Volume of a Combination of Solids Questions in Hindi

(C) धात्विक बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है। $r = 2\, cm$ और $h = 8\, cm$ रखने पर,हमें $V_{cylinder} = \pi \times (2)^2 \times 8 = 32\pi\, cm^3$ प्राप्त होता है।
$0.5\, cm$ व्यास (त्रिज्या $r_b = 0.25\, cm = 1/4\, cm$) वाली एक गोलाकार गेंद का आयतन $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r_b^3 = \frac{4}{3} \pi (1/4)^3 = \frac{4}{3} \pi \times \frac{1}{64} = \frac{\pi}{48}\, cm^3$ है।
बनाई गई गेंदों की संख्या $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{ball}} = \frac{32\pi}{\pi/48} = 32 \times 48 = 1536$ है।

(D) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
जब तीन गोलों को पिघलाकर एक नया गोला बनाया जाता है,तो कुल आयतन संरक्षित रहता है।
माना तीन गोलों की त्रिज्याएँ $r_1 = 3 \, cm$,$r_2 = 4 \, cm$ और $r_3 = 5 \, cm$ हैं।
माना नए गोले की त्रिज्या $R$ है।
तीनों गोलों का कुल आयतन $V_{total} = \frac{4}{3} \pi (r_1^3 + r_2^3 + r_3^3)$ है।
नए गोले का आयतन $V_{new} = \frac{4}{3} \pi R^3$ है।
आयतन को बराबर करने पर: $\frac{4}{3} \pi (3^3 + 4^3 + 5^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$R^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$.
$R = \sqrt[3]{216} = 6 \, cm$.

(A) धात्विक गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 6 \, cm$ है।
$V = \frac{4}{3} \times \pi \times (6)^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 216 = 288 \pi \, cm^3$.
तार एक बेलन के आकार का है जिसका व्यास $1 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $R = 0.5 \, cm = \frac{1}{2} \, cm$ है।
माना तार की लंबाई $h$ है। बेलनाकार तार का आयतन $V = \pi R^2 h$ होता है।
आयतन को बराबर करने पर: $288 \pi = \pi \times (\frac{1}{2})^2 \times h$.
$288 = \frac{1}{4} \times h$.
$h = 288 \times 4 = 1152 \, cm$.
चूंकि $100 \, cm = 1 \, m$ होता है,इसलिए मीटर में लंबाई $1152 / 100 = 11.52 \, m$ होगी।

(B) कुएं से निकाली गई मिट्टी का आयतन कुएं द्वारा निर्मित बेलन के आयतन के बराबर होता है।
मिट्टी का आयतन = $\pi r^2 h = \pi \times (2)^2 \times 50 = 200\pi \, m^3$.
मान लीजिए कि वृत्ताकार प्लॉट के स्तर में हुई वृद्धि $H$ मीटर है।
मिट्टी को $R = 40 \, m$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार प्लॉट पर फैलाया जाता है।
फैलाई गई मिट्टी का आयतन $40 \, m$ त्रिज्या और $H$ ऊंचाई वाले बेलन के आयतन के बराबर होगा।
आयतन = $\pi R^2 H = \pi \times (40)^2 \times H = 1600\pi H \, m^3$.
दोनों आयतनों की तुलना करने पर: $1600\pi H = 200\pi$.
$H = \frac{200}{1600} = \frac{1}{8} \, m$.
ऊंचाई को $cm$ में बदलने के लिए,$100$ से गुणा करें: $H = \frac{1}{8} \times 100 = 12.5 \, cm$.

(C) धात्विक शंकु का आयतन $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। दी गई मान $r = 5 \, cm$ और $h = 8 \, cm$ रखने पर,$V_{cone} = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (8) = \frac{200}{3} \pi \, cm^3$ प्राप्त होता है।
$0.5 \, cm$ व्यास (त्रिज्या $r_b = 0.25 \, cm = \frac{1}{4} \, cm$) वाली प्रत्येक गोलाकार गेंद का आयतन $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r_b^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{1}{4})^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{1}{64}) = \frac{1}{48} \pi \, cm^3$ है।
उत्पादित गेंदों की संख्या $n = \frac{V_{cone}}{V_{ball}} = \frac{\frac{200}{3} \pi}{\frac{1}{48} \pi} = \frac{200}{3} \times 48 = 200 \times 16 = 3200$ है।

(D) धात्विक गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 6 \, cm$ है।
$V = \frac{4}{3} \pi (6)^3 = \frac{4}{3} \pi (216) = 288 \pi \, cm^3$.
तार एक बेलन के आकार का है जिसकी त्रिज्या $R = 0.4 \, cm$ और लंबाई $h$ है। बेलन का आयतन $V = \pi R^2 h$ होता है।
पिघलाने और पुन: आकार देने की प्रक्रिया के दौरान आयतन स्थिर रहता है,इसलिए:
$288 \pi = \pi (0.4)^2 h$
$288 = 0.16 \times h$
$h = \frac{288}{0.16} = \frac{28800}{16} = 1800 \, cm$.
लंबाई को मीटर में बदलने के लिए,हम $100$ से भाग देते हैं:
$h = \frac{1800}{100} = 18 \, m$.

(A) $21\,cm$ व्यास वाले धात्विक गोले का आयतन (त्रिज्या $R = 10.5\,cm$ या $21/2\,cm$) $V_s = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{21}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \times \frac{9261}{8} = \frac{3087}{2} \pi \, cm^3$ है।
$7\,cm$ व्यास (त्रिज्या $r = 3.5\,cm$ या $7/2\,cm$) और $3\,cm$ ऊँचाई वाले एक शंकु का आयतन $V_c = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{7}{2})^2 \times 3 = \pi \times \frac{49}{4} = 12.25 \pi \, cm^3$ है।
शंकुओं की संख्या $n = \frac{V_s}{V_c} = \frac{3087 \pi / 2}{49 \pi / 4} = \frac{3087}{2} \times \frac{4}{49} = \frac{3087 \times 2}{49} = 63 \times 2 = 126$ है।
अतः,$126$ शंकु बनाए जा सकते हैं।

(B) शंकु के छिन्नक के आकार की बाल्टी के लिए,बड़ी त्रिज्या $r_{1} = 28\,cm$,छोटी त्रिज्या $r_{2} = 7\,cm$ और ऊँचाई $h = 45\,cm$ है।
शंकु के छिन्नक का आयतन ज्ञात करने का सूत्र:
$V = \frac{1}{3} \pi h (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$
मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 45 \times (28^{2} + 7^{2} + 28 \times 7)$
$V = \frac{22 \times 15}{7} \times (784 + 49 + 196)$
$V = \frac{22 \times 15}{7} \times 1029$
$V = 22 \times 15 \times 147$
$V = 48510\,cm^{3}$
चूँकि $1000\,cm^{3} = 1\,\text{लीटर}$:
$V = \frac{48510}{1000}\,\text{लीटर }= 48.51\,\text{लीटर}$
अतः,बाल्टी $48.51\,\text{लीटर}$ पानी धारण कर सकती है।

(D) शंकु के छिन्नक के लिए,आधार की परिधि $C_1 = 2 \pi r_1 = 48 \, cm$,इसलिए $r_1 = \frac{24}{\pi} \, cm$.
शीर्ष की परिधि $C_2 = 2 \pi r_2 = 36 \, cm$,इसलिए $r_2 = \frac{18}{\pi} \, cm$.
छिन्नक की ऊँचाई $h = 11 \, cm$ है।
शंकु के छिन्नक का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \pi (11) \left[ (\frac{24}{\pi})^2 + (\frac{18}{\pi})^2 + (\frac{24}{\pi})(\frac{18}{\pi}) \right]$.
$V = \frac{11 \pi}{3} \left[ \frac{576}{\pi^2} + \frac{324}{\pi^2} + \frac{432}{\pi^2} \right]$.
$V = \frac{11 \pi}{3} \left[ \frac{1332}{\pi^2} \right] = \frac{11 \times 1332}{3 \pi} = \frac{11 \times 444}{\pi} = \frac{4884}{\pi}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$V = \frac{4884 \times 7}{22} = 222 \times 7 = 1554 \, cm^3$.

(A) दिया है: व्यास $D_1 = 32 \,cm$,अतः त्रिज्या $r_1 = 16 \,cm$. व्यास $D_2 = 20 \,cm$,अतः त्रिज्या $r_2 = 10 \,cm$. ऊँचाई $h = 8 \,cm$.
$1$. तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{8^2 + (16 - 10)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \,cm$.
$2$. वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ = $\pi(r_1 + r_2)l = 3.14 \times (16 + 10) \times 10 = 3.14 \times 26 \times 10 = 816.4 \,cm^2$.
$3$. आयतन $V = \frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (16^2 + 10^2 + 16 \times 10) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (256 + 100 + 160) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times 516 = 3.14 \times 8 \times 172 = 4320.64 \,cm^3$.

(B) शंकु के छिन्नक का आयतन $V$ ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr)$ है।
दिया गया है: $R = 28 \, cm$, $r = 21 \, cm$, और $V = 28.490 \, \text{litres} = 28490 \, cm^3$ (चूंकि $1 \, \text{litre} = 1000 \, cm^3$ होता है)।
सूत्र में मान रखने पर:
$28490 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times h \times (28^2 + 21^2 + 28 \times 21)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times (784 + 441 + 588)$.
$28490 = \frac{22}{21} \times h \times (1813)$.
$28490 = \frac{39886}{21} \times h$.
$h = \frac{28490 \times 21}{39886} = \frac{598290}{39886} = 15 \, cm$.

(A) दिया गया है: त्रिज्याएँ $r_1 = 9\, cm$,$r_2 = 3\, cm$,और ऊँचाई $h = 8\, cm$.
सबसे पहले,तिर्यक ऊँचाई $l$ की गणना $l = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$ सूत्र का उपयोग करके करें।
$l = \sqrt{8^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\, cm$.
शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $\pi(r_1 + r_2)l$ द्वारा दिया जाता है।
$CSA = 3.14 \times (9 + 3) \times 10 = 3.14 \times 12 \times 10 = 376.8\, cm^2$.
शंकु के छिन्नक का आयतन $\frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (9^2 + 3^2 + 9 \times 3) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times (81 + 9 + 27) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 8 \times 117$.
$V = 3.14 \times 8 \times 39 = 979.68\, cm^3$.

(A) दिया है: शंकु और अर्धगोले की त्रिज्या $r = 6 \, cm$,शंकु की ऊँचाई $h = 8 \, cm$।
सबसे पहले,शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ ज्ञात करें: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, cm$।
ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
$CSA$ = $\pi rl + 2\pi r^2 = \pi r(l + 2r) = 3.14 \times 6 \times (10 + 2 \times 6) = 18.84 \times (10 + 12) = 18.84 \times 22 = 414.48 \, cm^2$।
ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन।
आयतन = $\frac{1}{3}\pi r^2h + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^2(h + 2r) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 6^2 \times (8 + 2 \times 6) = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 36 \times (8 + 12) = 3.14 \times 12 \times 20 = 37.68 \times 20 = 753.6 \, cm^3$।

(A) टैंक एक बेलन और दो अर्धगोलों से मिलकर बना है।
बेलन की त्रिज्या $(r)$ = $21\, cm$.
अर्धगोलों की त्रिज्या $(r)$ = $21\, cm$.
टैंक की कुल ऊँचाई = $62\, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई $(h)$ = कुल ऊँचाई - $2 \times$ अर्धगोले की त्रिज्या = $62 - 2(21) = 62 - 42 = 20\, cm$.
टैंक का आयतन = बेलन का आयतन + $2 \times$ अर्धगोले का आयतन।
आयतन = $\pi r^2 h + 2 \times (2/3) \pi r^3 = \pi r^2 (h + 4/3 r)$.
आयतन = $(22/7) \times (21)^2 \times (20 + (4/3) \times 21) = (22/7) \times 441 \times (20 + 28) = 22 \times 63 \times 48 = 66528\, cm^3$.
चूँकि $1000\, cm^3 = 1\, \text{लीटर}$, इसलिए लीटर में आयतन = $66528 / 1000 = 66.528\, \text{लीटर}$.

(C) टैंक एक बेलन और दो अर्धगोलों से मिलकर बना है।
बेलन और अर्धगोलों की त्रिज्या, $r = 24 / 2 = 12 \, cm$.
बेलनाकार भाग की ऊँचाई, $h = 78 - (12 + 12) = 78 - 24 = 54 \, cm$.
टैंक का आयतन = बेलन का आयतन + $2 \times$ अर्धगोले का आयतन।
आयतन = $\pi r^2 h + 2 \times (2/3 \pi r^3) = \pi r^2 (h + 4/3 r)$.
आयतन = $3.14159 \times (12)^2 \times (54 + 4/3 \times 12) = 3.14159 \times 144 \times 70$.
आयतन = $31667.2 \approx 31667 \, cm^3$.
चूँकि $1000 \, cm^3 = 1 \, \text{लीटर}$, इसलिए लीटर में आयतन $31667 / 1000 = 31.667 \, \text{लीटर} \approx 31.68 \, \text{लीटर}$ होगा।

(D) टैंक एक बेलन और दो समान शंकुओं से बना है।
बेलन और शंकु की त्रिज्या $(r)$ = $14 / 2 = 7 \, cm$.
बेलन की ऊँचाई $(h_1)$ = $20 \, cm$.
प्रत्येक शंकु की ऊँचाई $(h_2)$ = $12 \, cm$.
टैंक का कुल आयतन = (बेलन का आयतन) + $2$ $\times$ (शंकु का आयतन)।
बेलन का आयतन = $\pi r^2 h_1 = (22/7) \times 7^2 \times 20 = 22 \times 7 \times 20 = 3080 \, cm^3$.
एक शंकु का आयतन = $(1/3) \pi r^2 h_2 = (1/3) \times (22/7) \times 7^2 \times 12 = 22 \times 7 \times 4 = 616 \, cm^3$.
कुल आयतन = $3080 + 2 \times 616 = 3080 + 1232 = 4312 \, cm^3$.

(A) यह ठोस एक शंकु और एक अर्धगोले से मिलकर बना है जो उनके आधारों पर जुड़े हुए हैं।
शंकु की त्रिज्या $(r)$ = $0.6 \ m$.
शंकु की ऊँचाई $(h)$ = $1.6 \ m$.
अर्धगोले की त्रिज्या $(r)$ = $0.6 \ m$.
शंकु का आयतन = $\frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \times \pi \times (0.6)^{2} \times 1.6 = 0.192 \pi \ m^{3}$.
अर्धगोले का आयतन = $\frac{2}{3} \pi r^{3} = \frac{2}{3} \times \pi \times (0.6)^{3} = 0.144 \pi \ m^{3}$.
कुल आयतन = $0.192 \pi + 0.144 \pi = 0.336 \pi \ m^{3}$.
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,कुल आयतन $\approx 0.336 \times 3.14159 \approx 1.05557 \ m^{3}$,जो लगभग $1.056 \ m^{3}$ है।

(B) बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ व्यास $= 1 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 0.5 \, cm = \frac{1}{2} \, cm$ और ऊँचाई $h = 4 \, cm$ है।
$V_{cylinder} = \pi \times (\frac{1}{2})^2 \times 4 = \pi \times \frac{1}{4} \times 4 = \pi \, cm^3$.
एक गोलाकार गेंद का आयतन $V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi r^3$ है। यहाँ त्रिज्या $r = \frac{1}{8} \, cm$ है।
$V_{sphere} = \frac{4}{3} \times \pi \times (\frac{1}{8})^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times \frac{1}{512} = \frac{\pi}{3 \times 128} = \frac{\pi}{384} \, cm^3$.
निर्मित गेंदों की संख्या $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{sphere}} = \frac{\pi}{\frac{\pi}{384}} = 384$ है।

(C) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि बड़े धात्विक गोले की त्रिज्या $R = 42 \, cm$ है और छोटी गेंद की त्रिज्या $r = 1.4 \, cm$ है।
बनाई जा सकने वाली गेंदों की संख्या $n$,बड़े गोले के आयतन और एक छोटी गेंद के आयतन के अनुपात के बराबर होती है:
$n = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = \left( \frac{R}{r} \right)^3$.
मान रखने पर:
$n = \left( \frac{42}{1.4} \right)^3 = (30)^3$.
$n = 27,000$.
अतः,$27,000$ गेंदें बनाई जा सकती हैं।

(D) धात्विक बेलन का आयतन $V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi \times (4)^2 \times 3 = 48\pi\, cm^3$ है।
एक गोलाकार गेंद का आयतन $V_{ball} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times (0.5)^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 0.125 = \frac{0.5}{3}\pi = \frac{1}{6}\pi\, cm^3$ है।
बनाई गई गेंदों की संख्या $n = \frac{V_{cylinder}}{V_{ball}} = \frac{48\pi}{\frac{1}{6}\pi} = 48 \times 6 = 288$ है।

(A) अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन $V_h = \frac{2}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r = 9 \, cm$ है।
$V_h = \frac{2}{3} \times \pi \times (9)^3 = \frac{2}{3} \times \pi \times 729 = 486 \pi \, cm^3$.
एक बेलनाकार बोतल का आयतन $V_c = \pi r_c^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ व्यास $d = 3 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r_c = 1.5 \, cm$ और ऊंचाई $h = 4 \, cm$ है।
$V_c = \pi \times (1.5)^2 \times 4 = \pi \times 2.25 \times 4 = 9 \pi \, cm^3$.
भरी जा सकने वाली बोतलों की संख्या $n = \frac{V_h}{V_c} = \frac{486 \pi}{9 \pi} = 54$ है।
अतः,$54$ बोतलें भरी जा सकती हैं।

(A) बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पहले बेलन के लिए: $r_1 = 3.5 \, cm$,$h_1 = 10 \, cm$. आयतन $V_1 = \pi (3.5)^2 (10) = \pi (12.25)(10) = 122.5 \pi \, cm^3$.
दूसरे बेलन के लिए: $r_2 = 7 \, cm$,$h_2 = 10 \, cm$. आयतन $V_2 = \pi (7)^2 (10) = \pi (49)(10) = 490 \pi \, cm^3$.
दोनों बेलनों का कुल आयतन = $V_1 + V_2 = 122.5 \pi + 490 \pi = 612.5 \pi \, cm^3$.
माना नए बेलन की त्रिज्या $R$ है और इसकी ऊँचाई $H = 50 \, cm$ है।
नए बेलन का आयतन $V_{new} = \pi R^2 H = \pi R^2 (50)$ है।
चूँकि आयतन समान रहता है,इसलिए $50 \pi R^2 = 612.5 \pi$.
$R^2 = \frac{612.5}{50} = 12.25$.
$R = \sqrt{12.25} = 3.5 \, cm$.

(B) शंकु के छिन्नक का आयतन ज्ञात करने का सूत्र है: $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$।
दिया गया है: $r_1 = 14 \, cm$,$r_2 = 7 \, cm$,और $h = 12 \, cm$।
सूत्र में मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12 \times (14^2 + 7^2 + 14 \times 7)$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12 \times (196 + 49 + 98)$
$V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12 \times (343)$
$V = 22 \times 4 \times 49 = 4312 \, cm^3$।

(A) दिया गया है: $R = 28 \, cm$,$r = 7 \, cm$,$h = 72 \, cm$.
सबसे पहले,तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{72^2 + (28 - 7)^2} = \sqrt{5184 + 441} = \sqrt{5625} = 75 \, cm$.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA)$ $= \pi(R + r)l = \frac{22}{7} \times (28 + 7) \times 75 = 22 \times 5 \times 75 = 8250 \, cm^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= \text{CSA} + \pi R^2 + \pi r^2 = 8250 + \frac{22}{7} \times (28^2 + 7^2) = 8250 + \frac{22}{7} \times (784 + 49) = 8250 + 22 \times 119 = 8250 + 2618 = 10868 \, cm^2$.
आयतन $= \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr) = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 72 \times (28^2 + 7^2 + 28 \times 7) = \frac{22 \times 24}{7} \times (784 + 49 + 196) = \frac{528}{7} \times 1029 = 528 \times 147 = 77616 \, cm^3$.

(B) शंकु का आयतन,जिसकी आधार त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है,का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ होता है।

(A) गोला एक त्रि-आयामी वस्तु है जिसमें सतह पर स्थित प्रत्येक बिंदु केंद्र से समान दूरी $r$ पर होता है। गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है।
अर्धगोला,गोले का ठीक आधा भाग होता है। इसलिए,अर्धगोले का आयतन,गोले के आयतन का आधा होता है।
अर्धगोले का आयतन $= \frac{1}{2} \times (\text{गोले का आयतन})$
अर्धगोले का आयतन $= \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{2}{3} \pi r^{3}$.

(C) $r$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन $V$ ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित है:
$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(A) एक बेलन जिसका आधार की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है,उसका आयतन आधार के क्षेत्रफल को बेलन की ऊँचाई से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
आधार का क्षेत्रफल $= \pi r^{2}$.
अतः,बेलन का आयतन $= \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई} = \pi r^{2} h$.

(C) गोले का व्यास $d = 10 \, cm$ है।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, cm$ है।
गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \pi (5)^3$
$V = \frac{4}{3} \pi (125)$
$V = \frac{500}{3} \pi \, cm^3$.

(A) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 1.5 \text{ cm} = \frac{3}{2} \text{ cm}$ दी गई है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{3}{2} \right)^3$
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{27}{8} \right)$
$V = \left( \frac{4}{3} \times \frac{27}{8} \right) \pi$
$V = \left( \frac{1}{1} \times \frac{9}{2} \right) \pi$
$V = 4.5 \pi \text{ cm}^3$।

(D) शंकु के छिन्नक के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)$ है।
दिया गया है: $r_1 = 6 \, cm$,$r_2 = 4 \, cm$ और $h = 9 \, cm$.
सूत्र में मान रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \pi (9) (6^2 + 4^2 + 6 \times 4)$
$V = 3 \pi (36 + 16 + 24)$
$V = 3 \pi (76)$
$V = 228 \pi \, cm^3$.
अतः,आयतन $228 \pi \, cm^3$ है।

(A) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है,जहाँ $V$ आयतन है,$r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई है।
दिया गया है: $V = 550 \, cm^3$,$r = 5 \, cm$ और $\pi \approx \frac{22}{7}$.
सूत्र में मान रखने पर: $550 = \frac{22}{7} \times (5)^2 \times h$.
$550 = \frac{22}{7} \times 25 \times h$.
$550 = \frac{550}{7} \times h$.
$h = 550 \times \frac{7}{550}$.
$h = 7 \, cm$.

(B) शंकु के आयतन का सूत्र $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 5 \, cm$ और ऊँचाई $h = 12 \, cm$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times (5)^{2} \times 12$
$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12$
$V = \pi \times 25 \times 4$
$V = 100 \pi \, cm^{3}$.
अतः,शंकु का आयतन $100 \, \pi \, cm^{3}$ है।

(C) माना कि दो शंकुओं के व्यास $d_1$ और $d_2$ हैं,और उनकी ऊंचाइयां $h_1$ और $h_2$ हैं।
व्यासों का अनुपात $d_1:d_2 = 2:3$ है,इसलिए उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $r_1:r_2 = 2:3$ होगा।
उनकी ऊंचाइयों का अनुपात $h_1:h_2 = 9:4$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
उनके आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ होगा।
दिए गए अनुपातों का मान रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{9}{4}\right) = \frac{4}{9} \times \frac{9}{4} = 1$.
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $1:1$ है।

(D) गोले का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
माना मूल त्रिज्या $r_1 = r$ है।
अतः मूल आयतन $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ होगा।
यदि त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए,तो नई त्रिज्या $r_2 = 2r$ हो जाएगी।
नया आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3) = 8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$ होगा।
इस प्रकार,$V_2 = 8 \times V_1$ प्राप्त होता है।
अतः,नया आयतन मूल गोले के आयतन का $8$ गुना हो जाता है।

(B) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^{2} h$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 5 \, cm$ और ऊँचाई $h = 5 \, cm$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \pi \times (5)^{2} \times 5$
$V = \pi \times 25 \times 5$
$V = 125\pi \, cm^{3}$.
अतः,बेलन का आयतन $125\pi \, cm^{3}$ है।

(C) अर्धगोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{2}{3} \pi r^{3}$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 3 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$V = \frac{2}{3} \times \pi \times (3)^{3}$
$V = \frac{2}{3} \times \pi \times 27$
$V = 2 \times \pi \times 9$
$V = 18 \pi \, cm^{3}$।
अतः,अर्धगोले का आयतन $18 \pi \, cm^{3}$ है।

(D) माना कि दो बेलनों के व्यास $d_1$ और $d_2$ हैं,और उनकी ऊँचाइयाँ $h_1$ और $h_2$ हैं।
दिया है,$d_1:d_2 = 3:4$,इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात $r_1:r_2 = 3:4$ होगा।
दिया है,$h_1:h_2 = 4:5$.
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
आयतनों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right)$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \left(\frac{4}{5}\right) = \frac{9}{16} \times \frac{4}{5} = \frac{9 \times 1}{4 \times 5} = \frac{9}{20}$.
अतः,उनके आयतनों का अनुपात $9:20$ है।

(B) $r$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यदि त्रिज्या दोगुनी कर दी जाए,तो नई त्रिज्या $r' = 2r$ होगी।
नया आयतन $V' = \frac{4}{3} \pi (r')^3$ द्वारा प्राप्त होता है।
सूत्र में $r' = 2r$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $V' = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3) = 8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$।
अतः,$V' = 8V$।
इस प्रकार,आयतन मूल आयतन का $8$ गुना हो जाता है।

(B) $r$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन $V$ ज्ञात करने का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है।
चूंकि अर्धगोला एक गोले का ठीक आधा भाग होता है,इसलिए इसका आयतन गोले के आयतन का आधा होता है।
अतः,अर्धगोले का आयतन $= \frac{1}{2} \times (\frac{4}{3} \pi r^{3}) = \frac{2}{3} \pi r^{3}$ होगा।

(B) $1-$ रुपये का सिक्का बेलनाकार आकार का होता है।
बेलन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $V = \pi r^{2} h$ है,जहाँ $r$ आधार की त्रिज्या है और $h$ सिक्के की मोटाई (ऊंचाई) है।
अतः,$1-$ रुपये के सिक्के का आयतन $V = \pi r^{2} h$ है।

(B) जब एक शंकु को उसके आधार के समानांतर एक तल द्वारा काटा जाता है,तो शंकु का छिन्नक (frustum) प्राप्त होता है।
मान लीजिए $h$ छिन्नक की ऊँचाई है,और $r_{1}$ तथा $r_{2}$ दो वृत्ताकार आधारों की त्रिज्याएँ हैं।
शंकु के छिन्नक के आयतन $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{3} \pi h(r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{1}r_{2})$
अतः,विकल्प $B$ सही सूत्र है।

(C) हम जानते हैं कि $1 \text{ litre}$ को $10 \text{ cm}$ भुजा वाले घन के आयतन के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि घन का आयतन $(\text{भुजा})^3$ होता है,इसलिए:
$1 \text{ litre} = (10 \text{ cm})^3 = 10 \times 10 \times 10 \text{ cm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$।
अतः,$1 \text{ litre} = 1000 \text{ cm}^3$ होता है।

(C) हम जानते हैं कि $1 \, m = 100 \, cm$ होता है।
इसलिए,$1 \, m^3 = (100 \, cm) \times (100 \, cm) \times (100 \, cm) = 1,000,000 \, cm^3$ होता है।
हम यह भी जानते हैं कि $1 \, \text{लीटर} = 1000 \, cm^3$ होता है।
$cm^3$ को लीटर में बदलने के लिए,हम $1000$ से भाग देते हैं।
अतः,$1,000,000 \, cm^3 / 1000 = 1000 \, \text{लीटर}$।
इसलिए,$1 \, m^3 = 1000 \, \text{लीटर}$।

(C) हम जानते हैं कि $1 \ m^{3} = 1000 \ \text{लीटर}$ होता है।
साथ ही,$1 \ \text{किलोलीटर} = 1000 \ \text{लीटर}$ होता है।
अतः,$1 \ m^{3} = 1 \ \text{किलोलीटर}$।

(D) बेलन का $CSA$ (वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) ज्ञात करने का सूत्र $2 \pi r h$ है।
बेलन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र $\pi r^{2} h$ है।
प्रश्न के अनुसार,$CSA$ और आयतन संख्यात्मक रूप से समान हैं:
$2 \pi r h = \pi r^{2} h$
दोनों पक्षों को $\pi r h$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $r \neq 0$ और $h \neq 0$):
$2 = r$
अतः,बेलन की त्रिज्या $2$ इकाई है।

(C) बेलन की त्रिज्या $r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{14\, cm}{2} = 7\, cm$ है।
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ है।
सूत्र में $r = 7\, cm$ और $h = 10\, cm$ का मान रखने पर:
$V = \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 10$
$V = \frac{22}{7} \times 49 \times 10$
$V = 22 \times 7 \times 10$
$V = 1540\, cm^3$.
अतः,बेलन का आयतन $1540\, cm^3$ है।

(D) बेलन के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi r^{2}$ है।
यहाँ आधार का क्षेत्रफल $20 \, cm^{2}$ दिया गया है,इसलिए $\pi r^{2} = 20 \, cm^{2}$ है।
बेलन का आयतन $V$ ज्ञात करने का सूत्र $V = \pi r^{2} h$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$V = (20 \, cm^{2}) \times (5 \, cm) = 100 \, cm^{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,बेलन का आयतन $100 \, cm^{3}$ है।

(B) बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि आयतन $V = 20 \pi \, cm^3$ और ऊँचाई $h = 5 \, cm$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $20 \pi = \pi r^2 \times 5$.
दोनों पक्षों को $5 \pi$ से विभाजित करने पर,हमें $r^2 = 4$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$r = 2 \, cm$ प्राप्त होता है।
व्यास $d$ त्रिज्या का दोगुना होता है: $d = 2r = 2 \times 2 = 4 \, cm$।