कुल आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन = $4710 + 7065 = 11775 \, cm^3$.

(B) यह ठोस एक अर्धगोले पर रखे गए शंकु से बना है।
दिया गया है: अर्धगोले की त्रिज्या $(r)$ = $15 \, cm$.
ठोस की कुल ऊँचाई $(H)$ = $55 \, cm$.
शंकु की ऊँचाई $(h)$ = $H - r = 55 - 15 = 40 \, cm$.
ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन।
शंकु का आयतन = $\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times (15)^2 \times 40 = 3000 \pi \, cm^3$.
अर्धगोले का आयतन = $\frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times (15)^3 = 2250 \pi \, cm^3$.
कुल आयतन = $3000 \pi + 2250 \pi = 5250 \pi \, cm^3$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,कुल आयतन = $5250 \times 3.14 = 16485 \, cm^3$। निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $16500 \, cm^3$ है।

(C) बेलनाकार कुएं के लिए,त्रिज्या $r = \frac{5.4}{2} = 2.7 \, m$ और गहराई $h = 20 \, m$ है।
खोदी गई मिट्टी का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi \times (2.7)^2 \times 20 \, m^3$ है।
इस मिट्टी को $R = 15 \, m$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार जमीन पर $H$ ऊंचाई तक फैलाया जाता है। इस फैलाई गई मिट्टी का आयतन $V = \pi R^2 H = \pi \times (15)^2 \times H \, m^3$ है।
दोनों आयतनों की तुलना करने पर: $\pi \times (2.7)^2 \times 20 = \pi \times (15)^2 \times H$.
$H = \frac{2.7 \times 2.7 \times 20}{15 \times 15} = \frac{7.29 \times 20}{225} = \frac{145.8}{225} = 0.648 \, m$.
ऊंचाई को सेंटीमीटर में बदलने पर: $H = 0.648 \times 100 = 64.8 \, cm$.
अतः,जमीन के स्तर में हुई वृद्धि $64.8 \, cm$ है।

(D) गोले की त्रिज्या $R = 21 \,cm$ है।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (21)^3 \,cm^3$ है।
बेलनाकार तार के लिए,व्यास $= 0.5 \,cm$,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{0.5}{2} = 0.25 = \frac{1}{4} \,cm$ है।
माना तार की लंबाई $h \,cm$ है।
तार का आयतन $= \pi r^2 h = \pi (\frac{1}{4})^2 h \,cm^3$ है।
चूंकि गोले को पिघलाकर तार बनाया गया है,इसलिए उनके आयतन समान होंगे:
$\pi (\frac{1}{4})^2 h = \frac{4}{3} \pi (21)^3$
$\frac{1}{16} h = \frac{4}{3} \times 21 \times 21 \times 21$
$h = 16 \times 4 \times 7 \times 21 \times 21$
$h = 64 \times 7 \times 441 = 197568 \,cm$ है।
मीटर में बदलने के लिए $100$ से भाग देने पर:
$h = \frac{197568}{100} = 1975.68 \,m$ है।
अतः,तार की लंबाई $1975.68 \,m$ है।

(A) माना कि बड़े धात्विक गोले की त्रिज्या $r = 42\, cm$ है और प्रत्येक छोटी गेंद की त्रिज्या $R\, cm$ है।
बड़े गोले का आयतन $8000$ छोटी गेंदों के कुल आयतन के बराबर है।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3$
$8000$ गेंदों का आयतन $= 8000 \times \frac{4}{3} \pi R^3$
आयतन की तुलना करने पर: $8000 \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi r^3$
$8000 R^3 = r^3$
$8000 R^3 = (42)^3$
$R^3 = \frac{42 \times 42 \times 42}{8000}$
$R^3 = \left(\frac{42}{20}\right)^3$
$R = \frac{42}{20} = 2.1\, cm$
अतः,प्रत्येक छोटी गेंद की त्रिज्या $2.1\, cm$ है।

(B) बेलन की त्रिज्या $r = 15\, cm$ और ऊंचाई $h = 20\, cm$ है।
प्रत्येक गेंद की त्रिज्या $R = 3\, cm$ है।
मान लीजिए कि $n$ गेंदें बनाई जाती हैं।
पिघलाने और पुनः ढालने के दौरान आयतन समान रहता है:
$n$ गेंदों का आयतन $=$ बेलन का आयतन
$n \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \pi r^2 h$
$n \times \frac{4}{3} \times (3)^3 = (15)^2 \times 20$
$n \times \frac{4}{3} \times 27 = 225 \times 20$
$n \times 36 = 4500$
$n = \frac{4500}{36} = 125$
अतः,$125$ गेंदें बनाई जाती हैं।

(C) गोले की त्रिज्या $R = 18 \,cm$ है।
प्रत्येक बेलन के लिए,त्रिज्या $r = 3 \,cm$ और ऊँचाई $h = 12 \,cm$ है।
मान लीजिए कि $n$ बेलन निर्मित होते हैं।
$n$ बेलनों का आयतन = गोले का आयतन।
$n \times \pi r^{2} h = \frac{4}{3} \pi R^{3}$.
$n \times r^{2} h = \frac{4}{3} R^{3}$.
$n \times 3^{2} \times 12 = \frac{4}{3} \times 18^{3}$.
$n \times 9 \times 12 = \frac{4}{3} \times 5832$.
$n \times 108 = 7776$.
$n = \frac{7776}{108} = 72$.
अतः,$72$ बेलन निर्मित होते हैं।

(D) धात्विक गोले का आयतन सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 21 \,cm$ है।
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times (21)^3 = 4 \times \pi \times 441 \times 7 = 12348 \pi \,cm^3$.
तार एक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिज्या $R = 0.5 \,cm$ और लंबाई $h$ है। तार का आयतन $V = \pi R^2 h$ है।
आयतन की तुलना करने पर: $12348 \pi = \pi \times (0.5)^2 \times h$.
$12348 = 0.25 \times h$.
$h = \frac{12348}{0.25} = 12348 \times 4 = 49392 \,cm$.
लंबाई को मीटर में बदलने के लिए,$100$ से भाग देने पर: $h = \frac{49392}{100} = 493.92 \,m$.

(A) दिया गया है: धात्विक गोले का व्यास $D = 12 \, cm$,अतः त्रिज्या $R = 6 \, cm$ है।
छोटी गेंद की त्रिज्या $r = 0.3 \, cm$ है।
माना बनाई गई गेंदों की संख्या $n$ है।
पिघलाने और पुनः ढालने के दौरान आयतन स्थिर रहता है,इसलिए बड़े गोले का आयतन $n$ छोटी गेंदों के आयतन के योग के बराबर होगा।
$V_{\text{large}} = n \times V_{\text{small}}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n \times r^3$
$n = \frac{R^3}{r^3} = \left( \frac{R}{r} \right)^3$
$n = \left( \frac{6}{0.3} \right)^3 = (20)^3$
$n = 8000$.
अतः,बनाई गई गेंदों की संख्या $8000$ है।

(B) धात्विक बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi \times (6)^2 \times 4 = 144\pi \, cm^3$ है।
प्रत्येक गेंद का व्यास $1 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r_{ball} = 0.5 \, cm$ होगी।
एक गोलाकार गेंद का आयतन $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (0.5)^3 = \frac{4}{3} \pi (0.125) = \frac{0.5}{3} \pi = \frac{1}{6} \pi \, cm^3$ है।
बनने वाली गेंदों की संख्या $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{ball}} = \frac{144\pi}{\frac{1}{6}\pi} = 144 \times 6 = 864$ है।